funciones de distribuciónl - Oscar Benitez

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Tarea. - funciones de distribución 
Distribución binomial 
La secretaria de salud pública realizo un estudio sobre las personas que toman vitamina, el 
cual muestra que el 45% de las personas toman vitamina c regularmente. Se decidió 
seleccionar una muestra de 30 personas en un supermercado de la Ciudad de México. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 15 de ellos tomen vitamina C? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 10 de los compradores tomen vitamina C? 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 20 compradores tomen vitamina c? 
Usando la fórmula de la distribución binomial: 
𝑓(𝑥) = (𝑛𝐶𝑥)(𝑝𝑥)(𝑞𝑛−𝑥) 
Definiendo los parámetros: 
𝑛 = 30 
𝑝 = 0.45 
𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0.45 = 0.55 
Tenemos la función para este problema: 
𝑓(𝑥) = (30𝐶𝑥)(0.45𝑥)(0.5530−𝑥) 
a) Para 𝑥 = 15 
𝑓(15) = (30𝐶15)(0.4515)(0.5530−15) 
𝑓(15) = 0.1242 
 
b) Para 𝑥 ≥ 10 
 
La probabilidad es la suma desde x hasta n de la función binomial: 
∑ 𝑓(𝑥)
30
𝑥=10
= ∑ (30𝐶𝑥)(0.45𝑥)(0.5530−𝑥)
30
𝑥=10
 
Usando la probabilidad complementaria: 
∑ 𝑓(𝑥)
30
𝑥=10
= 1 − ∑(30𝐶𝑥)(0.45𝑥)(0.5530−𝑥)
9
𝑥=0
 
∑ 𝑓(𝑥)
30
𝑥=10
= 1 − 0.0697 = 0.9305 
 
 
c) Para 𝑥 ≤ 20 
La probabilidad es la suma desde x hasta n de la función binomial 
∑ 𝑓(𝑥)
20
𝑥=0
= ∑(30𝐶𝑥)(0.45𝑥)(0.5530−𝑥)
20
𝑥=0
 
Usando la probabilidad complementaria 
∑ 𝑓(𝑥)
20
𝑥=0
= 1 − ∑ (30𝐶𝑥)(0.45𝑥)(0.5530−𝑥)
30
𝑥=21
 
∑ 𝑓(𝑥)
30
𝑥=10
= 1 − 5 ∗ 10−3 = 0.9949 
Distribución de Poisson 
Un gimnasio mostro que la probabilidad de que una persona no desarrolle musculatura al 
realizar el entrenamiento pesado es de 0.0036. Utilice la probabilidad de que entre 4620 
personas que realizan el entrenamiento: 
a) Exactamente 5 no desarrollen musculatura 
b) Cuando menos 5 no desarrollen musculatura 
c) A lo máximo a 5 no desarrollen musculatura 
 
Usando la fórmula de la distribución de Poisson: 
𝑓(𝑥) =
𝜆𝑥𝑒−𝜆
𝑥!
 
Definiendo los parámetros: 
𝑛 = 4620 
𝑝 = 0.0036 
𝜆 = (𝑛)(𝑝) = (4620)(0.0036) = 16.632 
La función de Poisson para este problema es: 
𝑓(𝑥) =
16.632𝑥𝑒−16.632
𝑥!
 
a) Para 𝑥 = 5 
𝑓(5) =
16.6325𝑒−16.632
5!
 
