38 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Teoria

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Sistema de 
ecuaciones lineales 
La
s m
ate
má
tic
as 
so
n 
fác
ile
s 
√ ⃗ 
 ̅ 
 
 
Álgebra 27 
 
Christiam Huertas 
Nivel UNI 
Álgebra SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 1 
 
 
Sistema de ecuaciones 
lineales 
Es un conjunto formado por dos o más 
ecuaciones lineales donde hay dos o más 
variables (incógnitas). 
 
Ejemplo 1. 
 {
 
 
 
Es un sistema lineal de 2 ecuaciones y 2 variables. 
 
 {
 
 
 
 
Es un sistema lineal de 3 ecuaciones y 3 variables. 
 
 {
 
 
 
 
 
Es un sistema lineal de 4 ecuaciones y 4 variables. 
 
 {
 
 
 
Es un sistema lineal de 2 ecuaciones y 3 variables. 
 
 
Sistema lineal de 2 
ecuaciones y 2 incógnitas 
Son de la forma: 
{
 
 
 
donde , , , , y son constantes y, e 
 son las incógnitas. 
 
Una solución de este sistema es de la forma 
( ) 
 , cuyas coordenadas y 
satisfacen las dos ecuaciones simultánea-
mente. 
 
Conjunto solución 
Es el conjunto formado por todas las 
soluciones del sistema. 
 
Ejemplo 2. 
El sistema lineal: 
{
 
 
 
se verifica para y . Veamos: 
 
{
 ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) ( )
 
 
Luego el par ordenado ( ) es la solución 
del sistema; y su conjunto solución es: 
 {( )} 
 
 
Métodos de resolución 
A continuación veremos diversos métodos 
para encontrar la solución, si la hay, de un 
sistema de dos ecuaciones lineales con dos 
incógnitas. 
 
1 De reducción 
Para resolver un sistema de ecuaciones 
lineales de dos variables por este método se 
siguen los siguientes pasos. 
 
Paso 1 Se multiplica las ecuaciones por los 
números que hagan que ambas ecuaciones 
tengan el coeficiente de una de las variables 
iguales excepto tal vez por el signo. 
 
Paso 2 Se suman o se restan las ecuaciones 
para eliminar esa variable. 
 
Paso 3 Se resuelve la ecuación resultante 
para la variable que quedó. 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Álgebra 
 
2 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
 
Paso 4 Se sustituye este valor en cualquiera 
de las ecuaciones originales para encontrar 
el valor de la otra variable. 
 
Ejemplo 3. 
Resuelva el sistema de ecuaciones 
{
 
 
 
 
Resolución. 
Se tiene el sistema 
{
 ( )
 ( )
 
 
Realizamos las siguientes operaciones para 
obtener una ecuación con una sola incógnita: 
( ) : ( ) 
( ) : 
 
Sumamos: 
 
Lo reemplazamos en ( ): 
 ( ) 
 
 
Luego, la solución es el par ordenado 
( ). 
 {( )} 
 
 
2 De igualación 
Para resolver un sistema de ecuaciones 
lineales de dos variables por este método se 
siguen los siguientes pasos: 
 
Paso 1 Despejamos una de las variables de 
ambas ecuaciones. 
 
Paso 2 Igualamos dichas ecuaciones y 
resolvemos para la variable que queda. 
 
Paso 3 Sustituimos el valor de esta variable 
en alguna de las ecuaciones del Paso 1 y 
resolvemos para la otra variable. 
 
Ejemplo 4. 
Resuelva el sistema de ecuaciones 
{
 
 
 
 
Resolución. 
Se tiene el sistema de ecuaciones 
{
 ( )
 ( )
 
 
Despejamos una variable de ambas 
ecuaciones. 
De ( ): 
 
 
 
 ( ) 
De ( ): 
 
 
 
 
Luego, 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
Lo reemplazamos en ( ): 
 
 ( )
 
 
 
Luego, la solución es el par ordenado 
( ). 
 {( )} 
Álgebra SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 3 
 
 
3 De sustitución 
Para resolver un sistema de ecuaciones 
lineales de dos variables por este método se 
siguen los siguientes pasos: 
 
Paso 1 Despejamos una de las variables de 
una de las ecuaciones. 
 
