U2 - Cinemática_a694ed717b3c1837c77a85c4cb2eaad2 - Florencia Miño

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Física 2021 – Tecnicatura en Seg. 
e Hig.
Unidad 2: Cinemática
CINEMÁTICA
TRASLACIONAL ROTACIONAL
Estudia los movimientos 
de los cuerpos en una 
trayectoria lineal
Estudia los movimientos de 
los cuerpos relacionados 
con el giro (trayectoria 
curva)
Cinemática Traslacional
¿Qué estudia la cinemática traslacional?
Estudia el movimiento de los cuerpos, 
haciendo uso de la idealización de los 
mismos bajo el concepto de móvil, y 
enmarcando dichos movimientos en un 
sistema de referencia o sistema de 
coordenadas.
En un móvil se supone que se encuentra 
concentrada la masa del cuerpo, y que este 
no rota ni se deforma, solo se traslada.
Cinemática Traslacional
Sistema de referencia
Un sistema de referencia, como lo indica su nombre, es el punto de partida (es decir, la 
base) desde donde se puede cuantificar los movimientos de un móvil.
Generalmente, se usa un sistema de referencia posicional, de ejes X, Y, Z; donde la posición 
del móvil queda determinada por la posición de éste sobre los ejes mencionados, dando 
nacimiento así a las coordenadas de un punto (o móvil, se puede usar indistintamente) en 
el espacio.
Si llamamos P al punto de estudio, entonces las 
coordenadas del mismo serán P = (Xp, Yp, Zp)
Es evidente que si se cambia la ubicación o el tipo de 
sistema de referencias, las coordenadas de un punto 
también cambiaran aunque éste siempre se 
encuentre en el mismo lugar del espacio, por ésta 
razón decimos que la posición de un móvil es relativa 
al sistema de referencias adoptado.
Cinemática Traslacional
Movimiento
Es indudable que para hablar de movimiento tenemos que hablar de tiempo ya que estos 
conceptos están íntimamente ligados. La noción de tiempo va asociada a la sucesión de 
acontecimientos que no es otra cosa que movimiento. Por ésta razón se hace muy difícil 
definir el tiempo. Para simplificar nuestro estudio diremos por ahora que el tiempo es aquello 
que se puede medir con un reloj. La magnitud tiempo la indicaremos con la letra t y un 
intervalo de tiempo entre dos instantes t1 y t2 lo indicaremos con Δt siendo:
Δ𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
Donde t2 es el tiempo en una posición posterior a la posición correspondiente a t1.
Definición de movimiento: Decimos que un punto se mueve respecto de un
sistema de referencias adoptado, cuando cambia alguna de sus coordenadas
espaciales a lo largo del tiempo
Cinemática Traslacional
Trayectoria
La trayectoria de un móvil es la línea determinada por los sucesivos puntos que un 
móvil va ocupando en el espacio a medida que se mueve. Si se trata de una recta 
decimos que la trayectoria es rectilínea. Si se trata de una curva, toma el nombre 
de la misma: trayectoria circular si es una circunferencia, trayectoria parabólica si 
es una parábola, etc.
Por ejemplo, en la siguiente figura, la trayectoria está indicada por la línea gris, el 
punto P es el móvil y xp, yp, zp, son las coordenadas del punto en un instante 
determinado. ( Tengamos en claro que estas coordenadas serán distintas en otros 
instantes )
Cinemática Traslacional
Vector Posición
La posición de un punto en el espacio se determina a través de sus coordenadas, pero la mejor 
manera de indicarlas es utilizando una herramienta matemática conocida por todos nosotros 
denominada vector , concretamente definiremos el vector posición.
El vector posición es un vector que tiene origen en el cero del sistemas de coordenadas y su 
extremo se encuentra en el móvil. Es evidente que a medida que el móvil se desplace, el vector 
posición cambiara de módulo y/o dirección.
Matemáticamente, el vector posición se escribe indicando las coordenadas de su extremo, ya 
que por definición las de su origen son cero, por lo tanto el vector posición tiene tres 
coordenadas, las cuales coinciden con las del punto (xp, yp, xp)
Cinemática Traslacional
Vector desplazamiento
Cuando un móvil cambia de posición, decimos que se ha movido, pero, ¿ cómo 
medir "cuánto" se ha movido ?. Para esto definiremos el vector desplazamiento.
