Cuzcano - CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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CANTIDAD DE
MOVIMIENTO
•••
IMPULSION
CHOQUES
Cuando se quiere medir el movimiento mecfmico de traslaci6n de las particulas, existen
muchas formas de abordarla; la primera de ellas y tal vez la mas sencilla 10 hicimos en el
capitulo de cinematica. EI analisis fue meramente descriptivo, abordandoladesde un
enfoque geometrico.
Las magnitudes ffsicas (asociadas af tiempo) fueron principalmente la posici6n, velocidad y
aceleraci6n. Asi, por ejemplo para un m6vil que desarrolla un MRUV.
t=t V- ..!.
A
o
t=O
hC'-'- '.
j-' "'1'-''15'
p
••
~ ~
__C,UZCANQ'----------------~
Como puede notarse la descripcion es vectorial, pero no se menciona las medidas de su
inercia (masa) 0 sus interacciones (fuerzas).
Posteriormente en el capftulo de trabajo y energfa el movimiento mecanico de traslacion 10
mediamo's asociando masa y rapidez, asf por ejemplo:
Como puede notarse en ambos casos se mide el movimiento mecanico, asociando 0 no a
su masa. Surge una interrogante (.seran las (micas formas de medirla?, iciertamente no!,
existen otras formas, y ese sera motivo de estudio en este fasc1culo.
Detengamonos por un momento; calculemos la energfa cinetica de una esferita de 2kg en
dos situaciones y analicemos :
~
o 0 0
m~
6m1s-hwi\Q
.LbMf
1 2
Ek=Zx2x6
:. Ek=36J~
La energfa cinetica de la esferita es la misma en ambas situaciones a pesar de que la
direccion de la velocidad es diferente. Sin embargo el efecto que produce sobre el coche es
difer~nte; en la situacion (I) queda en reposo, mientras que en la situacion (II) adquiere
mvvimiento.
La energfa cinetica es un rnagnitud ffsica escalar su medida es independiente de
la direccion de su velocidad.
Como el efecto producido por la esferita fue diferente, entonces surge entonces la necesi-
dad de medir el movimiento en forma vectorial, asociando su masa; esto se hara justamen-
te en este capftulo con la denominada cantidad de movimiento.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
Tambien si recordamos en el capitulo anterior, y para el caso de la figura, el trabajo y la
energia se relacionaban mediante magnitudes.
Wpersona_ W lensi6n- .6.E
AB -AB - k
Va Vf
E E ~ -
= kf ~ k
o
.. :t~~:!;.l:.......~Jt~~~.
tensi6n.l";·o( 2· 2)W =- m V -V . A I d I B
AB . - 2 "f 0.
En esta ecuacion las. interacciones y el movimiento estan relacionadas entre sf, en forma
escalar, cosa que no nos brinda informacion precisa de la direccion de la velocidad. En
este capitulo las interacciones (fuerzas 0 impulsiones) estarim relacionadas con su movi-
miento mecanico, todas exP\esadas en forma vectorial.
v.\ All.,
a ~
.
La pelotita Ilevaba una direcci6n, al
interactuar con I.araqueta, esta modifica
su direcci6n.
EI siguiente cuadra nos i1ustra caracterfsticas analogas entre las magnitudes usadas en el
capitulo de trabajo-energia y las que usaremos en este capitulo.
'" . - . -~ -
ANALISI~:$OBRE:; f, lfEDlD~,ESCALAR . I.•..MEDIDA VECTORIAL
Transferencia 0 transmisi6n Trabajo Mecfmico (W) Impulso (I)
de movimiento
IW=f·dl I I =F·T Imecanico
. Medidas del Energia cinetica (Ek) Cantidadde Movimiento(P)
movimiento mecanico IEk=~mV21 IP=mVIde traslaci6n ..
Conservaci6n de: La Energfa
La Cantidad de
Movimiento
- Trabajo - Energfa Impulso- Cantidad de
Relaci6n MovimientoWneto=~Ek TR= AP
••
_ cuziiRQ --- .AI!I
CANTIDADDE M_O\ltMIENTO (fir
Tambi~n denominado momentum, momentum lineal 0 fmpetu, esta magnitud ffsica es
usada para medir vectorial mente el movimiento mecanico de traslacion de una particula
asociada a su masa. (*)
Se define;
~~
Unidad (5.1.)
kgxm/s
~4b ~:::~::idad
(*) Posteriormente definiremos la cantidad de movimiento de un sistema de partfculas.
Denominado tambien impulsion, esta magnitud ffsica nospermite medir la accion de un
cuerpo sobre otro actuando durante cierto intervaJo de tiempo (usualmente, relativamente
pequeno). El resultado de la misma trae como consecuencia una modificaci6n en la
cantidad de movimiento de los cuerpos que interactUan.
EI impulso del bate sobre la bola sera :
Itt:Fm' )1 I
Fm : Fuerza media
ilt : Intervalo de tiempo
\
, Unidad : N-s
Si se· tiene una grafica F vs t, es posible calcular como :
I~CasliII I DE LA FUERZA CONSTANTE EN EL T1EMPO.
IIiI
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
rc.i~oI II I DE LA FUERZA VARIABLE EN EL TIEMPO.
!G~MiCa I·
El valor de Fmed. (valor media de la fuerza) no implica sea la mitad de
Fmax; esta mas bien es tal que multiplicado par ~t en la grafica (II), es
numericamente igual al area debajo de la grafica F vs t en la grafica (I).
.~
Historicamente Isaac Newton no enuncio su segunda ley, tal como 10 hemos formulado en
el capitulo de dinamica. Una traduccion Iibre del latfn a sus escritos en su obra magistral
"Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", es el siguiente :
(*) Newton usa el termino "movimiento" a 10 que hay conocemos como cantidad
de movimiento.
Es decir, si suponemas una fuerza canstante (F) actuando sobre un blaque recostado
sabre una superficie lisa.
III
~ ---- C·UZCA.Q---------------~
ma: masa inicial
V : rapidez de la partfcula
C : rapidez de la luz
Durante la interacci6n bola-raqueta, la
fuerza media de la raqueta sabre la bola se
mide:
v. P.;
o ~
---~ @';I~
~.::=----
- m~V
F :--
m ~t
:. I~T= 4I5.j
-
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPUL~Q"--~,~9UES
NotaL que la ecuacion expresa una dikrencia vectorial, donde la direccion
de "P " coincide con la direccion de V .
:<i/
~
Vo "'"
Si no hay fuerza externa (Fm = 0) entonces se concluye :
III
~ ~
-- CUZCANQ --------------------~~-
CANTIDAD"UfiJIOY'fMIENTCfPARA'UN 'SISJEMA"DE"PARTicULA~'D~'i"-t'i'
En ade/ante cuando reso/uamos ejercicios usaremos por comodidad /a no-
tacion (15)para /a cantidad de mouimiento de un sistema de partfcu/as,
115==151 +P2+P3",+Pn I
La cantidad de mouimiento de un sistema de dos 0 mas partfcu/as tambien
puede expresarse de /a siguiente manera:
15 == ffi1V I + ffi2 (V2 - VI) + ffi3 (V 3 - VI) +ffi2V I + ffi3 VI
15 == (ffil + ffi2 +ffi3)VI + ffi2 (V2 - VI)+ ffi3 (V3 - VI)
V~:Ve/ocidad re/atiua de 2 respecto de 1.
vi :Ve/ocidad re/atiua de 3 respecto de 1.
.•..
Pl\OBJr.EMAS DE APJr.I€:ACC1ION
:~:Determine :
:.:..:====::::;::..,:;,----------
El h tr d d 500 k D t . :~:a) La cantidad de movimiento que presen-coc e mos a 0 es e g. e ermme .'. . ,
I t·d d d .. t t' ta la esfera en el mstante que esta to-a can 1 a e mOVlmlen 0 que presen a. .:.
:~: edo el piso.
':' b) EI m6dulo de la cantidad de movimien-
y .
.:. to a los 2s despues que fue soltado.L 36km/h-"i.it: "",,,,,,,,,,,IP
A) 5 000 i kg x m
s
C) 3 000 i kg x m
s
E) 2000 ikgx m
s
~ m
B)l 000 i kgx-
s
:::A) -80}
:~:C) -70}
:::E) -60}
.:.
B) -50}
D) -60}
~ m
D) 2500 i kgx-
s
:::RESOWCION
:~:Analizando segeln en MVCL
RESOLUCION
Como se sabe V=36 kmIh <>10 m/s
Luego:
IAr:·
80m +M t
J at
P == (500kg)(lOi m/s)
.:. Usando :
[ ji : 5 000 ikg ,'; ] Rpla. ~
.-.. - Clave : A':'
.:.
(vl = V; + 2gh]
VJ = 02 + 2 x 10 x 80
Una esferita de 2 kg es dejada caer :~:Como g= 10 m/s2; entonces es facil dedu-
desde una altura de 80m. Consideran- .:. cir que al piso lleg6 luego de t=4s; entonces
do que reaJiza un movimiento de carda ::: a los 2s estara en "M" con rapidez :
libre y g = -1O} m/s2 :~: V
M
= 20 m/s
~ ~
-- C·UZCANO -----------------~
.:. Una esfera de goma que se dirige hacia una
:::pared, colisiona con ella y el valor de la fuer-
b) A 105 2s su cantidad de movimiento .;. za de contacto varia con el tiempo como se
sera : .:. indica. Determine el impulso de la pared a.:.
~ la pe'jv ~X<Om::5LJ.
.:.
.:.
El modulo de su cantidad de movimiento :~:
a) La cantidad de movimiento en "B"
ra :
- ..... m-;
PB =-80j kgx-
s
PM=m,VM
PM = 2x(-201)
:. (PM = 40 kg ~ Rpta. :~:
Clave: A':'===..,:.
Rpta.
Clave: D
PROBLEMA 3 :~:
Determine el modulo del impulso que pro- :~:A) -4j B) -7j
porciona un futbolista a un bal6n, si la fuer- :::D) -5j E) -sj
za media tiene un valor de SkN, durante : •
5ms. :;:RESOWCION
A) 30 B) 50 C) 70 ':' EI m~dulo del impulso se puede calcularsee
':' gu'n la grafica (F vs t).
D) 40 E) 60 '.'
.:. . F(kN)
.:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO• CHOQUES
Durante el contacto, como "F" esta hacia .:.
la izquierda : .:..:.
Fm X f.t = m (Vf - Vo )
Fm xO,Ol =0,2(20-0)
.. (Fm .= 400, N1 Rpta.
Clave: D
.:. PROBLEMA 6 Sem. CEPREUNI
.:.
PROBLEMA 5 Sem. CEPREUNI ':' Una nave espacial de 2 000 kg inicia su mo-
En un juego de Beisbol el bate de 1,5 kg :;: vimiento desde el reposo y en los dos prime-
golpea la pelota en reposo de 0,2 kg y Ie ::: ros segundos experimenta una aceleracion
comunica una rapidez de 20 mls. Si el con- .;. constante que la hace alcanzar una rapidez
tacto bate-pelota fue de 0,01 s. Determine .:. de 10 m/s. 2.Cual es la magnitud del impul-
la magnitud de la fuerza promedio actuan- :~:so (en kN -s )que recibe la nave, debido
te entre ambos. . .:. a la expulsion de 10s gases?
A) 100 N B) 200 N C) 300 N :~:
D) 400 N E) 500 N .:..:.
RESOLUCION ?
~
\l :~:RESOLUCION
\:~\.~=o / .:.
.:.:\ ~!)(: m ~ . \ .:•
..::::::.\.(" ~~ .:.
~ .:.
.:.
AT=O.Ols .:.
- Durante la interaccion aparecen fuerzas .:.
de accion y -reaccion, que por la 3ra. :~:
ley de Newton son iguales. :~:
.:. A) 20
.:.
.:. D) 50
.:.
IIIIIII
B) 30
E) 60
.:.
- EI impulso producido por el bate a la .:.
pelota se calcula as!:
~
-:-CVZCAQ
1 =~p
T =m(Vr -Vo)
T =2000(101-0)
T =2 0001
.;. Luego:
:~: F
m
x60=(600x4xlO-3)(500-0)
.:.
.;. Resolviendo:
~:.
Rpta.
Clave: B
~: PROBLEMA8 Sem.CEPRE UNI
:~:Una pelota de 0, I kg se rnueve con
:~: VI = (wi + 5}) m/s; hallar el impulso nece~
.;. sario (en N-s) para que se mueva con
Clave: B·;· - ~=== .;.V2 =-4Jrnls .
.:.
.'. A) a 9~ ~
PROBLEMA7- Sem.CEPRE UNI .;. ' A I- ~
.;. C) lOi - 9j
Un fusH automatico dispara 600 balas por :~:E ~_ 9~
minuto. Cada bala tiene una masa igual a... ) I J.
4g Y su rapidez de salida es de 500 m/s. ':' RESOWCION
Hallar el valor de la fuerza media de retro- ':'
ceso del fusil mientras se esta disparando. :;: Seglin la condici6n del problema :
A) ION B) 20 N C) 30 N :~:_~
0) 40 N E)50 N .;. ~
a:. ~~~'j ••
RESOWCION :~: 51t ../.... _.~.... ,\.
Seglin la condici6n del problema y la 30 Ley :~: ,~ t~;\(2)
de Newton, los impulsos son iguales, luego : :~: J1l) lot "f
. r-4j
~ ~ 0-2-~OOm/. :~:
~~~_.. :~:La impulsi~n=s:pcalcula como:
Me .;.
1=20 000 N-s
:.( 1=20kN-s] Rpta.
----=
B) -i-O,9}
0) i-0,9}
- El fusil dispara 600 balas en : .;.
.:.
~t = 1 min = 60 s '.'
- EI impulso recibido durante el retroceso :~:
se calcula por : .;..:.
I=Fmx~t=~V
F
m
x~t = m(Vr - Vo)
T =0,1(-4}-(lOi+5}))
T =O,I(-lOi-9})
·ID
CANTIDAD DE MOVIMIENTO . IMPULSO - CHOQUES
p.=(-1-0, 9J) N -5 )
:~:I) El cociente It-p / t-tl desde que fue solta-
do hasta un instante antes de tocar el
piso, (t-t : es el intervalo de tiempo de la
cafda) .
