4_Leyes de probabilidad - Diego Ismael Diaz Briceño (Licenciado)(1)

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Leyes de probabilidad
Francisco Marzal Baró 
Curso 2016/17
Fundamentos estadísticos
Versión 1
2
� Conceptos:
� Variable aleatoria.
� Distribución de probabilidad.
� Ley de probabilidad.
� Densidad de probabilidad.
� Leyes de probabilidad para variables discretas:
� Ley Binomial.
� Ley de Poisson.
� Ley Hipergeométrica.
� Leyes de probabilidad para variables continuas:
� Ley Normal.
Leyes de Probabilidad
Índice
NOTA: Algunos gráficos y tablas están sacados del libro: Métodos Estadísticos. J.M. Doménech Massons.
3
- Toda variable sigue, en la población, una determinada ley de probabilidad -
� Variable aleatoria o estocástica: Es una función que en un experimento aleatorio,
asigna a cada suceso elemental ei un valor numérico ri.
Ej: E = {masculino, femenino} 
Masculino → 0
Femenino → 1
� Distribución de probabilidad : Es el conjunto de todos los valores de la variable con
sus correspondientes probabilidades.
Ej: Valores de un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P= {
�
� ,
�
� ,
�
� ,
�
� ,
�
� ,
�
� }
� Ley o Modelo de probabilidad : Modelo que sirve para explicar la distribución de una
variable aleatoria.
� Densidad de probabilidad : En variables continuas, es la probabilidad asociada a un
determinado intervalo.
Leyes de Probabilidad
Conceptos
4
� Las leyes de la probabilidad se utilizan para cuantificar los patrones que se observan en fenómenos 
aleatorios. 
� Ejemplos:
� El lanzamiento de dados.
� La evolución de una epidemia. 
� El crecimiento de una población.
� El comportamiento de mercados financieros.
� El crecimiento de galaxias.
� Modelos meteorológicos para calcular el tiempo y el nivel de precipitación en una ciudad. 
� Cuando se produce un huracán y para estimar qué lugares serán afectados, así como la magnitud de los eventuales 
destrozos.
� Se utiliza en la fiabilidad de los productos, para reducir la probabilidad de avería. Está relacionado con la garantía del 
producto.
� Albert Einstein comentó en una carta a Max Born: “Estoy convencido de que Dios no tira los dados”. No obstante hoy 
en día no existe un medio mejor para describir la física cuántica si no es a través de la teoría de la probabilidad.
Leyes de Probabilidad
Aplicaciones prácticas de la probabilidad
5
� La distribución de una variable aleatoria puede res umirse por la 
media (llamada esperanza matemática) y la variancia.
� El cálculo se efectúa con las probabilidades de cada valor en vez de 
utilizar la frecuencia.
� Esperanza y Variancia para variables discretas:
� � � ∑ �	
	�	�� 
 � � ∑ ��	 � ������
	�	��
Leyes de Probabilidad
Esperanza matemática (o valor esperado) y Variancia.
Leyenda:
X: Variable aleatoria.
�: Nº total de valores que toma la variable.
�	: Valor que toma cada variable.
	: Probabilidad de obtener cada valor. 
6
� Definición: La distribución de frecuencias de objetos con una determinada característica, que se obtiene
al extraer de forma no exhaustiva muestras al azar de una población, sigue una ley Binomial.
� Representación: Una variable aleatoria S sigue una distribución binomial de parámetros n y π, se
escribe:
"~$��, 
�
� Características:
� Distribución de probabilidad discreta.
� Solamente admite dos categorías (éxito y fracaso).
� Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (π y 1-π).
� Se utiliza en muestreos CON reposición.
� Para poblaciones muy grandes (N>>n).
� Cálculo:
+ , � �!.!��/.�! ∙ 
. 1 � 
 �/.
� " � �
 ; 
 " � �
�1 � 
�
Leyes de Probabilidad
Ley Binomial
Leyenda:
n: nº de sujetos escogidos en una muestra.
k: nº de sujetos buscados en la muestra.
π: Proporción del parámetro buscado en la población.
S: Variable aleatoria. 