𝑓(5) = 6.34 ∗ 10−4 
 
b) Para 𝑥 ≥ 5 
 
La probabilidad está dada por: 
∑ 𝑓(𝑥)
4620
𝑥=5
= ∑
16.632𝑥𝑒−16.632
𝑥!
4620
𝑥=5
 
Usando la probabilidad complementaria: 
 
∑ 𝑓(𝑥)
4620
𝑥=5
= 1 − ∑
16.632𝑥𝑒−16.632
𝑥!
4
𝑥=0
 
∑ 𝑓(𝑥)
4620
𝑥=5
= 1 − 2.459 ∗ 10−4 
∑ 𝑓(𝑥)
4620
𝑥=5
= 0.9997 
c) Para 𝑥 ≤ 5 
 
La probabilidad está dada por: 
∑ 𝑓(𝑥)
4620
𝑥=5
= ∑
16.632𝑥𝑒−16.632
𝑥!
4620
𝑥=5
 
Usando la probabilidad complementaria: 
 
∑ 𝑓(𝑥)
5
𝑥=0
= ∑
16.632𝑥𝑒−16.632
𝑥!
5
𝑥=0
 
∑ 𝑓(𝑥)
5
𝑥=0
= 8.8029 ∗ 10−4 
 
Distribución multinomial 
El gobierno de México ha propuesto que por ley se instalen colectores solares, sin embargo, 
existe la probabilidad de que el 18% estén en contra, el 52% sean indiferentes y el 30% estén a 
favor. ¿Si se extrae una muestra aleatoria de 40 personas Cual es la probabilidad de que 7 
están en contra, 20 sean indiferentes y 13 están a favor? 
Usando la fórmula de la distribución multinomial 
𝑃 =
𝑛!
𝑥1! 𝑥2! 𝑥3!
(𝑝1
𝑥1)(𝑝2
𝑥2)(𝑝3
𝑥3) 
 
Usando los siguientes valores: 
Característica Probabilidad éxitos 
A favor 𝑝1 = 0.3 13 
Indiferente 𝑝2 = 0.52 20 
En contra 𝑝3 = 0.18 7 
Suma: 𝑝 = 1 𝑛 = 40 
 
𝑃 =
40!
13! 20! 7!
(0.313)(0.5220)(0.18)7 
𝑃 = 0.0217 
Distribución hipergeométrica 
Un parque de atracciones cuenta con 22 juegos mecánicos para sus visitantes, 8 de ellos 
necesitan mantenimiento. Si se seleccionan al azar 12 juegos mecánicos para realizar una 
inspección, cuál es la probabilidad de que la muestra incluya: 
a) Exactamente 6 camiones con los asientos gastados 
b) Cuando menos 6 camiones con los asientos gastados 
c) Cuando mucho 6 camiones con los asientos gastados 
 
Usando la fórmula de la distribución hipergeométrica: 
𝑓(𝑥) =
(𝑎𝐶𝑥)(𝑏𝐶(𝑛 − 𝑥))
𝑁𝐶𝑛
 
Definiendo los parámetros: 
𝑁 = 22 
𝑎 = 8 
𝑏 = 𝑛 − 𝑎 = 22 − 8 = 14 
𝑛 = 12 
La función de distribución hipergeométrica para este problema es: 
 
𝑓(𝑥) =
(8𝐶𝑥)(14𝐶(12 − 𝑥))
22𝐶12
 
a) Para 𝑥 = 6 
𝑓(6) =
(8𝐶6)(14𝐶(12 − 6))
22𝐶12
 
𝑓(6) = 0.13 
 
b) Para 𝑥 ≥ 6 
 
La probabilidad está dada por: 
∑ 𝑓(𝑥)
8
𝑥=6
= ∑
(8𝐶𝑥)(14𝐶(12 − 𝑥))
22𝐶12
8
𝑥=6
 
Tomando 8 como limite ya que es la máxima cantidad de la muestra de estudio 
∑ 𝑓(𝑥)
8
𝑥=6
= 0.15 
c) Para 𝑥 ≤ 6 
 
La probabilidad está dada por: 
∑ 𝑓(𝑥)
6
𝑥=0
= ∑
(8𝐶𝑥)(14𝐶(12 − 𝑥))
22𝐶12
6
𝑥=0
 
∑ 𝑓(𝑥)
6
𝑥=0
= 0.97