.:.
":' II) It-pi al to car el piso (suponer que no re-
Practica CEPRE·UNI ".'
.;. bota).
Un sistema esta farmada par tres masas: .:.
":' Considere g = 10 m/s2 .
".'
ml=O,lkg ; v1=(Zi+31)m/s
m2 =O,Zkg V2 =(4i+Z1)m/s
Si la cantidad de movimiento del sistema es .;.
P = 5i kg x m/s; determine V3 . :~:
A) (10i - 71) m/s B) (i - 7 I 41) m/s ':'
:;: A) 10 N ; 20 kgxm/s
C) (lOi - 7 I 41) m/s D) (lOi + 1,751) m/s :~:C) 10 N ; 10 kgxm/s
.:.
E) (lOi + 71) m/s .;. E) 5 N ; 10 kgxm/s
.:.
RESOLUCION :~:RESOWCION
Por teorfa sabemos : ':' Evaluemos Ia velocidad con la cual lIega la
'.'
.;. bola al piso .
.:.
B) 1 N ; 2 kgxm/s
D) 1 N ; 20 kgxm/s
P=m1V1 +m2V2+m3V3
Reemplazando sus val ores :
5i = 0,1 x (2i +3]) + 0,2( 4i + 2])+ 0,4V3
5i = i + 0,71 + 0,4 V3
.. [v, = [lOi-N;] Rpta
Clave: C :~:De :
.:.
vl =V; +ZgH
V~ =0+ZxlOx20
VB=20 m/s~
.:.
Sem. CEPRE UNI ";.
.:.
Se suelta una bola de 1 kg desde una altura .;.
de 20m. Determine: .;..:.
~__ CDZCAIfCl AIB
-I)~_cileulo de ~
Sabemos:
en el tramo AB .. :. :PROBLEMA;11, Sem. CEPRE UNI
.:.
.:. Se suelta una esfera de 2 kg desde una
.:.
.:. altura de 5 m y al impactar con el piso
• :~:recibe un impulso verticalmente hacia arri-
.:. ba de 36 N -5. (,Hasta que altura rebotara
:~:la esfera? (g = 10 m/ s2)
:~:A) 5 m B) 4,8 m
:~:D) 3,2 m E) 0,4 mConcluimos
No~ piden evaluar la fuerza en el tramo AS; :~:RESOWCION
esta com~ se sabe serfa la fuerza de grave- :~:AI soltar la esfera desde 5m de altura; esta
dad. .:. lIega con velocidad VI ..:.
Fm =mg =lxl0
:. -IAPI = ION
IAtl
1 roo
h4-o5m1
t)f. :;
~
F = ilP
m ilt
II) Ccileulo de lAP] euando toea el piso. ~:
-----.- ..--------- Por teorfa de cinematica :.:.
:~: vl =)If +2gh
.:.
.:. vf = 02 + 2 x 10 x 5
.:.
* Despues de colisionar tiene Vf = o. :~: VI = 10 mls I:
.:. Evaluamos el impulso durante el intervalo
.:. de tiempo que dua el contacto ..:.
,/I~, t~
~ ~ tF
m
AI' = m (V f - Vo )
AP = 1x (0 - r-20 1))
( IAPI = 20 kg x m/s D Rpta. (II) I =AP
T =m(Vf-VO)
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
.:. RESOLUCION
.:.
Todo vector hacia arrib~ positivo y hacia .:. Cuando un cueriJo desciende por un plano
abajo negativo. :~:inc1inado liso. .
36=2(Vz-(-1O))
Vz = 8 m/s~
Ctilculo de la altura que sube :
1 r'=o
1+-
vl =V;-2gh
OZ=SZ-2xlOxh
(h = 3,2 m)'
==&1
Clave: D :::
Un cuerpo de 2 kg, desciende sin rozamien- .:.
to por un plano inclinado 300 respedo de la :::
horizontal. En un determinado insta~te su .:.
veloci9ad paralela a la superficie inclinada :::
es 10 m/s. .:..:.
I) Determinar la magnitud de la variaci6n :::
en su momentum linealluego de tres se- .:.
gundos. (en kgxm/s) :::
II) tCual sera el m6dulo de la fuerza media :::
que produce dicha variaci6n? (en N). .:..:.
A) 15; 10
D) 30; 5
B) 20; 10
E) 15; 5
I) ~p =??
~P = m (V f - Vo)
I~pl= 2(25 -10)
[1L\p! = 30kgx~ ]
II) La fuerza que hace posible el movimien-
to es la componente de la fuerza de gra-
vedad.
~- -
It- J:·UZCAIfO .GmII
~ 1
Fmed. = 2 x 10 x "2
.. (Fmed.=10~
Clave: C :~:
I=~P
Fm x~t = m(~V)
Fmx~t=ml~vl
F
m
xO,05 = 2x5.J2
. . (Fm = 2~0v'2N)
Un proyectil de 2 kg de masa, se desplaza :~:
horizontalmente con una rapidez de 5 m/s y .:.
-en ~erto instante se Ie golpea con -una fuer- :~:rp1U)Ii'WMN 14 2do. Ex. Parcial CEPRE UNI
za F cuyo impacto dura 0,05 s. Si el pro- .:.
yectil adquiere una velocidad perpendicular :~:Una pelota de 0,2 kg de masa rebota con-
a la inicial de magnitud 5 m/s. .:. tra un piso horizontal como se muestra en
Determine la magnitud de la fuerza media ::: la figura. 'Si Va = 12 m/s y Vf = 5 mis,
aplicada durante el impacto. .;. ~Cuanto es el m6dulo de la fuerza media
A) 50.J2 N B)_lOO.J2 N :~:que recibi6 la pelota durante el rebote, si
.:. este.dur6 0,01 s? (Desprecie fa fuerza de
C) 200.J2 N D) 300.J2 N .:. gravedad) .
.:.
E) 400.J2 N .:.
Segtin la condici6n del problema, el proyec- .:.
til se desvia 900 de su direcci6n inicial man- :~:
teniendo su rapidez de 5 m/s. .:.
-:"' .•....
I~vl= ~I-Va12 + vl
l~vl = J52 + 52
l~vl= 5.J2 m/s ~
La fuerza media que logr6 modificar la ve- :~:
locidad se calcula de : .:.
~ Fm=m x I~vl
_ ~t
Ccilculo de I~vi (Par tearia de vectares)
Aplicamos el teorema de Pitagoras :
I~vl= JS2 + 122
l~vl=13m/sl_
Reemplazando _datos :
F = 0,2 x 13
m 0,01
.. (~m= 260 r:JJ Rpta.
Clave: A':'
CANTIDAD DE MOVIMI~TO - IMPULSO . CHOQUES
.:.
':'1-Pr-o-p-o-s-ic-io-'n-(-I-J (V)
'.'
.:. Si la fuerza resultante sobre una particula
.:.
.:. Entonces esta en equilibrio:
':' - 0- ~ Reposo : V=0
+.+ a-
.:. - ..........•..MRU : V=cte
.:.
P=mV =cte ~
:~:Il?roposici6n I III (F)
.:.
.:. EI momentum lineal se calcula por :
P: Oepende de la velocidad;- ade-
Senale verdadero (V) 0 falso (F) en cada :~: mas la velocidad de una particula
una de las siguientes proposiciones : :~: depende dt!1 sistema de referencia-
1) Si la fuerza externa resultante sobre una .:. desde donde se mide.
partfcula es cero, su momentum lifleal :~: _
permanece constante. ::: IPioposici6~11II1 (F)
II) El momentum lineal es una cantidad ff-
sica que no depende del sistema de refe- .:.
.:. Como puede notarse el producto de ambas
rencia respecto del cual se mida. .:..:. magnitudes no es vectorial si no un produc-
.:. to simple.::: Las proposiciones del problema seran :
III) El momentum lineal se define como el
producto vectorial de la masa par la ve-
locidad.
A) FVF
0) VFF
B)FFF
E) VW
:. (VFF J Rpta.
~(__ J:UZCAIfO -- .GD
PROBLEMA 16
Determine la verdad (V) 0 falsedad (F) de :~:
las siguientes proposiciones : .:..:.
I) EI impulso sobre una pelota es igual a la .:.
fuerza que recibe. :~:
.:.
II) Una pelota de . ping - pong que choca .:.
con un trailer'detenido Ie transfiere par- :~:
te de su momentum aI trailer. .:.
.:. F es la fuerza externa total aplicada a un
III) Una granada inicialmente en reposo ad- :~:cuerpo. Si en' e! grafico de la Figura el area
quiere cantidad de movimiento al explo- ';' total es de 2 N -s. Determinar!a fuerza
tar en mil fragmentos. :;: media aplicada al cuerpo .
.:.
•:. F(N)A) FVF B) FFF
D) FFV E) VFF
RESOLUCION
EI impulso se caJcula por :
(I =Fxt.d
(PSiS!.! = PSiSt.i = 6 )
Las proposiciones del problema seran :
:. @~J Rpta.
:;: A) 500 N B) 2 000 N C) 1 000 N
.:. D) 19,6 N E) 100 N
.:.
Por tanto, Ja impulsion es una magnitud di- .:. RESOWCION
ferente a la fuerza. :~:Por teona :
.:.
IProposici6nl III (V) .} EI area debajo de la curva F vs t nos mide el
Si el trailer esta detenido, entonces parte del :~:impulso, su valor en terminos de la fuerza
momentum de la pelota, sirve para impul- ';' media (Fm) equivale a :
sar aI trailer. :;:
.:. F(N}
Si la granada esta en reposo inicialmente, y :;:
esta explota en varios fragmentos; la canti- ';'
'.'
dad de movimiento del sistema es la mis- .:.
.;.
o .
fj;~. :
O.~02 • t(s)
,
I = Fmed. x .:1t
2 = Fmed. x (0,102 - 0,1)
(Fmed. = 1000 N] Rpta.
Clave: C
CANTIDAD DE MOVIMIENTO'· IMPULSO - CHOQUES
\
Sem. CEPRE UNI .:. IProposici6nllVI (F)
.:.
En un cierto impacto se muestra la grafica .:. La fuerza actuante va aumentando linealmente
F versus el tiempo de acci6n t, de dicha fuer- :~:hasta 10 kN (fuerza milXima)y luego disminu-
za. Determine 1a verdad (V) 0 falsedad (F) .:. ye linealmente hasta hacerse nu1a.
de las siguientes proposiciones. :~:Las proposiciones del problema resultaran :
F(103N) .:.
( VFVF) Rpta.
-
Sem. CEPRE UNI
I) En t=5 ms la fuerza vale 10 kN.
II) Todo el impacto tarda 10 s.
':.,
III) E1area achurada es igua1 a la magnitud .:.
del impulso. :~:
IV) La fuerza actuante es constante.
.:. Se muestra una grafica· F vs t, -en un cierto
.:.
.:. impacto. Entonces:
F(kN)
A) VFFF B) VVVF C) VFFV
D) VFVF E) VVW
RESOLUCION
En 1a grafica F vs t, podemos notar :
10
5 J----,
, ', ': :
: :, '
.:. I)
.:.
.:. II)
.:.
El contacto dur6 2 ms .
EI objeto impactado recibi6 10 N-s
hacia la derecha y 5 N-s hacia la iz-
quierda .
.:. III) EI impulso neto es de 5 N-s ..:.
.:. IV) El vector impulso sefiala siempre en el.:.
mismo sentido que la fuerza que 10 pro-
duce.
:~:A) VFFF B) FFFV
.:. D) VFFV E) VFW
:~:RESOWCION
:~:En 1a grafica :
.:. F(kN)
.:.
IProposicioilll 1 (V)
Cuand~ t=5 ms ; F=lO kN
IProposici6n In 1(F)
Cuando t=lO ms ; F=O; eso significa. Que .:.
.:.
e1 tiempo que dura e1 impacto es 10 ms.
10
5········~ , .
~! :(f,j, : :
: :
.:.
EI area debajo 1a grafica· F vs t mide e1 im- .:.
pulso (numericamente).
~ ~.
__ j:UZCAIfQ ----------------~
IProposici6nI I I (V) .:. A) 10 m/s B) 20 m/s
La fuerza actuo durante ~t = 2 ms , que es :~:D) 40 m/s E) 50 m/s
el intervaJo de tiempo que duro el contacto. :~:RESOWCION
. Cuando la pelota colisiona con la pared laIProposid6nI III (F) :;:
fuerza impulsiva produce un impulso cuyo
Si no indican nada respecto de la direccion .:.
.'. valor se evahla en la grafica F - t .
del vector, entonces : aSl.lmimos positiva si .;. F(kN)
esta dirigida a la derecha y negativa si esta :~:
dirigida hacia la izquierda. .:.
De la· grafica concluimos las fuerzas de 10 :~:
N y 5 N son positivas por tanto ambas van :~:
hacia la derecha. .:.
IProposici6nlmi (F) :~:
EI impulso neto se evallia mediante el area. :~:
I = area = A .:.
I=lxlO+1x5
.. 1=15N-s 1_
I~Pr-op-o-s-ic-i-6-n~1I-v~1(Vf
I = area
(lx10-Z)(10x103)
1=------
2
.. 1=50 N-s ~
Por teorfa : I = F m x ~t .:.
Por tanto la direccion del impulso es la mis- :~:
ma de la fuerza. .:.
(VFFV )) Rpta.
Una pelota de 1 kg de masa, choca contra :~:
una pared con una rapidez de 30 m/s. Si la .:.
fuerza de interaccion pared - pelota es la que :~:
se muestra. Determine la rapidez con la .:.
que rebota. :~:De :
~0----------1
.1' l'
-1--'
I =~P
I =m~V
T =m(Vr-Vo)
-50i = 1x (-vri - 30i)
(-50)i = (-Vr- 30)i
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
En pleno disparo, una bala de 20 g sopor- ' Segun la grafica : el impulso se calcula me-
.: diante el area "!\'.
ta una fuerza F(t)=400-(4/3)xl0St , :~:
mientras se encuentra en el canon de la pis- .;.
tola. Grafique F vs t y de la grafica calcule :~:
el modulo del impulso y el tiempo que per- :~:
manecio la bala en el canon. (F en newton .;.
y t en segundos). :~:
A) 0,6 N-s ; 3 ms B) 0,6 N-s; 6 ms :~:..,;;P..,;;Ro;;,;O;;;,;B;;;L;;;E;;;-MA;;;;;.;;.;2;;,;;2;.o... _
C) 1,2 N-s ; 3 ms D) 1,2 N-s ; 6 ms ';' Una bola de billar de 1 kg, es golpeada si-
'.'
