curso de apoyo en matematica - Alejandro Lalo

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FFFAAACCCUUULLLTTTAAADDD DDDEEE IIINNNGGGEEENNNIIIEEERRRÍÍÍAAA 
Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCCuuurrrsssooo dddeee AAApppoooyyyooo 
eeennn MMMaaattteeemmmááátttiiicccaaa 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática 
http://www.ing.unp.edu.ar/matematica
 
 
 
 
 
 
El siguiente material, elaborado por docentes del Departamento de 
Matemática, está dirigido a los alumnos aspirantes a ingresar a la Facultad de 
Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco. 
 
 
El mismo tiene como objetivo orientar al alumno en el estudio de las 
temáticas que se evalúan en el examen de ingreso a la Facultad, y aportar una 
nutrida cantidad de ejemplos y ejercicios que permitan el desarrollo de las 
habilidades y destrezas necesarias para abordar el estudio de las áreas básicas 
de la Ingeniería, Informática y Matemática. 
 
 
Bienvenidos a la Facultad de Ingeniería y mucha suerte. 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática 
Facultad de Ingeniería 
 
INDICE TEMÁTICO 
 
 
1. Números.....................................................................................................................1 
1.1. Números naturales.............................................................................................2 
1.2. Números enteros.................................................................................................3 
1.3. Números racionales ............................................................................................8 
1.4. Números reales..................................................................................................12 
1.4.1. Orden en R..............................................................................................14 
1.4.2. Potenciación y radicación en R.............................................................16 
1.5. Números complejos ...........................................................................................21 
1.5.1. Operaciones en C....................................................................................23 
2. Ecuaciones lineales o de primer grado....................................................................26 
3. Recta real..................................................................................................................36 
3.1. Intervalos reales.................................................................................................36 
3.2. Valor absoluto o módulo de un número real...................................................41 
3.3. Inecuaciones lineales..........................................................................................44 
4. Función lineal y ecuación de la recta.......................................................................49 
4.1. Función................................................................................................................49 
4.2. Función lineal y ecuación de la recta................................................................56 
4.2.1. Función lineal...........................................................................................56 
4.2.2. Pendiente de una recta ............................................................................57 
4.2.3. Función de proporcionalidad.................................................................61 
4.2.4. Ecuación de la recta ................................................................................62 
4.3. Sistemas de ecuaciones.......................................................................................68 
4.4. Rectas perpendiculares......................................................................................73 
4.5. Función valor absoluto.......................................................................................74 
5. Ecuaciones y funciones cuadráticas.........................................................................75 
5.1. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado....................................................76 
5.2. Funciones cuadráticas........................................................................................82 
6. Ecuaciones polinómicas y racionales.......................................................................98 
6.1. Polinomios...........................................................................................................98 
6.1.1. Operaciones con polinomios....................................................................99 
6.1.1.1. Suma de polinomios..........................................................................99 
6.1.1.2. Resta de polinomios..........................................................................99 
6.1.1.3. Producto de polinomios..................................................................100 
6.1.1.4. División de polinomios....................................................................100 
6.1.2. Raíces de un polinomio. Ecuaciones polinómicas...............................102 
6.1.3. Divisibilidad de polinomios ...................................................................103 
6.1.4. Regla de Ruffini......................................................................................104 
6.1.5. Factorización de polinomios..................................................................105 
6.2. Expresiones racionales......................................................................................108 
6.2.1. Operaciones con expresiones racionales...............................................110 
6.2.1.1. Suma y resta.....................................................................................110 
6.2.1.2. Producto ...........................................................................................112 
6.2.1.3. División ............................................................................................112 
6.2.2. Raíces de una expresión racional. Ecuaciones racionales...................113 
7. Exponenciales y logaritmos.....................................................................................119 
7.1. Función exponencial.........................................................................................120 
7.1.1. Ecuaciones exponenciales......................................................................123 
7.2. Función logarítmica. Logaritmos....................................................................125 
7.2.1. Propiedades de los logaritmos...............................................................127 
7.2.2. Cambio de base.......................................................................................128 
7.3. Ecuaciones exponenciales y ecuaciones logarítmicas.....................................130 
8. Funciones trigonométricas de ángulos ...................................................................134 
8.1. Ángulos...............................................................................................................134 
8.1.1. Sistemas de medición de ángulos ..........................................................136 
8.2. Funciones trigonométricas de un ángulo.........................................................139 
8.3. Triángulos rectángulos......................................................................................142 
8.4. Signos de las funciones trigonométricas...........................................................144 
8.5. Relaciones entre las funciones trigonométricas...............................................145 
8.6. Funciones trigonométricas inversas de un ángulo...........................................147 
8.7. Identidades trigonométricas...............................................................................155 
8.7.1. Razones trigonométricas de α + β y de α - β.........................................155 
8.7.2. Razones trigonométricas del ángulo doble.............................................1558.7.3. Teoremas del seno y del coseno................................................................155 
9. Números complejos en forma polar...........................................................................157 
 
Soluciones...........................................................................................................................164 
SIMBOLOS 
 
N = {1, 2, 3, …} el conjunto de los números naturales 
N0 = N ∪ {0} el conjunto { 0, 1, 2, 3, …} 
N- el conjunto { -1, -2, -3, -4, …} 
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 
…} 
el conjunto de los números enteros 
Q el conjunto de los números racionales 
R el conjunto de los números reales 
C el conjunto de los números complejos 
x ∈ A x pertenece al conjunto A 
x ∉ A x no pertenece al conjunto A 
A ⊂ B el conjunto A está incluido en el conjunto B 
A ⊄ B el conjunto A no está incluido en el conjunto B 
A ∪ B conjunto A unión B, formado por los elementos que pertenecen 
al conjunto A o al conjunto B 
A ∩ B conjunto A intersección B, formado por los elementos que 
pertenecen al conjunto A y al conjunto B 
∅ conjunto vacío 
= igual 
≠ distinto 
≅ es aproximadamente igual a 
< es menor que 
> es mayor que 
≤ es menor o igual que 
≥ es mayor o igual que 
(a, b) el intervalo abierto de extremos a y b 
[a, b] el intervalo cerrado de extremos a y b 
(a, b] el intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha, de 
extremos a y b 
[a, b) el intervalo semiabierto a derecha o semicerrado a izquierda, de 
extremos a y b 
∞ infinito 
Dom f dominio de la función f 
Im f imagen de la función f 
a valor absoluto de a, que vale a si a ≥ 0, y vale – a en otro caso. 
an n-ésima potencia de a 
n a raíz n-ésima de a 
a  b a divide a b 
sen α seno del ángulo α 
cos α coseno del ángulo α 
tg α tangente del ángulo α 
arc sen α arco seno del ángulo α 
arc cos α arco coseno del ángulo α 
arc tg α arco tangente del ángulo α 
rad radianes 
i número complejo que simboliza a la unidad imaginaria 
e número cuyo valor aproximado es 2,7182818 
π número cuyo valor aproximado es 3,1415926 
z módulo del número complejo z 
∀ cuantificador que se lee “para todo” 
∃ cuantificador que se lee “existe” 
∧ conectivo lógico que se lee “y” 
∨ conectivo lógico que se lee “o” 
⇔ conectivo lógico que se lee “si y sólo si” 
⇒ conectivo lógico que se lee “implica” 
loga b logaritmo en base a de b 
log b logaritmo en base 10 de b, o logaritmo decimal de b 
ln b logaritmo en base e de b, o logaritmo natural de b 
 
 
Números 
 
Página 
 
1 
1. NÚMEROS 
A lo largo de esta primera Unidad recorreremos los distintos conjuntos numéricos, recordando 
cómo operar en cada uno de ellos y afianzando las propiedades de las operaciones. Esta Unidad es 
en cierta manera el basamento sobre el cual construiremos las siguientes, y es por ello que debe 
brindársele mucha atención. Recordamos especialmente dejar de lado la calculadora por un 
momento, a menos que sea estrictamente necesario. Esto permitirá que el repaso sea fructífero y 
sirva de apoyo para futuras unidades. 
A lo largo del módulo Ud. encontrará una abundante y variada presentación de actividades, las 
cuales permitirán adecuar el trabajo a las necesidades de cada estudiante. Por esto mismo, se han 
marcado en algunos casos ciertos incisos como actividades complementarias. 
 
 
 
 
La Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco 
posee sedes en las ciudades de Comodoro Rivadavia, Trelew, Puerto Madryn, Esquel y Ushuaia. 
La ciudad de Comodoro Rivadavia se encuentra a una altura de 61 metros sobre el nivel del mar 
en el centro del Golfo San Jorge. El ejido urbano posee una superficie de 5482/10 Km2, con una 
costa de aproximadamente 36 km. La ciudad de Comodoro Rivadavia es cabecera del 
Departamento Escalante, en la Provincia del Chubut, Patagonia Turística Central. Su población es 
de 143.628 personas (datos provisorios del Censo 2001, para el aglomerado Comodoro Rivadavia 
- Rada Tilly). De ellas, un 60,6% son nativos, un 21 % provienen de otros lugares de la Argentina y 
un 12,3 % provienen de otros países. Uno de sus grandes atractivos turísticos es el parque eólico, 
emplazado en el cerro Arenales con una altura de 400 metros sobre el nivel del mar. La ciudad 
también cuenta con un puerto principal ubicado en la zona Central de la Ciudad, en el extremo de 
la Punta Borja, diseñado para atender buques de hasta 180 mts. de eslora, con un calado máximo 
de 30 pies (10 mts.). 
 
 
 
 
Habrás notado que todos los datos vertidos aquí hacen referencia a cantidades numéricas 
expresadas en diferentes formas. Es claro que los números conviven con nosotros en el trabajo, al 
leer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc. A 
continuación analizaremos cada uno de los conjuntos numéricos que se presentan en Matemática. 
 
 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
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1.1. Números Naturales 
 
Los números naturales también 
sirven para ordenar. Así, decimos 
que la Tierra es el tercer planeta a 
partir del Sol, que ésta es la primer 
unidad del Módulo del Ingreso, 
etc. 
 A los números que utilizamos para contar la cantidad de 
elementos de un conjunto no vacío se los denomina 
números naturales. Designamos con N al conjunto de 
dichos números. 
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }. 
Es claro que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural. En símbolos, 
si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y a . b ∈ N. 
Observemos que... 
1 - 1 = 0 ∉ N 
1 - 2 = -1 ∉ N 
3 – 1 = 2 ∈ N 
 Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números 
naturales es un número natural. Así, 
si a , b ∈ N y b < a entonces a - b ∈ N. 
Los números naturales están ordenados. Podemos representarlos en la recta numérica como sigue: 
 
 
Si al conjunto de los números naturales le agregamos el número cero, obtenemos un nuevo 
conjunto que denotamos con 
N0 = N ∪ {0}. 
 
