Notas 05 Sistemas de ecuaciones lineales - Axel Sánchez Nazario

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
1 
 
 
Una ecuación lineal o de primer grado, es una igualdad entre una o varias variables elevadas a la primera potencia, 
sin que existan términos donde se multipliquen entre ellas 
 
 
 3𝑥 + 5𝑦 = 4 3𝑥 − 6 = 0 2𝑥 = 4𝑦 − 1 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 4𝑥 − 5𝑦 
 
 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
 
Es un conjunto de ecuaciones lineales que se resuelven de manera simultánea, es decir, buscamos los valores de 
las variables que cumplen para todas las ecuaciones involucradas al mismo tiempo. 
 
 
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones que se muestra, 
se conoce como sistema de dos ecuaciones con dos 
incógnitas, es decir, es un sistema de 2 × 2 
3𝑥 − 2𝑦 = 4 
 
5𝑥 + 2𝑦 = 12 
 
 
En el bachillerato nos mostraron métodos para encontrar esas soluciones. Los conocimos como 
 
 
 MÉTODO DE REDUCCIÓN MÉTODO DE IGUALACIÓN 
 
 
 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN MÉTODO DE SUMA Y RESTA 
 
 
MÉTODO CON DETERMINANTES 
 
 
En nuestro ejemplo, la solución del sistema es 𝑥 = 2 𝑦 = 1 
 
 
 
Lo anterior aplica para sistemas de n x n, es decir n ecuaciones con n incógnitas. 
 
 
A medida que aumenta el número de ecuaciones y el número de incógnitas, se va complicando el proceso de 
solución, por lo que podríamos preguntarnos antes de comenzar: 
 
 
¿Este sistema tiene solución? Y si es así, ¿cuántas soluciones tiene? 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
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Dependiendo de sus soluciones, los sistemas se clasifican en: 
 
 
1) INCOMPATIBLE: no tiene solución. También se le conoce como inconsistente. 
 
 
2) COMPATIBLE DETERMINADO: tiene solución única. 
 
 
3) COMPATIBLE INDETERMINADO: tiene muchas posibles soluciones. 
 
 
Hablando de sistemas de ecuaciones de 2 x 2, cada una de las ecuaciones representa a una recta, por lo que, al 
buscar solución al sistema, tenemos las siguientes opciones: 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES DE 2 x 2 
 
 
COMPATIBLE 
DETERMINADO 
 
 
COMPATIBLE 
INDETERMINADO 
 
INCOMPATIBLE 
 
 
 
 Solución ÚNICA MÚLTIPLES soluciones SIN SOLUCIÓN 
 
 
Hablando de sistemas de ecuaciones de 3 x 3, cada una de las ecuaciones representa a un plano, y se podría hacer 
una analogía con el caso en dos dimensiones. 
 
 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
3 
 
 
SISTEMAS CON SOLUCIÓN Y SIN SOLUCIÓN 
 
 
Si tenemos el sistema 𝐴11 𝑥 + 𝐴12 𝑦 = 𝐵1 
 𝐴21 𝑥 + 𝐴22 𝑦 = 𝐵2 
 
 
Entonces ∆ = 𝐴11 𝐴22 − 𝐴12 𝐴21 es el determinante del sistema 
 
 
Si Δ ≠ 0 el sistema tiene solución única. 
 
 
Si Δ = 0 el sistema tiene múltiples soluciones o no tiene solución. 
 
 
Veamos el siguiente ejemplo. Calculamos el determinante del siguiente sistema de ecuaciones 
 
𝑥 + 𝑦 = 3 
𝑥 + 2𝑦 = −8 
∆= 𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21 = (1)(2) − (1)(1) = 1 
 
 
Como Δ ≠ 0 el sistema tiene solución única. Es compatible determinado. 
 
 
La solución del sistema es 𝑥 = 14 ; 𝑦 = −11 
 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
4 
 
 
Ejemplo. Calcular el determinante del siguiente sistema de ecuaciones, indicando con el resultado, que tipo de 
sistema es. 
 