E) 6 N-s ; 6 ms .;. multaneamente por dos tacos, de tal mane-
RESOWCION :~:ra que adquiere 200 J de energfa cinetica.
La fuerza que soporta la bala, tiene par gra- :~:Calcular el valor del impulso recibido por la
fica : .;. bola.
F(N) :~:A) 5 N-s B) 10 N-s C) 20 N-s
400 :~:D) 40 N-s E) 400 N-s
';' RESOWCION
'.'
:~:Seglin la condicion del problema :.
Rpta. ,
Clave: B ,
(F(t)=400-~xI0St )
* Si t=O =:} F=400
* Si F = 0 =:} t=3 x 10-3
I = A = 400 x 3 x 10-3
2
:. (1=0,6 N-s)j Rpta (1)
Clave: A
:;: AI inicio Ileva velocidad inicial Va' por tan- .
.;. to tiene energia cinetica :
.;. 1 2
Podemos notar ademas, cuando la fuerza .;. EK = - mVI
es nula (t = 3 xlO-3s) la bala sale del ca- :'.~: a 2
1 2
fl6n; por tanto el tiempo de permanencia :;: 200 = '2 x Ix VI
fue : +
(At=3~10-3s=3ms» Rpta. (II) :~: " VI=207l
~ ..•..
~ CUZCAIIO ----------------~
I =~p
T = m_(V f - V 0 )
Vo = 0 Rapidez antes del impulso.
Luego:
m
1=lx(20-0)kgx-
s
Como: [lkg m/s< > IN-s]
.. [I=20N-sj Rpta :~:
Clave: C :~:
.;. EI bloque se mueve por el piso con acelera-
.:. cion constante :.:.
.:. Par dinamica.:-------
FR =ma
f=ma
WN = ma
Ilmg=ma
0,3xlO = a
.. a = 3 m/s2 ~
Un bloque cuya masa es 1 kg inicia un mo- :;: Por teoria de Cinematica
vimiento rectiHneo impulsado por el golpe ::. -----------
de una barra. Si el coeficiente cinetico de :~:Tramo AB (MRUV)
fricci6n es 0,3 y el bloque se detiene des- :~:
pues de recorrer 6 m, LCual es la magnitud .:.
del impulso recibido por el bloque? (en :~:
kgxm/s) .:.
.:.
.:. Calculo del impulso con que se golpea
.:.
.:. al bloque.
k-6m~ :~:* AI inicio el bloque esta en reposo
A) 3 B) 4 C) 5 .:. (Vo = 0); luego del impuiso el bloque.:.
OJ 6 E) 8 .:. adquiere una rapidez: Vf = VI = 6 m/s
.:.
~soLua6N ~
Suponiendo que el bloque se mueve de "P\' :;:
hasta "B". .:.
~o-:- ..-----.: : TH=o.3· .· .· .
A
~d=6m~
De : vi = vf - 2 x a x d
02 = vf - 2 x 3 x 6
VI = 6 m/s I .
I=~p
T = m(Vf - Vo)
II- cuifr-••• AIII
A) 6 N-s; 30 N .:. '.PROBLEMA26' Sem.CEPRE UNl
.:.•
B) 12 N-s ; 60 N :~:Una bola de masa m=1 kg Ie transmite pOT
C) 0,6 N-s 3 N .:. fricci6n un impulso 1=10 1 N - mal bIer
.:.
D) 2 N-s 10 N .:. que de masa M=10 kg inicialmente en re-
E) 6 N-s 12 N :~:poso, como indica la figura. Si durante la
RESOWCION .:. transmisi6n del impulso "M" se desplaza
.:. 0,5 rn, GCUanto tiempo estuvieron en con-
Seg(ln la condici6n del problema; si se des- .:. tacto ambos cuerpos?
plaza sobre la superficie lisa, entonces su :~: r-"
rapidez es constante. :~: .......•............-
'~Je!iF' el'tInnaCtb. :~: j.l.=o7"
:~:A) 0,5 s B) 1 s
.:. D) 2 s E) 10 s
:~:RESOWCION
Despues del impacto
V2 = 4m => V2 = 2 m/s ~
2s
Calculo del Impulso (en la colisi6n)
.:.
.:."Graficando el movimiento del bloqueo du-
:~:rante la impulsion.
1 =AP
I=m(Vr-Vo)
1=1(-21-41) .
1=-61 N-s
.. (1=6 N-s] Rpta (l)
Calculo de Fm
1 =AP
I=M(Vr-Vo)
101=1O(Vr-0)
Vf= 1m/s
Vf= 1m/sl
6 =Fm xO,2
(Fm=30N)=-="
':' Como no precisan datos adicionales respec-
:;: to de como varia la fuerza de reaccion en el
.:. tiempo aproximaremos suponiendo que el
:~:movimiento realizado sera debido a la fuer-
.:. za de rozamiento, por tanto el movimiento
Clave: A .:. sera un MRUV.:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO . CHOQUES
d=Vprom. x Llt
d=( Vf; Vo JLlt
05= (1+0) Llt
, . 2
.. (t.t = 1~ Rpta.
Clave: B :~:
.:.
lPUBLEMA,fT Sem. CEPRE UNI .:.
Un jugador se encuentra a tiro de gol e im- :~:Calculo de I~ (Par teorfa de vectores)
.:. ~
pulsa el balon de 2 kg can una rapidez de .:.
50 m/s. Si el arquero logra desviarlo sin :~:
cambiar su rapidez, tal como muestra, de- .:.
termine la magnitud (en kN) de la fuerza :~:
p~omedio que ejerce el arquero sabre el ba- ';'
lon~ el tiempo de interaccion fue Jill s. :;:
.:.
Uf~~V=VCVO v;,
. 37'°
143 :'
.•.•.•.......
'.
..........
".
';' Usando Ley de cosenos :
'.'
:~: !LlV!=J502 +502 -~x50x50xcos37°
.:.
:~:Si cos37°=4/5
IIIVi = lOJill m/s ~
A) 20N
C) 30N
E) lOJill N
RESOLUCION
B) 20J2 N
D) 30J2 N
Fm x Jill = 2 x lOJill
:. ( Fm = 20 N)
"'=====6'
Rpta.
Clave: A
Cuando el balon impacta sabre las man as .:. £PROBI£~2li1 Sem. CEPRE UNI.:.•.•..•---=====""'-------.=;.:;.;;;;;...;;=
del golero, se produce una impulsion. :~:Una bolita se lanza desde el piso can una
III
~ 4DI--- C,UZCAIf'Q ----------------- .
velacidad de 10 m/s y bajo un angulo con .:. El cambio de velocidad se evalua por :
la horizontal de 370, A1l1egar nuevamente :~:
al piso rebota con una velocidad de 8 m/s y .:.
baja un angula con la horizontal de 300. si:~:
el choque con el piso dura 0,02 s y la masa :~:
de la bolita es 0,1 kg. Determine la magni- .:.
tud del impulso entregado por el piso a la :~:
bolita. .:. Calculo del impulso :
.:.
A) 1 N-s B) 2,006 N -s .:.
.:.
C) 1,006 N-s D) 2,012 N-s .:.
E) 10,06 N-s :~:
.:.
RESOWCION .:.
La bolita realiza un movimiento parab6lico. :~:
Cuando lIega al piso 10 hace con la misma .:.
rapidez de lanzamiento. (10 m/s) :~:
Graficamos el intervalo de tiempo en con-' :~:
tacto con el piso. .:..:.
0°r
va =-6]+8i
Va = (8i - 6]) m/s
Vr= (4-/3i+ 4]) m/s
tN=Vr-Vo
!1V = (4,-/3 ; 4) - (8 ; - 6)
~V = (4-/3 - 8F + 10]1_
I=~p
l=ml~VI
I = 0,lx~(4-/3 ~8)2 + 102
Evaluando y recordando :
m
1 kg-=lNxs
s
:. [1=1,0057 N-s ]
:~: PROBLEMA: 29
.:.
.:. El bloque de 20 kg inicialmente en' reposo
.:. esta sometido a fuerzas horizontales de IN.:.
.:. en el ler. segundo, 2N en el 2do. segundo,
.:.
.:. 3N en el 3er. segundo y as! sucesivamente
.:. hasta nN en el enesimo segundo. Hallar la.:.
.:. velocidad final del bloque .
.:.
:~:A) n(n+l)/20
:~:C) n(n+l)/40
.:.
.:. E) n(n-l)/40
.:.
B) n(n-l)/20
D) n(n+l)/80
:~:RESOWCION
:~:La fuerza sobre el bloque va aumentando
.:. en cada segundo :
.:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
"-
F=lN F=2N F=3N---
Haciendo su grMico F vs t;obt~nemos :
F(N)
* EI area se calcula suman do las areas de
los rectangulos en cada s~gundo.
A =,lxl+ Ix 2+ lx3+ lx4 + ...+ lxn
A=n(n+l)
2
T =m(Vf-VO)
n(n+l) -20(V -0)'
2 f
o ffil
Vf = 40 (0 + 1)--; I Rpta,
._~.,. --- - -..:...._~
Clave: C':'
---_.:.
.:. Se deja caer una piedra desde 10 alto de un
.:.
.:. edificio. GCual es la grMica que representa
.:. mejor el impulso debido a la fuerza
.:.
.:. gravitatoria? (Desprecie toda fricci6n del
:~:airel.
.:. Cuando la piedra es liberada, esta empieza
.:.
.:. a descender debido a la fuerza gravitatoria,
.:. la cual es constante en el tiempo ..:.
.:.
inVo=o.:.
.:. f fg.:..:.
.:. ",
.:. - .'.~tt~;
.:-
ffrms.:..:-
.:.
1.:.
.:. ~t)
.:.
.:. fg
.:.
.:-
.:.
.:.
~ •...•
__ PQZCAIIQ ----------------~
El impulso se calcula :
I=A=mg t
.;. La fuerza "F" varia en el tiempo :
:~: F(N)
(I= (~g) t) :~:
Podemos notar que el valor del impulso au- .;.
menta a medida que pasa el tiempo. La :~:
gnlfica I vs t sera : .:..:.
JzL.
.:.
Clave: A·:·
.:.
Sobre una masa de 3 kg inicialmente en :~:
reposo acrua una fuerza la cual varfa con el .;.
transcurso del tiempo como se muestra en :~:
la figura: Determine el trabajo realizado por ':'
'.'
la fuerza al cabo de 4s que demora su ac- .;.
.:.
A) 3J B) 5J
D) 8J E) 12J
RESOWCION
I =~p
Area=ml~VI
( 4 ; 2 )2 = m (VB - VA)
6 = 3(VB -0)
VB=2m/s ~
Calculo del trabajo de "A" hasta "B"
Sabemos:
M:K = wIs
EKB - EKA = wIs
1 2 F
2mVB-O=WAB
1 2 F-x3x2 =W.o2 , .-=
:. ( wis = 6JJ Rpta.
Clave: C
.:.
.:. PROBLEMA 32
. 6t=4s VB
VA=O ~--~-----:~_...-:L
1m: L.lmi .
I I I I
BOI::
1
.! Uil I I' E am'
A 8
.;. Una pelota de 0,5 kg, inflada con cierto gas;
.:.
.;. se encuentra inicialmente en reposo. Un nino
:~:Ie aplica un puntapiecuya fuerza varia en el
.;. tiempo tal como indica la grafica y 0,8 s
.:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
.:.
A) 10 N B) 12,5 N C) 20 N .:.
D) 25 N E) 50 N .:..:.
RESOLUCION :
Cuando el nino aplica el puntapie; la fuerza .:.
que acrua sobre la pelota varia en dos pe- :::
riodos : uno de deformaci6n y otro de recu- .:. iP1ibB~33 Sem. CEPRE UNI...
peraci6n. ::: Sobre una partfcula de 100 g inicialmente
Seglin el grafico : .F - t, la fuerza maxima .:. en reposo, acrua una fuerza cuyas compo-
ocurre a los 0,4 s. ~: nentes cartesian as F y F tienen el com-• , x y'
Por teoria el impulso producido por la fuer- : portamiento que se muestra en la figura.
za; 10 calculamos determinando el area de- .:. Determine la velocidad final del cuerpo in-
bajo la grafica. ::: mediatamente despues que deja de actuar
F(N) .:. E
\
despues la pelota se mueve con una rapidez .:.
de 20 m/§. Determine la fuerza maxima apli- :::
cada al cuerpo. .:..:.
* I = Area = 0,8xFmax
2
ITI =0,5x20
O,8x Fmax _ 0 5x 20
2 '
.~
::: A) (lOi + l)m/ s
~: C) (2i+101)m/s
.:.
::: E) (i+21)m/s
.:.
B) (lOi + 21)m/ s
D) 10(1+ l)m/s
~ .•...
-- C'UZCANQ ----------------~-~
:~:A) 260 ; 13
.:. 3
(. C) 260x 10 ; 1,3
:~ E) 0,52 ; 1 300
(. RESOWCION
:~:SegUn el problema :
.:. 6t
.:. ~
.:. /' ~
Sabemos que al evaluar elarea debajo la :~:
grafica F - t estamos midiendo el impulso, .:. l'
luego: : ~
Ix = 10 x 0, 1 = 1 (area del rectangulo) :~: La fuerza de oposici6n "F" varia con el tiem-
I
= (0,lx4) __02 ';' po, segUn :
y 2 ' (area del triangulo) :;: F(N)
.:.
Reemplazando sus valores : .:.
.:.
(1; O,2)=0,1(Vf-0)
Vf= (10; 2)
... ( Vf=(lOi+2J)mlS)
: "J/
:,~_._______Fy
F = (Fx ; Fy)
AI inieio, la masa tiene Vo = 0
Por teoria :
I =~P
Fx~t=m~V
(Fi<; Fy)~t=m(Vf-VO)
(Fx~t; Fy~t)=m(Vf-VO)
((Ix; Iy)=m(Vf-Vo))
Rpta. :~:
Clave: B':'===..,:.