 
 
Observemos que... 
w a ∈ N si y sólo si - a ∈ N- 
w N ∩ N- = ∅, es decir, no existe 
un número que pertenezca al 
conjunto N y al conjunto N- 
simultáneamente. Recordemos 
que el símbolo ∅ denota al 
“conjunto vacío”. 
 
Por otro lado, si reemplazamos cada elemento del conjunto de 
los números naturales por su opuesto, es decir, en lugar de 1 
escribimos -1, en lugar de 2 escribimos -2, y así siguiendo, 
obtenemos un nuevo conjunto que denotaremos con 
N- = {-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , ...} = {- a / a ∈ N } 
Si agregamos estos nuevos elementos al gráfico anterior resulta: 
 
 
 
 
El conjunto que hemos obtenido de esta manera nos conduce a la próxima sección. 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 
 0 1 2 3 
 1 2 3 
Números 
 
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3 
1.2. Números Enteros 
 
 Definimos al conjunto de los números enteros como 
Z = N 
-
 ∪∪ {0} ∪∪ N. 
 
 
 
 
 
 
 De inmediato resulta que todo número natural es un número 
entero. 
 
 
 
Retoma la lectura del artículo al 
principio de esta unidad. 
 ¿Cuál es la distancia entre la cima del cerro Arenales y un 
punto ubicado en la parte inferior de un barco cuyas 
dimensiones son las máximas permitidas para ingresar el 
puerto local? 
Recuerda que... 
1 pie = 30 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
Puede serle útil representar en la recta 
numérica los números indicados y 
analizar allí la situación. 
 
 
 Para pensar…. 
ü ¿Existe un número entero que sea menor o igual que todos 
los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás? 
 
ü ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos 
2 y 3 ?, ¿y entre 5 y 6 ?, ¿y entre n y n + 1 ?. 
 
ü ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10 ?, ¿y entre -3 y 7 ?. 
¿Qué puede afirmarse sobre la cantidad de enteros que existen 
entre dos enteros dados?. ¿Cuántos números enteros existen 
entre dos números enteros dados?. 
 
 
Observemos que...-2 ∈ Z implica - (-2) = 2 ∈ Z 
4, -5 ∈ Z implica 4 + (-5) = -1 ∈ Z 
 
4, -5 ∈ Z implica 4 - (-5) = 9 ∈ Z 
 
 
 
4, -5 ∈ Z implica 4 . (-5) = -20 ∈ Z 
 w b ∈ Z implica - b ∈ Z 
w a, b ∈ Z implica a + b ∈ Z 
w a, b ∈ Z implica a - b ∈ Z, 
pues: a - b = a + (- b); como - b ∈ Z ; por lo anterior 
resulta 
a + (- b) ∈ Z . 
w a, b ∈ Z implica a . b ∈ Z 
 
7 : 2 = 3,5 ∉ Z 
 Observemos que... 
no siempre la división de dos números enteros 
es un número entero 
N Z 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
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Divis ib i l idadDivis ib i l idad 
 Si r = 0 , resulta b = a . q y se dice que a divide a b 
(o que b es múltiplo de a , o que b es divisible por a , o que 
a es divisor de b ). 
 
 Ejemplos: 
6 = 2 . 3 + 0, de modo que r = 0 
y así 2 divide a 6 
12 = 5 . 2 + 2, de modo que r = 2 
y así 5 no divide a 12 
 a) 2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3 
b) 5 no divide a 12 pues no existe ningún entero que 
 multiplicado por 5 dé 12. 
 
2 , 11 , 463 
son números primos 
 Un número entero a es primo si tiene exactamente cuatro 
divisores: 
1, -1, a y - a. 
 
7 2 a b 
1 3 r q 
 Al realizar una división entre dos números enteros puede que el 
resto sea distinto de cero. 
 
Algor itmo de la Algor itmo de la 
d iv i s ión d iv i s ión 
 Sean a , b ∈∈ Z , a ≠≠ 0. Existen enteros únicos q, r tales que 
b = a . q + r con 0 ≤≤ r <  a 
 
 
| 2 | = 2 
|-2 | = 2 
 
 Recordemos que… 
|a| denota al “valor absoluto” del número a. 
En la Unidad 3 trataremos este tema con mayor profundidad. 
 Ejemplos: 
 
 
 
El resto de la división entre 
dos números enteros 
nunca puede ser negativo. 
 
a) Para b = 84, a = 45 resultan q = 1, r = 39, 
pues 84 = 45 . 1 + 39 
b) Para b = 84, a = - 45 resultan q = - 1, r = 39, 
pues 84 = (- 45) . (- 1) + 39 
c) Para b = - 84, a = 45 resultan q = - 2, r = 6, 
pues - 84 = 45 . (- 2) + 6 
d) Para b = - 84, a = - 45 resultan q = 2, r = 6, 
pues - 84 = (- 45) . 2 + 6 
Números 
 
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5 
 
Máximo común Máximo común 
d iv i so rd iv i so r 
 Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en 
sus factores primos, el máximo común divisor entre a y b, es 
el producto de los factores primos comunes, con el menor 
exponente. 
Se denota mcd (a , b). 
 
 
 Ejemplo: 
Recordemos que... 
 
para realizar la descomp osición de un 
número en factores primos 
comenzamos dividiendo, de ser 
posible, por los números primos 
2, 3, 5, 7, 11, … 
 hasta obtener el número 1. 
La segunda columna obtenida 
presenta la descomposición del 
número en factores primos. 
 Si a = 72 y b = 84 resulta 
 
 72 2 84 2 
 36 2 42 2 
 18 2 21 3 
 9 3 7 7 
 3 3 1 
 1 
 72 = 23 . 32 84 = 22 . 3 . 
 
mcd (72 , 84) = 22 . 3 = 12, 
 
o sea, 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84. 
 
Mínimo común Mínimo común 
múlt ip lomúlt ip lo 
 Si se descomponen dos números enteros positivos a y b 
en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre 
 a y b es el producto de los factores primos comunes 
y no comunes con el mayor exponente. 
Se denota mcm (a , b) 
 
 
 Ejemplo: 
 72 2 84 2 
 36 2 42 2 
 18 2 21 3 
 9 3 7 7 
 3 3 1 
 1 
72 = 23 32 84 = 22 3 7 
 Tomando los números del ejemplo anterior resulta 
 
mcm (72 , 84) = 23 . 32 . 7 = 504 
 
o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84. 
 
 
Actividades de Aprendizaje 
 
1) Efectuar las siguientes operaciones: 
 Ejercicios complementarios 
a) 5 - (-2) + (-8) : (-4) – 5 
b) 7 - (-3) - (-8) : (-8) + (-3) : (-1) 
c) 6 : (-2) + (-7) . (-15) : (-3) 
d) 22 - 42 : 8 + 25 
 
e) 42 : 2 - 1 - 82 : 2 – 1 
f) 32 : 2 - 1 - 32 : 2 
g) 3-1 . 3 - 30 + 1 - 25 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
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2) El número - 15 es menor que 3, es decir, -15 < 3 . 
 
a) ¿Es (-15)2 menor que 32? b) ¿Es (-15)3 menor que 33? 
 
3) El número -12 es menor que -3, es decir -12 < - 3 . 
a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) . 6 ? 
b) ¿Es (-12 ) . (-6) menor que (-3) . (-6) ? 
 
4) Dadas las siguientes afirmaciones, señalar cuáles son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F). 
Dar un contraejemplo en caso de ser falso. 
a) Si z ∈ Z entonces - z ∈ Z. b) Si z2 ∈ Z entonces z ∈ Z. 
c) Si 2 z ∈ Z entonces z ∈ Z. d) Si z2 = 1 entonces z ∈ Z. 
 
5) 
a) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cuadrados? 
b) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cubos? 
 
6) Se lanzan tres monedas diferentes. ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer?. 
 
7) Sabemos de dos números enteros x e y que su producto x . y = - 16 y que x es positivo. 
 
a) Cuál es el signo de cada uno de los productos siguientes: 
§ x . y . x . y 
§ (-1) x . y 
§ x . x . y 
§ ( - x )( - y )( - x ) 
b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes: 
§ ( - 1 ) ( - x ) y = 
§ x y : ( - 4 ) = 
§ - 2 x y = 
§ x y : 4 = 
§ 3 x y = 
 
8) p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p ≤ q. Completar con ≤ o ≥ 
según corresponda: 
a) 3 p ..... 3 q b) - 4 p ..... - 4 q 
c) - p ..... – q d) p . a ..... q . a , siendo a ≥ 0 
 
9) 
a) Sean a y b enteros, b ≠ 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y 
resto 7, hallar a y b. 
b) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que 
llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero un número c y el 
resto 1. Luego dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es el número 
a ? 
 
Números 
 
Página 
 
7 
 
10) 
 
a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14. 
b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492. 
 
 
11) Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda uno suelto. 
Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los coloco de a dos. 
Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno. 
 
a) Si tengo menos de 30 botones, ¿cuántos tengo? 
b) Si tengo más de 50 botones y menos de 100, ¿cuántos tengo? 
 
12) En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son cada 4 
años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para presidente, 
gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?. 
 
13) Tres hombres recorren 28, 35 y 40 kilómetros por día respectivamente. 
 
a) ¿A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres 
simultáneamente, en un número entero de días?. 
b) ¿Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?. 
 
14) Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda. 
 
a) ∀ x ∈ Z, x - 1 > 2 b) ∃ b ∈ Z, b + 0 = 0 
c) ∀ a ∈ Z, a + 0 ≠ 0 d) ∃ t ∈ Z, t - 2 ≥ 1 
e) ∀ a ∈ Z, a + 0 = a 
 
w ∀ a, b ∈ Z, a + b ∈ Z, es 
decir, “Para cada par de números enteros 
a y b, su suma a + b es un número 
entero. ” 
 
w ∀ z ∈ N, z ∈ Z, es decir, “Todo 
número natural z, es un número entero”. 
 
w ∀ a ∈ Z, ∃ (- a)∈Z, a + (-a) = 0, 
es decir, “Para todo número entero a, 
existe el número entero (-a), llamado 
opuesto de a tal que a + (-a) = 0 ” 
 
w Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0. 
∃ q, r ∈ Z únicos, tales que b = a . q + 
r con 0 ≤ r < a. (Recordar el 
Algoritmo de la división) 
 
Recordemos que... 
 
El símbolo ∀ se lee “para todo”, así, 
∀ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a 
continuación se verifica 
“para todos los números enteros” 
 
El símbolo ∃ se lee “existe”, así, 
∃ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que 
la propiedad que aparece a 
continuación se verifica 
“al menos para algún número entero” 
 
 
 
 
 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 8
 
1.3.Números Racionales 
 
a : b se lee “a dividido b” 
 
 Como mencionamos anteriormente, no es cierto en general que 
si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z . 
 