7𝑥 + 4𝑦 = 1 
−7𝑥 − 4𝑦 = 3 
∆= 𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21 = (7)(−4) − (4)(−7) = 0 
 
 
Como Δ = 0 el sistema podría tener múltiples soluciones o no tener solución. 
 
Al tratar de resolver el sistema, sumando una ecuación 
con la otra, llegamos a 
 
0 = 4 
 
 
Esta última igualdad es imposible, por lo que se 
concluye que el sistema no tiene solución. 
 
 
Es un sistema incompatible. 
 
 
Tenemos dos rectas paralelas separadas y por lo tanto, 
nunca se encuentran. 
 
 
Ejemplo. Calcular el determinante del siguiente sistema de ecuaciones, indicando con el resultado, que tipo de 
sistema es. 
 
2𝑥 − 3𝑦 = −3 
−2𝑥 + 3𝑦 = 3 
∆= 𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21 = (2)(3) − (−3)(−2) = 0 
 
 
Como Δ = 0 el sistema podría tener múltiples soluciones o no tener solución. 
 
 
Al tratar de resolver el sistema, sumando una ecuación con la otra, llegamos a 0 = 0 
 
 
Esta última igualdad es cierta para cualquier combinación de valores de 𝑥 , 𝑦 por lo que se concluye que el sistema 
tiene múltiples soluciones. Es un sistema compatible indeterminado. 
 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
5 
 
 
* Ejercicio. Obtener el determinante para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. Con el resultado 
obtenido, indica los valores que deben tener los coeficientes para que se cumpla: 
 
i) Que tenga solución única 
ii) Que tenga múltiples soluciones 
iii) Que no tenga solución 
 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 
𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑐 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 
𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑐 
𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑐 
𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑑 
 
 
* Ejercicio. Un arriero lleva una carga de arena sobre un caballo y una mula. Si pasáramos un bulto de carga del 
caballo a la mula, la mula llevaría el doble de carga que el caballo. 
 
Pero si le pasáramos un bulto de carga de la mula al caballo, los dos cargarían lo mismo. Si los bultos pesan lo 
mismo, ¿cuántos lleva el caballo y cuántos la mula? 
 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EQUIVALENTES 
 
Son aquellos sistemas de apariencia diferente, pero que tienen las mismas soluciones. 
 
2𝑎 + 4𝑏 + 6𝑐 = 18 
4𝑎 + 5𝑏 + 6𝑐 = 24 
3𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 = 4 
𝑎 − 𝑐 = 1 
𝑏 + 2𝑐 = 4 
 𝑐 = 3 
 
 
Para los dos sistemas anteriores, la solución es la misma: 𝑎 = 4 ; 𝑏 = −2 ; 𝑐 = 3 
 
 
Es evidente que el segundo sistema es más simple de resolver que el primero. 
 
 
Existe una metodología que permite re-escribir un sistema como el primero, para que resulte como el segundo, la 
cual se conoce como transformaciones elementales. 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
6 
 
 
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES 
 
Son las operaciones que podemos hacer a cualquier renglón de un sistema de ecuaciones, y obtendremos un 
sistema equivalente. 
 
 
1) Multiplicar o dividir un renglón por un número diferente de cero. 
 
 
2) Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón 
 
 
3) Intercambiar renglones 
 
 
Al efectuar diversas de estas transformaciones elementales, ya sea una por una, o varias a la vez, llegaremos a un 
sistema equivalente al original. 
 
 
Tomemos por ejemplo al sistema de ecuaciones 
 
2𝑎 + 4𝑏 + 6𝑐 = 18
4𝑎 + 5𝑏 + 6𝑐 = 24
3𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 = 4
 
⋯ (1)
⋯ (2)
⋯ (3)
 
 
 
Podemos dividir la ecuación (1) entre la ecuación (2) 
 
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 9
4𝑎 + 5𝑏 + 6𝑐 = 24
3𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 = 4
 
⋯ (1)
⋯ (2)
⋯ (3)
 
 
 
Ahora multipliquemos la ecuación (1) por −4 y sumemos este producto a la ecuación (2) , escribiendo el 
resultado en vez de la actual ecuación (2) 
 
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 9
 −3𝑏 − 6𝑐 = −12
3𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 = 4
 