7
0
0,2
0,4
0,6
0
azules
1 azul 2
azules
Prob. obtener Bolas 
Azules
Tenemos una caja con 4 bolas azules (A) y 3 bolas blancas (B).
Si extraemos dos bolas con reposición calcular la probabilidad
de encontrar bolas azules:
a) Que sean las dos blancas
� + , � 0 � �!4!��/4�! ∙ 0.5714 1 � 0.571 �/4 � 0.184
b) De encontrar una bola azul
� + , � 1 � �!�!��/��! ∙ 0.571� 1 � 0.571 �/� � 0.49
c) Que sean las dos azules
� + , � 2 � �!�!��/��! ∙ 0.571� 1 � 0.571 �/� � 0.326
d) Calcular la Esperanza y la Variancia
� � " � �
 � 2 ∙ 0.571 � 1.142 ; 
 " � �
 1 � 
 � 2 ∙ 0.571 1 � 0.571 � 0.49
Ejemplo Ley Binomial
Leyes de Probabilidad
+ � 37 ∙
4
7 � 0.245
0.245∙ 2 � 0.49
+ � 37 ∙
4
7 � 0.245
0.245∙ 2 � 0.49
+ � 37 ∙
3
7 � 0.184+ �
3
7 ∙
3
7 � 0.184
+ � 47 ∙
4
7 � 0.326+ �
4
7 ∙
4
7 � 0.326
p , � �!.!��/.�! ∙ 
.�1 � 
��/.
Leyenda:
n: Nº de bolas
extraídas.
k: Nº bolas azules
buscadas.
π: Prop.bolas azules
en la población. 
8
� Se lanza un dado perfecto de 6 caras, 51 veces. ¿Cuál es la probabilidad
de que el número 3 salga 20 veces?
S ~ B(51, 1/6) y la probabilidad sería p(S=20):
n= 51
k= 20
π= 1/6
Leyes de Probabilidad
Ejercicio
+ 20 � 51!20! �51 � 20�! ∙ �1/6��4 1 �
1
6
?�/�4
� 0.00007353
p , � �!.!��/.�! ∙ 
.�1 � 
��/.
9
� Definición: La distribución de frecuencias de una característica poco frecuente, obtenida al extraer
al azar y con reposición muestras muy grandes, sigue una ley de Poisson.
� Representación: S ~ A�λ� , representando λ el número de veces que se espera que ocurra el
fenómeno en una muestra o intervalo dado.
� Características:
� Distribución de probabilidad discreta .
� Solamente admite dos categorías (éxito y fracaso).
� Se utiliza en muestreos con reposición.
� Para poblaciones muy grandes (N>>n).
� En muestras muy grandes �C D EFF� .
� La frecuencia de la característica a estudiar es poco frecuente �G H F. FI�.
� Cálculo:
+ " � , � JK.! ∙ L/J
� " � 
 " � λ � �
Leyes de Probabilidad
Ley de Poisson
Leyenda:
�: nº del tamaño de la muestra.
,: nº de ocurrencias del evento.
: Proporción del evento en la población.
λ � � ∙
L � 2.71828 … .
10
� La prevalencia de personas pelirrojas en el municipio de Madrid es del 2%.
Realizando una muestra aleatoria de 100 sujetos, ¿Cual es la probabilidad
de encontrar en la muestra?
λ � �
 � 100 ∙ 0.02 � 2
� 1 persona pelirroja: 
+ , � 1 � λ
.
,! ∙ L/J �
2�
1! ∙ L/� � 0.2707
� 5 personas pelirrojas:
+ , � 5 � 2
?
5! ∙ L/� � 0.0361
� Calcular la Esperanza y la Variancia:
� " � 
 " � λ � �π � 2
Leyes de Probabilidad
Ejemplo Ley de Poisson p " � , � JK.! ∙ L/J
Leyenda:
�: nº del tamaño de la muestra.
,: nº sujetos con pelo pelirrojo.
: Proporción de pelirrojos en la población.
λ � �
11
� Repetir el ejercicio anterior aplicando la ley Binomial.
La prevalencia de personas pelirrojas en el municipio de Madrid es del 2%.
