Resumen Parcial MAD Completo - Juan pablo Garcia

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Objetivo de la materia 
Durante nuestro estudio de la Matemática Discreta, iremos construyendo 
un lenguaje compuesto por términos técnicos y símbolos especiales que 
denotan conceptos que deben tener significados inequívocos. 
 
Índice 
 
Pag.2 – Nociones Básica, definición, definición directa, definición recursiva. 
Pag.3 – Variables y constantes, procedimientos y algoritmos. 
Pag.4 – Secuencia, alternativa, repetición. operaciones y relaciones. 
Pag.5 – Ejemplo y resumen. 
Pag.6 - Introducción a la teoría de números, teorema del resto, operaciones DIV y 
MOD. 
Pag.7 – Divisibilidad, propiedades (Teoremas 1 – 10). 
Pag.8 – Números primos, compuestos, MCD y MCM. 
Pag.9 – Algoritmo de Euclides, ejemplos y video. 
Pag.10 – Primos relativos, teoría fundamental de la aritmética (Factoreo). 
Pag.11 – Lógica matemática. 
Pag.12 – Proposición lógica, principios. 
Pag.13 – Valores y tablas de verdad, proposiciones compuestas, conectivos lógicos. 
Pag.14 – Negación, conjunción. 
Pag.15 – Disyunción, implicación simple. 
Pag.16 – Doble implicación, jerarquía de conectores, implicación lógica, tautología, 
contradicción y contingencias. 
Pag.17 – Propiedades de las operaciones lógicas, principio de dualidad. 
Pag.18 – Razonamientos, deductivo, reglas de inferencia. 
Pag.19 – Lógica de predicados. 
Pag.20 – Proposiciones categóricas, cálculo de clases, lógica primer orden. 
Pag.21 – Razonamientos deductivos, sucesiones y series, series o sumatoria de 
sucesiones. 
Pag.22 – Inducción matemática, principio del buen orden, principio de inducción 
matemática, método para la demostración por inducción. 
Pag.23 – Ejemplo racionamiento deductivo. 
Pag.24 – Conjuntos, pertenencia, determinación de un conjunto. 
Pag.25 – Conjuntos especiales, igualdad, diagrama de Venn, Inclusión amplia. 
Pag.26 – Inclusión estricta, cardinalidad, familia de conjuntos, conjunto potencia. 
Pag.27 - Propiedades de la Inclusión. 
Pag.28 – Operaciones con conjuntos, complementación, intersección. 
Pag.29 – Unión, partición de un conjunto, producto cartesiano. 
Pag.30 – Par ordenado, principio de dualidad. 
Pag.31 Propiedades de las operaciones entre conjuntos. 
Pag.32 – La mejor parte del resumen. 
 
 
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Nuestro leguaje natural, cotidiano o usual es ambiguo; la forma en que 
armamos oraciones no es siempre la correcta para lo que queremos en 
realidad decir, hay palabras que tienen más de un sentido, una misma oración 
puede tener distintos significados dependiendo del contexto, de quién la 
interprete e inclusive, en el lenguaje hablado, del tono en el que se pronuncia. 
Esto no puede pasar en matemática. 
 
Definición 
 Llamamos DEFINICIÓN a una explicación clara y sin ambigüedades 
de un concepto, usando palabras comunes y términos técnicos cuyo 
significado se supone ya conocido. 
Sin embargo, siempre habrá términos que no podremos explicar tan 
inequívocamente como quisiéramos. En toda disciplina hay unos pocos 
términos primitivos que solo admiten una DEFINICIÓN INTUITIVA. 
Las definiciones que se utilizan en el presente texto tienen en 
general, según cómo se formulen, dos formatos distintos: 
 a) DEFINICIÓN DIRECTA: explicación de un concepto utilizando términos 
técnicos y comunes ya conocidos. Un tren es una locomotora con uno o más vagones 
enganchados a ella en secuencia. 
b) DEFINICIÓN RECURSIVA: explicación de un concepto utilizando términos 
técnicos y comunes ya conocidos y ¡el mismo concepto que se está definiendo! Un 
tren es una locomotora con un vagón enganchado a ella o es un tren con un vagón 
enganchado a él. 
Para más información sobre el tema: https://cutt.ly/UboX2Ra (Pag 2 y 3) 
 
 
 
 
 
 
 
https://cutt.ly/UboX2Ra
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Variables y Constantes 
- En general, una constante es un valor de tipo permanente, ya que no puede 
modificarse, al menos no dentro del contexto o situación para el cual está: 
geometría aritmética. En ciencias, especialmente en física, se denomina 
constante a aquella magnitud cuyo valor no varía en el tiempo 
Todos los números, por ejemplo 2, 7, 35, etc., también se denominan 
'constantes', porque, por definición, siempre tienen el mismo valor; es decir, el 
número 7 es una constante porque su valor siempre es 7 y nunca varía. 
 
 
- Un objeto se dice que es VARIABLE si es un objeto indeterminado de una 
colección, por lo cual su valor o significado puede variar en el contexto del 
tratamiento del tema donde se lo está utilizando. 
En estos casos suelen utilizarse las últimas letras del alfabeto x, y, z, … para 
denotarlo, y decimos de ellas que son variables. Inclusive nos podríamos querer referir 
a una operación cualquiera (adición, substracción, o cualquier otra) sin especificarla, y 
en ese caso podríamos inventar un símbolo como  para denotar a esa operación 
indeterminada. En este caso  funciona como una variable sobre la colección de 
operaciones de que se trate. 
 
