practica1 - JESúS DOMINGUEZ HERNANDEZ

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Desigualdades
Una ecuación en matemáticas de la forma f(x) = 0, puede tener un número finito de soluciones para x, 
por ejemplo si f es un polinomio de grado n, tendrá n soluciones, pero una expresión como f(x) ⩾ 0, 
normalmente tiene un número infinito de soluciones las cuales definen intervalos.
Una desigualdad en matemáticas es una expresión con las propiedades.
1. Si a,b y c son numero reales cualesquiera y si a>b entonces a+c> b+c.
y si si a<b , entonces a+c< b+c
2. si a > b y c es un numero positivo, entonces ac > bc. Pero si c es negativo, entonces ac < bc, es 
decir se invierte el signo de la desigualdad. Esto vale también para el caso a<b.
Valor absoluto
Una manera de medir el tamaño de un número real x, es mediante el cálculo de su valor absoluto; este 
se define como:
 x  = 
-x x < 0
x x ≥ 0
Para  x  se cumplen las siguientes propiedades:
1. Si a es un número real, entonces 
a x  =  a   x 
2. Desigualdad del triangulo: si x e y son números reales
 x + y  ≤  x  +  y 
La combinación del valor absoluto de una expresión y desigualdades donde esta está involucrada 
resulta en conjuntos que pueden expresarse en términos de intervalos, así por ejemplo, aplicando las 
propiedades de las desigualdades y la definición de valor absoluto,  x -x0 < r se interpreta como 
todos los números reales x cuya distancia a x0 es menor a r. Este es un intervalo simétrico alrededor de 
x0, es decir el intervalo (x0-r,x0+r)
para la desigualdad lineal 
 x - 2 < 3
la solución es el intervalo (-1,5).
Con Mathematica este problema se resuelve de la forma
In[3]:= ReduceAbs[x - 2] < 3, x
Out[3]= -1 < Re[x] < 5 && - 5 + 4 Re[x] - Re[x]2 < Im[x] < 5 + 4 Re[x] - Re[x]2
En este caso Re[x] denota la parte real del número x y Im[x] su parte imaginaria. La solución expre-
sada en términos de desigualdades está dada por -1<Re[x]<5, la cual es equivalente a: x ∈ (-1,5)
In[4]:= (*TraditionalFormPiecewise[{{-x,x<0},{x,x≥ 0}}]*)
En general, resolver desigualdades combinadas con valor absoluto con lápiz y papel en matemáticas, 
no es fácil, realmente solo se pueden resolver fácilmente las llamadas desigualdades lineales las 
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cuadráticas y ocasionalmente algunas otras que por la naturaleza de los términos en ellas involu-
cradas, se pueden encontrar fácilmente cotas inferiores y superiores para ellos, sin embargo, desde el 
punto de vista de la didáctica de las matemáticas, para la resolución de problemas o de sus aplica-
ciones es necesario resolverlas para entender sus significados e implicaciones. Mathematica dispone 
de una amplia variedad de herramientas que: o las resuelven o ilustran alguna manera su solución. 
Ejemplo 1
Resolver:
3 x +4 < 8
Para resolver este problema procedemos de la siguiente manera.
Haciendo uso de la propiedad 
a b = ab
y de la definición de valor absoluto . la expresión 3 x +4 < 8 
la transformamos a 3  x -(-4 /3) < 8, y luego a  x -(-4 /3) < 8/3 que de acuerdo a lo anterior, se 
interpreta como el conjunto de valores de x cuya distancia a -4/3 es menor que 8/3, esto es el intervalo 
abierto ((-4/3)-8/3,(-4/3)+8/3) = (-4, 4/3). 
Sin embargo para resolver el problema  x -(-4 /3) < 8/3 en base a “primeros principios” sin hacer uso 
de esta “receta” observamos que no conocemos x, y como consecuencia el valor y el signo de x 
-(-4 /3), luego solo podemos empezar a resolver el problema sobre supuestos. x -(-4 /3) es positivo “o” 
x -(-4 /3) es negativo. El conectivo lógico “o” significa que va a existir una unión de conjuntos en algún 
lado durante la solución del problema.
a.) supongamos que x -(-4 /3) es positivo, es decir x -(-4 /3)>0, lo cual ya implica que x > (-4 /3), 
entonces
i) x ∈ (-4/3,∞).