Realizando una muestra aleatoria de 100 sujetos, ¿Cual es la probabilidad de
encontrar en la muestra?
� 1 persona pelirroja:
+ , � 1 � �44!�!��44/��! ∙ 0.02� 1 � 0.02 �44/� � 0.2706
� 5 personas pelirrojas:
+ , � 5 � �44!?!��44/?�! ∙ 0.02? 1 � 0.02 �44/? � 0.0353
� Calcular la Esperanza y la Variancia:
� " � �
 � 100 ∙ 0.02 � 2 ; 
 " � �
 1 � 
 � 100 ∙ 0.02 1 � 0.02 � 1.96
Leyes de Probabilidad
Ejercicio demostrativo p , � �!.!��/.�! ∙ 
.�1 � 
��/.
O 0.2707 (Poisson k=1)
O 0.0361 (Poisson k=5)
� " � 
 " � λ � �π � 2 (Poisson)
12
� El 2% de los libros encuadernados en un taller tiene encuadernación
defectuosa. Tenemos 400 libros y se quiere obtener la probabilidad de
que 5 de ellos estén defectuosos. Aplicar la Ley de Poisson.
k= 5 (nº de ocurrencias del evento).
λ= 8 (nº de veces que se espera que ocurra el fenómeno → 2% RL 400).
+ , � 5 � λ
.
,! ∙ L/J �
8?
5! ∙ L/S � 0.092
Leyes de Probabilidad
Ejercicio p " � , � JK.! ∙ L/J
13
� Definición: Describe la distribución de frecuencias de una determinada característica que se obtiene al extraer
sin reposición muestras aleatorias de una población finita.
� Representación: T�U�; U�; ��
� Características:
� Distribución de probabilidad discreta.
� Solamente admite dos categorías (éxito y fracaso).
� Se utiliza en muestreos SIN reposición.
� Cuando el tamaño de la población es grande, la distribución hipergeométrica coincide con laBinomial.
� Cálculo:
+ , �
VW!
K!�VWXK�!∙
VY!
�ZXK�!�VYXZ[K�!V!
Z!�VXZ�!
� " � �
 ; 
 " � �
�1 � 
� ∙ \/�\/�
Leyes de Probabilidad
Ley Hipergeométrica
Leyenda:
U: Total de sujetos en la población.
U�: Sujetos tipo 1 (característica a analizar).U�: Sujetos tipo 2.�: Tamaño de la muestra.
,: nº de ocurrencias del evento.
: Proporción del evento en la población.
14
Tenemos una población de 10
personas compuesta por N1=6♀ y
N2= 4♂. Realizamos un muestro
aleatorio de tres personas sin
reposición.
Leyes de Probabilidad
Ejemplo Ley Hipergeométrica
+ � 610 ∙
5
9 ∙
4
8 � 0.166
0.166 ∙ 3 � 0.5
+ � 610 ∙
5
9 ∙
4
8 � 0.166
0.166 ∙ 3 � 0.5
+ � 610 ∙
5
9 ∙
4
8 � 0.167+ �
6
10 ∙
5
9 ∙
4
8 � 0.167
+ � 410 ∙
3
9 ∙
2
8 � 0.033+ �
4
10 ∙
3
9 ∙
2
8 � 0.033
6♀, 4♂
♀
♀
♀
♂
♂
♀
♂
♂
♀
♀
♂
♂
♀
♂
3♀
2♀
1♀
0♀
+ � 410 ∙
3
9 ∙
6
8 � 0.1
0.1 ∙ 3 � 0.3
+ � 410 ∙
3
9 ∙
6
8 � 0.1
0.1 ∙ 3 � 0.3
Calcular la probabilidad de que no
salga ninguna mujer en la muestra
(k=0). Obtener la Esperanza y la
Variancia de la variable aleatoria.
Leyenda:
N1 nº de ♀ ; N2 nº de ♂.
N: Población total �U � U� ] U��
n: nº de personas elegidas.
k: nº de ♀ elegidas en la muestra.
π: Proporción de ♀ en la población. �
 � U� U⁄ �
+ , � 0 � 
6!
0! �6 � 0�! ∙
4!