Paso 2 La sustituimos en la otra ecuación y 
resolvemos para encontrar el valor de la 
variable que corresponde. 
 
Paso 3 Sustituimos dicho valor en la 
ecuación del Paso 1 y resolvemos para 
obtener el valor de la otra variable. 
 
Ejemplo 5. 
Resuelva el sistema de ecuaciones 
{
 
 
 
 
Resolución. 
Se tiene el sistema de ecuaciones 
{
 ( )
 ( )
 
De la ecuación ( ) despejamos la variable 
 : 
 
 
 
 ( ) 
Lo sustituimos en la ecuación ( ): 
 (
 
 
) 
Multiplicamos por : 
 ( ) 
 
 
 
Lo remplazamos en ( ): 
 
 ( )
 
 
Luego, la solución es el par ordenado 
( ). 
 {( )} 
 
Ejemplo 6. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
{
 
 
 
 
Resolución. 
Se tiene el sistema de ecuaciones: 
{
 ( )
 ( )
 
De la ecuación ( ) despejamos : 
 
Lo sustituimos en la ecuación ( ): 
 ( ) 
 
 
Esto es absurdo, luego el sistema de 
ecuaciones no tiene solución. Es decir, su 
conjunto solución es el conjunto vacío. 
Por lo tanto, 
 { } 
 
Ejemplo 7. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
{
 
 
 
 
Resolución. 
Se tiene el sistema de ecuaciones: 
{
 ( )
 ( )
 
De la ecuación ( ) despejamos : 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Álgebra 
 
4 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
 ( ) 
Lo sustituimos en la ecuación ( ): 
 ( ) 
 
 
Esto es verdadero, luego el sistema de 
ecuaciones tiene infinitas soluciones. 
 
Para hallar su conjunto solución se 
parametrizan las variables de la siguiente 
manera. 
Sea: 
Entonces al reemplazar en ( ) se obtiene: 
 
Luego, 
 {( ) } 
 
Observación 1 
Dando valores a se obtienen todas las 
soluciones del sistema de ecuaciones. 
 
Si , entonces ( ) es solución. 
Si , entonces ( ) es solución. 
Si , entonces ( ) es solución. 
Si , entonces ( ) es solución. 
Si , entonces ( ) es solución. 
Si 
 
 
, entonces ( 
 
 
) es solución. 
 
 
Observación 2 
Si hacemos: 
 
Reemplazamos en ( ) y despejamos : 
 
 
 
 
Luego, un conjunto solución equivalente es: 
 {( 
 
 
) } 
Clasificación de los sistemas 
1. Los sistemas que tienen solución se 
llaman compatibles. 
2. Si la solución es única se llaman 
compatibles determinados. 
3. Si tienen infinitas soluciones se llaman 
compatibles indeterminados. 
4. Si un sistema carece de solución se dice 
que es incompatible (o inconsistente). 
 
 
Teorema (Roche–Frobenius) 
Dado el sistema lineal de incógnitas e : 
{
 
 
 
donde , , , , y son constantes no 
nulas. 
 
1. Si se cumple la relación: 
 
 
 
 
 
 
entonces el sistema es compatible 
determinado; es decir, tiene solución 
única. 
 
2. Si se cumple la relación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
entonces el sistema es compatible 
indeterminado; es decir, tiene infinitas 
soluciones. 
 
3. Si se cumple la relación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
entonces el sistema es incompatible (o 
inconsistente); es decir, no tiene 
solución. 
 
Álgebra SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 5 
 
Ejemplo 8. 
En el sistema de ecuaciones 
{
 
 
 
notamos que se verifica la relación: 
 
 
 
 
 
 
Luego, según el teorema (Parte 1), el sistema 
tiene una única solución. 
 