Por otro lado por la definición de valor absoluto y por la desigualdad a resolver: 
 x -(-4 /3) =  x -(-4 /3) <8/3, 
 usando la transitividad 
 x -(-4 /3) < 8/3
cuya solución es 
 x < 8/3 + (-4 /3) = 4/3, entonces 
 ii) x ∈ (- ∞,4/3)
Como deberán cumplirse i “y” ii (“y” conectivo lógico), esto implica: de acuerdo a las operaciones de 
unión e intersección de conjuntos, x esta en la intersección de ambos intervalos, es decir x ∈ ( -4/3,∞) ⋂ 
(- ∞,4/3) = ( -4/3,4/3).
Luego el supuesto de que x -(-4 /3) es positivo y el problema original tienen como consecuencia que:
iii) x ∈ ( -4/3,4/3)
b.) supongamos que x -(-4 /3) es no positivo, es decir x -(-4 /3) ⩽ 0, lo cual ya implica que x ⩽(-4 /3), 
entonces
2 practica1.nb
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iv) x ∈ (-∞, -4/3].
Por otro lado por la definición de valor absoluto
-( x -(-4 /3)) =  x -(-4 /3) <8/3, 
 usando la transitividad 
 -( x -(-4 /3)) < 8/3, 
luego
 - x -4 /3 < 8/3
 cuya solución es 
 - x < 8/3 + 4 /3 = 12/3 =4,
 Aplicando las propiedades de desigualdades
 x > -4
Luego
 v) x ∈ (-4, ∞)
Luego el supuesto de que x -(-4 /3) es no positivo y el problema original tienen como consecuencia que 
que deberán cumplirse iv “y” v lo cual implica que x esta en la intersección de ambos intervalos: x ∈ 
(-∞, -4/3] ⋂ (-4, ∞). es decir 
vi) x ∈ (-4, -4/3].
que se cumpla a “o” b, quiere decir que se cumplen los resultados finales de estas hipótesis que son iii 
“o” vi, entonces x este en la unión de los conjuntos (-4, -4/3] y ( -4/3,4/3) 
x ∈ (-4, -4/3] ⋃ ( -4/3,4/3) = (-4,4/3) 
finalmente la solución completa esta dada por:
vii) x ∈ (-4,4/3)
Resultado que concuerda con la interpretación dada anteriormente.
Usando el plano cartesiano bi-dimensional, ilustramos la solución de esta desigualdad sobre la recta 
real en la siguiente figura.
In[5]:= GraphicsLine[{{-5, 0}, {2, 0}}],
Line[{{-5, 0.5}, {2, 0.5}}], Line[{{-4 / 3 - 8 / 3, 0.5}, {-4 / 3 + 8 / 3, 0.5}}],
Line[{{-4 / 3 - 8 / 3, 0.25}, {-4 / 3 - 8 / 3, 0.75}}],
Line[{{-4 / 3 + 8 / 3, 0.25}, {-4 / 3 + 8 / 3, 0.75}}],
Line[{{-4 / 3, 0.25}, {-4 / 3, 0.75}}], Text"8/3", {(-4 / 3 - 4) / 2, 0.5}, {0, -1},
Text"8/3", {0, 0.5}, {0, -1}, Thickness[0.015], Red,
Line[{{-4 / 3 - 8 / 3, 0}, {-4 / 3 + 8 / 3, 0}}], Magenta, Text"-4", {-4, 0}, {0, 2},
Text"4/3", {4 / 3, 0}, {0, 2}, Text"-4/3", {-4 / 3, 0}, {0, 2},
PointSize[0.03], Blue, Point[{{-4, 0}, {-4 / 3, 0}, {4 / 3, 0}}]
Out[5]=
8/3 8/3
-4 4/3-4/3
La expresión antes presentada parece larga y complicada, sin embargo solo contiene los comandos 
repetidos para graficar: lineas: Line, puntos: Point y texto: Text, con un tamaño y un color a gusto del 
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autor. Estos comandos en Mathematica se conocen como “Primitivas de graficación” que se usan como 
argumentos de los comandos Graphics o Graphics3D para hacer gráficas bi o tri-diimensionales
Ejemplo 2
En Mathematica resolvemos desigualdades en la forma.