Procedimientos y Algoritmos 
Hay determinadas tareas que pueden efectuarse con una sola acción, de forma 
directa, y son tan sencillas y comunes que cualquiera puede realizarlas. Cerrar los ojos 
es una orden que todos sabemos cumplir. Aún una tarea tan sencilla como cerrar los 
ojos, tiene su condicionantes 
Un PROCEDIMIENTO es una secuencia finita de acciones simples prescriptas en 
un cierto orden, necesarias para completar una tarea. 
Llamaremos a cada acción simple de un procedimiento, una instrucción y a 
quien sea que la ejecute el procesador, que siempre supondremos que la entiende, 
está capacitado para ejecutarla y quiere hacerlo. 
Un ALGORITMO es una secuencia finita de instrucciones precisas dadas en un cierto 
orden necesarias para realizar una tarea, que siempre termina obteniendo un resultado en un 
tiempo finito. 
En matemáticas también se suele llamar a esto un método de resolución, si la 
tarea a emprender es resolver un determinado problema matemático. Puede pensarse 
en un algoritmo como una función que transforma sus argumentos (entradas) en un 
resultado (su salida). Dado un problema a resolver (la tarea), se diseña un algoritmo 
como una secuencia finita de instrucciones que, tomando los datos necesarios 
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suministrados por el problema (la entrada), determina la solución al mismo, el 
resultado (la salida), en un número finito de pasos. 
• Usando algún lenguaje de programación de computadoras (código). 
• Utilizando algún lenguaje informal inventado a tal efecto (pseudocódigo). 
• Mediante esquemas gráficos que especifiquen el orden en que las instrucciones 
deben ser ejecutadas (diagramas de flujo de control). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operaciones y relaciones 
En matemáticas, computación y programación, se utilizan principalmente 
operaciones entre distintos elementos y relaciones definidas sobre ellos. Tanto las 
operaciones como las relaciones tienen sus propias características y pueden o no 
cumplir algunas propiedades, pero es importante identificar que son cosas bien 
distintas. 
Dada una colección de objetos, una OPERACIÓN definida sobre la misma es una 
función (un algoritmo) que toma como argumentos (entrada) algunos de esos objetos 
y produce como resultado (salida) un único objeto, no necesariamente de la misma 
colección. 
Si el resultado de una operación en todos los casos pertenece a la misma 
colección, se dice que la operación es cerrada. 
Por otro lado, si la operación se aplica sobre sólo un objeto de la colección se 
dice que es unaria, si se aplica sobre dos de ellos se dice que es binaria, y así 
sucesivamente. 
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Cuando se comparan dos números naturales lo que se está queriendo hacer es 
determinar si determinada condición se cumple o no se cumple entre ellos; el 
resultado de esta comparación NO es otro número en ningún caso, sino la verificación 
de si existe la condición enunciada entre ellos o no; por ello la comparación dará como 
resultado SI o NO, VERDADERO o FALSO, SE CUMPLEo NO SE CUMPLE. En el caso que 
efectivamente se verifique, se dice que los objetos están relacionados por la condición 
enunciada; en caso de no cumplirse, los objetos no estarán relacionados por la misma. 
Esencialmente, se trata de lo que en computación se denomina un problema de 
decisión. 
Ejemplo: Al preguntar ¿7 es mayor que 2?, estamos queriendo saber si se 
cumple la condición “ser mayor que” entre 7 y 2; si la condición se cumple, como en 
este ejemplo, la respuesta a la pregunta es SI y decimos que 7 ESTÁ RELACIONADO 
CON 2 por la condición “ser mayor que”; lo simbolizamos con 7 > 2. Por otro lado, si 
preguntamos ¿es tres igual a cuatro?, la respuesta es NO y decimos que los números 
tres y cuatro no están relacionados por la condición de igualdad; lo simbolizamos con 3 
 4. 
Dada una colección de objetos y una condición enunciada entre dos cuales 
quiera de ellos, se llama RELACIÓN BINARIA a la colección de pares de objetos de la 
colección dada que verifican la condición. 
Así, la condición de “ser menor que” entre los números naturales, dará como resultado 
la colección infinita de pares (0, 1), (0, 2), (0, 3), …, (1, 2), (1,3), …. 
 Lo que debería quedar claro luego de esta breve discusión, es que operación y 
relación son cosas completamente distintas. 
 Mas información y ejemplos sobre el tema: https://cutt.ly/UboX2Ra (Pag 10, 11 y 12) 
 
 
 
 
 
 
 
https://cutt.ly/UboX2Ra
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La parte de la matemática que estudia las propiedades de los números enteros 
y sus operaciones es lo que conocemos como Teoría de Números. En primer término, 
consideremos los números naturales como el conjunto: 
 N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
Debemos destacar que hemos incorporado al cero (0) como elemento de este 
conjunto. Hay autores que no lo consideran parte del conjunto de números naturales. Los 
puntos suspensivos del final indican que este es un conjunto infinito y deben leerse “y así 
sucesivamente”. De forma similar nombraremos al conjunto de los números enteros como: 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
Algoritmo de la División Entera o Teorema del Resto 
Dados dos números enteros a y b con b 0, siempre existen dos enteros únicos 
q (cociente) y r (resto), tales que 0  r < |b| y se cumple que a = (b  q) + r. 
De este resultado se desprende que: 
a) (b  q)  a siempre !!! 
b) El resto r es siempre positivo o nulo y menor que |b| o sea 0  r < |b| 
 
Ejemplo: 
Sean los números naturales a = 25, b = 4. 
Dividiendo 25 en 4 resulta q = 6 y r = 1 con 0 < r < |25|. 
Verificación: 25 = (b x q) + r = (4x6) + 1 = 24 + 1. 
 
