10 practico modulo 1 - Camila Sobejano

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Trabajo Práctico Módulo 1 - Introducción al Cálculo
1) Escriba las siguientes expresiones en términos de x:
i) El doble de cierto número más cuatro.
ii) El doble de la suma de cierto número más cuatro.
iii) La tercera parte del cuadrado de cierto número.
iv) La mitad de cierto número menos tres elevada al cuadrado.
v) El cubo de la suma de cierto número más 6.
vi) El triple de cierto número más su cuarta parte.
vii) El valor absoluto de la diferencia entre 11 y el triple de cierto número.
viii) El valor absoluto dell tiple de la diferencia entre 11 y cierto número.
ix) La diferencia del doble de cierto número con 8 elevada al cubo.
x) Un número más el doble de su siguiente.
xi) El cubo del doble de cierto número menos ocho.
xii) La suma de dos números consecutivos.
2) Plantee las ecuaciones necesarias para resolver los siguientes problemas. Re-
suelva aquellos en los que la ecuación obtenida sea de primer grado ó con valor
absoluto
i- Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad
del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
ii- Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el
número?
iii- Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón
ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
iv- Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El
trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que
tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda.
Se pide:
a) Litros de gasolina que tenía en el depósito.
b) Litros consumidos en cada etapa.
v- En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y
un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería
tenía 12 e. ¿Cuánto dinero tenía Ana?
vi- La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las
decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma
de las cifras. ¿Cuál es el número?
vii- Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años
a la edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de la edad del
hijo. Hallar las edades de ambos.
viii- Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas.
¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido
que el otro?
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ix- Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide
40� más que C y que A mide 40� más que B.
x- El perímetro de un terreno rectangular es de 350 m. Sabiendo que el largo
del terreno es el triple de su ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?
¿Cuál es el área del terreno? Redondea a dos cifras decimales.
xi- Si el lado de un cuadrado aumenta 4 cm el perímetro vale 52 cm. ¿Cuál
es el lado del cuadrado primero?
xii- La distancia numérica entre el doble de un número y 8 es igual a un
tercio de su siguiente. Halle dicho número.
xiii- La distancia numérica entre la mitad de un número y su opuesto aditivo
es igual a su doble aumentado en 4. Halle dicho número.
xiv- Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 e el kg y la
segunda a 60 e el kg. ¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café
para obtener 60 kilos de mezcla a 50 e el kg?
xv- En una joyería tienen dos lingotes de plata, uno con un 91% de pureza
y otro con un 75%. ¿Qué cantidad de cada uno se deberá fundir si se pretende
conseguir un lingote de 4 Kg con un 85% de pureza?
xvi- Se tienen dos lingotes de oro, uno tiene un 60% de pureza y el otro un
97%. Queremos mezclar 4 kg del primer tipo y 1.5 kg del segundo, ¿de qué
pureza será la mezcla obtenida?
3) Halle el dominio de la variable y el conjunto de soluciones en cada caso:
i) 5 j10x� 1j = x2 + 3
ii) 1jx�1j =
2
x+4
iii) j5x� 4j+ 10 = 0
iv) 15 j x� 7 j +4 = 10 j x� 7 j
v) La mitad del valor absoluto de la diferencia entre cierto número y 5 es
igual al triple de dicho número. ¿Qué valores puede tomar el mismo?
4) Resuelve las siguientes ecuaciones:
i) 2x2 � 9x� 5 = 0 ii) 5x2 + 8x+ 3 = 0 iii) �2x2 � x� 18 = 0
iv) (x� 1)2 + 4 = 0 v) �10x2 + 6 = 0 vi) 25x
2 � 9x = 0
vii) x4 + 21x2 � 100 = 0, viii) x4 � 473 x
2 + 44 = ix) �4x6 + 30x3 � 50 = 0
5) Demuestre las siguientes propiedades de las soluciones x1 y x2 de una
ecuación de segundo grado ax2 + bx+ c = 0:
i) x1 + x2 = �ba
ii) x1:x2 = ca
6 i) ¿Cómo utilizaría las propiedades del ejercicio anterior para encontrar
rápidamente una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean x = 5 y
x = �4? Ejempli�que. Escriba los cálculos que realice.
ii) La suma de dos números es 5 y su producto es -84. Plantea una ecuación
de segundo grado que te permita hallar dichos números.
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7) Resuelve los siguientes problemas planteando las ecuaciones de segundo
grado.
i) Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 � kx+ 36 = 0
sean iguales.
ii) Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad
que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
iii) Para vallar una �nca rectangular de 750 m2 se han utilizado 110 m de
cerca. Calcula las dimensiones de la �nca.
iv) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números
3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24
m2.
