Tarea 03_Variables Separables

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA 
MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO 
 
Tarea 03: Variables Separables 
20/02/2023 
 
 
Grupo: 3MV2 
 
Alumnos: 
Hernández Leyva Luis Alfredo 
Montoya Carreón Emilio 
Díaz Campos Alexis Iván 
Tiburcio Gonzales Salvador 
Flores Mendoza Javier Alejandro 
Materia: Ecuaciones diferenciales 
 
Prof. De Paz Peña Miguel Ángel 
Resolver usando el método de variables separables visto en clase 
y comprobar la solución encontrada. 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝑿𝟐𝒀𝟐
𝟏 + 𝑿
 
RESPUESTA 
Despejamos “dy” y “dx”: 
𝑑𝑦(1 + 𝑋) = dx(Y2Y2) 
𝑑𝑦
(𝑋2𝑌2)
=
𝑑𝑥
(1 + 𝑋)
 
𝑑𝑦
𝑌2
=
𝑋2𝑑𝑥
1 + 𝑋
 
 
Integramos ambos lados de la igualdad: 
∫
𝑑𝑦
𝑌2
= ∫
𝑋2𝑑𝑥
1 + 𝑋
 
Integrando el lado izquierdo de la igualdad: 
∫
𝑑𝑦
𝑌2
 
∫ 𝑌−2𝑑𝑦 
−
1
𝑌
+ 𝐶 
Integrando el lado derecho de la igualdad: 
∫
𝑋2𝑑𝑥
1 + 𝑋
 
𝑼𝒔𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒕 = 𝟏 + 𝑿): 
∫
𝑡2 − 2𝑡 + 1
𝑡
𝑑𝑡 
∫ (
𝑡2
𝑡
−
2𝑡
𝑡
+
1
𝑡
) 𝑑𝑡 
∫ 𝑡𝑑𝑡 − 2 ∫ 𝑑𝑡 + ∫
1
𝑡
𝑑𝑡 
𝑡2
2
− 2𝑡 + ln(𝑡) + 𝐶 
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂 (𝟏 + 𝑿 = 𝒕): 
(1 + 𝑋)2
2
− 2(1 + 𝑋) + ln(1 + 𝑋) + 𝐶 
𝑱𝒖𝒏𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂𝒎𝒃𝒂𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍𝒆𝒔: 
−𝑌−1 + 𝐶 =
(1 + 𝑋)2
2
− 2(1 + 𝑋) + ln(1 + 𝑋) + 𝐶 
−𝒀−𝟏 =
(𝟏 + 𝑿)𝟐
𝟐
− 𝟐(𝟏 + 𝑿) + 𝐥𝐧(𝟏 + 𝑿) + 𝑪 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 
COMPROBACIÓN 
Obtenemos la primera derivada de la solución general: 
−𝒀−𝟏 =
(𝟏 + 𝑿)𝟐
𝟐
− 𝟐(𝟏 + 𝑿) + 𝐥𝐧(𝟏 + 𝑿) + 𝑪 
𝑌−2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
(2 + 2𝑥) − 0 − 2 +
1
1 + 𝑥
+ 0 
1
𝑌2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑋2
1 + 𝑋
 
𝑫𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒎𝒐𝒔 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝑿𝟐𝒀𝟐
𝟏 + 𝑿
 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
 
EJERCICIO N°1 
𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑶𝑹𝑰𝑮𝑰𝑵𝑨𝑳 ∴ −𝒀−𝟏 =
(𝟏 + 𝑿)𝟐
𝟐
− 𝟐(𝟏 + 𝑿) + 𝐥𝐧(𝟏 + 𝑿) + 𝑪 
𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵. 
 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝑿−𝟏√𝒀 − 𝟏 
RESPUESTA 
Despejamos “dy” y “dx”: 
𝑑𝑦
√𝑌 − 1
=
2𝑑𝑥
𝑋
 
Integramos ambos lados de la igualdad: 
∫
𝑑𝑦
√𝑌 − 1
= ∫
2𝑑𝑥
𝑋
 
2√𝑌 − 1 + 𝐶 = 2 ln(𝑋) + 𝐶 
√𝑌 − 1 =
2 ln(𝑋) + 𝐶
2
 
𝑌 − 1 = (ln(𝑋) + 𝐶)2 
𝒀 = (𝒍𝒏(𝑿) + 𝑪)𝟐 + 𝟏 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 
COMPROBACIÓN 
Obtenemos la primera derivada de la solución general: 
𝒀 = (𝒍𝒏(𝑿) + 𝑪)𝟐 + 𝟏 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2 ln(𝑋) + 2𝐶
𝑋
 
𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝟐𝑪 = 𝑪 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2 ln(𝑋) + 𝐶
𝑋
 