.:. tud (en N-s) del impulso que recibi6 la ma-
:~:dera y la masa (en g) de la bala .
.:. F
.:.
B) 0,52 ; 2,6
D) 260 x 10-3 ; 1,3
terns)2 4
1--2,..--..t-2--1
"EI area debajo la grcifiea nos mide
el impulso".
Una bala que se mueve con una rapidez de :~:
600 mis, ineide y penetra en un bloque de .:'
madera, el eualle ofreee una fuerza de opo- :~:
sici6n "F" que varia con el tiempo segun se ';'
','
indica en la grafica. Si la bala sale con una ':'
rapidez de 400 m/s. Determine la magni- :~: ' ,
1= 2x100 + (100+60) x2
2 2
1=260 N -ms
(1=260xlO~3N-s) Rpta (I)
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
.:. E~ta fuerza realiza un trabajo; 10 eual haee
.:. cambiar la energfa cinetica del bloque.
La impulsion de la fuerza "F" modifieo la .:.
eantidad de movimiento de la bala. :::
I=~p
ITI = mlVf - Vol
260 x 10-3 = m~400- 600/
m=1,3xlO-3kg
.:. En el grafteo F - x :
.:.
.. (m = 1:3 g 1 Rpta (II) :~:
Clave: D·:·
.:.
PROBLEMA 35· Sem. CEPRE UNI :::
Un bloque de 6 kg es desplazado horizontal- :;:
mente sobre un piso liso horizontal median- .;....'
te una fuerza tambien horizontal que varia .:.
con "x", seglin se ilustra en la grafica. De- :;:
termine la cantidad de movimiento (en N-s) .:..:.
en la posicion x= 12 m, si el bloque parti6 .:. Tramo AB
desde x=O con una velocidad de 2i m/s. .:. -----.:.
F(N)
10 -------------i
M:K =W%s
EKB - EKA = area neta
1 2 1 22mV,f -2mVo =A1 -A2 +A3
.:.
.:. ~ x 6 x Vf2 - ~ x 6 x 22 = 3 x 2 - 4 x 7 + 6 x 10
.:. 2 2
.:.
A) 5,/6 i
D) 10 i
B) ,/6i
E) 10,/6i .:. La cantidad de movimiento en x= 12 se eal-
:;: cula par :
.:.
EI bloque es desplazada desde x=O hasta .:.
x= 12 mediante una fuerza variable. .:..:.
Pf=mVf'
P- -6!J° ~f- -1
3
Si la velocidad media entre dos puntos es .:....
igual a la velocidad instantanea, entonces .:.
se trata de un M.R.U. :~:A)
.:.
.:. C)
:~:E) (-V2 )N-s
:~:RESOWCION
:~:Evaluemos la velocidad en B :
Rpta. .:.
Clave: E :~:
PROBLEMA 36,
La velocidad media de una particula :~:
(m=10 kg) en 10 s de movimiento es igual .:..:.
a su velocidad instantanea. Calcular la .:.
magnitud de su cantidad de movimiento en :~:
el 5to segundo. Si se desplaz6 130 m en los .:.
2 segundos iniciales, en forma rectilfnea. :~:
A) 550 N-s B) 560 N-s ?.:.
C) 250 N-s D) 350 N-s .:.
.:.
E) 650 N-s .:.
.:.
RESOLUCION .:.
La rapidez constante con la cual se mueve .:..:.
es : ?
v=i= 130 =65
t 2
V = 65 m/s 1_
Luego : :~:
En el 5to segundo tiene la misma veloci- .:.
. dad, por 10 tanto : , :~:
P=mV
P=mV
P = 10x65 kgxm/s
:.' (P=650 ,N3 Rpta.
Clave: E
La argolla de la figura se ,suelta desde A y
cae debido a su peso de 5N a 10 largo del
aro verticalliso. Calcule la cantidad de mo-
vimiento en B. (g = 10 m/s2)
y
A
B) 2i N-s
D) -2i N-s
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO- CHOQUES
PROBLEMA 38 Sem. CEPREUNI .:.
.:. Nos piden el impulso desde A hasta B.
Un proyectil de 1 kg se lanza con una rapi- .:.
dez de 5 m/s formando un angulo de 53°. :~: T = AP
Calcule el impulso de la fuerza gravitatoria :~: T = m (VB - VA)
desde que el proyectil aIcanza su altura .:.
maxima hasta que Begue riuevamente al:~: T =1 (3i - 4] - 3i)
piso. Oesprecie resistencia del aire (dar res- .:. - A m
. .:. I =-4j kgx-~
puesta en umdades kg· m/s) .:. s
.•:.
y .) Luego, su m6dulo sera :
.:. -----:. ~=4k9~]
Como no hay rozamiento; por conservacion
de la energfa mecanica :
EMA = EMB
EpA = EKB
mg (2R) =.!x mV~
2
VB =.J4xlOxO,1
VB = 2 m/s ~
La cantidad de movimiento en "B" sera :
Rpta. .:.
Clave: C :~:
A) 5
0)2
B)4
E) 1
.:. RESOLUCION
:~:En el movimiento parab6lico realizado des-
.:. componemos la velocidad inicial.
.:.
.:. Por teorfa, la rapidez de salida es la misma
.:.
.:. con la que llega.
Rpta.
Clave: B
.:.
.:. Una esferita de 1 kg de masa es soltada en
.:. el extremo A de una superficie semicilfndrica.:.
~ ~
---- J:·UZCANQ ----------------~
lisa de radio R= 1 m, tal como muestra la .:.
figura. Determine el impulso (en N-s) sobre ':'
la esfera al ir de B hacia C. (g = 10 m/s2) :~:
A 1m v
"""'A"" ~~.~~::~'-'-' :~:
7°' ....;-... .:.
i J!j C .:.
~>. i .:.
B' : .:.
A) 2.J7· B) 3.J7
D) s.J7 E) J26
RESOLUCION
Para calcular el impulso es necesario calcu- ':'
'.'
lar las velocidades en Bye. .:.
.:.
(N.R: Nivel de referencia) ':'
.:.
* hI =0,8 m
* h2 =0,6 m
Por principio de conservaci6n de la energfa :::
mecanica. .;.
I) EMA = EMB
Tomando de referencia "NRI "
~ +EpA =EKB + ~
1 2
O+mghl ='2mVs
lOxO,8 = V~2 .
VB = 4 m/s~
'Usando el nivel de referencia "NR2 "
~ +EpA = EKe + ~
1 2O+mg h2 =-mVc +02
V210xO 6 =~, 2
Vc = 2J3m/s ~.
••/~" ••'://' Vc
VB
····Ii
?S;;':'!1iJ.
, '.
,/. .•. .
,/ "f?'
• C'
~Ih
............."
tl
.:.
l~vl=~(2J3t+42
.:.
.:.
.:.
.:. I~vl=4.J7 m/sL.:.
.:.
..-- -~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
I=m!LlVI
I = 1 x 4J7 kg x mls
* \70=(22 ;-4)mls
- Fmed. = (-400 ; 120)N
ilt = 3xlO-3s
( 1=4J] N-s ]] Rpta. :~:
.•..•."""""'''''''''' ..••••..,..,.,..,...,g.. ':'" m=0,06 kg I
Clave: C.:. ---I-
:~:Calculo de impulso
Sem. CEPRE UNI .:..:.
Una pelota de tenis de 0,6 N tiene una velo- .:.
cidad V = (22i - 41) m/s antes de ser gol- :~: T = (-400 ; 120) x 3 x 10-3
peada por una raqueta, la eual apliea una: [ ]'
fuerza F=(-400i+1201)N. Eltiempode :~: :.I=(-1,2;O,36)N-s Rpta. (I)
eontaeto es de 3 ms. .;. C 'I I d I I id d fi I.'. a cu 0 eave oc a ma
_ I) (.Que eomponentes "x", "y" tiene el lm- .;.
pulso de la fuerza aplicada a la pelota ';' De : I = ilP
'.'
de tenis? (en N-s). .:..:.
II) (.Que eomponentes tiene la veloeidad fi- .:.
naI? (en mls). :::Reemplazando sus valores :
A) (1,2; -0,36) ; (2; 10) :~ (-1,2; 0,36) = 0,06(\7f -(22 ; - 4))
B) (1,2; -0,36) ; (-2; -10) .:. -
C) (-1,2; 0,36); (42; 10) ::: (-20; 6)= Vf-(22; -4)
.:. -------
D) (-1,2.; 36) ; ~2;~) ::: ~'. (~f= (2; 2) m/s] Rpta. (II)
E) (-1,2,0,36) , (2,2) .:. ••••••••••••••""""""•••••••~ Clave: E
.:.
RESOWCION
Esbozando el grafico :
~
.:.
.:. EI tubo Iiso mostrado tiene la forma de pa-
::: ra-bola de ecuaci6n y = x2, ubic?do en el
.:. plano vertical. Una masa ~'m" ingresa por
::: B y sale por A con VA = 3..[5 (i + 21) m/s.
::: Si el impulso recibido es J65 N x s. ('Cal-
::: eule el valor (en kg) de la masa?
::: (g = 10 mls2)
III
VIm)!
0-.: ,:·<_.__. L ~
: 1 X(m)
A) 1 kg
D) 0,2 kg
B) 5 kg
E) 0,5 kg
y = x2
si
X =1 ==> y=l m
.. [h=lm]
Ademas:
VA= (3../5 ; 6../5) mls
VA=~(3../5)2 +(6../5)2
VA = 15 m/s~
Par canservacion de la EM
EMs = EMA
121 2. -mVB =-mVA +mgh2 2
2 2 .
VB = 15 + lOx1
2 2
VB = 7../5 m/s~
.:. I =~p.:.
.:. I =m~V.:.
.:.
T =m(VA -VB).:.
.:.
T ='m((3../5 ; 6../5)- (7../5 ; 0)).:.
.:.
.:. T = m (-4../5 ; 6../5).:.
.:.
I = m~(-4../5)2 + (6../5t.:.
.:.
.:.
1= mxZ../5 x13.:.
..[65 = m x 2../5 x.J13
.. (m = 0,5 kg] Rpta.
Clave: E
.:.
.:. Una masa de 100 g realiza un movimiento.:.
.:. circunferencial con una frecuencia de 4Hz.
::: Conociendo que en t=O s. La masa esta
.:. pasando ppr el punta A de la figura en senti-
::: do antihorario, determine el impulso que ac-
';' ilia sobre la masa durante los 1/16 s iniciales.
'.'
.:. ~Que fuerza media ejerce el impulso?
::: Dar respuesta en kg ~ y N, respectivamen-
.:. te.
~ y
::: A) -0, 8n (i + 1) ; - 12,8n (i + 1)
:~:B) 0~8n(i +1) ; 12,8n(i +1)
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
C) -0, 41t(i + J) ; -6,41t(i+ J)
D) 0,41t(i+J); 6,41t(i+J)
E) -0,81t(i+ J) ; 12,81t(i+ J)
.:.
RESOLUCION .;. . .
La partfcula realiza un M.C.U (f=4 Hz); su :~:
rapidez lineal se calcula por : .;.
.:.
.;. PROBLEMA 43
Rpta. (II)
Clave: A
.:.
.;. La posicion de una partfcula de 3 kg que se
V = 81t m/s ~ .;. mueve sobre una recta esta dad a por :
Si f=4Hz, entonces T = ~ = % s ::: X(l) = (3t2 - 9t + 12) m
Luego : en 1/16 s habra recorrido 1/4 del :~:Calcule la magnitud (en N-s) del impulso
arco de circunferencia. .;. que recibe desde que inicia su movimiento
y .;. hasta el instante en que haya ejecutado un
:;: desplazamiento cera.
~ A) 42 B) 46 C) 50
.:.
~ D) 54 E) 58
:;:RESOWCION
.:.
.;. Recordando cinematica :
.;. Si la ecuacion del movimiento de una parti-
.:.
.;. cula es :
I:N=VB-VA
L1v==(-vi-VJ)
L1V == -81t (i+J) l
Ccilculo del impulso
EI cambio de velocidad entre ''/\' y "B" es: .;.
:~:Haciendo analogia con :
.;. V 1 2
.;. X(t) == Xo + ot + 2at
.:.
X(t) == 3t2 - 9t + 12
x(t) == 12 - 9t + 3t2
I ==L1P
I= mL1V
I == (10-1)[ -81t(i+J)]
.. (I ~ -O,81t(i + j)kg : I
••...•cu~ .GmI!
Nos piden evaluar el impulso desde que ini- .;.
cia el movimiento (en X= 12 m) hasta cuan- .;.
do vuelve a pasar por el mismo pun to. :;:
(Equivalente a decir que su desplazamiento .;. II) Para 10:-:;t < 12 ; F=6
es nulo). :;: III) Para 12:-:;t < tf
Luego : I i1P .;.= .;. El valor de "F" ira disminuyeno desde F=6
I = mi1V .;. hasta F=O ..:.
"I=m(Vf-VO)
r = 3 x ( 9i- (-9i))
A m
I =54i kgx-
5
I = 54kg x m/s
:. ( 1=54 N-s J .:.Rpta. .;.
Clave: D·;·
.:.
.;. Por dato .:
Sem. CEPRE UNI .~'.' Por teorfa, el impulso se determina calcu-
~obre un bloque acrua una fuerza F (en N) ~: lando el area debajo la curva F - t .
variable en el tiemyo "t" (en 5) 5egUn : :;: -AI +A2 + A3 + A4 = I
{t - 4 si 0 :-:;t < 10 :;: 4 x 4 6 x 6 2 6 6 x (tf -12) _ 40
F= 6 si 1O:-:;t<12 .;. --2-+-2-+ x + 2
.:.
f si 12:-:;t < tf .;. Resolviendo:
Si luego de 12 5 la fuerza di5minuye :~ tf = 18
Iinealmente hasta anularse, y consideran- .;.
do que el impulso resultante es de 40 N - 5, :;:
determine el valor de "f" (en N) cuando .;.
t=17,0 s. :;:
A)1 B)2 C)3 :
0)4 E)5 ~.:.
RESOWCION .;•.;.
