Examen Parcial 4 - Nat Alia(2)

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Examen Parcial 1 
 
1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden: 
 
1. ¿Cómo se resuelve la ecuación de oscilación armónica usando el método de 
solución general? 
 
La ecuación de oscilación armónica es una ecuación diferencial ordinaria de 
segundo orden que se puede resolver utilizando el método de solución general. La 
ecuación se escribe como: 
y'' + ω²y = 0 
donde y representa la posición de la partícula oscilante y ω es la frecuencia angular. 
La solución general para esta ecuación se puede escribir como: 
y = A cos(ωt) + B sin(ωt) 
donde A y B son constantes de integración. Esta solución representa una oscilación 
armónica simple con una amplitud A y una fase B. 
 
2. ¿Cómo se resuelve la ecuación de Euler usando la sustitución de potencia? 
 
La ecuación de Euler es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que 
se puede resolver utilizando la sustitución de potencia. La ecuación se escribe 
como: 
x²y'' + pxy' + qy = 0 
donde p y q son constantes y x representa la variable independiente. Para resolver 
esta ecuación, se hace la sustitución de potencia y se escribe la solución en 
términos de una serie de potencias de x: 
y = ∑ aₙxⁿ 
donde aₙ es una constante. Al sustituir esta solución en la ecuación de Euler, se 
pueden obtener relaciones de recurrencia para los coeficientes aₙ, que se pueden 
resolver para obtener una solución general. 
 
3. ¿Cómo se resuelve la ecuación de Laplace en coordenadas polares usando el 
método de separación de variables? 
 
La ecuación de Laplace es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que 
se puede resolver utilizando el método de separación de variables en coordenadas 
polares. La ecuación se escribe como: 
∇²u = 0 
donde u es una función de la posición en el espacio. Para resolver esta ecuación, 
se utiliza el método de separación de variables, que consiste en suponer que la 
solución es de la forma: 
u(r,θ) = R(r)Θ(θ) 
donde R y Θ son funciones que dependen solo de r y θ, respectivamente. Al sustituir 
esta solución en la ecuación de Laplace y separar las variables, se pueden obtener 
dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden para R y Θ, que se pueden 
resolver para obtener una solución general. 
 
4. ¿Cómo se resuelve la ecuación de movimiento del péndulo usando la 
aproximación del ángulo pequeño? 
 
La ecuación de movimiento del péndulo es una ecuación diferencial ordinaria de 
segundo orden que se puede resolver utilizando la aproximación del ángulo 
pequeño. La ecuación se escribe como: 
θ'' + (g/L)sin(θ) = 0 
donde θ es el ángulo de desplazamiento del péndulo, g es la aceleración debida a 
la gravedad y L es la longitud del pé