Ejemplo 9. 
En el sistema de ecuaciones 
{
 
 
 
notamos que se verifica la relación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego, según el teorema (Parte 2) el sistema 
tiene infinitas soluciones. 
 
Algunas soluciones del sistema son: 
( ) ( ) ( ) 
 
Ejemplo 10. 
En el sistema de ecuaciones 
{
 
 
 
notamosque se verifica la relación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego, según el teorema (Parte 3) el sistema 
no tiene solución. 
 
En efecto: 
1era ecuación por : ( ) 
2da ecuación (igual): 
 
 (F) 
Esto es falso. Luego el sistema de ecuaciones 
no tiene solución. 
 
Ejemplo 11. 
Dado el sistema lineal: 
{
( ) 
 ( ) 
 
 
a) Halle los valores de para que el sistema 
sea compatible determinado. 
b) Halle los valores de para que el sistema 
sea compatible indeterminado. 
c) Halle los valores de para que el sistema 
sea incompatible. 
 
Resolución. 
a) Para que el sistema sea compatible 
determinado, se debe cumplir: 
 
 
 
 
 
 
( )( ) 
 
 
 
Por lo tanto, 
 { } 
 
b) Para que el sistema sea compatible 
indeterminado, se debe cumplir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, 
 
 
 
 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Álgebra 
 
6 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
c) Para que el sistema sea incompatible, se 
debe cumplir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir, 
 
 
 
 
 
 
 
⏟ 
 
 
 
 
 ( )( ) 
 
 
 ( ) ⏟ 
 
Por lo tanto, el valor de es . 
 
 
Interpretación geométrica de 
los sistemas de 2 ecuaciones 
y 2 incógnitas 
Una ecuación lineal con dos incógnitas es de 
la forma: 
 
donde , y son números reales y e 
son las incógnitas. 
Gráficamente esta ecuación representa una 
recta en el plano cartesiano. 
 
Ejemplo 12. 
Represente gráficamente la ecuación: 
 
 
Resolución. 
1. Despejamos : 
 
 
2. Tabulamos: 
 
 
 
3. Representamos los puntos en el plano y 
obtenemos una recta: 
 
 
 
Las soluciones de la ecuación anterior son 
los puntos por donde pasa la recta; por lo 
tanto, tiene infinitas soluciones. 
 
Un sistema de dos ecuaciones lineales con 
dos incógnitas es de la forma: 
{
 
 
 
Gráficamente se tiene dos rectas en el 
mismo plano, y se pueden dar tres casos: 
 
1 Las rectas se cortan en un 
punto 
Hay una solución, que es el punto de 
corte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Las rectas son paralelas 
No hay una solución, pues las rectas no se 
cortan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Las rectas son coincidentes 
Hay infinitas soluciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 13. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
{
 
 
 
y analice gráficamente. 
 
Resolución. 
En la segunda ecuación, despejamos : 
 ( ) 
Lo reemplazamos en la primera ecuación: 
 
 
 
Al reemplazar en ( ) se obtiene: 
 
Luego, el conjunto solución es: {( )}. 
 
Interpretación geométrica: 
En el sistema, de cada ecuación despejamos 
la variable : 
{
 
 
 
 
 
Cada ecuación representa una recta en el 
plano cartesiano cuyas gráficas se muestran 
a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Álgebra 
 
8 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
 
Se observa que ambas rectas se cortan en un 
solo punto; es decir, el sistema presenta una 
única solución. 
 
Ejemplo 14. 
Construir un sistema de ecuaciones cuya 
representación geométrica está dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución. 
Sean las ecuaciones de las rectas: 
 : 
 : 
 
 tiene pendiente y corte con el 
eje , . Es decir; : . 
 
 tiene pendiente y corte con el 
eje , . Es decir; : . 
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es: 
{ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema lineal de 3 
ecuaciones y 2 incógnitas 
Son de la forma: 
{
 
 
 
 
donde , , , , , , , y son 
constantes y, e son las incógnitas. 
 