Ayuda: veri�car que el triángulo es rectángulo.
v) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado
por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe
que su área es 540 m2.
vi) Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sa-
biendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m
respectivamente.
vii) Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus
cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?
viii) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros
tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
ix) Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye
una caja de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y
doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.
8) Considere los puntos P (�5; 1) ; Q (2; 0) y R (�4;�3) :
a) Ubique los tres puntos en el plano. Indique si cada uno de ellos pertenece a
algún cuadrante ó a algún eje.
b) Determine las coordenadas del punto medio entre P y Q; del punto medio
entre P y R; y del punto medio entre Q y R:
c) Calcule dist(P;Q); dist(P;R) y dist(Q;R).
d) ¿Es PQR un triángulo rectángulo? Justi�que su respuesta utilizando el Teo-
rema de Pitágoras.1
e) Trace una mediana del triángulo PQR y veri�que el cumplimiento del Teo-
rema de la Mediana.2 .
9) Considere todas las ecuaciones dadas en el ejercicio 25 de este práctico.
Determine analíticamente a los grá�cos de cuáles de ellas pertenece/no pertenece
el punto P (2;�1). Justi�que sus respuestas
1Teorema de Pitágoras: Un triángulo es rectángulo si y sólo si el cuadrado de su lado
mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados (catetos).
2Teorema de la Mediana (Apolonio): Para todo triángulo, la suma de los cuadrados de dos
de sus lados es igual a la mitad del cuadrado de su tercer lado más el doble del cuadrado de
su mediana correspondiente (la mediana del lado de un triángulo es el segmento que une su
punto medio con el vértice opuesto).
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10) i) Gra�que cada recta a partir de los datos dados y determine la ecuación
de cada una de ellas utilizando la fórmula más conveniente en cada caso.
a) recta que pasa por el punto P (�1; 6) y tiene pendiente m = � 23
b) recta que pasa por los puntos Q (�5; 4) y R(2; 0):
c) recta que pasa por el punto S (1; 7) y tiene pendiente m = 0
d) recta que pasa por los puntos M (3; 1) y N(3;�5)
e) recta que pasa por el punto T (0;�4) y tiene pendiente m = 5
ii) Obtenga la ecuación general de las rectas descriptas en (i) y luego calcule
la distancia de cada una de ellas al punto K(�2; 5)
11) Sea l0 la recta de ecuación 6x� 2y + 4 = 0:
i) Encuentre la ecuación de la rectaque pasa por A(2;�3) y es paralela a l0:
ii) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por B(1; 0) y es perpendicular a
l0:
12) Sea l1 la recta de ecuación 2x� 4y � 6 = 0
i) Determine si las siguientes rectas son paralelas, perpendiculares ó ninguna de
las dos cosas con respecto a l1.
a)8x� 4y + 3 = 0 b)� 3x+ 6y � 2 = 0 c) �2x� y + 1 = 0
d) x� 2y � 2 = 0 e)� 10y + 5 = 0 f) �4x+ 2y + 1 = 0
ii) Determine la distancia entre l1 y cada una de las rectas dadas en (i).
13) Sea l0 la recta de ecuación 3x+4y�1 = 0: Encuentre la ecuación de una
recta cuya distancia a l0 sea 2:unidades ¿Cuántas son las respuestas posibles?
Gra�que.
14) Determine la ecuación de la mediatriz3 del segmento de extremos A(4; 1)
y B(�3; 10): Gra�que.
15) Encuentre la ecuación canónica y la ecuación general de cada una de las
siguientes circunferencias. Gra�que:
a) Centro en C(4;�1) radio 5: b) Centro en P (�3; 0) radio 4
16) Averigüe si las siguientes ecuaciones corresponden a circunferencias. En
cada caso, encuentre el centro y el radio completando cadrados ó explique por
qué la ecuación no corresponde a una circunferencia.
i) 4x2 + 4y2 � y = 0 ii) 3x2 + 3y2 + 6x� 5y + 10 = 0
iii) x2 + 0y2 � 6x+ 2y � 4 = 0 iv)� 2x2 � 2y2 + 12x� 12y + 12 = 0
v) 2x2 + 3y2 = �6x+ 5y � 1 = 0 vi) x2 + y2 = 2x� y + 4
17) Encuentre:
a) el conjunto de todos los puntos sobre el eje x que estén a 5 unidades del
punto P (2;�3): Gra�que.
b) el conjunto de todos los puntos que tengan ordenada igual a �1 y cuya
3La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él que pasa por su punto medio.