In[6]:= Reduce[3 x + 5 ≤ -x + 8, x]
Out[6]= x ≤ 3
4
Ejemplo 3
In[7]:= ReduceAbs[3 x + 5] ≤ 10, x, Reals
Out[7]= -5 ≤ x ≤ 5
3
Ejemplo 4
Al conjunto solución de x2 + 5 x - 2 ≤ 0, le damos el nombre: sol
In[8]:= sol = Reducex2 + 5 x - 2 ≤ 0, x
Out[8]=
1
2
-5 - 33  ≤ x ≤ 1
2
-5 + 33 
En Mathematica cualesquier cosa es una expresión y tiene diferentes partes. En este caso sol es una 
expresión, cuyas partes se acensan como sol[[i]],i para cada parte de la expresión. En lo particular, 
las partes 1 y 5 de sol son los números que definen el intervalo solución, estos son:
In[9]:= sol[[1]]
Out[9]=
1
2
-5 - 33 
Que tiene un valor decimal de 
In[10]:= sol[[1]] // N
Out[10]= -5.37228
El otro extremo es 
In[11]:= sol[[5]]
Out[11]=
1
2
-5 + 33 
Con expresión decimal
In[12]:= sol[[5]] // N
Out[12]= 0.372281
Ilustramos la solución en rojo sobre la recta real
4 practica1.nb
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In[13]:= GraphicsLine[{{-7, 0}, {1.5, 0}}], Textsol[[1]] // N, sol[[1]], 0, {0, -2},
Textsol[[5]] // N, sol[[5]], 0, {0, -2}, Text"0", {0, 0}, {0, 2},
Thickness[0.015], Red, Linesol[[1]], 0, sol[[5]],0,
PointSize[0.02], Blue, Pointsol[[1]], 0, sol[[5]], 0, {0, 0}
Out[13]=
-5.37228 0.372281
0
Ejemplo 5
Analizar donde x5-2x+1>0 o <0 no es fácil, es un polinomio de quinto grado, pero con Mathematica nos 
podemos auxiliar de la siguiente forma.
Los valores numéricos de las raíces reales de x5-2x+1=0, las encontramos como:
In[14]:= raices = Reducex5 - 2 x + 1 ⩵ 0, x, Reals // N
Out[14]= x ⩵ 1. || x ⩵ -1.29065 || x ⩵ 0.51879
Si definimos al polinomio de quinto grado: x5-2x+1, como
In[15]:= p5[x_] := x5 - 2 x + 1;
y lo graficamos conjuntamente con las raíces
In[16]:= Plotp5[x], {x, -2, 2},
Epilog → TextToStringraices[[1, 2]], raices[[1, 2]], 0, {0, -1},
TextToStringraices[[2, 2]], raices[[2, 2]], 0, {0, -1},
TextToStringraices[[3, 2]], raices[[3, 2]], 0, {0, -1}, Red, PointSize[0.02],
Pointraices[[1, 2]], 0, raices[[2, 2]], 0, raices[[3, 2]], 0
Out[16]=
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
6
1.-1.29065 0.51879
De la gráfica de p5 observamos que a la izquierda de la raíz -1.29, p5 es menor que cero, entre la raíz 
-1.29 y 0.518 p5 es mayor a cero, entre las raíces 0.518 y 1 p5 es menor que cero y finalmente p5 es 
mayor que cero a la derecha de la raíz 1
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Ejemplo 6
Los valores de x para los cuales el seno x es mayor o igual que cero en el intervalo [0,2 π) los encon-
tramos de la forma
In[17]:= ReduceSin[x] ≥ 0 && x < 2 Pi && x ≥ 0, Reals
Out[17]= 0 ≤ x ≤ π
Funciones.
Dados dos conjuntos A y B, una relación es una asociación entre los elementos de estos dos conjun-
tos. Si esta relación es tal que a los elementos del conjunto A, se le asocia un único elemento del 
conjunto B, entonces a esta relación se le conoce también como una función. Esta definición es muy 
general y se aplica a todas las asociaciones de cualesquier tipo de conjuntos, sin embargo en los 
cursos de calculo nos limitaremos a conjuntos A y B de números reales.