Estos sistemas no suelen presentarse mucho. 
Surgen de problemas con más datos de los 
necesarios. No obstante, los estudiaremos 
porque nos ayudaran a reforzar las ideas 
anteriores. 
 
Estos sistemas son compatibles (tienen 
solución) cuando la solución del sistema 
formado por cualquier par de ecuaciones 
verifica también la otra. En otro caso el 
sistema será incompatible. 
La posibilidad que tenga infinitas soluciones; 
es decir, compatible indeterminado, solo 
ocurriría cuando las tres ecuaciones 
coincidieran. Es decir, representan la misma 
ecuación, aunque con apariencia diferente. 
 
Ejemplo 15. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
{
 
 
 
 
 
Resolución. 
Se tiene el sistema: 
{
 ( )
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 9 
 
Ecuación ( ): ( ) 
Ecuación ( ) : 
 
 
Lo reemplazamos en ( ): 
 ( ) 
 
 
Lo reemplazamos en la tercera ecuación: 
 ( ) ( ) ( ) 
Vemos que la verifica, luego la solución del 
sistema es: ( ). 
 {( )} 
 
 
Teorema 
El sistema lineal: 
{
 
 
 
 
es compatible (es decir; tiene una o infinitas 
soluciones) si se cumple: 
|
 
 
 
| 
 
Ejemplo 16. 
Al graficar: 
 : 
 : 
 : 
 ; 
Estas rectas convergen en un único punto. 
Determine el valor de . 
 
Resolución. 
Si las rectas , y convergen en un 
solo punto, entonces el sistema: 
{
 
 
 
 
tiene solución única (es compatible 
determinado). Según el teorema anterior, se 
debe cumplir: 
| 
 
 
 
 | 
Aplicamos el teorema de Laplace a la 
primera fila: 
 |
 
 
| ( ) |
 
 
| 
 |
 
 
| 
 
( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 
( )( ) 
 
Por dato , luego . 
Al reemplazar en el sistema se obtiene: 
{
 
 
 
 
cuya única solución es ( ). (Verifíquelo) 
Por lo tanto, el valor de es . 
 
 
Sistema lineal de 3 
ecuaciones y 3 incógnitas 
Son de la forma: 
{
 
 
 
 
donde , , ( ), , y son 
constantes y, , y son las incógnitas. 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Álgebra 
 
10 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
 
Una solución de este sistema es de la forma 
( ) 
 , cuyas coordenadas , 
y satisfacen las tres ecuaciones 
simultáneamente. 
 
Conjunto solución 
Es el conjunto formado por todas las 
soluciones del sistema. 
 
Ejemplo 17. 
El sistema lineal: 
{
 
 
 
 
se verifica para , y ; 
luego, la terna ordenada ( ) es la 
solución del sistema; y su conjunto solución 
es: 
 {( )} 
 
Métodos de resolución 
A continuación veremos diversos métodos 
para encontrar la solución, si la hay, de un 
sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 
incógnitas. 
 
1 De reducción 
Este método consiste en eliminar una 
incógnita en común de dos ecuaciones 
cualesquiera. Se obtiene así un sistema 
asociado al primero pero con una ecuación 
menos; esto es, de dos ecuaciones con dos 
incógnitas. Este segundo sistema se resuelve 
por el método que resulte más cómodo.Ejemplo 18. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
{
 
 
 
 
 
Resolución. 
Se tiene el sistema 
{
 ( )
 ( )
 ( )
 
 
Realizamos las siguientes operaciones: 
( ) ( ): ( ) 
( ) ( ): ( ) 
 
( ) : ( ) 
( ) : 
 
 
Lo reemplazamos en ( ): 
 ( ) 
 
Lo reemplazamos en ( ): 
 ( ) ( ) 
 
Luego, la solución es la terna ordenada 
( ). 
 {( )} 
 
 
2 De sustitución 
Este método consiste en despejar una 
incógnita en alguna de las ecuaciones y 
llevar su valor a las otras. Se obtiene así un 
sistema asociado al primero pero con una 
ecuación menos; esto es, de dos ecuaciones 
con dos incógnitas. Este segundo sistema se 
Álgebra SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 11 
 
resuelve por el método que resulte más 
cómodo. 
 