⋯ (1)
⋯ (2)
⋯ (3)
 
 
 
Estos tres sistemas de ecuaciones que hemos escrito son equivalentes, y por lo tanto tienen la misma solución. 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
7 
 
 
Ahora multipliquemos la ecuación (1) por −3 y sumemos este producto a la ecuación (3) , escribiendo el 
resultado en vez de la actual ecuación (3) 
 
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 9
 −3𝑏 − 6𝑐 = −12
 −5𝑏 − 11𝑐 = −23
 
⋯ (1)
⋯ (2)
⋯ (3)
 
 
 
Si dividimos la ecuación (2) entre −3 el sistema luce así 
 
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 9
 𝑏 + 2𝑐 = 4
 −5𝑏 − 11𝑐 = −23
 
⋯ (1)
⋯ (2)
⋯ (3)
 
 
 
Finalmente, si multiplicamos la ecuación (2) por 5 y el producto obtenido lo sumamos con la ecuación (3) 
escribiendo el resultado en vez de la actual ecuación (3) 
 
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 9
 𝑏 + 2𝑐 = 4
 −1𝑐 = −3
 
⋯ (1)
⋯ (2)
⋯ (3)
 
 
 
El sistema resultante esta en forma escalonada, de más variables a menos variables, y por lo tanto, si empezamos 
a despejar variables desde la última ecuación hasta la primera, tendremos la solución del sistema. 
 
 
𝑎 = 4 ; 𝑏 = −2 ; 𝑐 = 3
Al este proceso, se le conoce como Método de Gauss 
 
 
En algunas ocasiones, se elige continuar haciendo transformaciones elementales hasta conseguir un sistema donde 
todas las variables se encuentren solas en cada ecuación. 
 
 
Si retomamos nuestro ejemplo 
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 9
 𝑏 + 2𝑐 = 4
 −1𝑐 = −3
 
⋯ (1)
⋯ (2)
⋯ (3)
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
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Podemos multiplicar a la ecuación (2) por −2, y este producto se puede sumar a la ecuación (1), escribiendo el 
resultado en vez de la actual ecuación (1) 
 
𝑎 − 𝑐 = 1
 𝑏 + 2𝑐 = 4
 −1𝑐 = −3
 
⋯ (1)
⋯ (2)
⋯ (3)
 
 
Y ahora, si multiplicamos la ecuación (3) por −1 
 
𝑎 − 𝑐 = 1
 𝑏 + 2𝑐 = 4
 𝑐 = 3
 
⋯ (1)
⋯ (2)
⋯ (3)
 
 
Sumando la ecuación (1) con la ecuación (3) y escribiendo el resultado en vez de la ecuación (1) 
 
𝑎 = 4
 𝑏 + 2𝑐 = 4
 𝑐 = 3
 
⋯ (1)
⋯ (2)
⋯ (3)
 
 
 
Finalmente, si multiplicamos la ecuación (3) por −2 , y este producto se lo sumamos a la ecuación (2) 
escribiendo el resultado en vez de la ecuación (2) 
 
𝑎 = 4
 𝑏 = −2
 𝑐 = 3
 
⋯ (1)
⋯ (2)
⋯ (3)
 
 
Como podemos observar, todas las variables se encuentran despejadas, dando la respuesta del sistema en forma 
inmediata. Este procedimiento se le llama Método de Gauss-Jordan. 
 
 
En el método de solución mostrado, venimos cargando las literales, aunque no intervienen directamente en las 
operaciones, sólo sirven como referencia en cada operación. 
 