 Ejemplo: 
1 : 2 = 
2
1
 ∉ Z . 
 
 
Pueden usar los racionales, 
por ejemplo, para indicar 
la quinta parte de x como 
5
x
 
 Llamamos número racional a todo número que se puede 
expresar como fracción 
m
n
 donde n y m son enteros y 
m ≠≠ 0. Con Q denotamos la totalidad de los números 
racionales. 
 
 Observemos que... 
w Todo número entero es racional, pues si m ∈ Z 
escribimos m = 
1
m
 ∈ Q . Es decir Z ⊂ Q . 
w La recíproca es falsa, por ejemplo, 
2
1
 ∈ Q pero 
2
1
 ∉ Z. 
 
La suma, la diferencia y el producto 
de dos números racionales es un 
número racional. 
 Si u , v ∈ Q entonces: 
w u + v ∈ Q 
w u - v ∈ Q 
w u . v ∈ Q 
El inverso de cualquier número 
racional no nulo es un número 
racional. 
 
w Si u ≠ 0 entonces 
u
1
 ∈ Q 
 
 Para pensar…. 
Recordemos que... 
 
 no existe un número entero 
que sea menor o igual que todos los 
demás, ni tampoco uno que sea 
mayor o igual que cualquier otro 
entero. 
 
Además, no podemos encontrar un 
número entero entre dos enteros 
consecutivos, pero sí podemos 
hallar una cantidad finita de enteros 
entre dos números enteros no 
consecutivos. 
 
ü ¿Existe un número racional que sea menor o igual que 
todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás? 
ü Hallar un número racional entre 
3
2
 y 
7
3
 . Hallar un 
número racional entre 
3
7
 y 
3
8
 . ¿Puede hallarse más de un 
número racional con esta propiedad?; ¿Qué se concluye?. 
 
Z Q 
Números 
 
Página 
 
9 
Los números racionales se expresan en diferentes formas. 
 
 Ejemplo: 
El número racional tres cuartos puede expresarse como: 
4
3
 = 
4 -
3 -
 = 
8
6
 = 
12
9
 = 
100
75
 = 0,75 = 0,750 = .... 
 
 
forma fraccionaria forma decimal 
 
 
Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico. 
 
 Ejemplos: 
2
1
 = 0,5 es decimal exacto 
3
1
 = 0,333..... = 30,
)
 período 3 
11
86
 = 7,81818181... = 
∩
817, período 81 
6
29
 = 4,83333... = 34,8
)
 período 3 
Cada parte de un número decimal tiene un nombre especial: 
 Parte 
entera 
Parte 
decimal 
 
 
 5 4 , 8 3
)
 
 
 Parte periódica 
 Parte no periódica 
 
 
A continuación indicaremos cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria. 
 
 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 10
 
FORMA 
DECIMAL 
EJEMPLO OBSERVACIÓN 
Exactas 0,75 = 
100
75
 
En el numerador aparece la parte decimal, 
y en el denominador tenemo s 
el 1 seguido de tantos ceros como 
cifras decimales tengo. 
Puras 0,2525... = 
∩
250, = 
99
25
 
En el numerador aparece la parte periódica, 
mientras que en el denominador tenemos 
tantos números 9 como cifras tiene el período. 
Pe
ri
ód
ic
as
 
Mixtas 
 0,75454…= 
∩
540,7 = 
 = 
990
7 - 754
 = 
990
747
 
En el numerador aparece la diferencia entre 
la parte decimal y la parte decimal 
 no periódica, mientras que en el 
denominador tenemos tantos números 9 
como cifras tiene el período seguido de 
tantos ceros como cifras tiene 
la parte no periódica. 
 
 Más ejemplos: 
 
FORMA 
DECIMAL 
EJEMPLO 
Exactas 
0,015 = 
1000
15
 
2,23 = 
100
223
 
Pu
ra
s 0,333... = 30,
)
 = 
9
3
 
1,282828... = 
∩
281, = 1 + 
99
28
 = 
99
127
 
Pe
ri
ód
ic
as
 
M
ix
ta
s 
0,8333... = 30,8
)
 = 
90
8 - 83
 = 
90
75
 
12,75454... = 
∩
5412,7 = 12 + 
990
7 - 754
 = 12 + 
990
747
 = 
990
12627
 
5,12444... = 45,12
)
 = 5 + 
900
12 - 124
 = 5 + 
900
112
 = 
900
4612
 
 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
15) Calcular: 
 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 
a) 




+




 +
5
3
 - 
2
1
 . 
3
10
2
1
4
3
 - - 
9
5
 d) 




⋅




⋅
5
1
 - 
4
3
11
4
 - 
2
1
 - 
3
5
8
3
 
Números 
 
Página 
 
11 
b) 
7
3
 : 
4
3
 - 
3
1
3
4
5
4
 - 
3
2
 : 
5
3
+⋅ 
c) 




 +




 ++
6
1
 - 
3
2
3
4
 - : 
4
1
6
5
 - 
2
7-
3
2
 
e) 
6
1
 - 
3
2
3
4
 - : 
4
1
6
5
 - 
2
7-
3
2
+




++ 
 
 
16) Escribir en forma decimal y fraccionaria: 
 
a) 5 décimos b) 5 centésimos c) 123 centésimos d) 82 milésimos 
 
17) 
a) ¿De qué número es 200 la quinta parte?. b) ¿De qué número es 850 el 52%?. 
 
18) Dadas las fracciones 
11
12
 y 
12
13
?. ¿Cuál es mayor? 
 
19) Expresar en forma fraccionaria y resolver: 
a) 
( )
( ) 240 - 30 - 51
6
 - 
51
8121
2
2
,,,,
,, +
 b) 
250 - 
2
3
5
1
 - 70 - 70
2
1
090
22
,
,,, 










 ++
 
c) 10 - 33 . 502 . 500 - 30 : 10 - 30 : 900 2 ,,,,,,,,
))))
+ d) 
( )
( )12,0 - 23,0 
3,0 - 91,0. 5,1 - 3,04
))
))))
+
 
20) En un colegio, 
3
1
 de los alumnos estudian inglés y el 33% francés. ¿Cuál es la lengua más 
elegida? 
 
21) Un auto recorre 50 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km. en 27 minutos. ¿Cuál es el 
más rápido? 
 
22) Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., ¿cuánto pesarán 
después? 
 
23) El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. ¿Qué volumen ocuparán 200 
litros de agua después de helarse?. 
 
24) Una aleación está compuesta por 
29
24
 de cobre, 
29
4
 de estaño y 
29
1
 de cinc. ¿Cuántos 
kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación?. 
 
25) Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en 3. ¿Cuál es 
el denominador de la fracción?. Justifique su respuesta. 
 
26) Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda, María 
toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma 
5
2
. Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la longitud del 
cordel?. 
 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 12
27) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los 
9
20
 de la edad de su padre y Carlos los 
2
5
. 
¿Cuál es el mayor?. 
 
28) Un curso tiene 32 alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada a 
concurrir 1 hora antes del inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió la 
mitad. Tomando como unidad el curso, ¿cómo expresaría la parte del curso que asistió? 
 
 
 
1.4 Números Reales 
 
 A los números reales que no se los puede expresar en forma 
de fracción, se los denomina números irracionales. Es 
decir, un número irracional expresado en forma decimal no 
es exacto ni periódico. 
 
 
 
 
El número π aparece al calcular la 
longitud de una circunferencia y el 
área de un círculo. 
 
El número e se presenta en procesos 
de crecimiento de una población 
animal o vegetal, y en problemas de 
desintegración radiactiva. 
Seguramente habrás visto en el 
tendido de cables eléctricos que los 
cables entre un poste y otro 
determinan una curva en cuya 
ecuación también está presente el 
número e. 
 
Otro número irracional muy famoso, 
 
 
 
llamado el número de oro, se obtiene 
si realizas, por ejemplo, el cociente 
entre las longitudes del lado menor y 
el lado mayor de las hojas tamaño A4 
que comúnmente se utilizan en 
fotocopiadora, o realizando el mismo 
cálculo con los lados de una tarjeta de 
crédito. 
 
 ¿No te parece curioso? 
 
 Ejemplos: 
 
a) 0,1234567891011... 
La parte decimal de este número irracional es la sucesión de 
los números naturales. 
 
b) π ≅ 3,141592654 
El símbolo ≅ indica que se esto representa una 
aproximación del número irracional π . Notemos que 
también existen otras aproximaciones para este número; por 
ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc. 
 
c) e ≅ 2,71 
Representa una aproximación del número irracional e. Al 
efectuar cálculos en los que intervienen los números 
irracionales, tomamos una cantidad finita(entre 3 y 5) de 
cifras decimales. Por lo tanto, podemos considerar e ≅ 
2,718 o bien e ≅ 2,71828. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La unión del conjunto Q de números racionales y 
el conjunto de los números irracionales es el 
conjunto R de los números reales. 
 
2
51 +
Números 
irracionales 
 R Q 
 
 N Z 
Números 
 
Página 
 
13 
 
Todos los números que hemos estudiado en las secciones anteriores son números reales. 
 
El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real 
le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real. 
A esta recta la llamamos recta real. 
 
No siempre somos capaces de representar exactamente a un número real, sin embargo siempre es 
posible obtener una representación aproximada de él a partir de su expresión decimal. 
 
 
Observemos que... 
 no existe un número real que sea 
mayor o igual a todos los demás, ni 
uno que sea menor o igual que todos 
los demás. 
Además, entre dos números reales 
dados cualesquiera existen infinitos 
números racionales, e infinitos 
números irracionales. 
 
 Ejemplos: 
La representación de los números 2 ; - 3 ; 0,2 ; - 
4
5
 y 2 
es la que sigue: 
 
 
 
 
 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
29) Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional. 
 
a) 
3
5
 b) 0,494949... c) 3,75 
d) 0,141144111444... e) 3,2222... f) 0,437537537... 
g) 0,101001000100001... h) 7 
 
30) Escribir: 
 
a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2 
b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2 
c) Dos números irracionales entre 0,12 y 0,2 
 
31) Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no: 
 
a) 3,2222........ b) 0,101001000100001......... 
c) 0.43753753......... d) 0,12112111211112.......... 
 
32) Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla: 
 
-1 
0.2 -3 
-2 0 1 2
1 
24
5−
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 14
 
Número 7 
 
-2,08 1,1212212221... 
 
 -2,2424... 
 
 
 
 
Natural 
Entero 
Racional 
Irracional 
Real 
 
 
33) Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar. 
 
a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero. 
c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional. 
 
34) Representar en la recta real los siguientes números en forma aproximada: 
a) -5 b) 
3
1
 c) - 
7
3
 
d) 5 d) p e) 2,5 
Observemos que... 
al efectuar las representaciones de estos números, los mismos 
están ordenados en la recta numérica. 
 