A los elementos del conjunto A que participan en la asociación, le daremos el nombre de dominio de la 
función y normalmente lo denotaremos como f. A todos los elementos del conjunto B, que están 
asociados a elementos de f lo conocemos como la imagen de la función, ésta esta contenida en el 
llamado rango de la función. En lo particular dado un elemento x∈f, a el elemento f(x) en el rango de 
la función, lo conocemos como imagen de x bajo la función f. Ocasionalmente denotaremos al rango de 
la función como ℛf. 
Usaremos la notación f: f ⊂ ℝ→ℝ lo que establece en forma precisa que la función f asocia elementos 
del subconjunto f contenido en los números reales, con valores que son números reales ℝ.
En cursos de calculo, normalmente la forma como se asocian los elementos x ∈ f ⊂ A con los de B, 
se hace mediante una regla o formula dada para f(x), que permite calcular el numero asociado a x pero 
debe quedar claro que la regla para f es una expresión con la que calculamos pero propiamente la 
función f es un conjunto de parejas de números reales.
Si consideramos al plano cartesiano. La asociación de los elementos de f con puntos sobre este plano 
la llamamos gráfica de la función, concepto que se va a constituir en un instrumento muy útil en la 
caracterización de las funciones. 
Se dice que una función es par si la regla de correspondencia es tal que 
f(-x) = f(x)
Se dice que f es impar si
f(-x) = -f(x)
Se dice que una función es periódica de período T, si
f(x +T) = f(x)
Se dice que una función es inyectiva o 1 a 1 si los elementos distintos en el dominio de la función x1 ≠
x2 tienen imágenes distintas, es decir, f( x1) ≠ f(x2) 
Se dice que una función es suprayectiva o sobre su rango B, si todo elemento de B es imagen de algún 
elemento del dominio de la función.
Se dice que una función f es biyectiva, si es inyectiva y suprayectiva simultáneamente
6 practica1.nb
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Ejemplo 7
La función lineal:
f(x) = a x +b, a y b constantes.
Si al conjunto A lo restringimos al conjunto de los números reales x que son solución de la desigualdad 
x <5, entonces para distintos valores de a y b la gráfica de esta función es una linea recta y se ve 
como:
In[18]:= ManipulatePlota x + b, {x, -5, 5}, PlotRange → {-50, 50}, {a, -10, 10}, b, -40, 40
Out[18]=
a
b
-4 -2 2 4
-40
-20
20
40
Al parámetro a en la definición de la función lineal se le conoce como pendiente y a b como ordenada 
al origen.
Ejemplo 8
 La función cuadrática mas general:
f(x) = a (x - b)2 + c, a,b y c constantes.
usamos el mismo dominio que en el ejemplo 1
In[19]:= Range
Out[19]= Range
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In[20]:= ManipulatePlota x - b2 + c, {x, -5, 5}, PlotRange → {-50, 50},
{a, -5, 5}, b, 0, -10, 10, {c, -10, 10}
Out[20]=
a
b
c
-4 -2 2 4
-40
-20
20
40
Ejemplo 9
La función polinomial:
f(x) = a (x - b)5 + c (x - d)2 e x1 + h , a,b,c,d,e y h constantes.
usamos el mismo dominio que en el ejemplo 1
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In[21]:= ManipulatePlota x - b5 + c x - d2 e x1 + h , {x, -5, 5}, PlotRange → {-50, 50},
{a, -0.5, 0.5}, b, -0.7, 0.7, {c, -0.8, 0.8}, d, -0.9, 0.9, {e, -1, 1}, h, -10, 10
Out[21]=
a
b
c
d
e
h
-4 -2 2 4
-40
-20
20
40
Ejemplo 10
Queremos graficar la función f dada por la regla de correspondencia
f(x) = 3 x - 6 - x
Como estamos trabajando unicamente con números reales, necesitamos asegurarnos de que el radi-
cando es positivo.
Pedimos a Mathematica que nos diga para que valores de x, dicho radicando es positivo.