�3 � 0�! �4 � 3 ] 0�!
10!
3! �10 � 3�!
� 
6!
0! ∙ 6! ∙
4!
3! ∙ 1!10!
3! ∙ 7!
� 1 ∙ 4120 � 0.033
� " � �
 � 3 ∙ 0.6 � 1.8 
 
 " � �
 1 � 
 ∙ U � �U � 1 � 3 ∙ 0.6 1 � 0.6 ∙
10 � 3
10 � 1 � 0.56
+ , � 
U�!,! �U� � ,�! ∙
U�!�� � ,�! �U� � � ] ,�!U!
�! �U � ��!
15
Utilizando la ley hipergeométrica en el muestro aleatorio del ejemplo anterior, y sabiendo que se eligen a tres
personas sin reposición, calcular la probabilidad de obtener:
� Una sola mujer:
+ , � 1 � 
6!
1! �6 � 1�! ∙
4!
�3 � 1�! �4 � 3 ] 1�!
10!
3! �10 � 3�!
� 
6!
1! ∙ 5! ∙
4!
2! ∙ 2!10!
3! ∙ 7!
� 6 ∙ 6120 � 0.3
� Un solo hombre:
+ , � 2 � 
6!
2! �6 � 2�! ∙
4!
�3 � 2�! �4 � 3 ] 2�!
10!
3! �10 � 3�!
� 
6!
2! ∙ 4! ∙
4!
1! ∙ 3!10!
3! ∙ 7!
� 15 ∙ 4120 � 0.5
� Tres mujeres o tres hombres: 
+ ♀♀♀ � + , � 3 � 
6!
3! �6 � 3�! ∙
4!
�3 � 3�! �4 � 3 ] 3�!
10!
3! �10 � 3�!
� 
6!
3! ∙ 3! ∙
4!
0! ∙ 4!10!
3! ∙ 7!
� 20 ∙ 1120 � 0.167
+ ♂♂♂ � + , � 0 � 
6!
0! �6 � 0�! ∙
4!
�3 � 0�! �4 � 3 ] 0�!
10!
3! �10 � 3�!
� 
6!
0! ∙ 6! ∙
4!
3! ∙ 1!10!
3! ∙ 7!
� 1 ∙ 4120 � 0.033
+�♀♀♀� ∪ +�♂♂♂) = +�♀♀♀� + +�♂♂♂)� 0.167]0.033 � 0.2
Leyes de Probabilidad
Ejercicio Ley Hipergeométrica + , � 
U�!,! �U� � ,�! ∙
U�!�� � ,�! �U� � � ] ,�!U!
�! �U � ��!
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 1 2 3
Prob. de elegir 
mujeres
Mujeres
16
Ley Distribución de 
probabilidad
Fórmulas
P
ob
la
ci
on
es
in
fin
ita
s
Binomial
$��, 
�
Muestro con reposición
Para 2 categorías
+ , � �!,! �� � ,�! ∙ 
.�1 � 
��/.
� " � �
 ; 
 " � �
�1 � 
�
Poisson
A�λ � �
�
Muestro con reposición
Requisitos:
-Proporciones poco frecuentes
(π≤0.05)
-Muestras muy grandes(n≥100)
+ " � , � λ
.
,! ∙ L/J
� " � 
 " � λ � �
P
ob
la
ci
on
es
fin
ita
s
Hiper
Geométrica
T�U�; U�; ��
Muestro sin reposición
Para 2 categorías
+ , � 
U�!,! �U� � ,�! ∙
U�!�� � ,�! �U� � � ] ,�!U!
�! �U � ��!
� " � �
 ; 
 " � �
�1 � 
� ∙ U � �U � 1
Leyes de Probabilidad
Leyes de probabilidad en variables discretas
17
� Características:
� Tiene forma de campana.
� Es simétrica alrededor de la media.
� Es asintótica (no llega a tocar el eje de las X).
� Media, mediana y la moda son iguales y 
se localizan en el centro de la distribución.
� El área total bajo la curva vale 1.
Leyes de Probabilidad
Ley Normal o Distribución de Gauss
� Representación: � ∈ U�a , b��.
