UNIDAD 3 - Víctor 60K

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UNIDAD 3
VÍCTOR ALFREDO ALCANTAR MORENO 20080046
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE GÓMEZ PALACIO
24 de marzo de 2023
La integral iterada es una técnica de cálculo para evaluar
integrales múltiples, como la integral doble y la integral triple.
En el caso de la integral doble, la integral iterada se utiliza
para evaluar la integral de una función de dos variables
definida sobre una región plana. De manera similar, en el caso
de la integral triple, se utiliza para evaluar la integral de una
función de tres variables definida sobre una región en el
espacio tridimensional.
La integral iterada doble es una integral que se calcula a
través de la repetición de la integración una variable a la vez.
En otras palabras, se integra primero en una variable,
manteniendo la otra variable constante, y luego se integra en
la otra variable. La integral doble iterada se escribe en la
forma:
INTEGRAL ITERADA DOBLE
INTEGRAL ITERADA TRIPLE
El procedimiento utilizado para definir una integral triple es análogo al
utilizarlo para integrales dobles. Considerar una función f en tres
variables que es continua sobre una región sólida acotada Q. Entonces,
se encierra Q en una red de cubos y se forma una partición interna que
consta de todos los cubos que quedan completamente dentro de Q,
Teorema de Fubini
El teorema de Fubini es un resultado fundamental en
el cálculo de integrales múltiples que establece que la
integral iterada de una función de varias variables es
igual a la integral doble o triple de la misma función,
siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones de
integrabilidad.
Vamos a escoger una función real f(x,y)=z>0, (la
superficie azul de la figura, por ejemplo) y el dominio R,
(el rectángulo debajo de ella). La superficie, el
rectángulo R y los planos laterales x=a, x=b, y=c y y=d,
forman una región cerrada, ¿verdad? (un bloque).
En este caso, tenemos algo parecido: lo que llamamos 
Integral doble de f en R es exactamente el volumen de la 
región que se encuentra debajo de f. Y los escribimos así:
𝑉 =ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ó ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
(siendo A el área de R).
Lo que acabamos de ver es la interpretación geométrica de 
la integral doble. Ahora, vamos a definir ese concepto de 
forma más matemática, como hicimos con las integrales 
simples. 
Vamos a escoger una función f(x,y)=z>0 y la región 
R=[a,b]×[c,d] (es decir, a≤x≤b y c≤y≤d. Queremos calcular el 
volumen V de la región y, para eso, vamos a dividir el área 
de R en varios sub-rectángulos. Lo haremos repartiendo el 
intervalo x en n partes y y en m partes, creando una “malla”, 
como podrás ver:
Para un punto arbitrario (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗) de cada uno de esos sub-
rectángulos (un punto cualquiera) tenemos un valor 
correspondiente de f representado encima de ellos. De esta 
manera, formamos varias columnas en el domínio R, que 
sumadas, aproximan al valor del volumen V, observa:
La intuición nos dice que, cuanto menor sean los 
subintervalos (y, por tanto, menores esas “cajas”) 
mejor será la aproximación de V. Entonces, hacemos 
que n y m tiendan al infinito, lo que nos da 
exactamente la definición de la integral doble:
∬𝑅𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = lim
𝑚,𝑛→∞
∞∑𝑖 = 1𝑚∑𝑗
= 1𝑛𝑓(𝑥𝑖𝑗, 𝑦𝑖𝑗)𝛥𝐴
Y claro que, en ese caso, la función f es positiva y,
por tanto, esa integral doble representa el volumen
debajo de ella. Sin embargo, existen casos donde
tendremos funciones que asumen números
negativos. No te preocupes, la integral existe, solo
que no representa ningún volumen. Ocurría algo
parecido en las integrales simples, ¿recuerdas?
Cuando la función se encontraba abajo del eje y, su
integral en x era un número negativo.
Método de resolución de integrales iteradas 
dobles y triples con las técnicas de fórmulas 
directas.