Esto nos lleva a establecer lo que llamaremos una relación de orden entre ellos. 
 
 
 
 
1.4.1. Orden en R 
 
a ≤ b se lee: 
 a es menor o igual que b 
 Si en R definimos la relación de orden que indicamos “≤≤ ” 
observamos que: 
 
 
 
Siempre podemos comparar dos 
números reales cualesquiera. 
 Dados dos números reales a y b , se tiene una y sólo una de 
las siguientes situaciones: 
a < b ; b < a ; a = b 
 
Esto nos permite representar “ordenadamente” los números reales en la recta numérica. 
 
 
 
10
25 4− 6
7
2
8
−
Números 
 
Página 
 
15 
Además se satisfacen las siguientes propiedades: 
- 3 < 4 ⇔ - 3 + 1 < 4 + 1 
 
 - 3 < 4 y 2 > 0 ⇒ - 3 . 2 < 4 . 2 
 
- 3 < 4 y- 2 < 0 ⇒ - 3 . (- 2) > 4 . (-2) 
 w ∀ a , b ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c 
w ∀ a , b, c ∈ R, a < b y c > 0 ⇒ a . c < b . c 
w ∀ a , b, c ∈ R, a < b y c < 0 ⇒ a . c > b . c 
 
 
El símbolo ⇔ se lee “sí y sólo si” 
El símbolo ⇒ se lee “implica” 
 
 
 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
35) Completar con > ó < según corresponda: 
a) - 2 < 0 y 
4
1
 > 0 ⇒ - 2 . 
4
1
 ..... 0 . 
4
1
 
b) 
2
5
> 
3
7
 y - 1 < 0 ⇒ 
2
5
. (- 1) ..... 
3
7
 . (- 1) 
c) 1,4 < 2 ⇔ 1,4 + 0,01 ...... 2 + 0,01 
d) - 7 < - 6 y - 
2
1
 < 0 ⇒ - 7 . 





2
1
 - ..... (- 6) . 





2
1
 - 
 
36) Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda: 
 
a b a ........b 
 
....... 
 
a(-3) ........b(-3) 
8 2 8 > 2 
2
8
 > 
2
2
 8 (-3) < 2 (-3) 
-6 -10 
-4 8 
0 4 
 
37) Si a y b son reales positivos y además a < b y b > 1, ¿cuál de las siguientes proposiciones 
es falsa?. Justificar dando un contraejemplo. 
 
a) a b > 0 b) b2 > a c) 
1
0
a b−
> 
d) 
1
0
b a+
> e) b + a > 1 
 
38) Escribir un número comprendido entre los siguientes: 
 
a) 
3
1
 y 
5
2
 b) 1,4142 y 1,4143 
2
a
2
b
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 16
c) 2 y 3 d) π y 
113
355
 
 
 
 
 
1.4.2 Potenciación y Radicación en R 
 
 
PotenciaciónPotenciación 
 Recordemos que... 
 an = 
donde a es un número real al que denominaremos base y 
 n es un número natural que llamaremos exponente. 
 
 Ejemplo: 
4
3
2





− = 




−
3
2
. 




−
3
2
. 




−
3
2
. 




−
3
2
 = 
81
16
 
 
E x t e n s i ó n d e l aE x t e n s i ó n d e l a 
d e f i n i c i ó nd e f i n i c i ó n 
de pde p oo t e n c i a c i ó nt e n c i a c i ó n 
a e x p o n e n t e s ea e x p o n e n t e s e nn t e r o st e r o s 
 Por convención se tiene, para a ≠≠ 0 que 
a0 = 1 y a - n = 
na
1 
 
 Ejemplo: 
5-3 = 
125
1
 
5
1
3
= 
 
 
Algunas propiedades importantes que debemos recordar son: 
 
22 . 23 = 25 x4 . x -2 = x2 
 • Producto de potencias con 
la misma base. 
am . an = am+n 
 
23 : 23 = 20 = 1 x4 : x -2 = x6 
 • Cociente de potencias con 
la misma base. 
am : an = am-n 
 
(3 -5)3 = 3 -15 (x-2) -1 = x2 
 • Potencia de una potencia. (a
m)n = am .m 
 
(2 . 5) -2 = 2 -2 5-2 (x . y2)3 = x3 y6 
 • Potencia de un producto. (a . b)
n = an . bn 
 
(2 : 5)-2 = 2-2 : 5-2 (x : y2)3 = x3 : y6 
 • Potencia de un cociente. (a : b)
n = an : bn 
43421
 veces
 .... . . 
n
aaaa
Números 
 
Página 
 
17 
RadicacRadicac iónión 
 Definimos 
n a = b si bn = a 
donde: n es un número natural. 
 n a se lee raíz n-ésima de a . 
Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando. 
 
 
 3 27 - = -3 pues (-3)3 = - 27 
 4 81 = 3 pues 34 = 81 
 Observemos que ... 
 para que la definición tenga sentido, 
w si n es impar, a puede ser cualquier número real, 
 
No tiene sentido considerar 4 - en 
el conjunto R, dado que no existe un 
número real tal que elevado al 
cuadrado nos dé por resultado - 4. 
 
w si n es par, a debe ser un número real positivo. 
 
5
1
5 66 = 
 
3
7
3 7 33 = 
 
2
1
55 = 
 
La raíz n-ésima de un número suele también denotarse 
como potencia 
 n a = na
1
 . 
Además 
 n pa = n
p
a si a ≥≥ 0 . 
Observemos que... 
Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido, 
ya que pueden presentarse casos como el siguiente: 
 
 
(-3)4/2 = ( )43 - pero (-3)4/2 = ((- 3)1/2)4 = ( )4 3 - no tiene sentido en el conjunto R. 
 
 También se satisfacen las siguientes propiedades: 
2 < 3 ⇒ 2-1 > 3-1 ⇒ 
3
2
3
1
> 
 
w a > 0 , b > 0 y a < b ⇒ a -1 > b -1 
 
-
2
3
 < -
3
2
 ⇒ 
1
3
2
1
2
3
−
−>
−












 
 ⇒ 
2
3
3
2
−>− 
 
w a < 0 , b < 0 y a < b ⇒ a -1 > b -1 
 
 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 18
 
El siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de suma, producto, 
potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste. 
 
 
OPERACIONES PROPIEDADES N Z Q R 
Suma 1. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c ×× ×× ×× ×× 
 2. Conmutativa a + b = b + a ×× ×× ×× ×× 
 3. Elemento neutro 0 ×× ×× ×× 
 4. Elemento opuesto de a - a ×× ×× ×× 
Producto 5. Asociativa(a . b) . c = a . (b . c) ×× ×× ×× ×× 
 6. Conmutativa a . b = b . a ×× ×× ×× ×× 
 7. Elemento neutro 1 ×× ×× ×× ×× 
 8. Elemento inverso de a (a ≠ 0) 
a
1
 ×× ×× 
Suma-Producto 9. Distributiva a . (b + c) = a . b + a . c ×× ×× ×× ×× 
Potencias 1. Producto de potencias con la misma base a
m . an = am+n ×× ×× ×× ×× 
 2. Cociente de potencias con la misma base a
m : an = am-n ×× ×× ×× ×× 
 3. Potencia de una potencia (am)n = am .m ×× ×× ×× ×× 
 4. Potencia de un producto (a . b)n = an . bn ×× ×× ×× ×× 
 5. Potencia de un cociente (a : b)n = an : bn ×× ×× ×× ×× 
Raíces 1. Producto de radicales con el 
mismo índice 
 n a . n b = . n ba 
×× ×× ×× ×× 
 2. Cociente de radicales con el 
mismo índice 
 n a : n b = : n ba 
×× ×× ×× ×× 
 3. Raíz de una raíz m n a = . mn a ×× ×× ×× ×× 
 4. Potencia de un radical ( )mn a = n ma ×× ×× ×× ×× 
 
Observaciones: 
 
• En el conjunto de los números naturales no existe elemento neutro para la suma. Además ningún 
número natural posee elemento opuesto. 
• Excepto el 1, ningún número entero no nulo posee inverso multiplicativo. 
• Las propiedades son válidas en cada conjunto, siempre que las expresiones involucradas tengan 
sentido. 
 
 
En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice que 
R es un cuerpo, y está ordenado por la relación de orden ≤≤ . 
 
 
Números 
 
Página 
 
19 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
39) Calcular las siguientes potencias: 
 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 
a) 
3
5
2
 - 




 b) 
0
5
1





 g) 
3
2
3 −





 h) 
1
10
1 −





 
c) 2-2 d) (- 3)-2 i) - 125 j) (- 1)25 
e) (- 3)2 f) 105 k) - 12325 l) (0,1)-2 
 
40) Calcular las siguientes expresiones: 
 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 
a) x2 . x5 b) (- x)2 . x5 e) (- x)2 . (- x)5 f) (- x)3 : (- x)5 
c) x5: x-5 d) x-3 : x-6 g) x3: x-4 h) (- x)3 : x5 
 
 
41) Se sabe que 24 = 42 . ¿Tiene la potenciación la propiedad conmutativa am = ma ?. Justificar. 
 
42) Escribir como radicales los siguientes números: 
 
21/2 , 72/3 , 50,5 , 120,2 , 7-1/2 , 9-1/3 , 510/5 , 8-2/3 
 
43) Expresar como potencia fraccionaria 
 
a) 
x
1
 b) 3 : xx c) 5 23 xxx ⋅⋅ d) 
5
1
x
 
 
44) Simplificar, si es posible: 
 
a) 4 23 b) 8 45 c) 9 27 d) 5 1024 
 
45) Extraer factores del radicando: 
 
a) 8 b) 18 c) 32 d) 50 
 
46) Calcular usando propiedades: 
 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 
a) 322 ⋅ b) 3 : 15 g) 152 ⋅ h) 33 2:32 
c) 33 93 ⋅ d) 33 2 : 8 i) 33 5 : 2 j) 4 2 : 8 
e) 3 32 : 2 f) 4 : 3 k) 5082 ,⋅ l) 63 3 : 9 
 
 
47) Resolver usando propiedades y reduciendo las expresiones: 
 
a) 32 - 1882 ++ b) 80 - 180455 ++ 
c) 4866 5 - 24 + d) 33 16 - 54 
e) 
25
2
3
2
50 5 - 
9
2
 5 - 
9
2
 3 + 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 20
 
48) Simplificar las siguientes expresiones: 
 
a) 222 ⋅⋅ b) 
3
1
-
53 25 . 
5
1
 : 5 . 5 




 c) ( ) 2
1
34 18 : 126 ⋅ 
d) 
3
2
1
0010 : 10
100-
,
 e) 
( )
( ) 3
1
2
1
10
3
2
2
3
2-3
32
32
⋅








⋅
 
 
49) Eliminar las raíces del denominador y simplificar: 
 
a) 
2 - 3
3
 b) 
2 -3
1
 c) 
522
2
+
 d) 
yx
yx
 - 
+
 
 
50) Resolver 
a) 
2/1
3/14/1
4
2716 ⋅
 b) 
1
3/13/2
11
1
12764
−






−−
 
c) 
( )
8 3 9
1
2
3
2 3 3 2
1
0
2
/ /− ⋅




−












−
−
a
 donde a ≠ 0 
 
51) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 10 cm. y 12 cm. Expresar el resultado 
con dos decimales. 
 
52) Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Expresar el resultado con 
tres decimales. 
 
53) El área de un cuadrado mide 50 cm2. ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre su 
diagonal?. 
 
54) Calcular el área de un círculo de 100 cm. de radio y expresar el resultado con tres decimales 
exactos. 
 
55) Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 17, 50, 105, 
420. 
 
56) Indicar el error cometido: 
 
 4 - 10 = 9 - 15 
 4 -10 + 
4
25
 = 9 - 15 + 
4
25
 
Números 
 
Página 
 
21 
 22 – 2 . 2 . 
2
5
 + 
2
2
5





 = 32 – 2 . 3 . 
2
5
 + 
2
2
5





 
 
2
2
5
 - 2 




 = 
2
2
5
 - 3 




 
 2 - 
2
5
 = 3 - 
2
5
 
 2 = 3 
 
57) Sean a , b , c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso, justificar 
la respuesta proponiendo un contraejemplo. 
 
 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 
a) a.0 = 0 
b) (-a)(-b) = -(ab) 
c) 
a
b c
a
b
a
c+
= + , siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 
d) 
b c
a
b
a
c
a
+
= + , siendo a ≠ 0 
e) a (b - c) = ab - ac 
f) a + (-b + c) = a - b + c 
g) a - (b + c) = a - b + c 
h) ∀ a ∈ R, a . a-1 = 1 , donde a ≠ 0 
i) ∀ a ∈ R, (a-1)-1 = a , donde a ≠ 0 
j) el cociente entre un número a y su opuesto 
es igual a (-1), donde a ≠ 0 
k) a (-b) = ab 
l) - (-a) = a 
 
 
 
 
1.5 Números Complejos 
 
No es cierto en general, que la raíz cuadrada de un número real sea siempre un número real. 
Por ejemplo, hemos visto que no hay ningún número real cuyo cuadrado es -4. Es decir, no existe 
a ∈ R tal que a2 = -4. 
 
El nombre de i a 1− surgió en 
1777, y se debe al matemático Euler. 
Hasta entonces se trabajaba con 
expresiones tales como 4− , 
manipulándolas del mismo modo 
que a los números reales. 
 La unidad imaginaria i cumple la propiedad: i2 = -1, 
también se suele escribir 1− en lugar de i. 
A los números de la forma a + b i donde a y b son reales 
se les llama números complejos. Al conjunto formado por 
dichos números se lo denota C. 
 
 
 
Re(2 – 3i) = 2 
 
Im(2 – 3i) = -3 
 En un número complejo a + b i, con a, b ∈∈ R, a se llama 
parte real y se la denota con a = Re(a + b i), y b se llama 
parte imaginaria y se la denota con b = Im(a + b i). 
 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 22
 
 
 
 
No es cierto que 
la parte imaginaria 
de 2 + 4i sea 4i, 
sino que 
Im(2 + 4i) = 4. 
 Observemos que... 
para el número complejo a + b i, 
w si a = 0, el número complejo solo tiene parte imaginaria, es 
decir, es imaginario puro. 
w si b = 0, el número complejo sólo tiene parte real. Por 
tanto, el conjunto R de los números reales esta incluido en el 
conjunto C de los números complejos. 
w la parte imaginaria está conformada solamente por b. 
 
 
 
 Ejemplos: 
 Los siguientes son complejos 
conjugados: 
a) 3 + 2 i y 3 - 2 i 
b) - 5 + 3 i y - 5 - 3 I 
 
A dos números complejos se les llama conjugados si tienen 
la misma parte real y opuestas sus partes imaginarias. 
 
 
 
 Observemos que... 
 
en el conjunto de los números complejos tienen sentido ahora, 
las propiedades de las raíces, sin tener en cuenta el signo del 
radicando. 
 
 
 Ejemplos: 
 
a) 4 - = (-1) . 4 = 4 1 - = 2 i 
 
b) ( ) ( ) 933 42
4
=−=− 
 
c) ( ) ( ) ( ) 919333 4444 =⋅=⋅=⋅=− ii 
 
Los números complejos permitirán resolver ecuaciones como las siguientes, que serán tratadas más 
adelante: 
x2 + 1 = 0 
x2 + 4 = 0 
x2 - 6 x + 13 = 0 
x2 + 5 x + 11 = 0 
 
Números 
 
Página 
 
23 
 
Representación de 5 + 3 i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El número complejo 
a + b i 
se representa en el plano mediante el punto P de coordenadas 
(a , b) . El eje de las abscisas se llama eje real, y el de las 
ordenadas, eje imaginario. De esta forma, a cada número 
complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del 
plano le corresponde un número complejo. 
 
Representación de 5 + 3 i y 
 su conjugado 5 – 3 i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Si unimos el origen con el punto P obtenemos un segmento 
orientadoque llamamos vector y representamos por 
→
OP . Así 
pues, a cada número complejo le hacemos corresponder un 
vector. 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.1 Operaciones en C 
 
Suma y RestaSuma y Resta 
 La suma y resta de números complejos se realiza sumando 
o restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre 
sí respectivamente. 
 
 Ejemplos: 
 Ahora resolveremos algunas operaciones: 
 
Re(2+3i) = 2 
Re(8 – 5i) = 8 
Re((2 + 3 i) + (8 - 5i)) = 10 
 
 Im(2 + 3i) = 3 
Im(8 – 5i) = -5 
Im((2 + 3 i) + (8 – 5i)) = -2 
 
a) (2 + 3 i) + (8 - 5i) 
 (2 + 3 i) + (8 - 5i) = (2 + 8) + (3 + (- 5)) i 
 = 10 - 2 i 
 b) (2 + 3 i) - (8 - 5i) 
(2 + 3 i) - (8 - 5i) = (2 - 8) + (3 - (- 5)) i = - 6 + 8 i 
 
 y 
3
2
1
0 1 2 3 4 5 
5 + 3 i 
x
 y 
 x0 a 
 b 
P(a, b) 
 y 
 x 
 3 
 2 
 1 
 0 
-1 
-2 
-3 
1 2 3 4 5 
5 + 3 i 
5 - 3 i 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 24
 
ProductoProducto 
 El producto de dos números complejos se realiza aplicando 
la propiedad distributiva del producto respecto de la suma 
y recordando que i2 = -1. 
 
 
Divis iónDivis ión 
 La división de dos números complejos se realiza 
multiplicando dividendo y divisor por el complejo 
conjugado del divisor. 
 
 
 
 Ejemplo: 
Resolveremos: 
i
i
 3
 30 20
+
+
 
Multiplico dividendo y divisor 
por el complejo conjugado del 
denominador. 
 
El complejo conjugado de 
3 + i es 3 – i. 
 
i
i
 3
 30 20
+
+
 = 
) - (3 . ) (3
) - (3 . ) 30 (20
ii
ii
+
+
 = 
2
2
 - 9
 30 - 20 - 90 60
i
iii+
 
 = 
10
 70 90 i+
 = 9 + 7 i 
 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
58) Resolver las siguientes operaciones expresando los resultados en forma binómica: 
 
a) ( ) ( ) ( )275
2
3
21 −−−+




 ++− iii 
b) ( )ii 45
2
1
3
2
+−⋅




 + 
c) 
i
i
−
+
2
43
 
d) 4912516 +−−+− 
e) ( ) ( ) ( )iii 31231 +⋅−++− 
f) 
i
i
−
−
2
41
 
g) 
( )( )
i
ii
ii −
+−
−
+
+
3
21
1
31
 
 
 
59) Calcular 
 
Recordemos que... 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de un binomio 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3a b2+ b3 Cubo de un binomio 
(a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3a b2 - b3 
a) ( ) ( ) ( ){ }223 2 - 35 - 42 -3 - 1 2 iiRe ++ 
b) 
( ) ( )





 +
i
ii
Im
2 - 3
2 - - 1
 
 
Números 
 
Página 
 
25 
60) Sabemos que i2 = -1. Por lo tanto i3 = i2.i = -i, y también se tiene que i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1. 
Teniendo esto en cuenta, calcular 
i5, i6 , i7 , i8 , i26 , i32, i45 . 
 
61) Comprobar que 3 + 2i, y -3 - 2i son las raíces cuadradas de 5 + 12i. 
 
62) Representar en un mismo gráfico los números complejos z1 = 2 + 3i y z2 = 5 – 2i. 
Calcular z1 + z2 y graficar . Observar la relación geométrica entre z1, z2 y z1 + z2. 
 
63) Dado el número complejo z = a + bi. Hallar las expresiones de zz + y zz. . 
 
64) Calcular 
 
 a) Re 





 +−+
−
+ 2)2(
25
43
i
i
i
 b) Re {(–2i)4 – (–1 – 6i)3} 
 
 c) Im 








+−
−
2)24(
8
i
i
 d) Im ( )















 −
3
3872
7
i
i 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 26
2. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO 
El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resolver 
ecuaciones lineales por medio de propiedades vistas en la Unidad Nº 1. También resolveremos 
problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de 
ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico. En próximas unidades 
analizaremos cómo resolver ecuaciones de mayor grado. 
 
Comenzamos con la siguiente situación: 
 
 
 
En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco 
_ Piensa un número... 
_ Súmale 15 al número pensado... 
_ Multiplica por 3 el resultado... 
_ Al resultado réstale 9 ... 
_ Divide por 3... 
_ Resta 8... 
_ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice: 
_ 32 
Instantáneamente el mago afirma con solvencia: 
_ El número que pensaste fue el 28. 
¿Cómo lo hizo? 
 
 
 
Trataremos a lo largo de esta unidad de resolver situaciones problemáticas como la anterior por 
medio de ecuaciones lineales con una incógnita. 
 
 
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado 
 
Página 
 
27 
 
Analicemos las siguientes igualdades: 
 
 
3 + 4 + 2 = 7 + 2 
3 + 2 = 5 
 
Estas son igualdades numéricas, 
 
( x + y ) 2 = x2 + 2xy + y2 
a2 – 1 = 0 
 
mientras que éstas son igualdades algebraicas o literales 
 
 
 
En el siguiente cuadro podemos ver una clasificación de las igualdades algebraicas teniendo en 
cuenta si se verifica para algunos ó todos los números reales. A continuación nos dedicaremos a 
estudiar las ecuaciones lineales. 
 