Ejemplo 19. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
{
 
 
 
 
 
Resolución. 
Se tiene el sistema de ecuaciones: 
{
 ( )
 ( )
 ( )
 
De la ecuación ( ) despejamos : 
 
Lo reemplazamos en la ecuación ( ) y ( ): 
{
 ( ) 
( ) 
 
 
 {
 ( )
 ( )
 ( ) 
Sumamos: 
 
Lo reemplazamos en la ecuación ( ): 
 ( ) 
 
Lo reemplazamos en la ecuación ( ): 
 ( ) 
 
Luego, la solución es la terna: ( ) 
 {( )} 
 
 
 
 
 
 
Métodos de resolución 
de sistemas lineales 
Existen diversos métodos para resolver un 
sistema lineal: reducción, igualación y 
sustitución, entre los tradicionales; pero ahora 
veremos otros métodos más avanzados 
aplicados en matemática superior. 
 
Antes de mostrar estos métodos, veamos la 
representación matricial de un sistema de 
ecuaciones lineales. 
 
Dado el sistema lineal de orden dos: 
{
 
 
 
Definimos: 
 Matriz de coeficientes: 
 [
 
 
] 
 
 Matriz de incógnitas: 
 [
 
 
] 
 
 Matriz de términos independientes: 
 [
 
 
] 
 
Dado el sistema lineal de orden tres: 
{
 
 
 
 
Definimos: 
 Matriz de coeficientes: 
 [
 
 
 
] 
 
 Matriz de incógnitas: 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Álgebra 
 
12 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
 [
 
 
 
] 
 
 Matriz de términos independientes: 
 [
 
 
 
] 
 
En general: 
Dado el sistema lineal de orden : 
{
 
 
 
 
 
Definimos: 
 Matriz de coeficientes: 
 [
 
 
 
 
] 
 
 Matriz de incógnitas: 
 [
 
 
 
 
] 
 
 Matriz de términos independientes: 
 [
 
 
 
 
] 
Luego, la representación matricial del 
sistema está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Método de la matriz 
inversa 
Dado el sistema de ecuaciones lineales en su 
forma matricial: ; si es no singular 
(| | ), entonces: 
 
 
 
Ejemplo 20. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
⌊
 
 
 
 
Resolución. 
El sistema lo expresamos en su forma 
matricial: 
[
 
 
]
⏟ 
[
 
 
]
⏟
 [
 
 
]
⏟
 
 
Como la matriz es no singular (pues, 
| | ), entonces: 
 
Reemplazamos: 
[
 
 
] [
 
 
]
 
[
 
 
] 
 [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 [
 
 
] [
 
 
] 
Por lo tanto, {( )}. 
 
Observación: 
La inversa de lo hemos hallado así: 
[
 
 
]
 
 
 
| |
[
 
 
] 
 
 
 
[
 
 
] 
 [
 
 
] 
Álgebra SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 13 
 
 [
 
 
] 
 
Recuerde: 
 [
 
 
] 
 
| |
[
 
 
] 
 
 
Matriz aumentada 
Dado el sistema de ecuaciones lineales: 
( ){
 
 
 
 
 
A la matriz de la forma: 
( ) [
 
 
 
 
] 
lo llamaremos matriz aumentada (o matriz 
ampliada) del sistema ( ). Se denota por: 
( ) 
 
Operaciones elementales fila 
Las operaciones elementales por fila que se 
pueden realizar a una matriz son: 
 
 Intercambiar dos filas cualesquiera. 
 Multiplicando la fila por una constante 
 diferente de cero. 
 Sumar a la fila la fila multiplicado 
por una constante . 
 