Operaciones DIV y MOD 
Dados dos números enteros a y b, la operación DIV proporciona el cociente 
entre ellos y la operación MOD proporciona el resto obtenido al dividir a y b. 
En símbolos: a DIV b = q a MOD b = r 
 
Ejemplo: 
Sean los números naturales a = 11 y b = 3 
 
 11 div 3 = 3 y 11 mod 3 = 2 
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El hecho de que no exista siempre el inverso para el producto (esto es, que no 
siempre se pueda efectuar la división exacta o sin resto) conduce a una noción 
importante que es la de divisibilidad. 
 
Divisibilidad 
Sean a y b dos números enteros; se dice que a divide a b y se denota con a | b 
si existe un numero entero c tal que b = a x c. También decimos que a es divisor de b, 
que b es múltiplo de a o que a es un factor de b. 
Es decir que se trata de una división exacta, donde el resto es 0. No se debe 
confundir el símbolo de división usual “/” con el de divisibilidad en los enteros “|”. 
 
 
Algunas Propiedades (Teoremas): 
 
 Teorema 1: 1 | a y a | 0 y a | a 
 
 Teorema 2: Si a | b y b | c entonces a | c 
 
 Teorema 3: Todo entero que es divisor de otros es divisor de la suma de ellos. Si d | a y d | b 
y d | c entonces d | (a+b+c) 
 
 Teorema 4: Todo entero que es divisor de otro es también divisor de los múltiplos de ese 
otro. Si d | a entonces d | na para n  Z 
 
 Teorema 5: Todo entero que es divisor de otros dos es también divisor de su diferencia. Si d 
| a y d | B entonces d| (A – B) 
 
 Teorema 6: Todo entero que es divisor de otros dos es también divisor del resto de la 
división de estos 
 
 
 Teorema 7: Si n es un entero compuesto, (esto es, n no es un número primo), entonces n 
tiene un divisor primo menor o igual que la raíz cuadrada de n, o lo que es lo mismo, todo 
número compuesto tiene un divisor que es menor o igual a su raíz cuadrada. 
 
 Teorema 8: Hay una cantidad infinita de primos 
 
 Teorema 9: Sean a y b enteros positivos tales que factoreados se pueden escribir como 
 a = p1 a1 p2 a2 p3 a3 ... pn an y b = p1 b1 p2 b2 p3 b3 ... pn bn 
 
 Teorema 10: Sean a y b enteros positivos. Entonces a x b= mcd(a, b) x mcm(a, b) 
 
Ejemplos y explicación mas amplia: https://cutt.ly/4bpedhn 
https://cutt.ly/4bpedhn
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Números Primos 
Un número entero p > 1 se dice que es primo absoluto o sencillamente primo si 
sus únicos divisores positivos son p y 1. Por definición, el número 1 no es un número 
primo. 
 
Números Compuestos 
 Todo número entero mayor que 1 que no es primo, se denomina número 
compuesto. 
 
Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo 
Divisor común 
Sean a y b números enteros. Se dice que un entero positivo d es un divisor 
común de a y b, siempre y cuando divida a ambos; en símbolos: d | a y d | b. 
 
MCD 
Dados dos números enteros a y b donde a  0 o b  0, el máximo común divisor 
de a y b, es al mayor de los divisores comunes de a y b, y se lo denota mcd(a, b). 
El mcd(a, b) es siempre un número entero y siempre existe, ya que al menos la 
unidad (1) dividirá siempre tanto a a como a b, según el Teorema 1. 
Como se calcula… 
https://www.youtube.com/watch?v=JoHfq8hswmY&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex 
 
Múltiplo común 
Sean a y b números enteros. Se dice que un entero positivo d es un múltiplo común de 
a y b, cuanto existen otros enteros m y n tales que d = a  m y d = b  n. 
 
MCM 
El mínimo común múltiplo de los enteros positivos a y b, es el menor entero 
positivo d que es múltiplo tanto de a como de b, y se lo denota mcm(a, b). 
El mcm(a, b) es siempre un número entero y siempre existe, ya que al menos d 
= a  b siempre será tanto múltiplo de a como de b. 
Como se calcula… 
https://www.youtube.com/watch?v=Hxkb3i85qDw&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex 
 
https://www.youtube.com/watch?v=JoHfq8hswmY&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex
https://www.youtube.com/watch?v=Hxkb3i85qDw&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex
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Algoritmo de Euclides 
Lema: Si a y b son dos enteros positivos con a > b, entonces el mcd(a, b) = 
mcd(b, r), donde r es el resto de dividir a entre b. 
Algoritmo de Euclides: Dados dos enteros positivos a y b, con a > b (sino 
intercambiarlos): 
1- Se divide el número mayor entre el menor (a entre b), obteniendo un 
cociente y un resto. 
2- Si ocurre que: 
a) La división es exacta (resto cero), el divisor es el mcd(a, b) y el 
algoritmo termina. 
b) La división no es exacta, se divide ahora el divisor entre el resto 
obtenido y se repite el paso 2. 
Procediendo de esta forma, hasta obtener una división exacta, se obtiene el 
m.c.d. 
 