 
 
 
 
 
 
Identidad Ecuación 
Igualdad algebraica 
Se verifica para cualquier 
valor dado a sus letras. 
Se verifica para algunos 
valores dados a sus letras. 
Ejemplo 
 
a.( m – n2 ) = am – an2 
 
Ejemplo 
 
2y – 3 = x + 5 
Las letras que aparecen en 
la ecuación se llaman 
incógnitas. 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 28
 
 
En el caso de las igualdades 
algebraicas, éstas se verifican siempre 
pues por ejemplo 
a.( m – n2 ) = am – an2 
es la propiedad distributiva. Cualquier 
valor de a, m y n es solución. 
Por ejemplo para a = 2, m = 3, n = -1 
tenemos 
2(3 – (-1)2 ) = 2.3 - 2.(-1)2 
4 = 4. 
En el ejemplo 2y – 3 = x + 5, los 
valores y = 3, x = -2 son soluciones, 
pues 
2.3 -3 = -2 + 5 
mientras que y = 3, x = 4 no es 
solución pues 
2.3 – 3 = 3 ≠ 4 + 5 = 9. 
 
Las soluciones de una ecuación son los valores que al 
sustituirlos en las incógnitas hacen cierta la igualdad. 
 
 
 
Ecuación l inealEcuación l ineal 
 
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las 
igualdades algebraicas con incógnitas de exponente 1. 
 
 
 
 Ejemplos. 
Las primeras cuatro ecuaciones son 
ejemplos de ecuaciones lineales o de 
primer grado. 
Las ecuaciones 1, 2 y 3 tienen una 
incógnita y la ecuación x + y = 4 
tiene dos incógnitas. 
 
1. 2x + 3 = 5 
2. 3x – x = 2x 
3. x + 5 = 5 
4. x + y = 24 
 
 
 Para pensar…. 
 
Estas no son ecuaciones lineales. 
¿Por qué? 
 1. t2 – 3t + 1 = 0 
2. x . y = 24 
3. cos x = 1 
 4. 16 = 2x 
 
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado 
 
Página 
 
29 
 Ejemplos: 
 
Resolvamos las siguientes ecuaciones 
 
 
a) 2 x + 3 = 5 
 
 
 Aplicando propiedades 
 
Se puede resolver ¨despejando¨. 
 
2x +3 + (-3) = 5 2x = 5 - 3 
2x = 2 2x = 2 
 
2
2
12
2
1 =x 
 
2
35−=x 
x = 1 x = 1 
Verificación: 
2x + 3 = 5 
 2 . 1 + 3 = 5 
 2 + 3 = 5 
 5 = 5 
 
Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el 
valor obtenido es la solución de la ecuación. Para ello, debemos 
sustituir el valor hallado en la ecuación. 
 
La ecuación 2x + 3 = 5 tiene solución única x = 1. 
 
 
 b) x + y = 24 
 
Es una ecuación que tiene infinitas soluciones, pues se verifica 
para infinitas parejas de números. Por ejemplo: 
 
1 + 23 = 24 x = 1, y = 23 
-5 + 29 = 24 x = -5 , y = 29 
24 + 0 = 24 x = 24 , y = 0 
 
 x = 
2
1
, y = 
2
47
 
 
 
 
 
c) 3x – x = 2x 
 
 
 Para pensar.... 
En este ejemplo observamos que 
hemos obtenido 
0.x = 0 
¿Cuántas soluciones tiene esta 
igualdad? 
 
3x – x = 2x 
2x = 2x 
2x – 2x = 0 
0.x = 0 
 
 
 
 
 
24
2
48
2
47
2
1
==+
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 30
d) x + 5 = x 
 
 Para pensar..... 
En este ejemplo obtenemos 
5 = 0.x 
¿Cuál es el número de soluciones de 
esta igualdad? 
 
x + 5 = x 
5 = x – x 
5 = 0.x 
5 = 0 
 
e) 
3
93
5
1 −
=
+ xx 
 
 
La solución es 
x = 4 
que pertenece al conjunto de los 
números reales; 
por lo tanto estaecuación tiene 
solución en R. 
 Atención 
No olvides nunca verificar. 
 
3
93
5
1 −
=
+ xx
 
3(x + 1) = 5(3x - 9) 
3x + 3= 15x – 45 
3 + 45 = 15x – 3x 
48 = 12x 
x = 4 
 
f) 
4
x
 + 
6
x
 + 
18
x
 = 578 
 
 
Recuerda que... 
 para sumar o restar fracciones de 
distinto denominador, primero debes 
hallar un múltiplo común entre los 
denominadores. 
 Así, 36 es el mínimo común 
múltiplo entre 4, 6 y 18. 
 
4
x
 + 
6
x
 + 
18
x
 = 578 
578
36
269
=
++ xxx
 
17x = 20.808 
x = 1.224 
 
 
Ahora trataremos de resolver problemas utilizando ecuaciones lineales. Para ello podemos tener en 
cuenta los siguientes pasos: 
 
Pasos a tener en cuentaPasos a tener en cuenta 
 
• lectura comprensiva del enunciado; 
• traducción al lenguaje simbólico; 
• expresión de la ecuación correspondiente; 
• resolución de la ecuación; 
• verificación del resultado obtenido. 
 
 
 
Ahora veremos cómo resolver un problema paso a paso. 
 
Volvemos al problema del mago del inicio de esta unidad. 
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado 
 
Página 
 
31 
En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco. 
_ Piensa un número... 
_ Súmale 15 al número pensado... 
_ Multiplica por 3 el resultado... 
_ Al resultado réstale 9 ... 
_ Divide por 3... 
_ Resta 8... 
_ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice: 
_ 32 
Instantáneamente el mago afirma con solvencia: 
_ El número que pensaste fue el 28. 
¿Cómo lo hizo? 
 
 
 
 
Piensa un número 
 
 
→ 
 
 
x 
Súmale 15 
 
→→ x + 15 
Multiplica por 3 el 
resultado 
→→ 3(x + 15) 
Al resultado réstale 9 
 
→→ 3(x + 15) - 9 
Divide por 3 →→ (3(x +15) - 9):3 
Resta 8 →→ (3(x + 15) - 9):3 - 9 
 
• traducción al lenguaje 
simbólico 
El espectador dice →→ 32 
• expresión de la ecuación 
correspondiente 
 
(3x + 45 - 9):3 - 8 = 32 
• resolución de la ecuación (3x + 45 - 9):3 - 8 = 32 
x + 4 = 32 
x= 28 
 
• verificación del resultado 
obtenido 
(3.28 + 45 – 9):3 – 8 =32 
 
 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 32
 Ejemplo: 
De un depósito lleno de líquido se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto 
y quedan aún 1500 litros. Calculemos la capacidad del depósito. 
 
 
capacidad del 
depósito 
 
→→ x 
un cuarto del 
contenido 
→→ 
x
4
1
 
mitad del resto →→ 





 − xx
4
1
2
1
 
 
• traducción al lenguaje simbólico 
quedan aún →→ 1500 litros 
 
• expresión de la ecuación 
correspondiente 
 
1500
4
3
2
1
4
1
+




+= xxx 
 
• resolución de la ecuación x = 
4
1
 x + 
8
3
 x + 1500 
x - 
4
1
 x - 
8
3
 x = 1500 
 
8
 3 - 2 - 8 xxx
 = 1500 
 
8
3
 x = 1500 
 x = 1500 : 
8
3
 
 x = 4000 
 
• verificación del resultado obtenido 
x = 
4
1
 x + 
8
3
 x + 1500 
 4000 = 
4
1
 4000 + 
8
3
 4000 + 1500 
 4000 = 4000 
 
 
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado 
 
Página 
 
33 
Veamos el siguiente cuadro que muestra algunos ejemplos clásicos de cómo pasar del lenguaje 
coloquial al lenguaje simbólico que pueden aparecer en algunos problemas que involucren 
ecuaciones lineales. 
 
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico 
La suma de un número y su consecutivo x + ( x + 1) 
Un número par 2a 
El siguiente de un número par 2x + 1 
La suma de tres números consecutivos x+ ( x + 1 ) + ( x + 2) 
La mitad de un número 
2
x
 
La tercera parte de la diferencia entre dos 
números 3
ba −
 
El perímetro de un rectángulo 2l + 2 b 
 
En resumen, podemos concluir que una ecuación lineal o de primer grado puede tener : 
 
La ecuación 2x + 8 = 9 tiene 
solución única x = 
2
1 
 
• solución única 
 
La ecuación x + 5 = 5, no tiene 
solución, pues es imposible que 
sumando 5 a un número obtengamos 
ese mismo número. 
 
• ninguna solución 
 
La ecuación 3x – x = 2x tiene 
infinitas soluciones, pues es válida la 
identidad para cualquier valor de x. 
 
• infinitas soluciones 
 
 
Actividades de Aprendizaje 
 
1) Expresar simbólicamente la ecuación correspondiente: 
 
a) Un número más su quinta parte es 12. 
b) Un poste tiene bajo tierra 2/7 de su longitud y la parte emergente mide 8 metros. 
c) El perímetro de un cuadrado es de 12 m. 
d) En una biblioteca hay 23 libros distribuidos en dos estantes, en el de abajo hay 7 libros menos 
que en el de arriba. 
 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
 
Página 34
2) Resolver las siguientes ecuaciones lineales en R: 
 
a) x + 9 x = 90 b) - 2 x + 1 = 3 
c) 2 (3 x - 2) - (x - 3) = 8 d) x -1 - 
2
2 −x
 + 
3
3 - x
 = 0 
e) 21 - 7 x = 41 x – 123 f) 
6
1
 (a + 8) = 
4
 2 - 3 a
 + 2 a - 
12
73
 
g) 
20
11 - 3 m
 - 
14
1 - 5 m
 = 
10
7 - m
 - 
21
6 - 5 m
 h) 
15
 2 t
 - 
20
5 - 3 t
 = 
5
t
 - 3 
i) 5 (20 - x) = 4 . (2 x - 1) k) 
3
1 −z
 - 
2
3 +z
 = 5 z 
 
3) Un número más su quinta parte es 12. Calcular dicho número. 
 
4) La suma de dos números consecutivos es 21. ¿Cuáles son dichos números?. 
 
5) Un número es igual al doble de su consecutivo. ¿Cuál es dicho número?. 
 
6) La suma de tres múltiplos de 3 consecutivos es 63. Calcular dichos números. 
 
7) El perímetro de un rectángulo es 216m. Si el doble del ancho excede en 7 m a los tres cuartos del 
largo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?. 
 
8) El perímetro de un triángulo isósceles es 180 cm. Cada uno de los lados iguales es 30 cm mayor 
que la base. ¿Cuál es la longitud de cada lado?. 
 