 
2 Método de Gauss 
Dado el sistema de ecuaciones lineales en 
forma matricial: , el método de 
Gauss consiste en transformar (realizando 
operaciones elementales por fila) la matriz 
ampliada ( ) a otra equivalente más 
sencilla que permita encontrar fácilmente los 
valores de las incógnitas. 
 
Por ejemplo, consideremos el sistema lineal 
de orden : 
{ 
 
 
 
 
 
Formamos la matriz ampliada: 
( | ) (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
Realizando operaciones elementales por filas 
lo expresamos como una matriz escalonada, 
es decir, del tipo: 
(
 
 
 
 
 
 
 | 
 
 
 
 
 
) 
 
Es decir, se obtiene un sistema equivalente 
del tipo: 
{ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este punto, decimos que hemos 
triangularizado el sistema. De donde 
podemos obtener el valor de de forma 
directa a partir de la tercera ecuación; al 
reemplazarlo en la segunda ecuación 
obtenemos el valor de ; y al reemplazar 
estos valores en la primera ecuación 
obtenemos el valor de . 
 
 
 
 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Álgebra 
 
14 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
Ejemplo 21. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
{
 
 
 
 
 
Resolución. 
Formamos la matriz ampliada: 
(
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
Observación: Es conveniente que la 
primera fila de la matriz ampliada empiece 
con coeficiente igual a 1. 
 
Intercambiamos la fila 1 y la fila 2: 
(
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
A la fila 2 le sumamos la fila 1 multiplicado 
por . También, a la fila 3 le sumamos la 
fila 1 multiplicado por : 
(
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
A la fila 3 entre : 
(
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
A la fila 2 le sumo la fila 3 por 11: 
(
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
Intercambiamos la fila 2 y la fila 3: 
(
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
Formamos el sistema equivalente: 
{
 
 
 
 
De la tercera ecuación se obtiene: 
 
Lo reemplazamos en la segunda ecuación: 
 
 
Lo reemplazamos en la primera ecuación: 
 
 
Por lo tanto, {( )}. 
 
 
Observaciones 
Al aplicar el método de Gauss podemos 
encontrarnos con distintos casos: 
 
1. Si se obtiene un sistema escalonado con 
coeficientes no nulos, el sistema es 
compatible determinado, tiene solución 
única. 
 
2. Si se obtiene una o más filas en las que 
todos los elementos sean cero, el sistema 
tiene infinitas soluciones, y hay que 
despejar una o varias incógnitas en 
función de otras para parametrizarlo, es 
un sistema compatible indeterminado. 
Además: 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
3. Si se obtiene una o más filas de ceros, 
salvo el elemento correspondiente al 
término independiente,que es distinto 
de cero, digamos , entonces como la 
fila en cuestión correspondería a una 
ecuación del tipo , lo que es 
imposible, el sistema no tiene solución y 
por tanto es incompatible. 
 
Álgebra SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 15 
 
Ejemplo 22. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
{
 
 
 
 
 
Resolución. 
Formamos la matriz ampliada: 
 (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
 
 ( ) 
(
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
 (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
Formamos el sistema equivalente: 
{
 
 
 
Según la observación 2. el sistema tiene 
infinitas soluciones. Por ende, se tiene que 
parametrizar las variables. 
 
(
 
 
) (
 
 
)
⏟ 
 (
 
 
)
⏟ 
 
 (
 
 
) 
 
Sea: 
 
Lo reemplazamos en la segunda ecuación: 
 
 
 
 
 
Lo reemplazamos en la primera ecuación: 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
Por lo tanto, 
 {(
 
 
 
 
 
 ) } 
 
 
3 Regla de Cramer 
La regla de Cramer nos permite resolver 
ciertos sistemas lineales de ecuaciones con 
 incógnitas. Esta regla también es útil para 
estudiar las propiedades matemáticas de una 
solución sin necesidad de resolver el 
sistema. 
 