� No existe una sola distribución de probabilidad normal, su número es ilimitado.
� Para distribuciones continuas .
� Casi cualquier distribución de probabilidad, se puede aproximar por una normal 
bajo ciertas condiciones.
+ � D �� � c 12
b� ∙ L
/�� ∙ 
�d/e�Y
fY
g
dW
18
� Todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, que 
tiene media 0 y variancia 1 → U�0 , 1�.
Transformación:
� Transformar la variable � que siga una ley U�a , b�� en una variable h que
siga una ley U 0 , 1 .
Variable Z: → h � d/ef
� Buscar la probabilidad de que se cumpla el valor h en la tabla T4a.
� La tabla proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria normal estandarizada
tome valores h mayores o iguales a h	 → + h D h	 .
Tabla
Leyes de Probabilidad
Distribución estándar normal o Ley Normal reducida
 +�h D h	�
19
� La distribución de peso de los alumnos en un Instituto sigue una ley N(50, 2.25).
¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a un alumno al azar pese 51 Kg?
Peso: V. Cuantitativa: 51 ,i → 50.5 j 51.5 ,i.
Datos: a � 50,i ; b� � 2.25 → b � 2.25 � 1.5 ,i
� Transformar los límites en valores z:
� �	 � 50.5 ,i → h � d/ef �
?4.?/?4
�.? � 0.33
� �k � 51.5 ,i → h � ?�.?/?4�.? � 1
� Obtener la probabilidad con la tabla.
� + h D 0.33 � 0.3707
� + h D 1 � 0.1587
� Calcular probabilidad del área pedida:
� + 50.5 l � l 51.5 � + 0.33 l h l 1.00 �
0.3707 � 0.1587 � 0.2120 → 21.2%
Leyes de Probabilidad
Ejemplo
kg
+�� H 50.5�
20
� La distribución de peso de los alumnos en un Instituto sigue una ley N(50, 2.25).
¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a un alumno al azar pese entre 48 y 50 Kg?
Peso: V. Cuantitativa: 48 a 50 ,i → 47.5 j 50.5 ,i.
Datos: a � 50,i ; b� � 2.25 → b � 2.25 � 1.5 ,i
� Transformar los límites en valores z:
� �	 � 47.5 ,i → h � d/ef �
mn.?/?4
�.? � �1.67
� �k � 50.5 ,i → h � ?4.?/?4�.? � 0.33
� Obtener la probabilidad con la tabla.
� �	 � 47.5 ,i → h � �1.67 → + h H �1.67 � + h D 1.67 � 0.0475 
� �k � 50.5 ,i → h � 0.33 → + h D 0.33 � 0.3707
� Calcular probabilidad del área pedida:
� + 47.5 l � l 50.5 � 1 � + h H �1.67� � +�h D 0.33 �
1 � 0.0475 � 0.3707 � 0.5818 → 58.2 %
Leyes de Probabilidad
Ejercicio
kg
21
� El intervalo contiene la proporción 1 � o central de los casos:
p q rs/t ∙ u
hv/�: Valor de la ley normal reducida. Deja a su derecha una proporción α/2 de los casos.
� Ejemplo: Calcular el intervalo que contiene el 50% central de la siguiente distribución:
N(50,2.25).
a q hv/� ∙ b � 50 q 0.6745 ∙ 1.5 � 50 q 1.01 → 48.99 j 51.01
Leyes de Probabilidad
Determinar un intervalo central de valores
α/2
1-α
0.25
50%
0.10
80%
0.05
90%
0.025
95%
0.005
99%
0.0005
99.9%
Zα/2 0.674 1.282 1.645 1.96 2.576 3.291
22
� Si las muestras son grandes, las probabilidades de la ley Binomial se 
pueden calcular de forma bastante aproximada a la ley Normal.
� Condiciones de muestra grande: CG w C�E � G� D I
� Corrección de continuidad: q0.5 +x�yz{. (permite tratar como continua una variable discreta).
Leyes de Probabilidad
Aproximación Normal de la ley Binomial
24Asignatura/Tema
Muchas gracias 
por vuestra 
atención.