4
distancia al punto Q(�2; 4) sea 5. Gra�que.
c) el conjunto de todos los puntos que disten 4 unidades de P (3;�1) y 3 unidades
de Q(3; 4). Gra�que.
18) a) ¿Para qué valor de b la recta y = �3x+ b es tangente4 a la circunfer-
encia x2 + y2 = 1?
b) Halle el valor de p para que la recta x+y = p sea tangente a la circunferencia
x2 + y2 � 6x� 1 = 0
19) Considere las siguientes elipses:
a)
(y + 5)2
12
+
�
x� 32
�2
9
= 1 b)25x2 +
(y + 2)2
9
= 4
i) Grafíquelas y determine las coordenadas de sus focos y de sus vértices.
ii) Encuentre la constante de la elipse para cada una de ellas.
iii) Obtenga la ecuación general de cada una.
20) Encuentre una ecuación canónica para cada elipse y trace su grá�ca,
incluyendo los focos, a partir de los datos proporcionados:
a) Centro en (0,0), longintud del semieje vertical 6; longitud del eje horizontal
10.
b) Centro en (0,0), foco en (4,0); vértice en (-5,0).
c) Vértices en (-10,-2) y (-2, -2); foco en (-5,-2).
d) Centro en (3,5), foco en (2,5); vértice en (3,-4).
e) Vértices en (3,-2) y (9, -2); Longitud del eje menor 1.
f) Focos en (1,6) y (1,-6); Longitud del semieje mayor 10.
g) Centro en (2,1); vértices en (-1,1) y en (2,4).
h) Centro en (1,2); vértice en (1,4); pasa por el punto (2,2).
21) Considere las siguientes hipérbolas:
a) (x� 6)2 � (y + 2)
2
4
= 4 b)
(y + 2)2
25
� 8x
2
2
= 1
i) Grafíquelas y determine las coordenadas de sus focos, de sus vértices reales y
de sus vértices imaginarios; indique las ecuaciones de sus asíntotas..
ii) Encuentre la constante de la hipérbola para cada una de ellas.
iii) Obtenga la ecuación general de cada una.
22) Determine una ecuación para cada hipérbola y trace su grá�ca, in-
cluyendo los focos y las asíntotas, a partir los datos proporcionados:
a) Centro en (0,0), longintud del semieje real 4; longitud del eje horizontal 10.
b) Centro en (5,-1), vértice en (5,2); foco en (10,-1).
c) Focos en (10,0) y (-10,0); Longitud del semieje real 6.
4Una recta es tangente a una circunferencia si ambas se intersecan en un sólo punto.
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d) Vértices en (3,-10) y (3, -4); foco en (3,-12).
e) Vértices en (-1,-2) y (-1, -5); Longitud del eje imaginario 2.
f) Centro en (-2,1); foco en (-2,5); pasa por el punto (-2,0).
g) Centro en (1,2); vértice en (1,4); pasa por el punto (-5,2).
h) Vértices reales (2,-2) y (6, -2); asíntota y = 2x� 10.
23) Para cada una de las siguientes parábolas indique las coordenadas de
su foco y de su vértice; determine las ecuaciones de su directriz y de su eje de
simetría; gra�que; determine su ecuación general.
a) (x+ 72 )
2 = y b) (y � 1)2 + 4 (x+ 2) = 0
c) y2 = 10 (x� 5) d) 6(y + 3)2 + 2 (x� 2) = 0
24) Encuentre una ecuación canónica para cada parábola y trace su grá�ca,
incluyendo directriz y foco, a partir de los datos proporcionados:
a) Vértice en (0,0), foco (0; 72 ).
b) Vértice en (�2; 5), directriz x = �1.
c) Vértice (2; 3): Pasa por (1; 1): Directriz horizontal.
d) Foco en (�4; 1) ; directriz x = �5
e) Conjunto de puntos del plano xy que equidistan del punto (6;�1) y de la
recta y = 3:
f) Ecuación general: 3x2 � 6x� 4y = 0
g) Ecuación general: �5y2 + 10x+ 15y � 4 = 0
25) Una según corresponda:
a) y2 � 10 = �x2
b) y2 = �x+ 3y parábola con eje de simetría horizontal
c) y2 = x2 � 9y + 2x� 17 parábola con eje de simetría vertical
d) x2 + 3y + x� 3 = 0 hipérbola
e) x2 = �2y2 + 6 elipse
f) �4x2 + y � x+ 2 = 0 circunferencia
g) 2x2 � y2 + x� 9 = 0 recta
h) �3x2 � 5y2 � x+ 6y + 10 = 0
i) 2x� y � 5 = 0
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