 
 
1- Se usa el algoritmo de la división para obtener: a = b  q1 + r1. 
2- Si: 
a) r1 = 0 entonces b|a y el mcd(a, b) = b 
b)- r1  0 Se calcula el mcd (b, r1) para lo cual se divide b por r1 y se obtienen los 
números enteros q2 y r2 que satisfacen b = r1  q2 + r2 con 0 < r2 < r1. 
3- Si: 
a) r2 = 0 el proceso termina y mcd(a, b) = r1 
b)- r2  0 entonces se calcula el mcd(r1, r2) para lo cual se procede a dividir r1 por 
r2 y se obtienen los números enteros q3 y r3 que satisfacen r1 = r2  q3 + r3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=UgzeLY0KO3U&ab_channel=AcademiaInternet 
Mas amplio en https://cutt.ly/4bpedhn (Pag 6 y 7) 
https://www.youtube.com/watch?v=UgzeLY0KO3U&ab_channel=AcademiaInternethttps://cutt.ly/4bpedhn
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Primos Relativos 
Definición: Si dos enteros positivos a y b verifican que mcd(a, b) = 1 se dicen 
que son primos relativos. 
 
Si bien a y b son primos relativos, no necesariamente deben ser primos cada 
uno de ellos. 
Lo que sí debe cumplirse es que no tengan factores primos en común. 
Ejemplo 16: 4 y 9 son primos relativos ya que mcd(9, 4) = 1, pero ellos no son primos 
ya que 2|4 y 3|9. 
 
Teoría Fundamental de la Aritmética (Factoreo) 
Teorema: 
Todo entero positivo mayor que uno (1), es un número primo o puede ser 
escrito como producto de números primos de forma única (la factorización es única), 
salvo en el orden de los factores. a = p1 a1p2 a2p3 a3 ... pn an Donde los ai son números 
naturales y los pi son números primos distintos, i=1, 2, …, n. 
 
Algoritmo para determinar si un entero N > 1 es primo 
Paso 1: Verificar si N = 2. Si lo es, N es primo con lo que se termina el algoritmo. Si no, 
seguir en 2. 
Paso 2: Verificar si 2|N, si es afirmativo N no es primo (ya que es par mayor a 2) y se 
termina el algoritmo. Si no, seguir en 3. 
Paso 3: Calcular el número entero K = parte entera de la raíz cuadrada de N. 
Paso 4: Para todos los números D impares (idealmente solo los primos) tal que 1 < D  
K, verificar si D|N. En caso afirmativo (algún D es divisor de N), N no es un número 
primo y se termina el algoritmo. Si no se cumple para ningún D (ningún D menor o 
igual a K divide a N), entonces N es primo. 
Ejemplo 18: 
 
 
 
 
 
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La lógica matemática, también llamada lógica simbólica o logística, 
informalmente puede definirse como la disciplina que formaliza el estudio de los 
métodos de razonamiento. 
Teoría detallada y con referencias históricas: https://cutt.ly/EbpYgCZ (Pag 3 y 4) 
 
Asignaremos como objetivos fundamentales de la lógica matemática, los siguientes: 
• Eliminar la ambigüedad del lenguaje natural u ordinario. 
• Establecer reglas que determinen la validez de un razonamiento. 
 
Basaremos nuestro estudio en los principios lógicos: (Sig Pag.) 
a) De identidad. 
b) De no contracción. 
c) Del tercero excluido. 
 
Para precisar el concepto de proposición que utilizaremos en nuestro estudio, 
considérense las siguientes oraciones y sus tipos en el lenguaje castellano: 
 
 
 
 
 
Nótese, que de la segunda, tercera y cuarta, no puede decirse que sean 
verdaderas o falsas, ya que, la pregunta (b) puede ser respondida o no, pero no afirma 
nada sobre ninguna cosa, la orden (c) puede ser cumplida o no (al margen de las 
consecuencias que puedan tener por desobedecer y no hacer silencio) y, si bien la 
cuarta expresión afirma la existencia de una relación entre el primer y segundo 
miembro de la igualdad, no puede establecerse su veracidad o falsedad, hasta asignar 
un valor determinado a la variable x. 
 
 
https://cutt.ly/EbpYgCZ
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Proposición Lógica 
Es toda oración declarativa de la cual pueda decirse que es o bien verdadera o 
bien falsa. 
Cabe indicar, que el "o" de verdadera o falsa en la anterior definición, es 
estrictamente excluyente, en el sentido que una proposición sólo puede tener uno de 
los valores de verdad especificados y sólo uno. 
En general, hablaremos simplemente de proposiciones para referirnos a las 
proposiciones lógicas. También usaremos el término proposición simple para 
diferenciar proposiciones como las enumeradas anteriormente, de las proposiciones 
compuestas que discutiremos en breve. 
 
