Examen Parcial 5 - Nat Alia(1)

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Examen Parcial 1 
5. ¿Cómo se resuelve la ecuación logística usando la transformación de Abel? 
 
La ecuación logística es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que se 
puede resolver utilizando la transformación de Abel. La ecuación se escribe como: 
y' = ay(1-y) 
donde y representa la población en función del tiempo t, y a es una constante que 
representa la tasa de crecimiento de la población. Para resolver esta ecuación, se 
utiliza la transformación de Abel: 
v = y/(1-y) 
que transforma la ecuación logística en una ecuación lineal de primer orden en la 
variable v: 
v' + av = a 
Esta ecuación lineal de primer orden se puede resolver fácilmente para obtener la 
solución v(t), que luego se puede invertir utilizando la transformación inversa de Abel 
para obtener la solución y(t). 
 
6. ¿Cómo se resuelve la ecuación de Riccati usando la sustitución de Bernoulli? 
 
La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que se 
puede resolver utilizando la sustitución de Bernoulli. La ecuación se escribe como: 
y' = ay² + by + c 
donde a, b y c son constantes. Para resolver esta ecuación, se utiliza la sustitución 
de Bernoulli: 
z = 1/y 
que transforma la ecuación de Riccati en una ecuación lineal de primer orden en la 
variable z: 
z' -bz = -a-cz 
Esta ecuación lineal de primer orden se puede resolver utilizando el método de 
integración de factores, que consiste en multiplicar ambos lados de la ecuación por 
un factor integrante adecuado. 
 
7. ¿Cómo se resuelve la ecuación de Bessel de orden cero usando el método de 
Frobenius? 
 
La ecuación de Bessel de orden cero es una ecuación diferencial ordinaria de 
segundo orden que se puede resolver utilizando el método de Frobenius. La 
ecuación se escribe como: 
x²y'' + xy' + (x² - 1)y = 0 
Para resolver esta ecuación, se utiliza el método de Frobenius, que consiste en 
suponer que la solución es de la forma: 
y = x^m∑ aₙxⁿ 
donde aₙ es una constante. Al sustituir esta solución en la ecuación de Bessel y 
resolver las relaciones de recurrencia para los coeficientes aₙ, se puede obtener 
una solución general. 
 
8. ¿Cómo se resuelve la ecuación de Poisson en coordenadas cartesianas usando 
el método de separación de variables? 
 
La ecuación de Poisson es una ecuación diferencial parcial que se puede resolver 
utilizando el método de separación de variables en coordenadas cartesianas. La 
ecuación se escribe como: 
∇²u = f(x,y,z) 
donde u es una función de la posición en el espacio y f es una función dada. Para 
resolver esta ecuación, se utiliza el método de separación de variables, que consiste 
en suponer que la solución es de la forma: 
u(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z) 
donde X, Y y Z son funciones que dependen solo de x, y y z, respectivamente. Al 
sustituir esta solución en la ecuación de Poisson y separar las variables 
9. ¿Cómo se resuelve la ecuación de onda en una dimensión usando el método de 
separación de variables? 
 
La ecuación de onda en una dimensión es una ecuación diferencial parcial que 
describe la propagación de ondas en una cuerda o en cualquier medio 
unidimensional. La ecuación se escribe como: 
∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x² 
donde u es la función que describe la onda, c es la velocidad de propagación de la 
onda y t y x son las variables de tiempo y posición, respectivamente. Para resolver 
esta ecuación, se utiliza el método de separación de variables, que consiste en 
suponer que la solución es de la forma: 
u(x,t) = X(x)T(t) 
donde X y T son funciones que dependen solo de x y t, respectivamente. Al sustituir 
esta solución en la ecuación de onda y separar las variables, se obtiene una 
ecuación para cada función. 
 
10. ¿Cómo se resuelve la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas usando 
el método de separación de variables? 
 
La ecuación de Laplace es una ecuación diferencial parcial que se puede resolver 
utilizando el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas. La 
ecuación se escribe como: 
∇²u = 0 
donde u es una función de la posición en el espacio. Para resolver esta ecuación, 
se utiliza el método de separación de variables, que consiste en suponer que la 
solución es de la forma: 
u(r,θ,z) = R(r)Θ(θ)Z(z) 
donde R, Θ y Z son funciones que dependen solo de r, θ y z, respectivamente. Al 
sustituir esta solución en la ecuación de Laplace y separar las variables, se obtiene 
una ecuación para cada función. La solución general se obtiene combinando las 
soluciones para cada función mediante la suma o integral apropiada.