Para realizar la grafica F vs t establecemos ~
105 puntos crftic05 en 105intervalos de tiem- :~
po mencionad05. :;:
I) Para 0:-:;t < 10 ; F =J - 4
si t=O => F=-4
si F=O
si t = 10 =>
=> t=4
F=6
.;. Entonces :.:.
•;. F(N)
EI valor de "f" cuando t= 17 5 5e calcula en
la recta desde 12::;;t < 18 .
F(N)
6 f
Por semejanza de triangul05: 6 = 1: .
:. (f = iN ) Rpta.
. Clave: A
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO . CHOQUES
CENTRO DE MASA
Tambien conocida como el centro de inercia. EI centro de masa de un sistema de partfcu-
las, nos indica la ubicacion dellugar 0 punto definido respecto de un sistema de coord ena-
das; donde en forma real 0 hipotetica se situa la masa del sistema, que a su vez esta
relacionada con parametros como su posicion, velocidad, aceleracion, etc.
Para entender mejor definamos un sistema de partfculas discretas.
La posicion del centro de masa (7CM) se definira :
n
2: miri
- _ i=1
rCM --n--
Imi
;=1
~celeraci6n del centro de masa (itCM)
Suponiendo que cada partfcula presenta cierta aceleraci6n, entonces para el sistema se define :
La cantidad de movimiento del sistema de partfculas, es la misma de la cantidad
de movimiento de su centro de masa.
IpCM=p;]1
I~CM=P~brt~t~·+pJJ
Si en un sistema aislado de particulas no aciUanfuerzas ex:ternas, entonces se cumple :
It!tM2?c§~1
Si en un sistema aislado de partfculas no actuan fuerzas externas e individuales su
VCM = 0; entonces se cumple :
Las propiedades anteriores las usaremos con frecuencia, establecida el principio de
conservaci6n de la cantidad de movimiento.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
PROBLElMAS DE AP~leACION
PROBLEMA 45 Sem. CEPRE UNI .:. tienen su centro de masa ubicado en :
D 'I d 2 k :~: I' = (4i + 61) mos parhcu as e masas m1 = g y .:.
m2 =3 kg estan en 105 puntos (0;1) y ::: Determinar las masas de las partfculas si la
(-1 ; 0) respectivamente, Hallar la posi- .;. sum a de ambas es 6 kg.
cion del centro de masa. :~:A) m1 = 1 kg ; m2 = 5 kg
A) (-3/5; 2/5) B) (3/5; 2/5) .:.
.:. B) m1 = 2 kg ; m2 = 4 kg
C) (3/5; -2/5) D)(O; 0) .:.
E) (-1/2; 1/2) :~:C) m1 = 2,5 kg ; m2 = 3,5 kg
RESOLUCION :~:D) m1 = 3 kg ; m2 = 3 kg
.:.
Datos : .:. E) m1 = 5 kg ; m2 = 1 kg
.:- .
.:.
Cl
.
A':' 19ualando componentes :
ave. .:.
o 2ml+5m2=24
.:.
Sem. CEPRE UNI .:. 2ml + 8m2 = 36
.:. -------
Dos partfculas ubicadas en : :~: 3m2 = 12
.:- ? = 41
1'1=(2i+21)m y 1'2=(5i+81)m :~: m~
,~ 'Masa ' c 'Posicion
2kg (0; 1)
, ~kg (-1; 0)
De la relacion :
- mlrl +m2r2
rCM =
ml +m2
Reemplazando datos :
_ 2x(0; 1)+3(-1; 0)
r -
CM - 2+3
_ (0; 2)+(-3; 0)
rCM =
5
- (3 2J'reM = -5; ~ Rpta.
:~:RESOWCION
:~:De la relacion anterior:
(4; 6)= ml(2;2)~m2(5;8)
(24; 36) = (2m1 ; 2ml)+ (5m2; 8m2)
(24; 36) = (2m1 ; 5m2; 2ml + 8m2)y I =r
IDI
2mI +Sx4 = 24
ml = 2 ~
mt = 2 kg
m2 =4kg
"====~
1~i't1td~JJ :~:
Podemos notar que la distribucion de las 9 .;..:.
partfculas denota simetria respecto de la .;.
bisectriz deXOY; ademas que las masas son :~:EI centro de masa del sistema de partfculas
identicas. .;. que se muestra en la figura, formado por :
Por tanto la ubicacion del centro de masa :~: ml = 2 kg ; m2 = 6 kg ; m3 = 2 kg y el
del sistema estara en su centro geometrico, :~:C.M. se encuentra localizado en el pun-
es decir en: (a, a). :~:to (2 ; 2) .
.;. ('Cual es la distancia (en em) desde la posi-
:~:cion de m4 hasta el eje Y? (C.M : centro de
:~:masa).
Sem. CEPRE UNI .;....
Encontrar la posicion del centro de masa :~:
del sistema mostrado. Todas las masas son .;.
identicas. :~:
2a ------(>------€1)
, .· .· .
a ------~------~, ., ., .· .· .· .
A) 3a(i+ 1)
C) a(i + 1)
E) (9a/8)(i+ 1)
RESOWCION
B) (i + 1)
D) 2a(i+ 1)
mIl'! = m(O ; 0)
m2r2 = mea ; 0)
m3r3 = m(2a ; 0)
m4r4 = m(O ; a)
msrs = m(a; a)
m6r6 = m(2a ; a)
m7r7 = m(O; 2a)
msrs = mea ; 2a)
m9r9::::::m(2a ; 2a)
.:.
.;. Luego:
.:.
_ m(9a ; 9a) t~(a; a)
reM = 9m - t~
m.a
4 -----------------------0
____________Qm3 i
m1 ::0_-----2 : :
I ::, ", ", "• I.,
: : I
A)4cm
D) 5,4 cm
B) 5,6 cm
E) 6m
RESOWCI0N
Datos:
masas (m)
ml = 2 kg
mz =6 kg
m3 = 2 kg
m4=m
* Lm =10+m
posicion (r)
1\=(-2;2)
rz=(O;O)
1'3=(3;3)
r4=(a;4)
* rCM = (2; 2)
De la relacion :
- _mlrl+mZrZ+m3r3+m4r4
rCM - Lm
(2; 2)= 2(-2; 2)+6(0; 0)+2(3; 3)+m(a; 4)
10+m
Luego:
(1O+m)(2; 2)=(am+2; 10 +4m)
T - -------r-Igualando componentes :
(1O+m)x2=10+4m
20+ 2m = 1O+4m
m=~
(10+5)x2=ax5+2
.. a=5,6~
.:.
.:. En el grafico inicial podemos notar que la
:~:distancia desde la posicion de m4 hasta el
.:. eje Y sera :
.:.
.. (a=5,6cm)1 Rpta.___ =!J
Clave: B
:~:PROBLEMA 49
:~:Se tienen 4 partfculas de masas iguales
';' a m. Dispuestas sobre la recta y=2x tal
'.'
.:. como muestra la figura. Halle la posicion
:~:del centro de masa.
:~:A) (3 1+ 5 1)
.:.
::: C) (21+41)
.:.
:~:E) (3 1+ 6 1)
B) (2,51+ 2,51)
D) (2,51+51)
.:.RESOWCI0N
.:.
:~:IMetodol I I
:~:La recta donde estan ubicadas las partfcu-
.:. las tiene por ecuacion: y=2x
.:.
.:. Luego, tabulando :
.:.
CITIIITIIIJ
~
~ ....•
II- C·UZCANO ----------------~
.:. Hallese la posicion del centro de masa para.:.
.:. el sistema dado, si :
:~: ' m1 = 2m2 = m3 = 4m4 = 4ms
.:. Z(m)
.:.
.:.
_ (1;2)+(2;4)+(3;6)+(4;8) .:.
rCM = '4 .:..:.- _(10;20J ~
rCM - 4 .:.
---"--------., .:.
:. (rCM = (2,5l + 5i)m) Rpta. :~:A) (5/61+ 2/3J + 1/3k)m
IMeto~611I·1-..- ...=- :~:B) (5/61+2/3J+1/2k)m
El C.M para dos partfculas identicas, se de- :~:C) (2/31 + 51 6J + k) m
fine en un punta equidistante a ambas. :~:D) (2/51 + 2/3 J + k)m
O···············~~~·······_--------O :~:E) (wi + 8J + 6k) m
t---d I d-----l .'. •
.:. RESOWCION
Como puede notarse el sistema presenta si- .;. Para ubicar la posicion del C.M. del siste-
metria. Tomando las masas dos ados es :~:ma, primeramente ubiquemos la posicion
faci! de deducir': .:. de cada masa :
.:.
m m C.M. m m
0-------0-------·-------0--- .. ·--0
I--d-+-d/2-+-d/2-f-d----i
Es decir en la figura esta corresponde a :
VIm)
1 2t3 4
2.5
(rCM =(2,5 ;5)1}
~==-~
Rpta. .:.
Clave: D':'~~~"'".:.
.:. Si
.:.
.:.
.:.
.:.
.:.
.:.
.:.
.:.
.:..:..:.
.:.
.:.
.:.
';' De los datos :... _-----
ms =m=>m4 =m
m2=2m
Masa
(1!',) .
1. 4m
2. 2m
3. 4m
4. m
m
(0;0 ;0)
(O;0;6m)
(8m;0;0)
(2m;4m;0)
Una partfcula de 5 kg tiene una velocidad :~:
VI = (2i - 31) m/s, otra partfcula de 3 kg :~:
tiene velocidad V2 = (lOi-51) m/s. En- :~:A) (5,5i+1O,51)m
cuentre la velocidad del centro de masa. .:.
( ~~) (~~) '.::'.C') (l1i+2{J')mA) 7i-4,25j m/s B) 5i-4j m/s
C) (3i+5,251) m/s D) (5i-3,751) m/s :~:E) (1O,5i+5,51)m
E) (8i - 3,751) m I s :~:RESOWCION
':' Evaluemos primeramente la posicion de
RESOWCION :;:cada partfcula en t= 10 s.
La velocidad del centro de masa del siste- .:.
::.: I Mavil I A I
ma de dos partfculas se calcula de :
:~:Si : V = 1 m/s
:~: d=lOm~
_ (10m ; 8m ; 6m)
rCM=
12m
)'1'\ (10 ; 8 ; 6)
12)'1'\
(5~ 2~ 1~)
rCM = -i+-j+-k m
6 . 3 2
.:.
Clave: B·:·
-V m1V1 +m2V2
CM =
m1 +m2
Reemplazando sus datos :
V _5x(2;-3)+3(1O;-5)
CM - 5+3
VCM= (10 ;-15)+(30 ;-15)
8
V-(40 ;-30)
CM =
8
(VCM = (Si-3,7SJ) m/S)
:::::azm~:n:t:uz_~_
:~:Dos partfculas forman un sistema aislado y
.:. se encuentran en las posiciones mostradas
:~:en el grafico. Halle la posicion del centro
.:. de masa al cabo de 10 s. Considere que las
.:.
.:. masas son iguales.
.:.
B) (5i+101)m
D) (21i+ll1)m
.. La posicion de "pt sera :
TA = i + lOi = lli ~ ,
:~: I Mavin B I
.:. Si : V=2 m/s ; el) t= 10 s recorre :
.:.
.:. d = 2 x 10 = 20 m
.:.
:~: :. Su posicion sera: TB= 21 1 1_
:~:La posicion del centro de masa sera :
:~: - mATA+mBTB
Clave: D·:· rCM= mA + mB
.:.
Masa , Ve16Cidad
ml=2 kg (4; 3) m/s
m2=2 kg (6; 1) m/s
m3=2 kg (2; 2) m/s
(rf = ra + Vt)
rl = (-2 ; 0) + (4; 3) x 2
rl=(6;6)m~
1'2 =(0; 0)+(6; 1)x2
1'2 =(12; 2) m~
r3 =(4; 0)+(2; 2)x2
r3 = (8; 4) m~
Las pamculas que se muestran en el siste- :~:
ma tienenmasa 2 kg y parten en t=O s' de ':'
'.'
las posiciones mostradas con velocidades : .:. *
VI = (4 i+ 3 j) m/s , V2 = (6 1+ j) m/s , :::
y V3 = (2 1+ 2 j) m/s. :~:*
Determine la-posicion (en m) del centro de :::
masa del sistema en t=2s. .;.
.:.La posicion del centro de masa en el instan-
.:. te t=2s es ..:. .
A) (121+3 J)
C) (26/3)1+4 j
E) (17/3)1
RESOLUCION
Seg(ln el problema :
y
B) (261-4 j)
D) (16/3)1+4/3j
_ 2(6; 6)+2(12; 2)+2(8; 4)
r - ------~-~-~
CM - 2+2+2
_ (26; 12)
rCM:;: 3
Rpta.
Clave: C
.:.
.:. Tres partfculas cuyas masas son m, 2m y
:;: 3m se mueven en el plano X - Y con velo-
.:. cidades constantes. En t=O sus posiciones
::: son las indicadas en la figura. Encuentre la
.;. velocidad del centro de masa (en m/s).
.:.
: A) (lli-4,5J)m ; (i-1,5J) m/s:~~;~v:~::~~~i:-~:B) (lli+4,5J)m ; (i+l,5J) m/s
m2=2m V2=(7;O)m/s :~:C) (lli+4,5J)m; (l,si-J) m/s
1113=3m V3= (2; 5) m/s ~:D) (4,5i - 6J)m ; (i + 1,5J) m/s
~ velocidad del centro de ~asa se calcu--:~:E) t4,5i-llJ)m ; (i+1,5J) m/s
a : .) RESOWCION
VCM = mi VI + m2V2 + m3V3 :~:Si las dos masas estan dentro de un sistem~
. ml + m2 + m3 ' :: aislado, entonces la cantidad de movimien-
.:. to del sistema (0 de su centro de masa) se..:. .
.:. conserva. La velocidad de su centro de
:~:masa se mantiene constante y se calcula
VCM:: (4; 3)+(14; 0)+(6; 15) ~:por:
- 6 .:.
VCM = (24; 18) :~:
6 . ~
.)
.. (VCM = (4~:~)m/S] Rpta. :~:
Clave: A :~:
X(m)
B) (4i-3J) m/s
.:.