In[22]:= ReduceAbs[3 x] ≥ Abs[6 - 3 x], x, Reals
Out[22]= x ≥ 1
Es decir, el dominio es el intervalo (1,∞).
Nuestra función f10 la definimos en Mathematica como:
In[23]:= f10[x_] := SqrtAbs[3 x] - Abs[6 - 3 x];
Entonces podemos graficarla en el intervalo (1,5) sin problema
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In[24]:= Plotf10[x], {x, 1, 2.5}
Out[24]=
1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Ejemplo 11
Queremos graficar la función f dada por la regla de correspondencia
f(x) = 2 -  3 x -1
-4

Como estamos trabajando unicamente con números reales, necesitamos asegurarnos de que el radi-
cando es positivo.
Pedimos a Mathematica que nos diga para que valores de x, dicho radicando es positivo.
In[25]:= ReduceAbs3 x - 1
-4
 ≤ 2, x, Reals
Out[25]= -
7
3
≤ x ≤ 3
Es decir, el dominio es el intervalo [-7/3,3].
Nuestra función f11 la definimos en Mathematica como:
In[26]:= f11[x_] := Sqrt2 - Abs3 x - 1
-4

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In[27]:= Plotf11[x], {x, -7 / 3, 3}
Out[27]=
-2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Ejemplo 12
Queremos graficar la función f dada por la regla de correspondencia
f(x) = x (x - 2)
Como estamos trabajando unicamente con números reales, necesitamos asegurarnos de que el radi-
cando es positivo.
Pedimos a Mathematica que nos diga para que valores de x, dicho radicando es positivo.
In[28]:= Reducex (x - 2) ≥ 0, x, Reals
Out[28]= x ≤ 0 || x ≥ 2
Es decir, el dominio es el intervalo (-∞,0] ⋃ [2,∞)
Nuestra función f12 la definimos en Mathematica como:
In[29]:= f12[x_] := Sqrt[x (x - 2)]
En (-∞, 0], se ve como
In[30]:= Plotf12[x], {x, -0.5, 0}
Out[30]=
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y en [2,∞)
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In[31]:= Plotf12[x], {x, 2, 3}
Out[31]=
2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
0.5
1.0
1.5
Como en (0,2) no tenemos elementos reales en el dominio, Mathematica no gráfica nada en este 
intervalo
In[32]:= Plotf12[x], {x, 0, 2}
Out[32]=
0.5 1.0 1.5 2.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Podemos construir una tabla con algunos elementos para f3 en este rango y observamos que no son 
números reales.
In[33]:= Tablef12[x], {x, 0, 2, 0.2}
Out[33]= {0., 0. + 0.6 ⅈ, 0. + 0.8 ⅈ, 0. + 0.916515ⅈ, 0. + 0.979796 ⅈ,
0. + 1. ⅈ, 0. + 0.979796 ⅈ, 0. + 0.916515 ⅈ, 0. + 0.8 ⅈ, 0. + 0.6 ⅈ, 0.}
Ejemplo 13
Queremos graficar la función f dada por la regla de correspondencia
f(x) = x2 - (6 x - 9)
Como estamos trabajando unicamente con números reales, necesitamos asegurarnos de que el radi-
cando es positivo.
Pedimos a Mathematica que nos diga para que valores de x, dicho radicando es positivo.
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In[34]:= Reducex2 >= 6 x - 9, x, Reals
Out[34]= True
Significa que x2 >= 6 x - 9 es cierto para todo numero real , luego el dominio es el intervalo (-∞,∞)
Nuestra función f13 la definimos en Mathematica como:
In[35]:= f13[x_] := Sqrtx2 - (6 x - 9)
Cuya gráfica en el intervalo (-8,14) es
In[36]:= Plotf13[x], {x, -8, 14}
Out[36]=
-5 5 10
2
4
6
8
10
Observe que la función f también se puede ver como 
In[37]:= Factorx2 - (6 x - 9)
Out[37]= (-3 + x)2
In[38]:= f13p[x_] := ( 3 - x)2
que tiene la misma gráfica
In[39]:= Plotf13p[x], {x, -8, 14}
Out[39]=
-5 5 10
2
4
6
8
10
Realmente f es el valor absoluto de -3+x, veamos su gráfica
practica1.nb 13
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In[40]:= PlotAbs[3 - x], {x, -8, 14}
Out[40]=
-5 5 10
2
4
6
8
10
Ejemplo 14
Queremos graficar la función f dada por la regla de correspondencia
f(x) = 1
x2-1
Como estamos trabajando unicamente con números reales, necesitamos asegurarnos de que el radi-
cando es positivo.