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝑿−𝟏√𝒀 − 𝟏 
 
2 ln(𝑋) + 𝐶
𝑋
=
2√(𝒍𝒏(𝑿) + 𝑪)𝟐 + 𝟏 − 𝟏
𝑋
 
𝟐 𝐥𝐧(𝑿) + 𝑪
𝑿
=
𝟐 𝐥𝐧(𝑿) + 𝑪
𝑿
 
𝑳𝑳𝑬𝑮𝑨𝑴𝑶𝑺 𝑨 𝑼𝑵𝑨 𝑰𝑮𝑼𝑨𝑳𝑫𝑨𝑫 
∴ 𝒀 = (𝒍𝒏(𝑿) + 𝑪)𝟐 + 𝟏 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵. 
 
 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝐗𝐥𝐧(𝐗) = 𝟐𝒀 
𝑪𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍: 𝒀(𝟒) = 𝐥𝐧 (𝑿) 
 
RESPUESTA 
Despejamos “dy” y “dx”: 
𝑑𝑦Xln(X) = 2𝑌𝑑𝑥 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
EJERCICIO N°2 
EJERCICIO N°3 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
 
Dividimos entre “Xln(X)” ambos lados de la igualdad: 
𝑑𝑦Xln(X) = 2𝑌𝑑𝑥
𝑋𝑙𝑛(𝑋)
 
𝑑𝑦Xln(X) = 2𝑌𝑑𝑥
𝑋𝑙𝑛(𝑋)
 
𝑑𝑦 =
2𝑌𝑑𝑥
𝑋𝑙𝑛(𝑋)
 
Dividimos entre “Y” ambos lados de la igualdad: 
𝑑𝑦
𝑌
=
2𝑌𝑑𝑥
𝑌𝑋𝑙𝑛(𝑋)
 
𝑑𝑦
𝑌
=
2𝑑𝑥
𝑋𝑙𝑛(𝑋)
 
Integramos ambos lados de la igualdad: 
∫
𝑑𝑦
𝑌
= ∫
2𝑑𝑥
𝑋𝑙𝑛(𝑋)
 
ln(𝑌) + 𝐶 = 2 ln(ln(𝑋)) + 𝐶 
ln(𝑌) = 2 ln(ln(𝑋)) + 𝐶 
 
Aplicamos logaritmos en ambos lados de la igualdad: 
ln(𝑌) = 2 ln(ln(𝑋)) + ln (𝐶) 
 
Aplicamos ley de los exponenciales en ambos lados de la igualdad: 
𝑒ln(𝑌) = 𝑒2𝐶 ln(ln(𝑋)) 
𝑌 = 2 Cln(𝑋) 
𝒀 = 𝑪𝒍𝒏(𝑿)𝟐 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 
Aplicando la condición inicial en la solución general: 
𝑪𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍: 𝒀(𝟒) = 𝐥𝐧 (𝑿) 
𝒀 = 𝑪𝒍𝒏(𝑿)𝟐 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 
𝑙𝑛(4) = 𝐶𝑙𝑛(4)2 
𝐶 =
𝑙𝑛(4)
𝑙𝑛(4)2
 
𝑪 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟏𝟑𝟒𝟕𝟓𝟐𝟎𝟒 
Sustituimos el valor de “C” en la solución general para obtener la solución implicita: 
𝑌 = 𝐶𝑙𝑛(𝑋)2 
𝒀 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟏𝟑𝟒 𝐥𝐧(𝑿)𝟐 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨 
 
COMPROBACIÓN 
Obtenemos la primera derivada de la Solución General primero: 
𝒀 = 𝑪𝒍𝒏(𝑿)𝟐 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝐶𝑙𝑛(𝑋)
𝑋
 
𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝟐𝑪 = 𝑪 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝐶𝑙𝑛(𝑋)
𝑋
 
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑶𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝐗𝐥𝐧(𝐗) = 𝟐𝒀 
2𝐶𝑙𝑛(𝑋)
𝑋
𝑋𝑙𝑛(𝑋) = 2(𝐶𝑙𝑛(𝑋)2) 
2𝐶𝑙𝑛(𝑋)𝑙𝑛(𝑋) = 2(𝐶𝑙𝑛(𝑋)2) 
𝟐(𝑪𝒍𝒏(𝑿)𝟐) = 𝟐(𝑪𝒍𝒏(𝑿)𝟐) 
𝑳𝑳𝑬𝑮𝑨𝑴𝑶𝑺 𝑨 𝑼𝑵𝑨 𝑰𝑮𝑼𝑨𝑳𝑫𝑨𝑫 
∴ 𝒀 = 𝑪𝒍𝒏(𝑿)𝟐 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑳𝑨 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑮𝑬𝑵𝑬𝑹𝑨𝑳. 
Ahora obtenemos la primera derivada de la Solución Implícita: 
𝒀 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟏𝟑𝟒 𝐥𝐧(𝑿)𝟐 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
36067 ln(𝑋)
25000𝑋
 