D) (4,8i+3,6J) m/s :~:
A) (4i+3J) m/s
C) (8i-6J) m/s
E) (24i + 18J) mls
RESOWCION
De los datos del problema :
'VCM = m(4 ;-3)+2m(7; 0)+3m(2; 5)
- m+2m+3m
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
:::'PROBLEMA 55'~
:::Dos esferas se mueven sobre una superficie
.:. horizontallisa y en un instante deterrninado.:..
.:. estan dispuestas como se muestra en.la fi-
:~:gura. Hallar los vectores posicion y veJoci-
.:. dad del centro de masa 3 segundos despues
:~:de producido eJ choque. (Considere a /as
';' esferas como un sistema ais/ado)
'.'
.:. Y(m)
.:.
lkg 4m/s... ,
+2m/s
-4 ~._ ~
3kg
V _lx4i+3xZJ
CM - 1+3
( ~ (Velocidad enyCM = (i + 1,SJ) m/s~ todo instante) .
G~ _ •• =-~""'Rpta. (II)
~ ~
__ C·UZCAIfQ ----------------~
---~Hofq.-
En la figura original podemos notar fo-
ci/mente que a los dos segundos de ini-
ciado el movimiento las partfculas
colisionan; aLin as! Psist. = cte en todo
instante.
Masa Velocidad
ml=4 kg Vl=(4; 2t) m/s
m2=6m V2=(2t; -8) m/s
La posicion inicial del centro de masas se :~:La velocidad del centra de masa en cual-
calcula par : .:. quier instante sera :
.:.
_ mlrl + m2rZ .•:.
rCMo .:.
ml +mz .:.
.:.
_lxO+3x(8 ;-4) .:.
rCMo .:.
1+3 .:.
(fCMo =(6;-3)m]
.:.
.:...
.:.
VCM= _m_I_V_I_+_m_ZV_z
mi +mz
v _ 4 (4 ; 2t) + 6 (2t ; - 8 )
CM- 4+6
V _ (16+12t; 8t-48)
CM - 10
La posicion del C.M. 3 segundos despues .:. En t=.4s sera :
de la colision, significa 3+2=S segundos des- :~:
pues de iniciado el movimiento. .:..:.
Resolviendo : :~: ..
:. (fCMf = (Hi + 4~5j).:JJRpta (1) :~:
Clave: B :;:
.:. PROBLEMA 57.
Sem. CEPRE UNI .:.
.:. Tres partfculas m 1 = 2 kg, m z = S kg y
En el instante (t=O) una partfcula de masa ':' m3 = S kg se encuentran en movimiento.
!!II = 4)<g s~ esta moviendo con velocidad :;:
(
) m3
se encuentra en calda libre y mz tiene
VI = 4i + 2tj m!s y otra de masa :~:
(• ) aceleracion de (21+ 43) m/sz. Hallese la
mz = 6 kg can V z = 2ti - 83 m/s; determi- :::
ne la velocidad (en m/s); deLcentro de masa .;. aceleracion (en m/sz) de mI, si se sabe que
del sistema en el instante t=4s. .:. la aceleracion del centro de masa del con-
::: junto de partfculas es cera.
:~:A) 101- S] B) S1-IS]
.:. C) 101- 6] D) 151- S].:.
.:. E) -S[+ 15j
.:.
rCMf=(6 ;-3)+(1; 1,S)xS
A) (5,21+1,43) ~
C) (2,61+4,8])
E) (1,91 + 2,83)
B) (1,81-2,6])
D) (6,41-1,63)
V _(16+12x4;8x4-48)
CM- 10' .
VCM= (6,4; -1,6)
(~CM = (6,4i -1,6j) mlS] Rpta.
Clave: D
RESOWCION
De los datos del problema :
Y(m)
'fMasa -;0... Aaieraci6n
ffil=2 kg ??
ffi2=5 kg (2; 4) m/s2
ffi3=5kg (0 ; -10) m/s2
(0; 0)= 2al +5(2; 4)+5(0; -10)
2+5+5
(0; 0)=2al +(10; -30)
al=(-5;15)
.. ( al = (-51 + 151) m/s2 ]
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
:~:locidad de (-8i + 20] ) m/ s. Determine la
.;. velocidad del centro de masa 2s despues del
';' disparo.
:~:A) (2,8i+2])m/s B) (-2,8i-2])m/s
:~:C) (1,4i-])m/s D) (-1,4i+])m/s
:~:E) (-2,8i+16])m/s
:~:RESOWCION
.:.
.;. Seglin la condici6n del problema :
.:.
~. Vt
·.....~Ojt 15~/~~... t./
----~'~~ :;:'\:-----
-8r I' om, sf
100m
:~:Datos:
m1 = 2 kg
m2 =3 kg
Ambas partfculas Ilevan la misma acele-
racion :
~ A m
.;. a=g=-lOj -
_:. 52
Rpta. :~:Calculo de la5 velocidade5 de la5 particula5
Clave: E';' en t=25.
- :~:De: [-V-f-=-V-O-+-a-t)
PROBLEMA 58 Sem. CEPREUNI .:.
Desde 10 alto de una torre de 100 m de al- :~:-I M-o-'vt-'I-/I-I
tura, 5e disparan 5imultaneamente do5 par- :~:
tfculas una de 2 kg con una velocidad de .:.
(5i+151 )m/5 y otra de 3 kg con una ve- :~:
.:.
V1 = (5i+15])+ (-101) x 2
V1 = (5i-15]) = (5 ;- 5) m/5L
~ ~
_pUZCA •• ----------------~
IM6vul21
Vz = (-8i + 201) + (-101)(2)
Vz =(-81)=(-8; 0) ITl/s~
La velocidad del centro de masa se calcula :~:
por: ~
,......--~=--'""""":=-"' .:.
PCM = PI + Pz
.:.
.:. Reemplazando sus datos :
.:.
VCM = 2(5 ;-5)+3(-8; 0) :~:
2+3 .:.
.:. PROBLEMA60 Sem.CEPRE UNI
VCM = (-14; -10) :~:Una partfcula de 2 kg tiene una ac;re-
______ 5_____ :~:raci6n al = (3t i - 3 1) m/sZ y otra parti-
:. ( VCM = (-2,81 :-2j) m/S)) Rpta. :~:cula de 3_kg se Amueve con velocidad
-...."""'",...""""="""'''''''''''''''''''''''''~Clave: B·;' constante VZ = (2 i) m/s. Encuentre la ace-
.:' leraci6n del centro de masa del sistema en..'
~. . . .:. t=2s
PROBLEMA59 Sem.CEPRE UNI.:. . A A
La cantidad de movimiento del C.M. de dos :;: A) (1,2 i - 0,6 j) m/sz
particulas
antes de irripactar es .~.B) (2,4 i-I, 2 1) m/sZ
PCM = (5J + 121) N x s. Si despues del cho- :~:C) (4,8 i - 2,4 ]) m/sz
que la c~ntidad~ de ~ovimiento de u~a de :~:D) (2,4 i -0,8]) m/sz
ellases PI=(31+4J) Nxs. Determmela.:. E) (24i-16':)m/sz
cantidad de movimiento de la otra. (Consi- .:. ' , J
dere al sistema de partfculas como un siste- ';' RESOWCION_ v
ma aislado). .:. Seg(In leisdatos del problema, podemos no-
A) (i + 1) N - s B) (3i + 41) N - s :~:tar que la partfcula de 3 kg se mueve con
C) (2i+8]) N-s D) (5i+12}) N-s :~:v~!ocidad constante; por tanto su acelera-
(A A) . CIon es nula.
E) 5i+8j N -s .:.
.:. Luego:
RESOWCION .:.
Teoria:
En un sistema ais/ado /a cantidad de mo-
vimiento de/ centro de masa se conser-
va.
(-p-s-;st-. ----P-C-/1-=-P-I
-+-P-z-+-.-
..-+-P-n-)
Masa Aceleraci6n
ml=2 kg a1=(3t ;-3) mlsz
mz=3 kg az=(O ; 0) mlsz
.:. La aceleraci6n del centro de masa se calcu-
.:. la:
.:.
2kg ~ 3kg ~.......~ -e-.:- .
CANTIDAD DE MOVIMIENJ:0 - IMPULSO - CHOQUES
.:.Ademas del dato :
• -1·.:. V2 = 50 i.:.
6V2 - V2 =50 i
V2 = 10 i m/s ~
("CM = 30 i m/s) Rpta .
Clave: C
A} wi m/s B} 20i m/s C} 30i m/s
.:.
~.
D} 401m/s E} 501m/s
.:.
8.:. X
RESOWCION
.:. I •
.:. d
_ 2(3t ;-3)+3xO :~
aCM= . 2+3 .:.
.:.
aCM= ~ (3d - 31) m/s :::
En t=2s sera: :: En (l) :.~
aCM= ~ (3 x21- 3) m/s ~:
---------- .:.
.. (itCM = (2,4 i-1,2 j) m/~ Rpta. : ~~~~~.
Clave: B ·:·PROBLEMA 62. Sem. CEPRE UNI
~: La figura muestra la posicion en t=O s de
PRO.~ Sem. CEPRE UNI : dos particulas con masas ml = 1 kg ,
. , ~. m2 = 2 kg que se estan moviendo a 10 lar-
En el sistema se muestran dos parhculas .:. d I . X 5' I .. , d I 't d. ..~ go e e]e . I a pOSICIOne cen ro e
de 2 kg y 3 kg de masa. 51 I~ velocldad -:-masa en cualquier instante posterior "t"
relativa de 1 respecto de 2 es 50i m/s. De- :::esta dad a por xCM= 0,333 + 0,667 t (m) :
termine la velocidad del centro de masa .:. h II I I'd d d I C M I(-). - - : a ar a ve OCIa e . . y a separa-
VCM asumlendo que VCM= 3V2· ; cion inicial (d) de las partfculas (en m/s y
.:. "m" respectivamente).
~.
mt
Segtin los datos del problema :
... ~O ~ n~.m
~=2kg m:z=3kg
.:.
.:. A}0,667 ; 0,333
::: C} 0,667 ; 0,5
:~E} 0,333 ; 0,48
:::RESOWCION
::: Las masas m1 y m2 !levanvelocidades VI
.;. y V2·
B}0,333 ; 0,5
D} 0,667 ; 1,0
.EfI
~ ~
-- C,UZCAN!I ----------------~
Pew la posicion del centro de masa a medi- .:. Ai (4/9 , 4/9) £
da que pasa el tiempo esta dada por : :~:C) (2/9,2/9) £
xCM =?,333+0,667t ... (I) :~:E) (1/9,1/9) £
Es decir : .:. we1 .N
.:. RESO 0
xCM = xCMo + VCM x t ... (II) .:.
.:. El eM. de una lamina triangular homo-
19ualando terrninos en (I) y (II); concJuimos: ::: genea esta en su baricentro (G).
-------
:. (VCM = 0,667 m/S] Rpta ([) :~:
La lamina cuadrada de lado " £ " y espesor .:...•
"e" pequeno, esta farmado por dos mitades .:.
triangulares iguales A y B. Conociendo que :::
las densidades se relacionan - segun .:.
'..
PA = 2PB' <.Desde donde se debe suspen- .:.
.:. *
der esta lamina para que quede en posicion .:.
horizontal? .:.
Y(m) ::: Las masas de cada placa esta~ relaciona-
.:. dos par :
.:.
.:. mA _ PAxvolA _ (2PB)xareaxe
:~: mB - PBxvolB - (PB)xareaxe
Ademas, si :
xCM = 0,333 m (Posicion iniciat del·:·
a centro de masa) .:•.:.
.. (d ""0:5 m) Rpta. (II)
.:.
Clave: C·:·
~
~.
B) (2/3,2/3) £
D) (3/2,3/2)£
En el ~, se cumplen las relaciones de
10s segmentos indicados .
.:.
.:. Ubicando los C.M. de los triangulos rectan-
.:. gulos .
.:.
* r =(4£ . 4£)
B 6' 6
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO . CHOQUES
EI lugar desde donde se de be suspender la .:. Para un bloque cubico :
planeha y permaneee en equilibrio, es en Stl ::: v
centro de masa (C.M.) luego : .;.
fCM = 2mB(¥ ; ¥]+mB(T; ~)
2mB+mB
Resolviendo :
rCM=(~;~)l
1
5cm ,1
..',~....
.> Ubiquemos ahora la posicion del C.M. en
~: los ejes X e Y
.> y
.:. Para mayor facilidad,
dividimos el conjunto
en tres bloques .
.:.
PROBLEMA 64, Sem. CEPRE UNI ,.
Un nino dispone de bloques eu.bicos de 5 em ~:
de arista heehos del mismo material forman- .>
do la figura que se muestra, sobre el piso :~: X
horizontal. Deternine la posicion del cen- ~: Luego :
tro de masa del eonjunto de bloques. .:. - _(5 . 15)' - -(10' 5) - -(425' 5).;. rl - - , ,r2 - , - . r3 - ,,-
y .:. 2' 2 ' 2
...... - .
..... ...1 I
X
A) (14; 18,3; 5) em
B) (16; 8,3 ; 3) em
C) (19; 9,2 ; 2,5) em
D) (19; 8,3 ; 2,5) em
E) (19; 18,3; 2,5) em
RESOLUCION
.:.
.;. Las masas senin :
.:.
.:. _ ml = 6m ; m2 =:= 2m m3 = 5m
.;.
.:.
.:. r = (247,5; 107,5) =(190' 83)
.:. eM 13 '-J.-,J , .....;.....
.:. rx ry
.:. .. Finalmente la posicion del centro de masa
Podemos observar que 10sladrillos estan eo- .:.
.'. en los ejes X, Y, Z es :
loeados en hilera; por tanto la posicion del.;.
centro 'de masa en la direecion (eje Z) que- ::: ..
darfa definido en Z = ~ em = 2,5 em . :~:
(reM = (19 ; 8,3 ; 2,5) em) Rpta.
Clave: D
~ ~
II- C,UZCAIfCl ----------------~
CONS,ERVACION EN LA C'ANTIDAD
DE MOVIMIENTO
Para camprender este principio observemos 10 que ocurre en la siguiente situaci6n a modo
de lectura.
EI muchacho de la figura tiene una masa de 50 kg, ademas de una "frondosa cabellera".
A su costado una joven fuerte y robusta capaz de levantar cargas pesadas de hasta 200 kg.
