6_01 Teoremas dif

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6.01 Teoremas sobre diferenciación
El siguiente resultado nos da información sobre f ′ en un punto a partir de la información local de f en
dicho punto.
Lema 1: Sea f : (a, b) → R una función tal que en un x0 ∈ (a, b) se localiza un máximo (ó un mı́nimo)
local de f , esto significa que: existe δ > 0 tal que
f(x) ≤ f(x0), (ó f(x0) ≤ f(x)) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ⊆ (a, b);
si además f es diferenciable en x0, entonces f
′(x0) = 0.
Demostración: Supóngase que f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ (x0−δ, x0 +δ) ⊆ (a, b). Para cada h tal que 0 < h < δ,
se tiene que
f(x0 + h)− f(x0)
h
≤ 0.
Ya que existe f ′(x0) se sigue que f
′(x0) = lim
h→0+
f(x0 + h)− f(x0)
h
≤ 0.
Por otro lado se tiene que para cada −δ < h < 0, resulta
f(x0 + h)− f(x0)
h
≥ 0.
Luego, ya que existe f ′(x0) al hacer h→ 0−, obtenemos f ′(x0) = lim
h→0−
f(x0 + h)− f(x0)
h
≥ 0. Por lo tanto
f ′(x0) = 0. Similarmente se prueba el caso de mı́nimo local. �
Figura 1
En otras palabras el lema anterior afirma que si una función f : [a, b] → R diferenciable en x0 ∈ (a, b)
presenta un extremo local en dicho punto, entonces la pendiente de la recta tangente al Gf en (x0, f(x0))
tiene pendiente nula (i.e: f ′(x0) = 0). Es claro que el lema 1 vale si reemplazamos la palabra local por
global.
1
2
Teorema de Rolle: Si una función f es continua sobre un intervalo [a, b], derivable sobre (a, b) y
f(a) = f(b), entonces existe x0 ∈ (a, b) tal que f ′(x0) = 0.
Figura 2
Demostración: De la continuidad de f sobre [a, b] se sigue que f alcanza su máximo y mı́nimo absoluto
sobre [a, b] (ver Teorema de existencia de extremos absolutos en las notas sobre continuidad).
Si f alcanza alguno de sus extremos globales (i.e: su máx. ó mı́n. absoluto) en un x0 ∈ (a, b), entonces
por el Lema 1 anterior se sigue que f ′(x0) = 0.
Por último, bien puede ocurrir que el máximo y mı́nimo absoluto de f se localicen en x = a y x = b
respectivamente. Ya que f(a) = f(b) (por hipótesis), entonces su máx. y mı́n. absoluto coinciden; por lo
tanto f es una función constante, a saber: f(x) = f(a) para todo x ∈ [a, b], luego f ′(x) = 0 para cada
x ∈ (a, b). �
Teorema del valor medio: Si f es continua sobre [a, b] y es diferenciable sobre (a, b), entonces existe
x0 ∈ (a, b) tal que
f ′(x0) =
f(b)− f(a)
b− a
.
Figura 3
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Demostración: Sea h : [a, b] → R definida por h(x) = f(x) −
[
f(b)−f(a)
b−a
]
(x − a) − f(a). Es claro que h
es continua sobre [a, b], es derivable sobre (a, b) y h(a) = 0 = h(b). Luego, por el teorema de Rolle, existe
x0 ∈ (a, b) tal que
0 = h′(x0) = f
′(x0)−
[
f(b)− f(a)
b− a
]
.
Por lo tanto f ′(x0) =
f(b)− f(a)
b− a
como se queŕıa probar. �
Nota: El teorema del valor medio tiene la siguiente interpretación geométrica: el valor f(b)−f(a)b−a es la
pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), si f satisface las hipótesis del
T.V.M., entonces existe una recta tangente al Gf con la misma pendiente que la recta secante.
Corolario: Si f : [a, b] → R es una función continua sobre [a, b] tal que f ′(x) = 0 ∀x ∈ (a, b), entonces
f es constante sobre [a, b].
Demostración: Sea a < x ≤ b, por el Teorema del valor medio, existe x0 ∈ (a, x) tal que
f ′(x0) =
f(x)− f(a)
x− a
.
Ya que f ′(x) = 0 ∀x ∈ (a, b) se sigue que f ′(x0) = 0, por lo tanto f(x) = f(a) para cada x ∈ (a, b]. Luego
f(x) = f(a) para todo x ∈ [a, b]. �
Teorema del valor medio generalizado: Si f y g son funciones continuas sobre un intervalo [a, b] y
derivbles sobre (a, b), entonces existe x0 ∈ (a, b) tal que
[f(b)− f(a)]g′(x0) = [g(b)− g(a)]f ′(x0).
Si g(b) 6= g(a) y g′(x0) 6= 0, entonces
f ′(x0)
g′(x0)
=
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)
.
Demostración: Aplicar el Teorema de Rolle a la siguiente función
h(x) = f(x)[g(b)− g(a)]− g(x)[f(b)− f(a)], x ∈ [a, b].�
El teorema del valor medio generalizado es el instrumento que se necesita para demostrar la Regla de
l’Hôpital, dicha regla permite calcular ĺımites de la forma
lim
x→x0
f(x)
g(x)
, cuando lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0,
a tales ĺımites se les asocia la expresión indeterminada 00 . La regla de l’Hôpital también permite abordar
otras expresiones indeterminadas como ±∞±∞ , 0 · ±∞, +∞+ (−∞), 1
±∞, 00 y (±∞)0.