Principio de Identidad: Toda proposición es idéntica a sí misma, y sólo a sí misma. 
Afirma algo tan general como que “El ser es”, que puede ser explicado como 
“todo objeto es idéntico a sí mismo” y que se resume con la fórmula “A es A” 
 
Principio de No Contradicción: Dadas dos proposiciones contradictorias entre sí. no 
pueden ser ambas verdaderas. 
Es un principio fundamental que descarta cualquier posibilidad de 
contradicción en el pensamiento y en la realidad. “A es A” y “A no es A” no son ambos 
verdaderos. 
- No puede ser verdadera y falsa a la vez. 
- No puede ocurrir que no sea ni falsa ni verdadera. 
Ejemplo: 
“Un hombre no puede ser padre y no ser padre de la misma persona” 
 
Principio de Tercero Excluido: Dadas dos proposiciones contradictorias entre sí. no 
pueden ser ambas falsas. 
En su forma lógica, este principio debe entenderse como afirmando que dos 
juicios contradictorios no pueden ser ambos falsos, tal como se sintetiza en la fórmula 
“A es A” o “A no es A” no son ambos falsos, que expresa que “A es A” y su 
contradictorio, “A no es A’ no pueden ser falsos a la vez. 
Ejemplos: 
“Un hombre que comete una falta de tránsito debe pagar la multa o no pagarla” 
“Si un vaso está rajado, no puede no estar rajado” 
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Valores de Verdad y Tablas 
La definición de proposición imprime a la lógica matemática un carácter 
bivalente, ya que sólo podrán asignarse dos valores, o verdadero o falso, a las 
proposiciones que ella considera. 
p: El hombre es un mamífero. 
 
Proposiciones Compuestas 
 “Es toda combinación de proposiciones simples, mediante conectivos lógicos.” 
Las proposiciones simples pueden combinarse de diversas maneras para 
generar proposiciones más complejas, empleando como vínculo entre ellas, ciertos 
vocablos denominados conectivos lógicos. 
Ejemplo: 
Si conecto mi monitor a 380 volts, entonces explotará y no podré repararlo. 
p: Conecto mi monitor a 380 volts. q: Mi monitor explotará. 
r: Podré reparar mi monitor 
 
P = P (p, q, r, ..., s) 
 
El valor de verdad de una proposición compuesta dependerá exclusivamente de 
los valores de verdad asignados a las proposiciones simples que la componen y a la 
forma como éstas se encuentran conectadas, esto es, de la forma que operen los 
conectivos que sirven de vínculo. 
 
Conectivos Lógicos 
Es un símbolo o palabra que se utiliza para conectar dos fórmulas bien 
formadas o sentencias, de modo que el valor de verdad de la fórmula compuesta 
depende del valor de verdad de las fórmulas. 
 
 
 
 
 
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Negación 
Dada una proposición p, llamaremos negación de p a la proposición ~p, (que 
leeremos no p), la cual es verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera. 
 
Ejemplo: 
p: La tierra es el tercer planeta. 
q: La lógica clásica se fundamenta en cuatro principios. 
r: 2 + 2 = 5. 
Solución: 
~p: La tierra no es el tercer planeta. 
~q: La lógica clásica no se fundamenta en cuatro principios. 
~r: 2 + 2  5. 
~r: La suma de dos más dos no es igual a cinco. 
~r: Dos más dos es distintas de cinco. 
 
Conjunción 
 Dadas dos proposiciones p y q, llamaremos conjunción de p y q, a la nueva 
proposición p  q (que leeremos p y q), la cual es verdadera si ambas, p y q lo son y 
falsa en todos los otros casos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disyunción 
Exclusiva: 
Dadas dos proposiciones p y q, llamaremos disyunción exclusiva de p y q, a la 
proposición p v q (que leeremos p o exclusivo q), la cual es verdadera cuando ambas 
proposiciones tienen distinto valor de verdad y falsa cuando ambas tienen igual valor 
de verdad. 
En el ejemplo Juan es nacido en Mendoza o en Córdoba 
el “o”tiene un sentido excluyente ya que Juan pudo 
haber nacido en Mendoza o en Córdoba, pero no en 
 ambas. 
 
Inlcusiva: 
Es un conector lógico, cuyo valor de la verdad resulta en falso solo si ambas 
proposiciones son falsas, y en cierto de cualquier otra forma.1 Existen diferentes 
contextos donde se utiliza la disyunción lógica. 
 
 
 
Implicación Simple 
Dadas dos proposiciones p y q, llamaremos implicación simple de p y q, a la 
proposición p→q (que leeremos "p implica q" o "si p entonces q"), la cual es falsa si p 
es verdadera y q falsa, y verdadera en todos los otros casos. 
P: Si me prestan el auto, entonces te llevo al cine 
 
Si p (me prestan el auto) se cumple y q (te llevo al cine) 
también (esto es, son ambas verdaderas), entoncesel 
 compromiso se cumple, y el condicional resulta verdadero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Disyunci%C3%B3n_l%C3%B3gica#cite_note-1
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Doble Implicacion 
 
Dadas dos proposiciones p y q, llamaremos doble implicación de p y q, a la 
proposición p  q (que leeremos "p implica doblemente a q" o "p si y sólo si q"), la 
cual es falsa si p y q tienen distintos valores de verdad, y verdadera si tienen igual valor 
de verdad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jerarquía de Conectores 
 
 
 
 
 
Implicación Lógica 
 
Dadas dos proposiciones compuestas P(p, q, ..., z) y Q(p, q, ..., z), se dice que P 
implica lógicamente a Q (o que Q es consecuencia lógica de P) , y se denota con PQ, 
si para cualquier combinación de valores de verdad de p , q,..., z que haga a P 
verdadera, resulta Q también verdadera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Razonamiento Deductivo 
En las matemáticas y en las ciencias informáticas, interesa el razonamiento 
deductivo como un procedimiento por el cual, partiendo de hipótesis o premisas cuya 
verdad se conoce o se asume que son verdaderas, se demuestra la verdad de una 
proposición (la conclusión) de valor veritativo desconocido a priori. 
 