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑶𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝐗𝐥𝐧(𝐗) = 𝟐𝒀 
36067 ln(𝑋)
25000𝑋
𝑋𝑙𝑛(𝑋) = 2(0.72134 ln(𝑋)2) 
𝑬𝒗𝒖𝒂𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒛 𝑿 = 𝟒: 
36067 ln(4)
25000
𝑙𝑛(4) = 2(0.72134 ln(4)2) 
36067
25000
𝑙𝑛(4)2 = 1.44268 ln(4)2 
𝟑𝟔𝟎𝟔𝟕
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎
𝒍𝒏(𝟒)𝟐 =
𝟑𝟔𝟎𝟔𝟕
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎
𝒍𝒏(𝟒)𝟐 
𝑳𝑳𝑬𝑮𝑨𝑴𝑶𝑺 𝑨 𝑼𝑵𝑨 𝑰𝑮𝑼𝑨𝑳𝑫𝑨𝑫 
∴ 𝒀 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟏𝟑𝟒 𝐥𝐧(𝑿)𝟐 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑳𝑨 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑪𝑰𝑻𝑨. 
 
 
 
(𝟐 + 𝒀)𝒅𝒙 − (𝟑 − 𝑿)𝒅𝒚 = 𝟎 
RESPUESTA 
Despejamos “dy” y “dx”: 
(2 + 𝑌)𝑑𝑥 = (3 − 𝑋)𝑑𝑦 
𝑑𝑥
(3 − 𝑋)
=
𝑑𝑦
(2 + 𝑌)
 
𝑑𝑦
(2 + 𝑌)
=
𝑑𝑥
(3 − 𝑋)
 
Integramos ambos lados de la igualdad: 
∫
𝑑𝑦
(2 + 𝑌)
= ∫
𝑑𝑥
(3 − 𝑋)
 
ln(𝑌 + 2) + 𝐶 = − ln(3 − 𝑋) + 𝐶 
ln(𝑌 + 2) = − ln(3 − 𝑋) + 𝐶 
𝐶 = ln(𝑌 + 2) + ln(3 − 𝑋) 
𝐶 = ln(3𝑌 − 𝑋𝑌 + 6 − 2𝑋) 
Aplicamos ley de las exponenciales en ambos lados de la igualdad: 
𝑒𝐶 = 𝑒ln(3𝑌−𝑋𝑌+6−2𝑋) 
𝐶 = 3𝑌 − 𝑋𝑌 + 6 − 2𝑋 
𝐶 = 𝑌(3 − 𝑋) + 2(3 − 𝑋) 
𝑪 = (𝟐 + 𝒀)(𝟑 − 𝑿) → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 
 
 
 
EJERCICIO N°4 
RESOLVER “Y” DE 
LA EC. 
 
 
 
𝑿
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝒀 
RESPUESTA 
Despejamos “dy” y “dx”: 
𝑋𝑑𝑦 = 2𝑌𝑑𝑥 
𝑑𝑦
2𝑌
=
𝑑𝑥
𝑋
 
 
Integramos ambos lados de la igualdad: 
∫
𝑑𝑦
2𝑌
= ∫
𝑑𝑥
𝑋
 
ln(𝑌)
2
+ 𝐶 = 𝑙𝑛(𝑋) + 𝐶 
𝑙𝑛(𝑌) = 2𝑙𝑛(𝑋) + 𝐶 
𝑙𝑛(𝑌) = 𝑙𝑛(𝑋)2 + l n(𝐶) 
𝑙𝑛(𝑌) = 𝑙𝑛𝐶(𝑋)2 
𝑒𝑙𝑛(𝑌) = 𝑒𝑙𝑛𝐶(𝑋)
2
 
𝒀 = 𝑪(𝑿)𝟐 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 
 
COMPROBACIÓN 
Obtenemos la primera derivada de la Solución General: 
𝒀 = 𝑪(𝑿)𝟐 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝐶𝑋 
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑶𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍: 𝑿
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝒀 
𝑋(2𝐶𝑋) = 2𝐶(𝑋)2 
𝟐𝑪𝑿𝟐 = 𝟐𝑪𝑿𝟐 
𝑳𝑳𝑬𝑮𝑨𝑴𝑶𝑺 𝑨 𝑼𝑵𝑨 𝑰𝑮𝑼𝑨𝑳𝑫𝑨𝑫 
∴ 𝒀 = 𝑪(𝑿)𝟐 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑳𝑨 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑮𝑬𝑵𝑬𝑹𝑨𝑳. 
 
 
 
 
 
EJERCICIO N°5 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC.