Tarea 5 - Oscar Benitez

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Tarea 
4.39 (Modificado) Dada la función 
𝑓(𝑥) = 2𝑥1
2 𝑥2 − 2𝑥2
2 + 𝑥1
3 
Determine 
a) El gradiente y la matriz Hessiana, 
b) los puntos estacionarios, 
c) que tipo de superficie está representada por f(x) en los puntos críticos según la tabla 4.2 
 
4.40 (Modificado) Dada la función 
 
𝑓 (𝑥) = 3𝑥1
3𝑥2 
Determine: 
a) el gradiente y la matriz Hessiana, 
b) los puntos estacionarios, 
c) interprete la geometría de f (x) en sus puntos críticos en términos de la tabla 4.2 
 
4.50 (Modificado) Dada la función 
𝑓 (𝑥) = 𝑥1
4 + 12𝑥2
3 − 15𝑥1
2 − 56𝑥2 + 60 
Determine: 
a) el gradiente y la matriz Hessiana, 
b) si la solución 𝑥 = [−0.87 − 0.8]𝑇 para la función objetivo es un verdadero máximo, 
c) si existen otros puntos estacionarios de f(x), 
d) interprete la geometría de f(x) en sus puntos críticos (si existen) en términos de la tabla 
4.2. 
 
 
 
 
 
 
 
Soluciones 
Problema 4.39 
 
a) 
∇(𝑓) = [
4𝑥1𝑥2 + 3𝑥1
2 
2𝑥1
2 − 4𝑥2
] , 𝐻 = [
4𝑥2 + 6𝑥1 4𝑥1
 4𝑥1 −4
] 
 
b) 
los puntos críticos se encuentran en (0,0) y (−
3
2
,
9
8
 ) 
 
c) 
 
Problema 4.40 
 
a) 
𝛻𝑓(𝑥) = [
9𝑥1
2𝑥2
3𝑥2
3 ] , 𝐻 = [
8𝑥1𝑥2 9𝑥1
2
9𝑥1
2 0
] 
 
b) 
𝑥∗=[0, 0], la función no tiene máximos ni mínimos ya que la matriz Hessiana evaluado en 
el punto 𝑥∗ es cero 
 
c) 
𝜆1 = 𝜆2 = 0 no corresponde a ningún criterio por lo que no se puede dar una 
interpretación geométrica de los contornos 
 
Problema 4.50 
 
a) 
∇𝑓(𝑥) = [
4𝑥1
3 − 30𝑥1
−36𝑥2
2 − 56
] ; 𝐻(𝑥) = [
12𝑥1
2 − 30 0
0 −72𝑥2
] 
 
b) 
 
La solución x = [-0.87 -0.8]T no es un máximo. 
 
c) 
 
d) 
 
Operaciones 
Problema 4.39 
a) 
Recordamos que la forma para obtener la gradiente para un vector dado por 
𝑓(𝑥1, 𝑥2) está indicado por: 
∇(𝑓) =
[
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥1
(𝑓)
𝜕
𝜕𝑥2
(𝑓)
]
 
 
 
 
Entonces, se obtienen las derivadas parciales de la función, respecto a x1 y x2 
𝜕
𝜕𝑥1
 (2𝑥1
2 𝑥2 − 2𝑥2
2 + 𝑥1
3) = 4𝑥1𝑥2 + 3𝑥1
2 
𝜕
𝜕𝑥2
 (2𝑥1
2 𝑥2 − 2𝑥2
2 + 𝑥1
3) = 2𝑥1
2 − 4𝑥2 
Por lo tanto, el gradiente quedaría de la siguiente manera: 
∇(𝑓) = [
4𝑥1𝑥2 + 3𝑥1
2 
2𝑥1
2 − 4𝑥2
] 
Respecto a la matriz Hessiana, se debe de realizar la segunda derivada parcial de 
la siguiente manera: 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥1
2 (2𝑥1
2 𝑥2 − 2𝑥2
2 + 𝑥1
3) = 4𝑥2 + 6𝑥1 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥1𝑥2
(2𝑥1
2 𝑥2 − 2𝑥2
2 + 𝑥1
3) = 4𝑥1 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2𝑥1
(2𝑥1
2 𝑥2 − 2𝑥2
2 + 𝑥1
3) = 4𝑥1 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
2 (2𝑥1
2 𝑥2 − 2𝑥2
2 + 𝑥1
3) = −4 
Por lo tanto, la matriz Hessiana quedaría de la siguiente manera: 
 
𝐻 = [
4𝑥2 + 6𝑥1 4𝑥1
 4𝑥1 −4
] 
b) 
Ahora, para obtener los puntos estacionarios, se iguala la gradiente a cero, creando un 
Sistema de ecuaciones de donde Podemos encontrar el valor de x1 y x2 
{
4𝑥1𝑥2 + 3𝑥1
2 = 0
2𝑥1
2 − 4𝑥2 = 0
 
De la segunda ecuación, se puede obtener el valor de x2 de la siguiente manera. 
 
2𝑥1
2 − 4𝑥2 = 0 → 2𝑥1
2 = 4𝑥2 → 𝑥2 =
2𝑥1
2
4
 → 𝑥2 =
1
2
𝑥1
2 
 
Con este valor de x2 se sustituye en la primera, obteniendo 
 
4𝑥1𝑥2 + 3𝑥1
2 = 0 → 4𝑥1 (
1
2
𝑥1
2) + 3𝑥1
2 = 0 → 2𝑥1
3 + 3𝑥1
2 = 0 
Factorizamos el 𝑥1
2 
→ 𝑥1
2( 2𝑥 + 3) = 0 
 
Quedan 2 escenarios para cumplir la igualdad, los cuales son 
{
𝑥1
2( 2𝑥 + 3) = 0 𝑠𝑖 𝑥1
2 = 0 
𝑥1
2( 2𝑥 + 3) = 0 𝑠𝑖 2𝑥 + 3 = 0
 
Resolvemos con la segunda condición 
2𝑥 + 3 = 0 → 2𝑥 = −3 → 𝑥1 = 
−3
2
 
Una vez con este valor, sustituimos en la ecuación despejada ambos valores 
 
𝑥2 =
1
2
𝑥1
2 = 0 → 
1
2
(0) = 0 → 0 = 0 
𝑥2 =
1
2
𝑥1
2 = 0 → 
1
2
 (−
3
2
)
2
→ 𝑥2 =
9
8
 
 
Por lo tanto, los puntos críticos se encuentran en (0,0) y (−
3
2
,
9
8
 ) 
 
c) 
Para conocer el tipo de superficie, primero se obtienen los eigenvalores de la 
siguiente manera. 
 
𝐻 − 𝜆𝐼 = [
4𝑥2 + 6𝑥1 4𝑥1
 4𝑥1 −4
] − [
𝜆 0
0 𝜆
] 
𝐻 − 𝜆𝐼 = [
4𝑥2 + 6𝑥1 − 𝜆 4𝑥1
 4𝑥1 −4 − 𝜆
] 
 
Ahora se obtiene la determinante 
ⅆⅇ𝑡(𝐻 − 𝜆𝐼) [
4𝑥2 + 6𝑥1 − 𝜆 4𝑥1
 4𝑥1 −4 − 𝜆
] = (4𝑥2 + 6𝑥1 − 𝜆)(−4 − 𝜆) − (4𝑥1)(4𝑥1) = 
 
→ (−8𝑥2 − 4𝑥2 𝜆 − 24𝑥1 − 6𝑥1𝜆 
 
 
 
Problema 4.40 
 
a) Calculando el gradiente: 
𝛻𝑓(𝑥) = 
[
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥1
𝑓(𝑥)
𝜕
𝜕𝑥2
𝑓(𝑥)
]
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥1
(3𝑥1
3𝑥2) = 9𝑥1
2𝑥2 
𝜕
𝜕𝑥2
(3𝑥1
3𝑥2) = 3𝑥2
3 
𝛻𝑓(𝑥) = [
9𝑥1
2𝑥2
3𝑥2
3 ] 
La matriz Hessiana es: 
𝐻 = [
8𝑥1𝑥2 9𝑥1
2
9𝑥1
2 0
] 
 
b) 
igualamos el gradiente a cero para calcular los puntos críticos 
9𝑥1
2𝑥2 = 0 
3𝑥2
3 = 0 
𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0 
La función no tiene máximos ni mínimos ya que la matriz Hessiana evaluado en el punto 
𝑥∗ es cero 
 
 
c) Calculamos los valores propios de la matriz hessiana 
 
𝐻 − 𝜆𝐼 = [
8𝑥1𝑥2 9𝑥1
2
9𝑥1
2 0
] − [
𝜆 0
0 𝜆
] 
ⅆⅇ𝑡(𝐻 − 𝜆𝐼) = (8𝑥1𝑥2 − 𝜆)(−𝜆) − 81𝑥
4 = 0 
𝜆2 − 8𝑥1𝑥2𝜆 − 81𝑥
4 = 0 
Usando la formula general de segundo grado 
𝜆 =
−(−8𝑥1𝑥2) ± √(−8𝑥, 𝑥2) − (4)(1)(−81𝑥1
4)
2
 
𝜆 depende de 𝑥1 y 𝑥2, en el punto critico 𝑥1 = 𝑥2 = 0 
𝜆1 = 𝜆2 =
0 ± √0
2
= 0 
Lo cual no corresponde a ningún criterio por lo que no se puede dar una interpretación 
geométrica de los contornos 
 
 
Problema 4.50 
 
a) 
Gradiente: 
∇𝑓(𝑥) =
[
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥1
(𝑥1
4 − 12𝑥2
3 − 15𝑥1
2 − 56𝑥2 + 60)
𝜕
𝜕𝑥2
(𝑥1
4 − 12𝑥2
3 − 15𝑥1
2 − 56𝑥2 + 60)]
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥1
(𝑥1
4 − 12𝑥2
3 − 15𝑥1
2 − 56𝑥2 + 60) =
𝜕
𝜕𝑥1
(𝑥1
4) −
𝜕
𝜕𝑥1
(15𝑥1
2) = 4𝑥1
3 − 30𝑥1 
𝜕
𝜕𝑥2
(𝑥1
4 − 12𝑥2
3 − 15𝑥1
2 − 56𝑥2 + 60) = −
𝜕
𝜕𝑥2
(12𝑥2
3) −
𝜕
𝜕𝑥2
(56𝑥2) = −36𝑥2
2 − 56 
∇𝑓(𝑥) = [
4𝑥1
3 − 30𝑥1
−36𝑥2
2 − 56
] 
La matriz Hessiana: 
𝐻(𝑥) = [
−12𝑥1
2 − 30 0
0 −72𝑥2
] 
 
b) 
 
Si 𝑥 = [−0.87 0.8]𝑇 es máximo de 𝑓(𝑥) = 𝑥1
4 − 12𝑥2
3 − 15𝑥1
2 − 56𝑥2 + 60 
 
Veamos si 𝑓(𝑥) es convexa 
−∇𝑓(𝑥) = − [
4𝑥1
3 − 30𝑥1
−36𝑥2
2 − 56
] 
−𝐻(𝑥) = − [
12𝑥1
2 − 30 0
0 72𝑥2
] 
 
Aparentemente ∇𝑓 ≠ 0 en la solución propuesta. Por lo tanto, x no es un máximo. 
Sustituyendo x en H(x) tenemos que: 
−𝐻(𝑥) = − [
−20.917 0
0 −57.6
] 
H(x) es negativa definida, pero x no es un máximo incluso si H es negativa definida en 
el punto.