Es facH deducir que el valor de la fuer-
za de gravedad del muchacho sera
(si g= 10 m/ s2 ) Fg = SOON
Surge la siguiente interrogante :
Si el muchacho fuera tirado de 105 cabellos, mediante una fuerza vertical de 600N.
LPodria ser levantado? Veamos:
I La joven cage de los cabellos al muchacho usando 105 600N que se necesita
luego como esta fuerza es mayor que Fg=500 N, entonces :
@ Ahora el muchacho hace el experimento de jalarse 105 cabellos usando el mismo
m6dulo de la fuerza. Ocurre que :
Realizado estos experimentos, surge la pregunta:
iPorque el muchacho puede ser levantado en un caso y en otro no?
Para el analisis de estas interrogantes son relevantes 105 conceptos de sistema fisico, fuerzas
extern as e -internas.
Ed(torial Cuzcano
- .
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
_-_.1~.g,~/.+.....-
,/ G . \., ., .. ., .. ,
,-J-\ , ~,- ./
. sistema ··· f '··'
. . FN
.
..·---r:~OON
/~'-. '\, ., ., ., ., ,, .,
,-J-\ . - .:
sistema ···i~ljH.-./
+ mg=500N
Se denomina as! a aquella regIOn que se encierra en forma real 0 hipotetica,
sobre un conjunto de partfculas; cuando se realiza cierto analisis respecto de sus
interacciones.
Un sistema mecanico es aislado cl.;'ando sobre el conjunto de partfculas, s610 estan actuan-
do fuerzas internas.
En la termodinamica, en un sistema aislado ademas que no hay presen-
cia de fuerzas externas, no hay transferencia de masa ni de energia, del
medio exterior al sistema 0 viceversa.
Sistema
termodinamico
aislado
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPUlSO - CHOQUES
qJ Una esferita es impulsada, para moverse en una superficie horizontal Iisa.
AI ser la superficie Iisa no actUan fuerzas en direccion horizontal, luego su velocidad
sera constante (principio de inercia)
'Inicro.
'01 Dos esferitas de masas iguales estan unidas mediante un resorte, el cual inicialmente es
comprimido y Iiberado sobre una superficie horizontal Iisa.
~mK m~
=~; .. /'
IDici~,..... ._..__... (" sistema, _-.-.------.--.--....-..-~
....... / ..~.. ····V···
/V=O V=O\ /~~\.~ ...\.... ., .. -+_ ..~---- - ). , , .
, m m" m m/.... .... .... -- --- ....
". ... .... Fe Fe ....
.......... _._-_.................... .. - ..•...•.............•....... -_ ........•..
~ ~
__ CUZCAN. ------------------~
U¥Hlf4~
Cuando se conserva su cantidad de movimiento, fa velocidad de su centro de masas
permanece constante.
(Relaci6n : Impulso - Cantidad de movimiento)
La cantidad de movimiento no se conserva, si actUa una fuerza extern a resultante en el
sistema. En este caso el cambio de la cantidad de movimiento esta relacionado con el
impulso de la fuerza externa.
Una aplicacion de este principio serfa :
* Un bloque de masa "m" reposa sobre el piso liso. Se aplica
luego una fuerza extema "F", entonces :
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
NOTAS FINALES
Analisis en particulas qUE: se desintegran :
Como las fuerzas que hacen posible esto son internas, entonces :
* La trayectoria de su
C.M. no cambia.
£::;..... ~
It- J:,UZCAIfQ ----------------~
~lfl8P.~~
Una persona de masa "m" esta parada sobre un tabl6n de masa "M"; esta a su vez reposa
en un piso horizontalliso. La persona empieza a caminar avanzando de un extremo a otro.
Diga usted si se conserva 0 n6 la cantidad de movimiento y cualley ffsica debe usarse en
uno u otro caso si :
I) EI sistema a considerar es 5610 la persona.
II) EI sistema a considerar es 5610 el tab16n.
III) Si el sistema a considerar es la persona y el tabl6n.
Si la persona empieza a caminar sobre el tabl6n, es porque implfcitamente existe fricci6n
entre 105zapatos de la persona y el tab16n, luego esa fuerza de fricci6n hara que la persona
y tabl6n se muevan.
mg~
~
f t Nt
______el:N:1::::I.h.
tN2.
m91·--·.. Vf
,/t~'~, .
f f-== ! sistema..:..+-- t ,f---/
\ Nt':
•.•....•...~.._-_ ....'
Se puede observar, que existen fuerzas
externas tanto en la horizontal Gamo en
la vertical, pero en esta ultima las fuezas
se anulan.
, -
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ·IMPUlSO· CHOQUES
~1
~.eee_e.e .e.e••_.e.:;;:.
• ::=E-L \'~ee e---t-·e ••e<.
g N2 sistema
Concluimos
* Se puede observar que existen Juerzas
externas actuando sobre el sistema.
tmg
Mgte-
••••••
.... ". Vf
.... ~
./ m \.
Vf : \T • •~ .:
.... ...'\
···.eeee ~~. sh.tema
* Como puede observarse s610 hay Juerzas
externas en direcci6n vertical .
* Las Juerzas ,de fricci6n se convierte para
este caso en una Juerza interna.
La ecuaci6n a usar debe ser: Po (horizontal) = Pf(horizontal)
O=MVf +MVf
P T..J:L
...~
La pregunta de rigorseria : iy que hay de la conservacion de la cantidad de movimiento en
direccion vertical? Bueno al existir Juerzas extemas, nuestra teoria nos dice no deberfa
cumplir con la conservacion de la cantidad de movimiento; sin embargo debido a que la
Tierra practicamente la consideramos inmovil, asumimos que en la vertical la
sumatoria de Juerzas es cero. Luego:. ~
Si [J£v ~ eLl Entonces :
.:.
Un muchacho de 60 kg esta subido sobre _:_
un cochecito de 40 kg en reposo, repentina- -;-
-.-
mente lanza en direcci6n horizontal una pie- -:-Asignando un signa a 105 vectores veloci-
dra de 1 kg con rapidez de 2rn1s respecto :~:dad :
de tierra. GCalcular la, rapidez con que re- .:-
.:.
trocedeel cochecito? -:.
_________ Am!!
·paQB,Jr.EJ~S DE
V2 = 0,02 m/s
.. (V2 = 2 cm/s ] Rpta.
Clave: B
-:- Un hombre de 70 kg de masa y un mucha-.:.
.:. cho de 35 kg se encuentran sobre un piso de
.:.
_:_hielo si despu€s de impulsarse mutuamente
RESOWCION .:- el hombre se aleja a 0,3 m/s respecto del
Todo el sistema: muchacho-coche-piedra; :~:hielo. GQue distancia (en m) 105 separara al
esta inicial.mente en reposo. :~:cabo de t=5s?
Si el muchacho impulsa la piedra con rapi- -:-A) 1,5 B) 3,0
dez horizontal, entonces la piedra (por 3ra :~:D) 6,0 E) 7,5
Ley de Newton) impulsa al muchacho en :~:RESOWCION
direcci6n opuesta. -:.
.:.
En todo caso la cantidad de movimiento del -:-
.:.
sistema en la horizontal, se conserva. .:_
A) 1 crnls
C) 20 crnls
E) 0,02 cm/s
B) 2 cm/s
D) 2 m/s
El analisis es similar al problema anterior .
Graficamos las situaciones inicial y final.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
.:.RESOWCI0N
::: Graficamos las situaciones inicial y final :
Por conservacion de la cantidad de movi- .~.:.
miento y asignando un signo a la direccion <- m 70k m
de la velOci~~) H : v~ • ~$:;~----- ; .......--- (. ~ ~
Entonces : ~: g===~~====~===~=~~ ~~=~=~=~*~
(.
Po = Pf
0)
Si tomamos como sistema el conjunto de.~
.. (. masas "M+m", notamos no hay fuerzas en
0=m(-Vd+MV2 I h I I d d d~ a orizonta; por tanto a canti a e mo-° = -35 VI + 70 x 0,3 : vimiento en esa direccion se conserva.
(.
V1 = 0,6 m/s ~ ~ VI; V 2 : Velocidades absolutas
0) respedo del agua.
Ambos realizan un M.R.U. por tanto la dis- ~: Dato :
tancia que avanzan se calcula de : : \I~= 10 im/s
: Luego:
La distancia de separacion en t=5 s sera: (.
x=d1 +d2
x=0,3x5 + 0,6x 5
.. (x = 4,5 m ) Rpta.
(Velocidad relativa de la
persona respedo de la
barcaza)
::: Usando la forma (II) de la ecuacion de con-
.:. servacion de movimiento de un sistema.
(0
(.
Clave: C (.
- -1 -
0=mV2 +(m+M)V2
0=70(10 i)+ (70 +350)\12
..:.
!'irROBISMA;'61 Sem ..CEPRE UNI .:.
Un joven de 70 kg que se encuentra sobre ::: ..
una barcaza de 350 kg y que esta en reposo :::
sobre el agua, empieza a correr a 10 m/s .:.
respecto de ella. Despreciando la friccion :::
entre la barcaza y el agua. leua} es la rapi- ·:·Y-=P=""R=-=O=B~LE""'-"=~M4"'·68 Sem. CEPRE UNI
dez de la barcaza respecto del agua mien- :~:Un perro reposa sobre un carrito. La masa
tras el muchacho esta corriendo? :;: del €arrito es el doble de la del perro. Si el
A) 1,67 m/s B) 0,67 m/s :::conjunto entra a una pista lisa con rapidez
C) 1,167 m/s D) 0,86 m/s :::v. iCual sera la nueva rapidez del carrito
E) 0,6 m/s .:. cuando el perro empieza a correr con un
.:.
V2 = -1,67 i
[V2=1,67m1s)
~ .,...
-- CUZCANQ ----------------~
velocidad V/2 respecto del carrito y en el .:. direccion de 370 sobre la horizontal, deter-
mismo sentido en que este se mueve? ~: minar la rapidez de la balsa inmediatamen-
A) (2/S)V B) (S/6)V .:. te despues que el pato la abandona.
C) (6/S)V 0) (3/S)V ::: A) 8 m/s B) 1,84 m/s
.:.
E) (S/3)V .:. C) 18,4 m/s 0) 22,4 m/s
RESOWCION ::: E) 2,24 m/s
Graficamos las situaciones inicial y final: .:..:. RESOWCION
::: Segun el problema las situaciones inicial y
.:. final son :
Vi .:.
~-~~.:.
_~. V2
.:.
biicio Final
--2S- .:. "J" :,~ ~~ ,
.:. \(, =2m1s ~ :0.6
. m _ 37° .D'
Similar al problema anterior. La cantidad :;:. ~ . -- -O:8-_~=??
de movimiento del sistema se conserva. .:. ~ ~
::: =~-:E=3===========E=~==~=~:i:=E=~=
:::======================~===~==========E===3=====.:.
:~- , , .•.
~
-1 V~
V2 =-12
. ~
Usando la 2da forma de la ecuacion de la .:.
cantidad de movimiento de un sistema. : Si tomamos como sistema : balsa +pato;
0) notamos que no existen fuerzas extemas en
.)
.:. la horizontal, por tanto la cantidad de mo-
':' vimiento se conserva en esa direccion.
'.'
(M+m)Vo =MV2 +mxV1H
(10 + 2)x 21= lOx \/2 + 2xO,81
V2 = 2,24 1m/s
.:. Luego:
Clave: B :::
Un pato de 2 kg parado sobre una balsa de :::
10' kg se mueve Uunto a la balsa) con una .;.
rapidez de 2 m/s. Si el pato repentinamente :::
se eleva con una rapidez de 1 m/s con una .:.
. v
.. ( V2 = 2,24 m/s )) Rpta.
Clave: E
Un muchacho esta sobre sus patines con un
ladrillo en reposo, lanza el ladrillo tal como
muestra la figura. Oetermfnese la rapidez
del muchacho despues del disparo. Las .:. Asignando un signo a los vectores veloci-
masas del muchacho, 10s patines, el ladrillo :~:dad, entonces :
son respectivamente 55 kg ; 5 kg ; 10 kg. .:.
.:.
B) -0,67 1m/s .:..:. Juan (70 kg) se encuentra en la popa de un
C) 0,671 m/s D) 1,51 m/s ':' bote (150 kg) el cual se esta moviendo av .
E) -1,5 1m/s .:. raz6n de -5 1m/s. Juan se lanza al agua
_ :~:con una velocidad (51- 21) m/s respecto del
RESOLUCION .:.
En la figura podemos notar que sobre el ::: bote. i,Con que velocidad se movera el bote
sistema : muchacho - ladrillo no exis- .;. inmediatamente despues que se lanz6 Juan?
ten fuerzas externas en la direcci6n ho- :~:A) -7,31 m/s B) -5,61 m/s
rizontal; por tanto en dicha direcci6n .:. C) 6,61 m/s D) 1,51 m/s
se conserva la cantidad de movi~ien- :;: E) -1,51 m/s
.:.
.:. RESOWCION
.:.
Para el calculo s610 nos interesan las . G f' I't' , ... I f' 1'.' ra Icamos a Sl uaClOn mlcla y ma, se-
velocidades horizontales; justamente la .:. , I d' ., d I bl. .:. gun a con lClon e pro ema. .
velocidad horizontal delladrillo (en su mo- .:.
vimiento parab6lico) es VH = 4 im/s. :;:
0= (55 +5)(VM)+ lOx (41)
Rpta.
Clave: B
(A A) m
5i-2j -
s
:;: Si tomamos como sistema : (M + m), po-
.:. demos notar que no existen fuerzas exter-
.:.
.;. nas en la direcci6n horizontal; Por tanto la
.:. cantidad de movimiento en esa direcci6n se
.:.
.:. conserva.
~. ---- J:,UZCANCl----------------~
La velocidad de Juan en la horizontal res- .:. A) 51,1 B) 511
pecto del agua sera : .:. D) 500 E).:. ED.
-JH - - .:. RESOWCIONVB = VJH - VB .:.
.:. Inicialmente, el cohete de masa M se movfa
.:.
.:. con rapidez V; luego expulsa una masa urn"
.:. de gas; quedando como masa del cohete :.:.
.:. (M-m) .
.:.