“Dadas dos o más proposiciones P1, P2, …, Pn, llamadas hipótesis o premisas, y 
una proposición Q, llamada conclusión, llamaremos razonamiento a la relación entre 
ellas, denotada por: P1, P2, …, Pn  Q, (que leeremos "si P1 y P2 y ... y Pn por lo tanto 
Q"), y diremos que la misma es válida, si Q resulta verdadera cada vez que las hipótesis 
sean simultáneamente verdaderas.” 
 
De un razonamiento que no es válido, se dice que es una FALACIA. 
 
Un razonamiento es una relación entre proposiciones, la cual no puede decirse que sea 
verdadera o falsa, sino válida o no 
 
Un razonamiento será válido, si y sólo si, la verdad de las hipótesis o premisas es 
evidencia de la verdad de la conclusión, o sea, no es posible que las premisas sean 
verdaderas y la conclusión falsa. 
 
El razonamiento solo será válido si P1 P2  ... Pn →Q es una tautología 
 
Para más información y ejercicios: https://cutt.ly/XbgSphc (Pag 1, 2 y 3) 
 
Reglas de Inferencia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://cutt.ly/XbgSphc
 pág. 19 
 
 
 
 
 
Lógica de Predicados 
 
 
Función proposicional 
 
Función proposicional o Predicado o Proposición Abierta en una variable x, denotada 
F(x) (que leeremos F de x, o x tiene la propiedad F) es toda oración declarativa que asigne una 
determinada propiedad "F" al objeto indeterminado "x" y que se convierta en proposición 
lógica al instanciarlo. 
 
 
Cuantificadores y Clases 
 
Clase: La colección de objetos que comparten alguna característica común (ser 
hombres), conforman una abstracción que se ha dado en llamar clase o categoría. 
 
Clase Vacía: Llamaremos clase vacía (y la denotaremos por el símbolo ), a aquella a la 
que no pertenezca ningún objeto miembro (como, por ejemplo, la clase especificada 
en el título de la película "Los muertos vivos"). 
 
Cuantificadores universal y existencial: Utilizando el concepto de función 
proposicional, es posible obtener proposiciones generales que identifiquen clases, 
mediante un proceso llamado de generalización o de cuantificación (término que 
proviene de la lógica clásica, que utilizaba los vocablos todos y algunos para diferenciar 
los juicios de acuerdo a su cantidad). 
Asociando en una función proposicional, la variable x con los términos todos o algunos 
(o con sus contrarios ningunos o algunos no), podremos formar proposiciones 
generales que afirmen relaciones (o que establezcan propiedades) entre clases, y entre 
objetos y clases. 
 
 
 
 
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Proposiciones categóricas 
 
 
 
 
 
 
 
Las anteriores proposiciones son clásicamente llamadas: 
1) Proposiciones universales afirmativas. 
2) Proposiciones universales negativas. 
3) Proposiciones particulares afirmativas. 
4) Proposiciones particulares negativas. 
 
Cálculo de clases 
 
 Ya que las clases han sido definidas como entes abstractos que representan la idea de 
propiedad o característica común a una colección de objetos, y que estas ideas pueden 
expresarse por proposiciones (o funciones proposicionales cuantificadas, que es lo mismo), 
puede construirse un álgebra o cálculo de clases, definiendo, mediante conectivos lógicos 
entre proposiciones, operaciones algebraicas entre clases. 
 
Lógica de primer orden o cálculo de predicados 
 
 En lógica proposicional, también llamada lógica de orden cero o cálculo 
proposicional, hemos tratado con oraciones declarativas que son o verdaderas o falsas, 
pero no ambas, a las que dimos el nombre de proposiciones lógicas y denotamos p, q, 
r, etcétera. 
 Esencialmente el objetivo de establecer un mecanismo para determinar la 
validez de los razonamientos, pudo cumplirse al definir qué entendemos por 
razonamiento deductivo válido y, mediante esta definición, establecer la validez de 
varias reglas de inferencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Razonamientos Deductivos 
 
 En el cálculo de predicados, debemos agregar dos reglas de inferencia o axiomas 
adicionales a los que teníamos en el cálculo de proposiciones: 
 
Regla de Especificación Universal: si x: P(x) es una proposición verdadera en un dominio 
determinado D, entonces P(a) es verdadera para cada elemento a del dominio. 
 
Regla de Generalización Universal: si P(x) es verdadera al reemplazar x con un elemento c del 
dominio, elegido de manera arbitraria (cualquiera), entonces la proposición x: P(x) es una 
proposición verdadera en el dominio. Aquí “elegido de manera arbitraria” o “cualquiera” 
quiere significar que equivale a todos y cada uno de los elementos del dominio. 
 
Sucesiones y Series 
Una sucesión es una estructura discreta utilizada para representar una lista 
ordenada de elementos. 
Una sucesión numérica es una secuencia ordenada de números, llamados 
términos, entre cada uno de los cuales hay una relación que se debe cumplir para 
determinar el próximo número. 
Una sucesión se representa como un conjunto de elementos escritos en un renglón, 
expresados por am, am+1, am+2, … , an . 
Una fórmula como ak = 2 k permite encontrar el valor de un símbolo de la 
sucesión en función de su posición o valor del índice k . 
Las sucesiones, que como vemos representan conjuntos ordenados, pueden ser 
finitas o infinitas. En el caso de sucesiones infinitas se suelen representar mediante la 
notación elíptica, por ejemplo: 1,2,3,4,5… Donde los tres puntos “…” se llaman puntos 
suspensivos y es la abreviatura de “y así sucesivamente”. 
 
Series o Sumatorias de sucesiones 
En 1772 un matemático francés Joseph Lagrange introdujo la notación Sigma  
 donde m representa el límite inferior y n el límite superior de la sumatoria. 
 
 
 
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Introducción a la Inducción Matemática 
Uno de los principales objetivos de la lógica, es la determinación de la validez 
de los razonamientos, esto es, establecer sin lugar a dudas que la veracidad de una 
determinada proposición lógica llamada conclusión se deduce necesariamente de la 
veracidad de una lista de proposiciones lógicas denominadas premisas. 
Esto es, vislumbramos nuevas verdades generales a partir de verdades 
particulares conocidas, haciéndolo de lo particular a lo general en un proceso 
denominado inducción. 
Sin embargo, esto debe demostrarseya que unos pocos casos particulares no 
sirven o no alcanzan para dar por probada una afirmación general. 
El principio de inducción matemática establece un método de razonamiento 
para demostrar la verdad o falsedad de ciertas proposiciones generales referidas a los 
números naturales, haciendo uso de las propiedades que los números naturales tienen 
por definición 
Principio del buen orden 
Es un lema que establece que todo conjunto ordenado que esté formado únicamente 
por números naturales tiene un primer elemento. El primer elemento de los números 
naturales es 0. 
 
 
 
 
 
 
En el paso inductivo, la suposición de que F(k) es verdadera para algún número 
natural k mayor o igual a n0 se denomina hipótesis inductiva. 
 
 
 
 
 
 
 
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Términos como conjuntos y elementos, son considerados en el contexto de la 
teoría de conjuntos como primitivos, en el sentido que no pueden ser definidos 
estrictamente sin caer en circularidades, sino más bien, descriptos en forma intuitiva. 
Diremos pues que, "un conjunto es cualquier colección bien definida de 
objetos", los cuales reciben el nombre de miembros o elementos del conjunto. 
“colección”, hace referencia a que se supone que un conjunto tiene varios elementos y 
a que no tiene importancia el orden en el que se encuentren los mismos dentro del conjunto. 
"bien definida" es fundamental en la definición intuitiva de conjunto, ya que podrá 
decirse que un conjunto está definido, si dado cualquier objeto x, puede determinarse la 
pertenencia del mismo o no, al conjunto. 
Pertenencia 
a A para denotar la proposición "el objeto a es miembro del conjunto A", y lo 
leeremos "el elemento a pertenece al conjunto A". 
a A denotando que "el objeto a no es miembro del conjunto A", y lo leeremos "el 
elemento a no pertenece al conjunto A". 
Determinación de un Conjunto 
Si el conjunto está formado por un número finito de elementos, puede 
determinarse o definirse inequívocamente al mismo, nombrando todos los elementos 
que lo componen. Esto suele hacerse, colocando primero el nombre del conjunto, 
luego un signo de igualdad y a continuación todos los elementos que lo conforman, 
encerrados entre llaves e individualizados separándolos con coma o con punto y coma. 
V = {a, e, i, o, u} definido por extensión o enumeración 
V = {x / x es una vocal del alfabeto español} definido por comprensión 
Cabe reiterar que, ni en la noción de conjunto, ni en las dos formas en las que 
puede definirse un determinado conjunto, se hace referencia al orden o a la repetición 
de elementos. Esto no es un descuido sino, la esencia misma de la idea de conjunto 
como colección de objetos. 
 Así: A = (a, e, i, i, i, i, o, u} y B = {i, i, e, a, a, o, u, i} representan al mismo 
conjunto V definido anteriormente 
 
 
 
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Conjuntos Especiales 
Conjunto vacío, simbolizado por  y por extensión por {}, como aquel que no 
contiene elemento alguno. 
Conjunto unitario, a aquel que posea un sólo elemento. 
Conjunto universal del cual son miembros todos los elementos de los conjuntos bajo 
estudio y se lo denota con "U". 
Al hablar de conjuntos, normalmente se supone un determinado universo de discurso 
al cual pertenecen naturalmente todos los objetos a los que se hace referencia en el estudio. 
 