Pedimos a Mathematica que nos diga para que valores de x, dicho radicando es positivo.
In[41]:= Reducex2 ≥ 1, x, Reals
Out[41]= x ≤ -1 || x ≥ 1
luego el dominio es el intervalo (-∞,-1] ⋃ [1,∞)
Nuestra función f14 la definimos en Mathematica como:
In[42]:= f14[x_] :=
1
x2 - 1
Cuya gráfica es
In[43]:= Plotf14[x], {x, -10, 10}
Out[43]=
-10 -5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
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Aunque le hemos pedido a Mathematica que grafique la función de -10 a 10, realmente ella sabe que 
[-1,1] no esta incluido en el dominio y no la gráfica en este intervalo.
La gráfica de la función muestra rectas llamadas asíntotas en x=±1 y en y=0 (eje x)
Operaciones entre funciones 
Dadas dos o mas funciones, estas pueden ser combinadas para obtener nuevas funciones a traves de 
su suma resta, producto, cociente o composición.
Cada una de las funciones que participan en la combinación, puede ser: par, impar, inyectiva, suprayec-
tiva o periódica y la combinación de ellas pueda que herede o no estas características de las funciones 
individuales.
La aritmética de funciones se formaliza posteriormente en áreas muy importantes de la matemática 
como el estudio de campos de funciones y el análisis funcional 
Dadas dos funciones y g con dominios y rangos respectivamente f ,g , ℛf ,ℛg. se define:
◼ La suma de las dos funciones f y g como f+g con la regla de asociación dada por (f+g)(x)=f(x)+g(x)
◼ La sustracción de las dos funciones f y g, como f-g con la regla de asociación dada por (f-g)(x)=f(x)-
g(x)
◼ La multiplicación de las dos funciones f y g, como fg con la regla de asociación dada por 
(fg)(x)=f(x)g(x)
◼ La división de las dos funciones f y g, como f/g con la regla de asociación dada por (f/g)(x)=f(x)/g(x)
◼ La composición de las funciones f y g se tiene regla de correspondencia dada por: ( f∘g )(x) = f (g (x) )
En cualesquier caso, el dominio de las nuevas funciones: f+g, f-g,f g, y f/g, esta dado por la intersección 
de los dominios de cada una de las funciones f ⋂ g. Ademas, en el caso de la división, deberán 
excluirse los elementos de esta intersección en donde g(x) = 0. 
En el caso de la composición, de la regla de correspondencia para esta operación, se observa que 
para que esta regla tenga sentido, x deberá estar en el dominio de g, g, y g( x) en el dominio de f: f, 
lo cual implica que toda la imagen de g: ℑg, deberá estar contenida en el dominio de f , f, es decir ℑg⊂ 
f.
Ejemplo 15
Calcule la suma, producto cociente y composición de f14 con f11 con sus respectivos dominios.
a. Suma de 
f15a(x) = 1
x2-1
 con dominio intervalo (-∞,-1] ⋃ [1,∞) 
con
 f15b(x) = 2 -  3 x -1
-4
 con dominio [-7/3,3].