Para resolver integrales iteradas dobles y triples con la técnica de fórmulas directas, 
se utilizan las siguientes fórmulas:
Integral doble: Si f(x,y) es una función continua en un rectángulo R = [a,b] x [c,d], 
entonces la integral de f en R está dada por:∬R f(x,y) dA = ∫a^b ∫c^d f(x,y) dy dx
Integral triple: Si f(x,y,z) es una función continua en un paralelepípedo P = [a,b] x [c,d] 
x [e,f], entonces la triple de f en P está dada por: ∭P f(x,y,z) dV = ∫a^b ∫c^d ∫e^f
f(x,y,z) dz dy dx
Para resolver la integral doble o triple, se sigue los siguientes pasos:
-En primer lugar, se identifica la región de integración (R o P) y se 
establece el orden de integración. Esto implica decidir si se integrará 
primero en x, luego en y (en el caso de una integral doble), o si se 
integrará primero en x, luego en y y luego en z (en el caso de una 
integral triple).
-Se establecen los límites de integración para cada variable. Esto 
implica determinar los valores mínimos y máximos de cada variable 
dentro de la región de integración.
-Se reescribe la función a integrar en términos de las variables de 
integración.
-Se realiza la integración. Si se integra primero en y (o en z, en el 
caso de una integral triple), se debe realizar la integral interna antes 
de realizar la externa.
Ejemplo 1: Calcular la integral doble de la función f(x,y) = xy sobre el rectángulo R = [0,1] 
x [0,1].
Solución:
∬R xy dA = ∫0^1 ∫0^1 xy dy dx
= ∫0^1 [(x/2)y^2]0^1 dx
= ∫0^1 x/2 dx
= 1/4
Por lo tanto, la integral doble de f(x,y) = xy sobre el rectángulo R = [0,1] x [0,1] es 1/4.
Cambio de variables
En lo que sigue el conjunto E, contenido en el plano de variables (u, v), es un dominio descomponible en 
dominios simples respecto de u o respecto de v. 
Se dice que una función α : E 7→ R es de clase C 1 si es continua en E, diferenciable, con derivadas 
parciales continuas para todo (u, v) en el interior de E, y tal que las derivadas parciales se extienden en 
forma continua al borde de E.
Sea Φ(u, v) = (α(u, v), β(u, v)), tal que Φ : E 7→ R 2 . Se dice que de clase C 1 si α y β lo son. Se dice que 
Φ : E 7→ D es un cambio de variables de clase C1 si, además de todo lo anterior, se cumple: D = Φ(E) y 
Φ es inyectiva (y por lo tanto invertible) del interior de E al interior de D.
Sea (x, y) = Φ(u, v) = (α(u, v), β(u, v)) un cambio de variables de clase C1 que transforma (u, v) ∈ E en (x, 
y) ∈ D = Φ(E).
Si el Jacobiano J(u, v) ≠ 0 en el interior de E, entonces, para toda función continua f en D, se cumple:
ඵ
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ඵ
𝐸=𝜙−1(𝐷)
𝑓(𝛼 𝑢, 𝑣 , 𝛽 𝑢, 𝑣 ) ⋅ 𝐽(𝑢, 𝑣) 𝑑𝑢𝑑𝑣
Por identidades trigonométricas
Para resolver integrales iteradas dobles y triples utilizando identidades trigonométricas, se deben utilizar las 
siguientes identidades:
Identidades trigonométricas básicas:
sin²(x) + cos²(x) = 1
tan(x) = sin(x) / cos(x)
Identidades trigonométricas para productos:
sin(x) sin(y) = (1/2)[cos(x-y) - cos(x+y)]
cos(x) cos(y) = (1/2)[cos(x-y) + cos(x+y)]
sin(x) cos(y) = (1/2)[sin(x+y) + sin(x-y)]
Identidades trigonométricas para potencias:
sin³(x) = (3sin(x) - sin(3x)) / 4
cos³(x) = (cos(3x) + 3cos(x)) / 4
A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo resolver integrales dobles y triples utilizando 
identidades trigonométricas.
Ejemplo 1: Calcular la integral doble de la función f(x,y) = sin(x)cos(y) sobre el rectángulo R = [0,π/2] x 
[0,π/2].
Solución:
∬R sin(x)cos(y) dA = ∫0^(π/2) ∫0^(π/2) sin(x)cos(y) dy dx
= ∫0^(π/2) [sin(x)sin(y)/2]0^(π/2) dx
= ∫0^(π/2) sin(x)/2 dx
= [-cos(x)/2]0^(π/2)
= 1/2
Por lo tanto, la integral doble de f(x,y) = sin(x)cos(y) sobre el rectángulo R = [0,π/2] x [0,π/2] es 1/2.
Ejemplo 2: Calcular la integral triple de la función f(x,y,z) = cos(x)cos(y)cos(z) sobre el paralelepípedo P = 
[0,π/2] x [0,π/2] x [0,π/2].
Solución:
∭P cos(x)cos(y)cos(z) dV = ∫0^(π/2) ∫0^(π/2) ∫0^(π/2) cos(x)cos(y)cos(z) dz dy dx
= ∫0^(π/2) cos(x)[sin(y)sin(z)/4]0^(π/2) dy dx
= ∫0^(π/2) cos(x)/4 dy
= [sin(x)/4]0^(π/2)
= 1/4
Por lo tanto, la integral triple de f(x,y,z) = cos(x)cos(y)cos(z) sobre el paralelepípedo P = [0,π/2] x [0,π/2] x 
[0,π/2] es 1/4.
Por partes
Para resolver integrales iteradas doblesy triples por partes, se pueden utilizar las siguientes fórmulas:
Integración por partes para integrales dobles:
∫∫R u(x,y) ∂v/∂x dA = ∫∫R ∂u/∂x v(x,y) dA - ∫∫R (∂u/∂x)(∂v/∂y) dA
∫∫R u(x,y) ∂v/∂y dA = ∫∫R ∂u/∂y v(x,y) dA - ∫∫R (∂u/∂y)(∂v/∂x) dA
Integración por partes para integrales triples:
∫∫∫E u(x,y,z) ∂v/∂x dV = ∫∫∂E u(x,y,z) v(x,y,z) n_x dS - ∫∫∫E (∂u/∂x)(∂v/∂y) dV - ∫∫∫E (∂u/∂x)(∂v/∂z) dV
∫∫∫E u(x,y,z) ∂v/∂y dV = ∫∫∂E u(x,y,z) v(x,y,z) n_y dS - ∫∫∫E (∂u/∂y)(∂v/∂x) dV - ∫∫∫E (∂u/∂y)(∂v/∂z) dV
∫∫∫E u(x,y,z) ∂v/∂z dV = ∫∫∂E u(x,y,z) v(x,y,z) n_z dS - ∫∫∫E (∂u/∂z)(∂v/∂x) dV - ∫∫∫E (∂u/∂z)(∂v/∂y) dV
donde u y v son funciones continuamente diferenciables definidas en R o E, respectivamente, y n_x, n_y, n_z
son los componentes de la normal exterior a la superficie de la región R o E en el punto (x,y,z).
A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo resolver integrales dobles y triples por partes.
Ejemplo 1: Calcular la integral doble de la función f(x,y) = xy sobre el rectángulo R = [0,1] x [0,1].
Solución:
Usando la fórmula de integración por partes para integrales dobles con u(x,y) = x y y ∂v/∂x = 1, ∂v/∂y = x, 
obtenemos:
∫∫R xy dA = ∫∫R x ∂v/∂y dA
= ∫0^1 ∫0^1 x(x/2) dy dx - ∫0^1 ∫0^1 (1/2) (∂/∂x)(x²/2) dx dy
= (1/4) - (1/8)
= 1/8
Por lo tanto, la integral doble de f(x,y) = xy sobre el rectángulo R = [0,1] x [0,1] es 1
APLICACIÓN DE INTEGRAL DOBLE PARA EL CÁLCULO 
DE ÁREA DE REGIONES GENERALES PROYECTADAS 
SOBRE EL PLANO XY.
Para las integrales simples, la región en la que integramos siempre es un intervalo, ¿cierto? Sea de variable x
o y. Sin embargo, cuando tenemos dos variables, la historia es otra: el dominio puede ser distintos tipos de 
área. Ya vimos cómo calcular las integrales dobles sobre rectángulos pero, ¿y si queremos calcular en una 
región cualquiera? Tenemos un teorema que nos permite hacerlo.