Igualdad de Conjuntos 
Dados dos conjuntos A y B, se dice que son iguales y lo denotamos por A=B, sii 
ambos están formados por exactamente los mismos elementos. 
- En símbolos: A = B  x: xA → xB  y: yB → yA 
Diagrama de Venn 
 
 
 
 
Inclusión 
Inclusión Amplia 
 
 
 
 
 
• A está incluido en B. 
• A está contenido en B. 
• A es un subconjunto de B. 
• B incluye a A. 
• B contiene a A. 
• B es un superconjunto de A. 
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Inclusión Estricta 
 
 
 
 
 
 
Cardinalidad de un Conjunto 
Dado un conjunto finito A, llamaremos cardinalidad de A o número cardinal de 
A, (y lo denotaremos con A), al número n de elementos que pertenecen a él. A = n 
Por convención, se asigna el número cero como cardinalidad del conjunto 
vacío:  = 0 (|| = 0 pero {0}   y también {}  ) 
 
Familias de Conjuntos 
Existen algunos conjuntos que tienen como elementos a otros conjuntos, y se 
les denomina usualmente, conjunto de conjuntos, clase de conjuntos o familia de 
conjuntos; más aún, un conjunto puede contener como miembros, otros conjuntos y 
algunos elementos que no son conjuntos. 
Sea A = {{a}, b} un conjunto. 
Entonces puede escribirse: {a}  A b  A {b}  A {{a}}  A 
Sin embargo, a como elemento, no pertenece al conjunto A y el conjunto {a} no está 
incluido en A sino que es un elemento del mismo. 
En símbolos: a  A a  {a} {a}  A 
recordemos además que   A o lo que es lo mismo {}  A 
Conjunto Potencia 
 
 
 
 
 
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Ejemplos: https://cutt.ly/cbjZloC 
Complementación 
Dado un conjunto A y el conjunto universal U, llamaremos complemento de A 
al conjunto denotado por ~A, (que leeremos complemento de A), formado por todos 
los elementos del conjunto universal que no pertenecen al conjunto A. 
 
En símbolos: ~A = {x/ xU  xA} 
 
El símbolo "~" utilizado para denotar el complemento, refuerza la idea de 
negación de la proposición que establece la pertenencia al conjunto (~(xA) o no es el 
caso que el elemento x pertenezca al conjunto A); en la bibliografía, suele también 
utilizarse el símbolo "⎯" como sombrero del conjunto a complementar o las notaciones 
A' o A c . 
 
 Dados dos conjuntos A y B, llamaremos complemento de A respecto de B al conjunto B 
– A, (que leeremos B menos A, o complemento de A con respecto a B), formado por todos los 
elementos de B que no pertenecen al conjunto A. En símbolos: B - A = {x/ xB  xA} 
 
 
 
 
Intersección 
Dados dos conjuntos A y B, llamaremos intersección de A y B al conjunto denotado por 
AB, que leeremos A intersección B, formado por todos los elementos comunes de A y 
de B. 
En símbolos: AB = {x/ xA  xB} 
 
 
El símbolo "" utilizado para denotar la intersección de conjuntos, tiene la forma 
suavizada del símbolo de conjunción “” de la lógica matemática, y efectivamente este 
conectivo tiene acción decisiva en la definición precedente. 
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Unión 
Dados dos conjuntos A y B llamaremos unión de A y B y lo denotaremos AB, 
(que leeremos A unión B), al conjunto formado por todos los elementos de A y todos 
los de B. 
En símbolos: AB = {x/ xA  xB} 
 
El símbolo "" utilizado para denotar la unión de conjuntos, tiene la forma 
suavizada del símbolo "" de la disyunción lógica y, como puede verse claramente en 
la definición presentada de la operación, es coherente la semejanza. 
 
Partición de un Conjunto 
 
 
 
 
 
 
 
 
Producto Cartesiano 
En la idea intuitiva de conjunto, el orden de los elementos que al mismo 
pertenecen no tiene ninguna significación en cuanto a su determinación. Así, hemos 
expresado que: {a, b} = {b, a} ya que ambos miembros de la igualdad son en realidad, el 
mismo conjunto. 
 
 
 
 
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Par Ordenado 
Dados dos objetos a y b, llamaremos par ordenado, y lo denotaremos con (a, b), 
al arreglo ordenado de los mismos, y diremos que a es la primera componente y que b 
es la segunda componente del par ordenado. 
De la definición precedente se desprende que, en general, (a, b)  (b, a), a 
menos que se verifique a = b y, basado en este hecho, se dice que un par ordenado es 
igual a otro, si y sólo si, sus componentes correspondientes son iguales. 
En símbolos: (a, b) = (c, d)  a = c  b = d 
 
 
 
 
 
 
 
Principio de Dualidad 
 Si T es un teorema del álgebra de conjuntos, entonces el dual de T, denotado 
por T*, construido reemplazando los símbolos U, , ,  de T por los símbolos , U, 
, , respectivamente, es también un teorema.Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera y sean ,  y  los 
símbolos de las operaciones de complementación, intersección y unión de 
conjuntos respectivamente. Entonces, se cumplen las siguientes 
propiedades: 
 
 
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Material unidad 4: https://cutt.ly/cbjZloC 
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Hecho por su mejor amigo Zafiro o Marcelo. 
Les agradecería como compensación que me sigan 
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Para cualquier modificación importante o por 
curiosidad dejo mi Instagram: 
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Si necesitan otro resumen similar a este de 
cualquier materia de primer año, pídanmelo. 
Suerte en el parcial!! 
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