VJH =51+ VB
En la figura :
(150+70)(-5 1) = 150\1B +70(5 1+\1B)
-11001 = 3501 + 220VB
- -145 AVB=-- i22
.. (VB =-6,~ Rpta.
~
Notar que en el calculo, no se ha torna-
do en cuenta la velocidad vertical :
(-21) m/s.
Un estudiante en tierra mira el movimiento .:.
de un cohete de masa M y rapidez V. Ob- :;:
serva luego que el cohete expulsa una masa :;:
"m" de gas con velocidad j.l. = -50 V y la .:.
velocidad del cohete aument6 en 10%. Eva- :;:
hie el cociente M/m (desprecieel eJecto de .:.
la gravedad). :;:
':'Graficando ambas condiciones :
'.' -------------
.:.
.:.
~v ~v ••m::lv
.:.
.:.
.:. M .. (M-m)
.:. ,
.:.
.:.
m~~
.:.
.:. c.:::~
.:.
~=50V
.:.
-:.
.:.
.:. Por conservaci6n de lacantidad de movi-
.:. miento:
Po =Pf
MV = (M - m) x 1,1V + m (-SOV)
M = 51,1
m 0,1
M
-=511m I
'r'l"l flAf"
Para simplijicar la solucion hemos con-
siderado:
- Velocidades hacia arriba como positi-
vas.
- Velocidades hacia abajo como negati-
vas.'
CANTIDAD DE MOVIMIENTO . IMPULSO - CHOQUES
Sem. CEPRE UNI .;. Por conservacion de la cantidad de movi-
.'.
.:. miento.
Un cohete balfstico de masa M, de dos eta- .;.
pas, se eleva en la direccion dad a por : .;.
.:.
d =[(3/5)1+(4/5)J]
Cuando alcanza los 20 km de altura con .;. 104(°,61+0,8 J)=0,9VI +0,lx(-6x103 J)
rapidez 104 m/s . Desprende el tanque de :~:
combustible de 0,1 M de masa con veloci- :~:
dad VT = -6 x103 1mis, determine la velo- :~:
cidad (en mls) que alcanza la segunda eta- .;.
pa luego de desprender el tanque. :~:
A) (0,671+0,82 J)x104 :~:
B) (0,671+0,95 J)x104 :~: .Roill~EMA:W4
.:.
C) (0,671+0,82 1)x103 .;. Un bloque de madera de masa M=3,99 kg
::: se en.~uentra en reposo sobre una superficie
.D) (0,67 1+ 0,95 J)x103
.;.
horizontallisa cuando es alcanzado por una
E) (0,67 1+ 0,38 J)x104 :~: bala de 109 de masa, con rapidez VI , como
RESOLVCION :~:se muestra en la figura. Despues de que la
.;. bala se ha incrustado en el bloque, este se
Por teorra de vectores, podemos notar faci!- .;. desliza hacia la derecha con una rapidezV. .
A (3 A 4 A J .;. E tr I I' , V / v. 0, 2mente que: d = - i+ - j es un vector uni- .;. ncuen e a re aClon 1 2 .
5 5 v
tario, pues su modulo va e 1. .;. A) 40 '..
Luego : la direccion d, sera la direccion de :~:B) 80 ,
la velocidad. .;. C) 400 '.
v 60t
Graficando las situaciones inicial y final: .;. 0)·800 ------- .-
:~:E) 461,8
.:.
60001+ (8 000+600)J = 0,9VI
:.(V1 = (0,67 i+ 0,95 j)xI04 m/s )IRpta.
,.~ •. ~ {J
Clave: B
.;. RESOWCION.:.
:~:Graficando las situaciones inicial y final.
.;. ~ r;l'ln~~
~:i~~'~.:. .••. :
.;. "t'fl -----:~.;. "t .
.:.
~ ..-
~ P,UZCAItO --------------- .•••~
Datos: M=3,99 kg
m=O,OI kg
.:. RESOWCION
:~:Segtin el problema :
Si tomamos como sistema a "M+m", y no .:.
existiendo fuerzas extern as en la horizontal; :~:
la cantidad de movimiento. En la horizon- ':'
'.'
tal se conserva antes y despues de la coli- .:.
.:.
V
m x ~ + M x 0= (M + m) V2
2
.:. Similar al problema anterior, tomando
.:.
.:. como sistema al conjunto : "M+m" .. La
':' cantidad de movimiento se conserva (en fa
'.'
.:. direccion horizontal)
.:.
Po = Pf
mVOH +0=(M+m)V2
mV1 = (M + m)V2
5xlO = (15 +5)V2
.. (V2 = 2,5 m/S) Rpta.
En la figura el proyectil de 5 kg tiene .:.
una velocidad inicial horizontal de mo- :~: PROBLEMA 76 Sem. CEPRE UNI
dulo 10 m/s y cae sobre el m6vil de :~:Un microbus de 2 500 kg que viaja a
15 kg inicialmente en reposo. Hallar la ;.: 36 km/h es chocado por la parte posterior
rapidez final del conjunto una vez ad- .:. por un camion de 4 500 kg que va a
herido el proyectil al bloque. :~:54 km/h. Si el choque dura 0,5 5, tiempo
~~............... :~:durante el cual el camion y el microbus se
.;. mueven juntos, cual fue la magnitud de la
:~:fuerza media de impacto entre 105 vehfcu-
.:.I ?
.:. 06 .
.:. A) ON
.:.
.:. C) 16 050 N
.:.
.:. E) 116 050 N
0,OlV1 = (3,99+0,01)V2
2
A) 5 m/s
C) 3,75 m/s
E) 0,25 m/s
B) 2,5 m/s
D) 0,5 m/s
.:. RESOWCION
:~:Por factor de conversion sabemos :
B) 13 020 N
D) 18 030 N
CANTIDAD DE MOVIMIENTO -)MPULSO - CHOQUES
36 kmlh < > 10 m/s
54 km/h <> 15 m/s .:.r---------------~
.:. La Juerza con fa cuaf el microbus im-.:.
Segun la condici6n del problema, gra- .:. pufsa al carnian es :
ficamos instantes antes y despues de la co- :::
lisi6n. .;.
- -
F21 =-Fl2
F21 =F12
F21= 16050 N
.:. '-----------------.:.
.:.
.:. Dos partfculas A y B se mueven a 10 largo
::: del eje X con cantidades de movimiento PA
:~:y PB (pB = -P A 12) . Si inmediatamente
.;. despues de ocurrida la colisi6n la partfcula
.:. A queda en reposo. Determine el impulso
.•V (-) y V( +l. ~:que la partfcula "!t' Ie comunica a B y vice-
Por conservacion de la cantidad de movi- :~:versa~
miento. . .:. A) 2P A ; - 2P A
.:.
:::C) PA/2; -PAI2
::: E) -P A ; PA / 2
4 500x15+2 500xlO=(4 500+2 500)Vf ~: RESOWCION
::: Seglin la condicion (pB = -PA 12); B y A
Vf = 13 21 m/s I .:. d· ., I- .:. se mueven en lreCClOnesopuestas.
, .:. Graficando :
Calculo de la juerza de lmpacto entre .~
los vehiculos ~: Antes
La fuerza media con que el camion (1) 10- :::
gro modificar la velocidad del microbus (2) .:. ~ L.:.
se evalua de : .:. -....[-o------------O:=.=_ ----f}-------~f)-.--
Tl2=F12x~t=m2(~V2) :~: A B A B
.:.
Fl2: Fuerza de 1 hacia 2 ::: * Si V~ = a ; implica P~ = 0
~=15m1s-
m2 = 2500 kg
ml =4 500 kg
B) PA; -PA
D) PA; -2PA
Por conservacion de la cantidad de movi-
miento .
.:.*
F12x 0,5 = 2500 (13,21-10) .:..:.
.. (Fl2. = 16 050 N] Rpta. :~:
.m Clave: C·:'---_.:.
Po =Pf
PA +PB =P~ +p~
~ .....
-- CUZCARO ----------------~
- PA -,
PA-2=0+PB
-, PA
PB=2
IAB=~-[-P2AJ
:. [lAB =PA) Rpta (I)
Por tercera ley de Newton :
IAB=-IAB
.. [!AB =-PA]
:~:A) (mV/2)(-v'3 1- J)
.:.
:~:B) (mV/2)(v'3 1-J)
.:.
:~:C) (mV/2)(-v'3 1+ J)
.:.
:~:D) (mV)(-v'3 1+ J)
.:.
:~:E) (2mV)(-v'3 1+ J)
:~:RESOWCION
:~:Podemos notar rapidamente que las dos par-
.:. tfculas mostradas lIevan igual modulo de su.:.
.:. cantidad de movimiento.
:~:Si graficamos 105 dos vectores PI Y Pz;
.:. estas hacen entre sf 1200.
Rpta. (II) .:.
.:. La gran'ada se desintegra debido a fuerzas
Clave: B :~:intemas entonces la cantidad de movimien-
.:. to del sistema se conserva.
PROBLEMA'78 Sem. CEPRE UNI .:.---------------_ ..•
Una granada ubicada en el origen de coor- :~:
denadas, explota en tres fragmentos igua- .:.
les. La figura muestra la salida de dos de :~:
ellos. Determine el vector cantidad de mo- :~:
vimiento del tercer fragmento (en terminos .:.
de "m" y "V"). :~:
y ~
Inicialmente la cantidad de movimiento es
nula, entonces :
- PJ;>A PA
P3=--v3 i+- j
2 2
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
.:. A) 2,65 x 105 m/s
:~:C) 8,48 x 108 m/s
~: E) 2,65 x 104 m/s
B) 2,65 x 106 m/s
D) 8,48x107 m/s
.:.RESOWCION
:~:El nucleo del atomo que tiene por masa to-
';' tal:
'.'
':' Emite una 'porcion de masa :
-:'
:: ml = 6,6 x 10-27 kg y rapidez
~: VI =1,5x107 m/s
::: La parte restante tiene masa :.,.
: . y rapidez: V2
? AI no existir fuerzas extemas la cantidad de
:;: movimiento se conserva; ademas la direc-
~: cion de la velocidad V 1- es opuesta a V 2 •
:: Luego:
,;.
.,. Po =Pf
.:. - -
,;. 0 = mI V1 + m2 V2
::: 0=6,6x10-27 x1,5x107 +3,734x10-25 x(-V2)
sm
V2 = 2,65xlO - Rpta.s
Sem. CEPRE UNI :~:
EI nucleo de cierto atomo radiactivo tie- :~: PROBLEMA 80 Sem, CEPRE UNI
ne una masa de 3,8 x 10-25
kg
y esta en ::: Un cuerpo descansa sobre una mesa pulida
reposo. Repentinamente emite una par- ::: y se Ie apliea una fuerza durante un interva-
ticula de masa 6,6xlO-27kg y rapidez ';' 10 de lO-4s de tal manera que el cuerpo se7 . y
1,5 x 10 m Is. Encuentrese la rapidezde ':. divide en dos partes de masas de 0,3 kg y
retroceso del nucleo. :~:0,5 kg ias cuales sa/en en direcciones per-
~__ CUZCAII.
- pendiculares entre si con rapidez de S m/s y .;. Catcuto de ta juerza media (Fm )
2 m/s respectivamente. Calcular la fuerza .;.
aplicada. :~:
A) 2m kN B) sm kN :~:
C) 6m kN 0) 10m kN :~:
E) o,sm kN· :~: Fm x10-4=(o,sm -0)
Fm=SOOOmN
.. (Fm=Sv'i3kN ]) Rpta.
Clave: B
Segtin la condici6n del problema :
t=10~s v
~ VI :~:
~ ,,·:u--E-m __uut~:7:
P.,=O ~ .;. Un objeto de S kg que se encuentra en repo-
:~:so estalla en tres fragmentos, uno de 1 kS
: sale despedido con una rapidez de 6 m/s
-lo y el segundo de 2 kg con una rapidez de
: 4 m/s sale despedido en una direcci6n per-
-lo pendicular al primero. iCuaI sera la rapidez
..)
-lo del tercer fragmento?
:~:A) 1 m/s B) 2 m/s
: 0) 2,5 m/s E) 5 m/s
PI =mlVI =0,3x5=1,S ~.RESOWCION
P = V = 0 5 x 2 = 1,0 ~:Cuando el objeto estalla se debe a las fuer-
2 m2 2 ' .'. d'~~zas intemas, por tanto toman 0 como 515-
La cantidad de movimiento del centro .;. tema dicho objeto; la cantidad de movimien-
de masa se conserva, luego : la canti- :~ to se conserva.
dad de movimiento final sera : ~. L
.~ uego:
.~ IDIcki
ml =0,3 kg
m2=0,5 kg
VI =5 m/s
V2 =2 m/s
Pf = J1,52 + 12
Pf =0,5m kg 7l
.:.
.:.
.:.
~.
.:.
.:. \l,=o
.:.
~
.:.
~.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
T
r443m
1
Los tres vectores forman un polfgono cerra- .:.
.:.
do.
.:. A) 4
:~:D) 4../3/3
.:.
B) 4/3
E) 2../3/3
Por geometrfa elemental :
P3 = 10
.:.
.:. De modo similar al problema anterior, la
.:. cantidad de movimiento del sistema perrna-
.:.
.:. nece constante.
:~:' /:
~ m='" / •••Y" Jtm
.:. A......Y=:=_~~~-------,(~1~?~__4_m -
.:. iPr--- t...r,~O"
Clave: E :~: ~ m~ 4i3 m
PROBLElotA 8' S=. CEPREUNI: . ...~ \Ii...... 1
Una granada de 4 kg se desliza sobre :~: ~
una superficie horizontal Iisa con una .:.
rapidez de 5 m/s y cuando se encuentra :~
a 4 m de la pared explota en 2 frag- ':'
'.'
mentos que tambien se deslizan por la .:.
superficie horizontal. :~:
.:.
Uno de 105 fragmentos de masa mA Y .:.
.:.
el otro de masa mB Began simultanea- .:.
mente a la pared como se muestra en .:..:.
la figura;' determine mA / mB . .:.
2xV3 = 10
:. (V3 = 5 m)
-~
~ ~
-- CUZCANo. ----------------~
Sem. CEPRE UNI :~:Por conservacion de la cantidad de movi-
.'. miento.
Una granada de 800 g se encuentra en re- .;.
poso en el