Imagina una región D cerrada, representada en la imagen de abajo (la parte verde). Esta siempre estará 
contenida dentro de un rectángulo mayor R=[a,b]×[c,d], ¿cierto? Entonces, vamos a definir una función f que 
sea así:
F(x,y)={f(x,y),0, si (x,y) estuviera dentro de D, 0 si (x,y) estuviera fuera de D, pero dentro de R
Bien, para calcular la integral en esa región, vamos a separarla en integrales simples:
ඵ
𝑅
𝐹 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝐹 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
Sucede que, cuando la región no es un rectángulo, no podemos describirla sólo por intervalos de números 
a,b,c y d, porque esta no será limitada por rectas, sino por funciones, curvas como x2=y, por ejemplo. ¿Y 
ahora qué hacemos?
Digamos que x varía entre dos números (x máximo y x mínimo) y y varía entre las funciones g1(x) y g2(x). 
Cuando y está fuera de dicho intervalo [g1(x),g2(x)] tenemos F(x,y)=0, ¿verdad? Mientras que dentro, 
tenemos F(x,y)=f(x,y). De esa forma, podemos escribir la integral en D como:
න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝐹 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = න
𝑎
𝑏
න
𝑔1(𝑥)
𝑔2(𝑥)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
En resumen, eso es todo lo que necesitas saber. También podemos escribir como integrales iteradas a las 
integrales dobles en regiones que no son rectángulos, la diferencia es que tendremos funciones en los 
límites de integración para una de las variables. 
¿Pero por qué solo para una de las variables? Porque luego de resolver la integral de dentro, solo nos 
quedará una integral simple, y los límites de integración de una integral simple son números. Más adelante 
veremos cómo funciona. 
PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL PARA EL 
CÁLCULO DEL ÁREA DE LA REGIÓN GENERAL
Región Tipo I: entre f(x) y g(x) a lo largo del eje Y, valores fijos a lo largo del eje X
Una región de tipo 1, es aquella en la cual toda recta paralela al eje y (vertical) que atraviesa el interior de la
región corta a la frontera de la misma en exactamente dos puntos. En estos casos, puedes describir a la
región limitando a x entre dos valores constantes y a y entre dos funciones de x. La siguiente animación te
permitirá comprender mejor este concepto.
Regiones de Tipo II: son lo opuesto a las regiones de tipo I, por tanto, continuas en y. Es decir, en y,
tenemos un intervalo definido (números). Mientras que en x, la región es limitada por funciones. Estas
pueden ser escritas así:
D={(x,y)∣c≤y≤d,h1(y)≤x≤h2(y)}
El gráfico de una región genérica de este tipo sería así:
Observa que, en ambos lados (izquierda y derecha) la región es limitada por funciones (las curvas en 
azul), mientras que arriba y abajo, por números (las rectas con trazo interrumpido).
Con el mismo razonamiento que usamos en las regiones de tipo I, concluimos que las integrales para las 
regiones de tipo II, pueden ser escritas así:
න
𝑐
𝑑
න
ℎ2(𝑦)
ℎ2(𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
MÉTODO DE CÁLCULO DE ÁREA DE LA REGIÓN 
GENERAL
Calcular el área de la región en el primer cuadrante limitada por las curvas y = x^2, y = 2x y x = 2.
Realizar un bosquejo de la región: la región está limitada por las curvas y = x^2, y = 2x y x = 2. Se trata de una 
región curva y acotada en el primer cuadrante.
region
Identificar las funciones presentes en la región y sus intervalos: las funciones que describen la región son y = 
x^2, y = 2x y x = 2. En términos de las variables de integración, podemos describir la región como:
x = y/2 y 0 <= x <= 2
y = x^2 y 0 <= y <= 4
0 <= x <= 2
Determinar el tipo de región, Tipo I ó II: la región es del tipo II, ya que está limitada por las curvas y = x^2 y y = 
2x.
Formular la integral doble: el área de la región se puede calcular como:
A = ∫∫R dA = ∫0^2 ∫x^2^(2x) dy dx
donde dA es el elemento de área en coordenadas cartesianas.
Resolver la integral: resolviendo la integral doble obtenemos:
A = ∫0^2 ∫x^2^(2x) dy dx
= ∫0^2 (2x - x^2) dx
= 4/3
Por lo tanto, el área de la región en el primer cuadrante limitada por las curvas y = x^2, y = 2x y x = 
2 es 4/3 unidades cuadrada
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL TRIPLE PARA EL
CÁLCULO DE VOLUMEN DE UN SÓLIDO.