 
Por ello, si conservamos el orden, existe una notación donde un sistema de ecuaciones lineales lo escribimos como 
un arreglo ordenado de coeficientes de m renglones x n columnas: 
 
 
2𝑎 + 4𝑏 + 6𝑐 = 18
4𝑎 + 5𝑏 + 6𝑐 = 24
3𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 = 4
 [ 
2 4 6
4 5 6
3 1 −2
| 
18
24
4
 ] 
 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
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En el arreglo anterior, se acostumbra la siguiente denominación: 
 
 
Matriz de coeficientes 
 
[ 
2 4 6
4 5 6
3 1 −2
 ] 
Matriz aumentada del sistema 
 
[ 
2 4 6
4 5 6
3 1 −2
| 
18
24
4
 ] 
 
 
Al aplicar el método de Gauss en la matriz aumentada del sistema, empleando las transformaciones elementales, 
llegamos a las matrices de solución del sistema: 
 
 
Método de Gauss 
 
[ 
1 2 3
0 1 2
0 0 1
| 
9
4
3
 ] 
Método de Gauss - Jordan 
 
[ 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
| 
4
−2
3
 ] 
 
 
Al trabajar manualmente, es más práctico detener el proceso en la matriz escalonada de la izquierda, ya que 
empleamos menos pasos intermedios para llegar a ella, comparada con la cantidad de transformaciones 
elementales necesarias para llegar a la matriz diagonal de la derecha. 
 
 
Por ejemplo, se requiere resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
 
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1 
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 3 
5𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 
 
 
La matriz aumentada del sistema es 
[ 
2 3 1
1 1 −2
5 1 1
| 
1
3
4
 ] 
 
 
Las transformaciones elementales no tienen un orden determinado para su ejecución, por lo que es el sentido 
común y la observación, lo que nos guiará en el proceso de solución. 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
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Se acostumbra escribir las transformaciones elementales que estamos realizando de la siguiente manera: 
 
𝑅2 = 2 ∙ 𝑅3 + 𝑅2 
 
 
Estamos indicando que el nuevo renglón 2 será igual a multiplicar 2 por el renglón 3 y el resultado sumarlo al 
actual renglón 2 
 
 
[ 
2 3 1
1 1 −2
5 1 1
| 
1
3
4
 ] → 𝑅2 = 2 ∙ 𝑅3 + 𝑅2 → [ 
2 3 1
11 3 0
5 1 1
| 
1
11
4
 ] 
 
 
Así continuamos el proceso 
 
[ 
2 3 1
11 3 0
5 1 1
| 
1
11
4
 ] → 𝑅1 = 𝑅3 − 𝑅1 → [ 
3 −2 0
11 3 0
5 1 1
| 
3
11
4
 ] 
 
 
Podemos observar que una columna ya tiene dos ceros, por lo tanto, sólo requerimos que aparezca otro cero en 
alguna de las columnas restantes. Lo haremos con la siguiente transformación elemental: 
 
[ 
3 −2 0
11 3 0
5 1 1
| 
3
11
4
 ] → 𝑅1 = 2 ∙ 𝑅2 + 3 ∙ 𝑅1 → [ 
31 0 0
11 3 0
5 1 1
| 
31
11
4
 ] 
 
 
Esta última matriz nos dice que 31𝑥 = 31 ⟹ 𝑥 = 1 
 
 
Por lo tanto 11𝑥 + 3𝑦 = 11 nos conduce a 11(1) + 3𝑦 = 11 ⟹ 𝑦 = 0 
 
 
Finalmente 5𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 será la ecuación con la cual 5(1) + 0 + 𝑧 = 4 ⟹ 𝑧 = −1 
 
 
La solución del sistema se acostumbra escribirla como un vector, llamado vector solución 
 
 
( 1 , 0 , −1 ) 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
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Revisemos el siguiente ejemplo. 
 
 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 
2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 6 
3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 10 
 
 
Aplicamos el método de Gauss a la matriz aumentada del sistema 
 
 
[ 
1 1 1
2 −1 4
3 3 3
| 
3
6
10
 ] →
𝑅2 = −2 ∙ 𝑅1 + 𝑅2
𝑅3 = −3 ∙ 𝑅1 + 𝑅3
→ [ 
1 1 1
0 −3 2
0 0 0
| 
3
0
1
 ] 
 
 
Ya tenemos la matriz escalonada pero observando el último renglón podemos apreciar una inconsistencia: 
 
 
0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 1 
 
 
Cuando esto ocurre, concluimos que el sistema es INCOMPATIBLE (no tiene solución) 
 
 
Si todo el renglón hubieran sido ceros, incluyendo el término independiente, la ecuación final sería: 
 
 
0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 0 
 
 
Esto nos indicaría que una ecuación sobra, y por lo tanto el sistema tiene múltiples soluciones, por lo que es un 
sistema COMPATIBLE INDETERMINADO. 
 