 
9) Un niño tiene el triple de la edad que tenía hace 8 años. ¿Qué edad tiene ahora?. 
 
 
10) Un padre tiene 42 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el 
triple de la edad del hijo?. 
 
11) De una cierta clase de vino que contiene 12% de alcohol, se han obtenido por destilación 67,68 
litros de alcohol. ¿Cuál fue la cantidad de vino empleado?. 
 
 
12) El jueves, Leticia invirtió el 40% de sus ahorros en ropa. El viernes, gastó las dos terceras partes 
del dinero que le quedaba en un libro para su hermano, y aún tiene $120. 
 
b) ¿Cuánto dinero tenía ahorrado Leticia?. 
c) ¿Es cierto que gastó lo mismo en ropa que en el libro para su hermano?. 
 
 
13) Un hombre repartió su herencia del siguiente modo: a su hijo mayor le dejó la mitad, al segundo 
la tercera parte del resto, al tercero la sexta parte del resto y al cuarto $1.000.000. ¿Cuál era el valor 
de la herencia?. 
 
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado 
 
Página 
 
35 
14) Un comerciante hace un testamento de la siguiente forma: dos tercios a su único hijo; un quinto, 
a una familia muy amiga, y los 49000 restantes, a una institución de beneficencia. ¿A cuánto 
asciende el total de la herencia?. 
 
 
15) En una reunión hay el doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños que 
de hombres y mujeres juntos. Hallar el número de hombres, mujeres y niños que hay en la reunión 
si el total es de 156 personas. 
 
 
16) Durante su primera hora de trabajo, el dueño de un puesto de revistas vendió la cuarta parte de 
los diarios que tenía y, durante la segunda hora, vendió la sexta parte de los que le quedaban. Contó 
los ejemplares y notó que aún había 25. ¿Cuántos diarios tenía al principio?. 
 
 
17) Ana, Vivi y Carla comparten un departamento y las tres aportaron su último sueldo a un fondo 
común, que fue de $3600. Ana gana las dos terceras partes del sueldo de Vivi, y Carla gana la mitad 
del sueldo de Ana. ¿Cuál fue el último sueldo de cada una?. ¿Es cierto que Vivi cobró tanto como 
Ana y Carla juntas?. 
 
 
18) Una compañía de aviación divide a los pasajeros en tres categorías. En uno de sus aviones, la 
cantidad de asientos de primera clase es la octava parte del total; la categoría ejecutiva tiene una vez 
y media la cantidad de asientos que primera clase, y hay 165 asientos de clase turista. ¿ Cuántosasientos tiene ese avión ? 
 
 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
Página 
 
36 
3. RECTA REAL 
Es muy común manejarse en la vida cotidiana con números que oscilan en ciertos rangos. 
Muchos de los fenómenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para 
resolverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En 
esta unidad precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello, en 
principio, daremos la noción de intervalo, y finalizaremos entrenándonos en la resolución de 
inecuaciones. 
 
 
3.1 Intervalos reales 
 
 
 
 
La Ballena Franca, visita cada año las costas de la Península de Valdés, se aparea y pasea 
sus ballenatos. Esto constituye un gran atractivo turístico en nuestra provincia. 
El peso de la Ballena Franca oscila entre 30 a 35 toneladas. Un macho adulto mide unos 
12 metros, en tanto que una hembra mide unos 13,5 metros. Desde la playa El Doradillo 
considerada área natural de reproducción, se puede disfrutar plenamente de un avistaje costero. 
La temporada de Ballenas se extiende de Junio a Diciembre. 
La máxima concentración de ballenas se produce entre Octubre y Noviembre, época en que 
pueden contabilizarse entre 350 a 400 individuos. Esto convierte a las aguas vecinas de la 
Península Valdés en el área de cría más importante del Hemisferio Sur. 
 
 
Aunque no lo creas, mucha de la información aquí indicada puede expresarse 
matemáticamente, como veremos a continuación. 
 
Recta Real 
Página 
 
37
 
 Frecuentemente trabajaremos con subconjuntos de números 
reales, expresados de acuerdo con alguna relación de orden. 
Así, por ejemplo, hablaremos de 
En símbolos, 
43421321
5 que menoresy 
2 que mayoresreales números 
}52/{ <<∈ xx R 
 
“los números reales mayores que 2 y menores que 5” 
 o de 
 En símbolos, 
321
321
3/2 que iguales
 o menores
reales números 
}
2
3
/{ ≤∈ xx R 
 “los números reales menores o iguales que 
2
3
” 
 Otras veces deberemos simbolizar expresiones tales como: 
En símbolos, 
350 < x < 400 
 “la cantidad x de ballenas que puede contabilizarse entre 
Octubre y Noviembre se halla entre 350 y 400” 
 
Estos subconjuntos de R se definen mediante intervalos. 
 
 
Intervalo abiertoIntervalo abierto 
(a , b) 
 
Si a , b ∈∈ R y a < b, se define (a , b) = {x ∈∈ R / a < x < b}. 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
Intervalo cerradoIntervalo cerrado 
[a , b] 
 
Si a , b ∈∈ R y a ≤≤ b, se define [a , b] = {x ∈∈ R / a ≤≤ x ≤≤ b}. 
 
Si a coincide con b , 
el intervalo cerrado es un único punto. 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
a b
ó
a b
a b
ó
a b
Curso de Apoyo en Matemática 
 
Página 
 
38 
Intervalos Intervalos 
semiabiertossemiabiertos 
o semicerradoso semicerrados 
 Si a , b ∈∈ R y a < b se define: 
(a , b] = {x ∈∈ R / a < x ≤≤ b } 
[a , b) = {x ∈∈ R / a ≤≤ x < b } 
 
Gráficamente: 
(a , b] se representa como 
 
 
[a , b) se representa como 
 
 
En todos los casos, los números a y b se llaman extremo inferior y extremo superior del intervalo, 
respectivamente. 
 
 Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Atención 
Los símbolos - ∞ y + ∞ 
 deben ser considerados con especial 
cuidado, recordando que se usan 
solamente por conveniencia de 
notación y nunca como números 
reales. 
 
Estas definiciones se pueden generalizar, considerando a la 
recta y a la semirrecta como intervalos, con sólo introducir los 
símbolos - ∞ y + ∞. 
 
Así, tenemos 
 en símbolos gráficamente 
[ c , + ∞ ) = {x ∈ R / x ≥ c } → 
( c , + ∞ ) = {x ∈ R / x > c } → 
(- ∞ , d ] = {x ∈ R / x ≤ d } → 
(- ∞ , d ) = {x ∈ R / x < d } → 
(- ∞ , + ∞) = R → 
a b
a b
Extremo inferior Extremo superior 
a b 
c
c
d 
d 
0 
Recta Real 
Página 
 
39
 
 Ejemplos: 
 
[ - 2 , 2 ] = {x ∈ R / - 2 ≤ x ≤ 
 2 } 
→→ 
 
( - ∞ , - 1) = {x ∈ R / x < -1 } →→ 
 
( - 2 , e) →→ 




 
3
4
 , 
3
1
 - →→ 
 
 
 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
1) Dados los siguientes subconjuntos de R: 
 
a) A = { x / x ∈ N ∧ - 2 < x < 3 } b) B = { x / x ∈ Z ∧ - 2 < x < 3 } 
c) C = { x / x ∈ Q ∧ - 2 < x < 3 } d) D = { x / x ∈ R ∧ - 2 < x < 3 } 
 
Recuerda observar a qué conjunto 
numérico pertenecen los elementos. 
Por ejemplo, en el conjunto B 
los elementos son números 
“enteros” x tales que - 2 < x < 3. 
 i) Analizar los elementos que pertenecen a cada conjunto. ¿Es 
posible determinar la cantidad de elementos?. 
ii) Representar en la recta real, de ser posible, cada conjunto. 
 
2) 
 
En caso de que existan infinitos 
números, el modo de indicarlos es 
mediante la notación de intervalos. 
 a) ¿Cuáles son los números naturales comprendidos entre 
-2 y 3 ?. 
b) ¿Cuáles son los números enteros comprendidos entre 
-2 y 3 ?. 
c) ¿Cuáles son los números racionales comprendidos entre -2 
y 3 ?. 
d) ¿Cuáles son los números reales comprendidos entre 
-2 y 3 ?. 
 
3) Expresar mediante intervalos cada uno de los siguientes subconjuntos de R: el conjunto de los 
números reales x que satisfacen: 
 
a) x es mayor que 2 y menor que 6. 
b) x es mayor o igual que -1. 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
Página 
 
40 
c) x es menor que 
3
2
. 
d) x supera al menor número entero positivo. 
e) x es menor que el mayor número par negativo. 
f) x está comprendido entre los dos múltiplos positivos de 4 de un solo dígito. 
 
4) Representar sobre la recta real los siguientes intervalos: 
 
a) [2 , 5] b) {x/x ∈ R ∧ -3 < x < 
3
4
 } 
c) 



 ∞ 
2
1
 ; - d) {x/x ∈ R ∧ -1 ≤ x < 2,75 } 
 
5) Determinar: 
 
Recuerda que... 
El símbolo ∪ 
representa la unión de conjuntos. 
El símbolo ∩ 
representa la intersección de 
conjuntos. 
 
a) [-
4
1
 , 2) ∪ [1 , + ∞) b) (-3 , -1) ∪ [
2
5
 , 3) 
c) (-3 , -1) ∩ [
2
5
 , 3) d) [0 , 5 ) ∩ [
2
3
 , 
2
7 ] 
 
6) Hallar los valores de x que satisfacen las siguientes condiciones y representar los subconjuntos 
de R correspondientes. 
 
a) 0 < x ≤ 2 ∧ x ∈ [1 , 3) b) x > -1 ∧ x ∈ (2 , 5) 
c) x ∈ [-4 , +∞) ∧ x < -2 d) x ∈ (-2 , 2) ∧ x ∈ [1 , +∞) 
e) x ∈ (- ∞ , 3) ∧ x ∈ (-3 , +∞) f) -3 ≤ x < 1 ∧ x ∉ [0 , 2) 
 
7) Dados los intervalos A = [-2 , 1) ; B = [-1 , + ∞) ; C = [-3 , 2,5) determinar: 
 
a) (A ∩ B) ∩ C b) (A ∩ B) ∪ C 
 
8) Sean A = [-2 , 6] ; B = (1 , 5] ; C = (-1, 3) calcula: 
 
a) (A ∪ B) ∩ C b) (A ∩ B) ∪ C 
 
9) Expresar en forma de intervalos la información dada en la introducción acerca de las Ballenas 
Francas. 
 