Supongamos que en un instante t el vector posición de un móvil sea 𝒓 𝒕 y en otro 
instante posterior 𝑡 + Δ𝑡 el nuevo vector posición sea 𝒓 𝒕 + Δ𝑡 , entonces el vector 
desplazamiento será:
Δ𝑟 = 𝒓 𝒕 + Δ𝑡 − 𝒓 𝒕
Entonces, se puede decir que el desplazamiento es el cambio de posición que 
experimenta un cuerpo a través del tiempo.
Nótese que el vector 
desplazamiento no es lo mismo 
que la trayectoria S del móvil.
Cinemática Traslacional
Velocidad media
Es evidente que todos los móviles no se "mueven" de la misma manera, incluso, aunque el 
desplazamiento de dos móviles fuera el mismo, el intervalo de tiempo en realizar dicho desplazamiento 
puede ser distinto. Por ésta razón es necesario definir una nueva magnitud que permita diferenciar un 
caso del otro y tener una "idea" de cómo se desplaza un móvil. Esta magnitud se denomina velocidad 
media (en este curso la denominaremos simplemente velocidad):
𝑉𝑚 =
Δ𝑟
∆𝑡
El vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento.
Cabe aclarar que la velocidad media, como su nombre lo indica, es en definitiva un promedio de 
todas las velocidades que experimente el móvil a lo largo de su trayectoria. La velocidad media no nos 
da información de que velocidades lleva el móvil entre el intervalo de tiempo considerado, solo nos da 
el promedio de ellas. Para saber que velocidades experimenta el cuerpo instante a instante, debemos 
hacer uso de la velocidad instantánea, pero ello esta fuera del alcance de este curso.
Las unidades en las que se mide la velocidad son m/s o Km/h, usualmente (puede medirse en cualquier 
relación de unidades entre longitud y tiempo).
Cinemática Traslacional
Clasificación de los movimientos
Movimiento 
Rectilíneo 
Uniforme 
(MRU)
Movimiento Rectilíneo 
Uniformemente 
Acelerado (MRUA) o 
Uniformemente 
Variado (MRUV)
Aceleración = 0 Aceleración = cte.
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Definición: Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo 
uniforme (MRU), cuando su velocidad permanece constante.
Nótese que la velocidad es una magnitud vectorial, y al decir que es constante, 
estamos diciendo que lo es en módulo, dirección y sentido, lo que equivale a decir 
que la trayectoria es una recta.
El cálculo de la velocidad se simplifica mucho, pues, utilizando como sistema de 
referencias solo el eje X podremos tratar a la velocidad como una magnitud escalar 
donde el sentido vendrá expresado por su signo. Matemáticamente:
𝑉 =
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑥2 − 𝑥1
𝑡2 − 𝑡1
Donde x2 y x1 son las posiciones del móvil sobre el eje X en los tiempos t2 y t1 
respectivamente.
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Ecuación horaria del MRU
Primer medición de la posición: con el móvil moviéndose (o desde el reposo) se inicia el 
cronómetro, por lo tanto en dicha posición el tiempo vale 𝑡1 = 0, y la posición se denomina 
𝑥0 (el subíndice 0 indica que en esa posición el tiempo vale 0)
Segunda medición de la posición: en cualquier instante de tiempo posterior a 𝑡1, llámese 𝑡 =
𝑡2, la posición valdrá 𝑥(𝑡), dado que es una función del tiempo. 
Luego:
𝑣 =
𝑥 𝑡 − 𝑥0
𝑡 − 0
→ 𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣𝑡
Donde: 𝑥 𝑡 es la posición del móvil en cualquier instante de tiempo 𝑡, 𝑥0 es la posición inicial 
del móvil para un tiempo 𝑡1 = 0, 𝑣 es la velocidad del móvil (la cual es constante en este 
tipo de movimiento) y 𝑡 es el tiempo.
Ecuación del MRU
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Gráficas
Analizaremos las gráficas de la posición respecto al tiempo y de la velocidad respecto 
al tiempo.
1) Gráfica de posición en función del tiempo: por la ecuación antes dada, se nota 
que la su gráfica será una recta de pendiente 𝑣 y ordenada al origen 𝑥0. 