Una de las aplicaciones más comunes de la integral triple es el cálculo del
volumen de un sólido en el espacio tridimensional. El volumen de un sólido se
puede calcular mediante la siguiente integral triple:
V = ∫∫∫E dV
donde E es el sólido en el espacio tridimensional y dV es el elemento de
volumen en coordenadas cartesianas.
La integral triple se puede calcular utilizando cualquier método de integración
triple, como integración iterada o cambio a coordenadas cilíndricas o esféricas,
dependiendo de la geometría del sólido.
El sólido está limitado por el paraboloide z = x^2 + y^2 y el plano z = 4. Se trata de 
una región de revolución en torno al eje z. 
La función que describe el sólido es z = x^2 + y^2, con z limitado por el plano z = 4. 
Como se trata de una región de revolución en torno al eje z, podemos describir el 
sólido en términos de la función de la curva que se genera al cortar el sólido con el 
plano xy. La curva es una circunferencia de radio r = 2, centrada en el origen, y se 
puede describir en coordenadas cilíndricas como r = 2 y 0 <= θ <= 2π. En términos 
de las variables de integración, podemos describir el sólido como:
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
z = r^2
0 <= r <= 2
0 <= θ <= 2π
0 <= z <= 4
La integral triple que calcula el volumen del sólido es: V = ∫∫∫E dV = ∫0^2 
∫0^(2π) ∫0^4 r dz dθ dr
donde dV es el elemento de volumen en coordenadas cilíndricas.
Resolviendo la integral triple obtenemos:
V = ∫0^2 ∫0^(2π) ∫0^4 r dz dθ dr
= ∫0^2 ∫0^(2π) 4r dθ dr
= ∫0^2 8π dr
= 16π
Por lo tanto, el volumen del sólido limitado por el paraboloide z = x^2 + y^2 y 
el plano z = 4 es 16π unidades cúbicas.
REFERENCIAS
https://www.geogebra.org/m/cqmfxzmq
https://www.calculisto.com/topics/integrales-dobles/summary/613
https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/5-7-cambio-de-variables-en-integrales-multiples
https://www.calculisto.com/topics/integrales-dobles
https://sites.google.com/site/integralesdobles1/integral-doble
https://sites.google.com/site/integralesdobles1/integral-doble/integral-iteradahttps://sites.google.com/site/glenmedimon/cuarto-parcial/integrales-triples
http://daac.itam.mx/sites/default/files/u444/notaswmc3_1-15.pdf
https://www.geogebra.org/m/cqmfxzmq
https://www.calculisto.com/topics/integrales-dobles/summary/613
https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/5-7-cambio-de-variables-en-integrales-multiples
https://www.calculisto.com/topics/integrales-dobles
https://sites.google.com/site/integralesdobles1/integral-doble
https://sites.google.com/site/integralesdobles1/integral-doble/integral-iterada
https://sites.google.com/site/glenmedimon/cuarto-parcial/integrales-triples
http://daac.itam.mx/sites/default/files/u444/notaswmc3_1-15.pdf
	Diapositiva 1: UNIDAD 3
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3: INTEGRAL ITERADA TRIPLE
	Diapositiva 4: Teorema de Fubini 
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6
	Diapositiva 7: Método de resolución de integrales iteradas dobles y triples con las técnicas de fórmulas directas.
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9
	Diapositiva 10: Cambio de variables
	Diapositiva 11
	Diapositiva 12
	Diapositiva 13: Por partes
	Diapositiva 14
	Diapositiva 15: Aplicación de integral doble para el cálculo de área de regiones generales proyectadas sobre el plano XY.
	Diapositiva 16
	Diapositiva 17: Planteamiento de la integral para el cálculo del área de la región general
	Diapositiva 18
	Diapositiva 19
	Diapositiva 20: Método de cálculo de área de la región general
	Diapositiva 21
	Diapositiva 22
	Diapositiva 23: Aplicación de la integral triple para el cálculo de volumen de un sólido.
	Diapositiva 24
	Diapositiva 25
	Diapositiva 26
	Diapositiva 27