 
 
Recta Real 
Página 
 
41
3.2. Valor absoluto o módulo de un número real 
 
 
Módulo Módulo 
o o 
Valor AbsolutoValor Absoluto 
 Dado un número a ∈∈ R, llamaremos módulo ó valor 
absoluto de a , al mismo número a si este es positivo o 
cero, y -a si a es negativo, es decir: 
 a = 



<−
≥
0
0
asia
asia
 
 
 
 
 Ejemplo: 
3 = 3 
-3 = - (-3) = 3 
0 = 0 
 
El módulo de un número real es siempre mayor ó igual a cero. 
 
 
 Si representamos los números reales mediante puntos en una 
recta, el valor absoluto de a se interpreta como la distancia que 
hay entre a y el origen 0. 
 
Si a = 3 
puede ser a = 3 
ó bien a = -3 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si b ∈ R y b > 0, 
la desigualdad x ≤ b 
también se expresa como 
x ≤ b ∧ x ≥ - b. 
 
El símbolo ∧ se lee “y”. 
 
Si b ∈∈ R y b > 0 entonces la desigualdad  x ≤≤ b 
es equivalente a la doble desigualdad 
- b ≤≤ x ≤≤ b. 
 
 
 Como x mide la distancia de x al 0, que x sea menor ó 
igual que b significa que la distancia de x a cero no debe ser 
mayor que b. 
 
-3 –2 –1 0 1 2 3 
|-3| = 3 |3| = 3 
|2| = 2 
0 b -b 
Curso de Apoyo enMatemática 
 
Página 
 
42
 
 
 Ejemplo: 
Recordemos que... 
x ∈ R y x ≤ 2 
es equivalente a 
x ≤ 2 ∧ x ≥ - 2 . 
Si representamos cada una de estas 
desigualdades, la intersección de 
ambos conjuntos es precisamente el 
intervalo [- 2 , 2 ]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
x ≤ 2 es equivalente a - 2 ≤ x ≤ 2 . 
 
Por lo tanto, x ≤ 2 significa que x ∈ [- 2 , 2 ] . 
 
 
Si representamos en la recta numérica obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En general, - b ≤ x ≤ b es equivalente a 
x ≥ - b ∧ x ≤ b 
y representa la intersección 
 [- b , + ∞) ∩ (- ∞ , b] = [- b , b ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análogamente, x < b es equivalente a 
- b < x < b 
(o también x < b ∧ x > - b ). 
 
La distancia de x al cero 
debe ser mayor que 2 . 
 Una forma de encontrar los números reales x que verifican 
x > 2 , 
es descartar de la recta real aquellos que verifican x ≤ 2 . 
Así, se obtiene x > 2 o x < - 2 . Gráficamente, 
 
 
 
 
Por la definición de intervalos, 
x ∈ R y x > b 
significa que 
x ∈ (- ∞ , -b) ó x ∈ (b , + ∞) , 
es decir, 
x > b 
equivale a 
x ∈ (- ∞ , -b) ∪ (b , + ∞) . 
 En general, si b ∈ R y b > 0 , 
x > b es equivalente a decir que x > b o x < -b . 
Es decir, la distancia del x al cero debe ser mayor que b. 
 
Gráficamente, 
 
 
0-2 2 
- 2 2 
2 0
- 2 2 
[ 2,2− ] 
0 b -b
[-b, b]
0 b -b
(-b, b)
0-2 2 
- 2 2 
0 b-b
Recta Real 
Página 
 
43
 
x ∈ R y x ≥ b 
significa que 
x ∈ (- ∞ , -b] ∪ [b , + ∞) 
 Análogamente, 
x ≥ b es equivalente a decir x ≥ b ó x ≤ - b. 
Gráficamente, 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: 
x - a < b 
significa que x está a menos de b 
unidades respecto de a; mientras que 
x - a > b 
significa que x está a más de b 
unidades de a. 
 
En el caso general 
 
x - a 
 
mide la distancia entre x y a . 
 
 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
10) Resolver y representar gráficamente. Expresar la solución, de ser posible, en forma de 
intervalos. 
 
 Ejemplo: 
x + 9 = 5 
Solución: 
x + 9 = 5 → x + 9 = 5 ó x + 9 = -5 
 → x = 5 – 9 ó x = -5 – 9 
 → x = - 4 ó x = - 14 
 
La solución en este caso es entonces 
S = {-4, -14}. 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
a) x = 
2
3
 b) x - 5 = 2 
c) x ≥ 3 d) x ≤ 5 
 
 
11) Expresar las afirmaciones siguientes, si es posible, como intervalos: 
a. x está a menos de 5 unidades de 3 
b. y está a lo sumo 4 unidades de 7 
c. t está a una distancia de 3 unidades de 5 
d. x está al menos a 4 unidades de - 5 
e. x es menor que 4 y mayor que - 4 
 
 
 
0 b -b
-14 - 4 0 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
Página 
 
44
3.3. Inecuaciones lineales 
 
Las ecuaciones se caracterizan por presentar el signo de igualdad, mientras que en las desigualdades 
aparecen precisamente algunos de los signos < , ≤ , > ó ≥ . De todas formas, tanto las ecuaciones 
como las inecuaciones pueden ser de primer grado. Una inecuación es de primer grado cuando las 
incógnitas que aparecen en su expresión tienen exponente igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se 
cumpla la desigualdad. 
 
 Ejemplos: 
Resolveremos algunas inecuaciones. 
 
a) 3 x – 2 < 1 
 
Aplicando propiedades Despejando: 
3 x – 2 < 1 3x – 2 < 1 
3 x – 2 + 2 < 1 + 2 3 x < 1 + 2 
3 x < 3 3 x < 3 
3
1
 3 x < 
3
1
3 
 
x < 3 : 3 
x < 1 x < 1 
 Solución: S = ( - ∞ , 1). 
Representación gráfica: 
 
 
 
 
Ecuaciones Inecuaciones 
Igualdades ( = ) Desigualdades ( < , ≤ ; > , ≥ ) 
De primer grado 
3x – 2 = 1 
4
2
1
=
+x
 
x + y = 24 
-2 x + 1 = x - 3 
3x – 2 < 1 
4
2
1
>
+x
 
x + y ≥ 24 
-2 x + 1 ≤ x - 3 
0-2 2 -1 1 ... 
Recta Real 
Página 
 
45
b) 4
2
1
>
+x
 
Aplicando propiedades Despejando: 
2
1+x
 > 4 
2
1+x
 > 4 
2
1+x
. 2 > 4 . 2 x + 1 > 4 . 2 
x + 1 > 8 x + 1 > 8 
x + 1 + (- 1) > 8 + (- 1) x > 8 - 1 
x > 7 x > 7 
 Solución: S = ( 7 , + ∞ ) 
Representación gráfica: 
 
 
 
 
c) x + y ≥ 24 
 
En este caso tenemos una inecuación lineal con dos incógnitas, que se verifica para infinitas parejas 
de números. 
Verificación: 
 Ejemplo: 
0 + 24 ≥ 24 x = 0 ; y = 24 
2 + 23 ≥ 24 x = 2 ; y = 23 
-3 + 30 ≥ 24 x = -3 ; y = 30 
2
1
 + 
3
71
 ≥ 24 
 
x = 
2
1
; y = 
3
71
 
1 + 100 ≥ 24 x = 1 ; y = 100 
 
d) -2 x + 1 ≤ x – 3 
 
Aplicando propiedades: Despejando: 
-2 x + 1 ≤ x - 3 - 2 x + 1 ≤ x - 3 
-2 x + 1 + (-x ) ≤ x - 3 + (- x ) - 2 x - x ≤ - 3 - 1 
[-2 x + (-x ) ] + 1 ≤ [ x + (- x ) ] - 3 
-3 x + [ 1 + (-1 ) ] ≤ - 3 + (-1 ) 
-3 x ≤ - 4 
- 3 x ≤ - 4 
- 
3
1
. (-3) x ≥ - 
3
1
.(-4) x ≥ - 4 : (- 3) 
75 9 6 8 ... 11 10 ... 
Curso de Apoyo en Matemática 
 
Página 
 
46 
x ≥ 
3
4
 x ≥ 
3
4
 
 Solución: S = [ 
3
4
 , + ∞ ) 
Representación gráfica: 
 
 
 
 
 
 
Las inecuaciones permiten resolver problemas. 
 
 Ejemplo: 
Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga 
que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede 
pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta? 
 
En primer lugar, traducimos el 
enunciado al lenguaje simbólico 
 Sea x el peso de cada cajón y planteamos la siguiente 
inecuación: 
 
Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg 
 
875 - 4 . x ≥ 415 
 
 Debemos resolver entonces la inecuación 
 
Pasos de resolución: 
 875 – 4x ≥ 415 
Restamos 875 a ambos miembros 
de la desigualdad → - 4 . x ≥ 415 - 875 
Hacemos el cálculo en el segundo 
miembro 
→ - 4 . x ≥ - 460 
Para despejar x , multiplicamos 
a ambos miembros por - ¼. 
Recordemos que cuando 
multiplicamos por un número 
negativo, debemos cambiar el sentido 
de la desigualdad 
→ x ≤ ( )460
4
1
−⋅




− 
Hacemos el cálculo → x ≤ 115 
Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata 
de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales 
pertenecientes al intervalo (0 , 115]. Graficamos la solución en la recta real: 
 
 
 
0-1 1 
3
4
3 2 
0 115 
Recta Real 
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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
12) Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real: 
 
a) 2 x - 3 < 4 - 2 x b) 5 + 3 x ≤ 4 - x 
c) 4 - 2 t > t - 5 d) x + 8 ≤ 3 x + 1 
e) 2 . 





2
1
 - x > 3 x f) 
3
1
 
4
2 −
≤
+ aa
 
g) 3 x - 12 ≤ 
4
6 - 5 x
 h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5 
i) 
6
 - 5 
2
 
3
xxx
>+ j) 
6
1
 - 
3
 5
 4 - 
4
 
xx
≥− 
k) 2 - 
2
14
 
4
8
 - 
3
25 +
>
−− xxx
 l) 0 2 - 
7
1
 
2
<+
+
+ x
xx
 
m) ( ) 0 
4
7
 
2
1
 -. 4 3 - 
3
1
 - 2 >




 ++




 xx n) x - 2 > 0 
 
 
13) Indicar si la siguiente resolución es V o F justificando la respuesta: 
 
 Ayuda 
 
Recuerda lo que ocurre 
cuando multiplicamos ambos 
miembros de una desigualdad 
por un número. 
¿Es lo mismo hacerlo 
por un número positivo que 
por un número negativo? 
 
x
3
 < 2 
 
x
3
 x < 2 x 
 3 < 2 x 
 
2
1
 3 < 
2
1
 2 x 
 
2
3
 < x 
 
 
14) ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?. 
 
15) ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación: 
x + 2 < 3 x + 1 ?. 
 
16) Si el lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. ¿Qué se puede decir de su perímetro p ?. 
 
 
 
 
 
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