El móvil se aleja del 
origen de coordenadas
El móvil se acerca al 
origen de coordenadas
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Gráficas
2) Gráfica de velocidaden función del tiempo: por las características que definen al 
MRU, se sabe que la velocidad es constante a lo largo del tiempo, por lo tanto, las 
gráficas son las siguientes:
El móvil se aleja del 
origen de coordenadas
El móvil se acerca al 
origen de coordenadas
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Gráficas
Si estudiamos el panorama en conjunto de estas gráficas se ve lo siguiente:
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
Definición: Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo uniformemente variado, 
cuando la trayectoria que describe es una recta, y su aceleración permanece constante.
Se define entonces a la aceleración como la variación de la velocidad respecto al 
tiempo.
Dado que la misma es constante durante todo el movimiento, entonces se la puede 
calcular en cualquier intervalo de tiempo que se elija.
Matemáticamente, se tendrá que:
𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
𝑎 =
𝑣 𝑡2 − 𝑣(𝑡1)
𝑡2 − 𝑡1
Donde 𝑡2 es un instante posterior a 𝑡1, mientras que 𝑣 𝑡2 y 𝑣 𝑡1 son las velocidades del 
móvil en los tiempos mencionados respectivamente.
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
Primera ecuación horaria del MRUA:
Primer medición de la velocidad: en el instante que encendemos el cronómetro y 
medimos por primera vez la velocidad, tendremos que 𝑡1 = 0, y la velocidad se denomina 
𝑣0 (el subíndice 0 indica que se midió la velocidad cuando el tiempo vale 0)
Segunda medición de la posición: en cualquier instante de tiempo posterior a 𝑡1, llámese 
𝑡 = 𝑡2, la velocidad medida valdrá v(𝑡), dado que es una función del tiempo. 
Luego:
𝑎 =
𝑣 𝑡 − 𝑣0
𝑡2 − 0
→ 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
1er Ecuación 
Horaria del MRUA
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
Segunda ecuación horaria del MRUA:
La primera ecuación horaria, permite calcular la velocidad en cualquier instante, sin 
embargo, todavía no sabemos cómo obtener la posición del móvil que se mueve con 
MRUA.
Para obtenerla, tendremos que hacer uso del concepto de que el área bajo la curva de 
velocidad en función del tiempo, representa el desplazamiento del móvil.
Si analizamos la primera ecuación horaria, veremos que se trata de la ecuación de una 
recta, donde 𝒗, es la variable dependiente ; 𝒕 la variable independiente ; 𝒗𝟎 el término 
independiente u ordenada al origen y 𝒂, la pendiente de la recta.
𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Si la representamos gráficamente, el área encerrada bajo la curva para un instante 
cualquiera, representará el desplazamiento ( ∆𝒙 ) que tubo el móvil hasta ese instante.
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
Segunda ecuación horaria del MRUA:
𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Cálculo del área: se suma el área de un rectángulo 
más el área de un triangulo.
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑣0𝑡
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
𝑣 𝑡 − 𝑣0 𝑡
2
→ Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆𝑥 = 𝑣0𝑡 +
𝑣 𝑡 − 𝑣0 𝑡
2
Sabiendo que 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 entonces reemplazando:
→ ∆𝑥 = 𝑣0𝑡 +
𝑣0 + 𝑎𝑡 − 𝑣0 𝑡
2
→ ∆𝑥 = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2, 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0
→ 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
2da Ecuación 
Horaria del 
MRUA
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
Gráficas
En el MRUA, la aceleración es constante, la velocidad responde a la ecuación de la 
recta y la posición, como se ve claramente en la segunda ecuación horaria, responde a 
una ecuación cuadrática que, como sabemos, al representarla obtendremos una 
parábola.
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
Signos
Veamos en un gráfico los casos posibles para todas las magnitudes.
En el caso 1 el móvil se encuentra posicionado 
sobre el semieje positivo de las X, se desplaza en el 
sentido creciente y aumenta constantemente su 
velocidad.
En el caso 2 el móvil se encuentra posicionado 
sobre el semieje positivo de las X, se desplaza en el 
sentido creciente y disminuye constantemente su 
velocidad.
En el caso 3 el móvil se encuentra posicionado 
sobre el semieje positivo de las X, se desplaza en el 
sentido decreciente y disminuye constantemente su 
velocidad.
En el caso 4 el móvil se encuentra posicionado 
sobre el semieje positivo de las X, se desplaza en el 
sentido decreciente y aumenta constantemente su 
velocidad.
Los casos 5, 6, 7 y 8 son iguales a los anteriores en 
cuento a velocidad y aceleración pero en todos los 
casos el móvil se encuentra posicionado sobre el 
semieje negativo de las X.