 
 (f15a+f15b)(x) = f15a(x) + f15b(x)
 
practica1.nb 15
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 = 1
x2-1
 + 2 -  3 x -1
-4

 
 El dominio de f15a+f15b esta dado por 
 
 ( (-∞,-1] ⋃ [1,∞) ) ⋂ [-7/3,3]. = 
 
 f15a+f15b = [-7/3, -1] ⋃ [1,3]
 
 La gráfica de esta función se ve como:
In[44]:= f15a[x_] :=
1
x2 - 1
In[45]:= f15b[x_] := Sqrt2 - Abs3 x - 1
-4

In[46]:= Plotf15a[x] + f15b[x], {x, -7 / 3, 3}
Out[46]=
-2 -1 1 2 3
1
2
3
4
B. Producto tiene regla de correspondencia
(f15a⨯f15b)(x) = f15a(x) ⨯ f15b(x)
el dominio es el mismo que en el caso de las suma
f15a⨯f15b= [-7/3, -1] ⋃ [1,3]
y la gráfica de f15a⨯ f15b se ve como
16 practica1.nb
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In[47]:= Plotf15a[x] f15b[x], {x, -7 / 3, 3}
Out[47]=
-2 -1 1 2 3
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
C. Cociente f15b/f15a tiene regla de correspondencia
(f15b/f15a)(x) = f15b(x) / f15a(x)
el dominio es el mismo que en el caso de las suma
f15b/f15a= [-7/3, -1] ⋃ [1,3]
f15a nunca se anula en todo intervalo finito. 
la gráfica de f15a/ f15b se ve como
In[48]:= Plotf15a[x]  f15b[x], {x, -7 / 3, 3}
Out[48]=
-2 -1 1 2 3
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
D. ComposicionC. f15b ∘ f15a tiene regla de correspondencia
(f15b ∘ f15a)(x) = f15b(f15a(x))
el dominio es el conjunto
{x/x ϵ f15a y f15a(x) ϵ f15b }
De la gráfica de f15a se observa que las imágenes del intervalo (-∞,-1] ⋃ [1,∞) están en el intervalo [0, 
∞ ). Del dominio de f15b que es [-7/3,3], solo nos interesa el [0,3]. Por lo tanto necesitamos saber que 
practica1.nb 17
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x en el dominio de f15a nos da 3, vemos que 
In[49]:= f15b[1.055]
Out[49]= 1.20779
Entonce el dominio de la composición se reduce aproximadamente al intervalo (1, 1.055]
La regla de correspondencia esta dada por 
In[50]:= f15af15b[x]
Out[50]=
1
1 - 1
4
Abs[1 - 3 x]
Cuta grafica se ve como
In[51]:= Plotf15af15b[x], {x, 1.054, 1.055}
Out[51]=
1.0542 1.0544 1.0546 1.0548 1.0550
1.4754
1.4756
1.4758
1.4760
1.4762
1.4764
En Mathematica la operación de composición de funciones la denotamos de la forma:
In[52]:= Compositionf, g[x]
Out[52]= f[g[x]]
Problemas
1. Encuentre las soluciones reales de la desigualdades
a. ) -5 x + 1 ≤ 4
b.) 2 x - 4 ≤ 5
d.) 3 x + 1 > 4
e.) (-1 / 2) x2 + 3 x + 8 > 2
f.)  x2 + 10 x + 1  < 1
g.) 3 x + 1 ≤  x - 2
y grafíquelas en la recta real en forma análoga al ejemplo 1.
Resuelva estos ejercicios tanto con Mathematica como usando primeros principios.
18 practica1.nb
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2. Haga la gráfica de las funciones siguientes empleando Manipulate
i. Exponencial de base ⅇ
ii. Logaritmo natural
iii. Seno, 
donde estas funciones están definidas en términos de parámetros a,b y c como
In[53]:= fe[x_] := a ⅇc (x-b);
In[54]:= fl[x_] := a Log b (x - c);
In[55]:= fs[x_] := a Sinb (x - c);
Escoja valores apropiados para los parámetros a,b y c y un dominio apropiado y observe cuidadosa-
mente el efecto producido por el cambio en ellos. Reporte estos efectos
3. Haga la gráfica de la función a Cos[b(x+c)] empleando Manipulate donde los valores de los parámet-
ros a,b y c están en los rangos {a,-10,10},{b,-Pi,Pi} y {c,-10,10} para x ∈ [-10,10].
En términos de b y c cual es el período de esta función
4.Sean las funciones f y g dadas por las reglas de correspondencia
f(x) = x2 - 8
g(x) = 3 x3 + x2 +4
a. Encuentre los dominios posibles para f y g 
b. Encuentre la suma, resta, multiplicación, división y composición de f y g y establezca sus dominios 
en términos de los dominios encontrados en el inciso a.
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