Dado el sistema de ecuaciones lineales: 
(
 
 
 
 
)(
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
)
⏟ 
 
 
de ecuaciones con incognitas tal que 
 ( ) , entonces la solución del 
sistema es única. Las componentes de la 
solución se obtienen de la siguiente manera: 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
Donde ( ) es la matriz que 
se obtiene al sustituir los elementos de la -
ésima columna de por los elementos de la 
matriz 
 (
 
 
 
 
) 
Esto significa 
que el sistema 
tiene infinitas 
soluciones 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Álgebra 
 
16 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
 
Ejemplo 23. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
{
 
 
 
 
Resolución. 
Hallamos los siguientes determinantes: 
 Determinante del sistema: 
| | |
 
 
| ( ) 
 
 Determinante con respecto a : 
| | |
 
 
| ( ) 
 
 Determinante con respecto a : 
| | |
 
 
| 
 
Según la regla de Cramer: 
 
| |
| |
 
 
 
 
 
| |
| |
 
 
 
 
Luego, la solución es ( ). 
Por lo tanto, {( )}. 
 
Ejemplo 24. 
Resuelva el sistema de ecuaciones: 
{
 
 
 
 
 
Resolución. 
Hallamos los siguientes determinantes: 
 Determinante del sistema: 
| | |
 
 
 
| 
 
 Determinante con respecto a : 
| | |
 
 
 
| 
 
 Determinante con respecto a : 
| | |
 
 
 
| 
 
 Determinante con respecto a : 
| | |
 
 
 
| 
 
Según la regla de Cramer: 
 
| |
| |
 
 
 
 
 
| |
| |
 
 
 
 
 
| |
| |
 
 
 
 
Luego, la solución es la terna ( ). 
Por lo tanto, {( )}. 
 
 
 Teoremas 
Dado el sistema lineal de orden . 
( ){
 
 
 
 
 
El sistema ( ): 
 
1. Tiene solución única si: 
| | 
 
2. Tiene infinitas soluciones si: 
| | y | | 
para cada tal que . 
 
3. No tiene solución si: 
| | y | | 
para algún tal que . 
 
Álgebra SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 17 
 
Ejemplo 25. 
Determine los valores de para que el 
siguiente sistema tenga solución única. 
{
 
 
 
 
 
Resolución. 
Para que el sistema tenga solución única, se 
debe cumplir: 
| | 
| 
 
 
 
 | 
Aplicamos el teorema de Laplace a la 
primera fila: 
 |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 ( ) ( ) 
 
 
Por lo tanto, { }. 
 
Ejemplo 26. 
Halle el valor de para que el sistema 
{
 
 
 
 
tenga infinitas soluciones. 
 
Resolución. 
Por el teorema anterior (Parte 2), se debe 
cumplir: 
| | y | | 
para cada tal que 
 
 El determinante de debe ser cero. 
Veamos: 
 
| | | 
 
 
 
 | 
Aplicamos el teorema de Laplace a la 
primera fila: 
| | |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 | | ( ) ( ) 
 | | 
 
 El determinante de debe ser cero: 
| | | 
 
 
 
 | 
⏟ 
 
Aplicamos el teorema de Laplace a la 
segunda fila: 
 |
 
 
| 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 El determinante de debe ser cero: 
| | | 
 
 
 
 | 
⏟ 
 
 
 
 
 
 
 El determinante de debe ser cero: 
| | | 
 
 
 
 | 
⏟ 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, el valor de es . 
 
Otra forma 
Podemos aplicar el método de Gauss. 
Formamos la matriz ampliada: 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Álgebra 
 
18 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
(
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
Intercambiamos la fila 1 con la fila 3: 
 (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
 ( ) 
 ( ) 
 (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
 (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
Para que el sistema tenga infinitas 
soluciones, se debe cumplir: 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 27. 
Determine el valor de para que el sistema 
{
 
 
 
 
sea incompatible. 
 