 
Los sistemas compatibles indeterminados ocurren porque hay más variables que ecuaciones, como por ejemplo 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 
 3𝑦 + 2𝑧 = 7 
 
 
La solución nos permite elegir el valor de alguna variable, con el cual se obligan los valores para las otras dos 
variables. La selección de ésta variable pivote, que funcionará como parámetro, es totalmente arbitraria 
 
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Continuando con nuestro ejemplo, podemos despejar la variable 𝑦 en la ecuación 2 
 
𝑦 =
 7 − 2𝑧 
3
 
 
Ahora la sustituimos en la ecuación 1 
 
𝑥 +
7 − 2𝑧
3
+ 𝑧 = 3 
 
𝑥 =
 2 − 𝑧 
3
 
 
 
Por lo tanto, la solución general tomando a la variable z como parámetro es 
 
 
(
 2 − 𝑧 
3
 ,
 7 − 2𝑧 
3
 , 𝑧) 
 
 
Si le damos un valor en particular a la variable z, tendremos la solución particular asociada a dicho valor. 
 
 
Por ejemplo, si 𝑧 = 2 ⟹ ( 0 , 1 , 2 ) es una solución particular del sistema. 
 
 
* Ejercicio. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Dependiendo de la solución indique qué tipo 
de sistema es. 
 
 
 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7 
4𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 4 
2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0 
𝑎 − 2𝑏 + 3𝑐 = 0 
4𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 0 
2𝑎 − 𝑏 + 3𝑐 = 0 
 
 
 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = 1 
−3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 − 2𝑤 = 4 
−3𝑥 + 14𝑦 − 4𝑧 − 7𝑤 = 3 
6𝑥 + 12𝑦 − 12𝑧 − 6𝑤 = 5 
 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
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* Ejercicio. Cuatro amigos fueron a comprar frutas al mercado. Felipe compró tres peras y una manzana y pagó 
$ 250, Marcela compró dos manzanas, una pera y un zapote con $ 450, y Juan compró tres manzanas y un 
zapote con $ 500. ¿Cuánto pagó Alicia si compró una fruta de cada una? 
 
 
 
* Ejercicio. Determina los ángulos 𝛼 , 𝛽 , 𝛾, que son ángulos interiores de un triángulo. La suma de los ángulos 
𝛼 y 𝛽 es la mitad del ángulo 𝛾, además el ángulo 𝛽 es el doble del ángulo 𝛼. 
 
 
 
* Ejercicio. Una empresa tiene minas con las siguientes menas de composiciones: 
 
 Niquel ( % ) Cobre ( % ) Hierro ( % ) 
Mina 1 1 2 3 
Mina 2 2 5 7 
Mina 3 1 3 1 
 
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro? 
 
 
 
* En una encuesta se encontró que 190 personas viajan en avión, 110 personas viajan en tren y 150 viajan en 
ómnibus. El número de personas que sólo viaja en ómnibus es la mitad de los que sólo viajan en tren y un tercio 
de los que sólo viajan en avión. El número que sólo viaja en tren y ómnibus es la mitad de los que sólo viajan en 
avión y tren. Si el número de personas que viaja por los
tres medios es un tercio de los que sólo viajan en avión y 
ómnibus, ¿cuántas personas usan exclusivamente un medio de transporte? 
 
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SISTEMAS HOMOGÉNEOS 
 
Se llaman así a los sistemas de ecuaciones en los cuales, todos los términos independientes son ceros. 
 
2𝑎 + 4𝑏 + 6𝑐 = 0 
4𝑎 + 5𝑏 + 6𝑐 = 0 
3𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 = 0 
 
 
Es estos sistemas sólo se presentan dos posibilidades de solución: 
 
 
1) Que el valor de todas las variables sea cero, que se conoce como solución trivial. 
 
 
2) Que existan un infinito de posibles soluciones, que se conocen como soluciones no triviales.