Resolución. 
Para que el sistema sea incompatible, se 
debe cumplir: 
| | y | | 
para algún tal que . 
 
 El determinante de debe ser cero: 
| | | 
 
 
 
 | 
⏟ 
 
Aplicamos el teorema de Laplace a la 
primera fila: 
 |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
( ) ( ) 
 
 
 
 Hallamos el determinante de 
teniendo en cuenta que : 
| | | 
 
 
 
 | 
Aplicamos el teorema de Laplace a la 
primera fila: 
| | |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
| | ( ) 
| | 
 
Vemos que para se verifica las 
condiciones del teorema. 
Por lo tanto, . 
 
Otra forma 
Podemos aplicar el método de Gauss. 
Formamos la matriz ampliada: 
(
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
 ( ) 
 ( ) 
 (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
 ( ) (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
Para que el sistema no tenga solución, se 
debe cumplir: 
 
 
 
 
 
Álgebra SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 19 
 
Sistemas lineales 
homogéneos 
Son sistemas de la forma: 
{
 
 
 
 
 
 
Es decir, todos los términos independientes 
son nulos. 
 
 Estos sistemas siempre son compatibles, 
pues por lo menos admiten la solución: 
( ) ( ) 
llamada “solución trivial”. 
 
 Cuando se anula alguna ecuación, el 
sistema es compatible indeterminado. 
Por tanto, tendrá infinitas soluciones. 
 
 El estudio de los sistemas lineales 
homogéneos siempre se centrara eninvestigar si existen otras soluciones 
aparte de la trivial. 
 
Ejemplo 28. 
Resuelva el sistema homogéneo: 
{
 
 
 
 
 
Resolución. 
Evidentemente, tiene como solución a la 
trivial: ( ). 
Veamos si tiene alguna más aplicando el 
método de Gauss. 
Formamos la matriz ampliada: 
 (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
 ( ) (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
 ( ) (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
Formamos el sistema equivalente: 
{
 
 
 
 
De donde obtenemos: , y . 
Es decir, la única solución es la trivial: 
( ). 
Por lo tanto, {( )}. 
 
Ejemplo 29. 
Resuelva el sistema homogéneo: 
{
 
 
 
 
 
Resolución. 
Evidentemente, tiene como solución a la 
trivial: ( ). 
 
Veamos si tiene alguna más aplicando el 
método de Gauss. 
Formamos la matriz ampliada: 
 (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
 (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
 
 ( ) (
 
 
 
 | 
 
 
 
) 
Esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones 
Formamos el sistema equivalente: 
{
 
 
 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Álgebra 
 
20 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
Como el sistema tiene infinitas soluciones, 
se tiene que parametrizar las variables. 
 
(
 
 
) (
 
 
)
⏟ 
 (
 
 
)
⏟ 
 
 (
 
 
) 
 
Sea: 
 
Lo reemplazamos en la segunda ecuación: 
 
 
Lo reemplazamos en la primera ecuación: 
 ( ) 
 
Por lo tanto, 
 {( ) } 
 
 
 Teorema 
El sistema lineal homogéneo de orden : 
{
 
 
 
 
 
es compatible indeterminado (es decir, tiene 
infinitas soluciones) si: 
| | 
Es decir el determinante del sistema es cero: 
|
 
 
 
 
| 
 
 
 
 
 
Ejemplo 30. 
Halle el valor de para que el siguiente 
sistema tenga infinitas soluciones. 
{
 
 
 
 
 
Resolución. 
Vemos que s un sistema lineal homogéneo. 
Entonces para que tenga infinitas soluciones 
(según el teorema anterior), se debe cumplir: 
| | 
| 
 
 
 
 | 
Aplicamos el teorema de Laplace a la 
primera columna: 
 |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
Por lo tanto, el valor de es .