Cinemática Traslacional
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
TIRO VERTICAL Y CAIDA LIBRE
Tanto cuando se deja caer un cuerpo en el vacío como cuando se lo lanza 
verticalmente hacia arriba, el cuerpo describirá un MRUA y por lo tanto 
podremos aplicarle las leyes ya estudiadas. En estos casos, la aceleración es la 
gravedad 𝒈 del campo gravitatorio terrestre, y valdrá, aproximadamente 
9,81
𝑚
𝑠2
.
Como sistema de referencias adoptaremos ahora un eje vertical ( Y ). Como 
sabemos, el origen y sentido de este sistema se coloca a elección, en general 
y porque simplifica la resolución, el origen se coloca en el piso o en el punto 
desde donde partió el cuerpo, y el sentido hacia arriba en el caso de un tiro 
vertical y hacia abajo en el caso de una caída.
Según el sistema de referencias adoptado la aceleración de la gravedad 
tiene sentido contrario al sistema de referencias, esto se indica colocando 
directamente el signo negativo en la ecuación. Por otra parte, el proyectil 
tiene velocidad inicial dirigida en el sentido positivo del sistema de referencias, 
pues es lanzado hacia arriba.
Las ecuaciones nos quedan:
𝑣 𝑡 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
Cinemática Rotacional
Movimiento Circular
La característica principal es que en los movimientos circulares, la trayectoria es una 
circunferencia.
Como se observa en la imagen, puede darse el caso en que lo que este girando sea 
un móvil en torno a un eje (imagen izquierda) o un disco sólido (imagen derecha). En 
el primer caso, solo tendremos la velocidad del móvil, pero en el segundo caso 
tendremos las velocidades de todos los puntos que componen al disco solido y, como 
se verá, las velocidades tomadas sobre un radio no son iguales para este caso.
Cinemática Rotacional
Movimiento Circular
Definiremos una nueva magnitud, la cual se mantiene 
constante, denominada VELOCIDAD ANGULAR, y se la identifica 
con la letra griega omega (ω). Entonces:
Definición: La velocidad angular de un móvil que se desplaza 
con movimiento circular es el cociente entre el ángulo girado 
medido en radianes y el intervalo de tiempo empleado para 
girarlo. Sus unidades son rad/s.
𝜔 =
∆𝛼
∆𝑡
La velocidad angular, es la misma para todos los puntos 
ubicados sobre un mismo radio, pues, en tanto las distancias 
recorridas por cada punto en el mismo tiempo son distintas, 
todos se desplazan el mismo ángulo. Es decir, mientras ω es igual 
para todos, v4>v3>v2>v1.
Cinemática Rotacional
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Definición: un móvil se desplaza con MCU, cuando su velocidad angular permanece 
constante. 
Esto significa que siempre tarda el mismo tiempo en recorrer una vuelta completa.
Veamos ahora algunas definiciones de interés:
Período: se denomina período, al tiempo que tarda un móvil que se desplaza con 
MCU en describir una vuelta completa. Se indica con la letra T. Se mide en unidades 
de tiempo (s, h, min).
Frecuencia: la frecuencia, es la reciproca del período e indica la cantidad de 
vueltas que realiza el móvil por unidad de tiempo. Se simboliza con la letra f y tiene 
unidades de 1/s, 1/h, 1/min o RPM, RPS.
𝑓 =
1
𝑇
Cinemática Rotacional
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Cálculo de la velocidad angular 
Como en el MCU la velocidad angular permanece constante, para calcularla, se 
puede tomar indistintamente, cualquier ángulo con su correspondiente tiempo. El 
ángulo más conveniente es el que corresponde auna circunferencia completa, 
pues el tiempo a considerar será el período. Entonces:
𝜔 =
∆𝛼
∆𝑡
=
2π
𝑇
O en función de la frecuencia f:
𝜔 =
∆𝛼
∆𝑡
= 2𝜋𝑓
Cinemática Rotacional
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Cálculo de la velocidad tangencial: 
Como vimos, la velocidad del móvil que se desplaza con MCU, cambia 
constantemente de dirección, por lo tanto, no es constante. Sin embargo, su 
módulo si lo será, pues recorre iguales arcos de circunferencia en iguales tiempos. 
Por lo tanto puede calcularse de manera sencilla ya que, para una circunferencia 
completa, la longitud total recorrida en un período será 2.π.r . Entonces:
𝑣 =
2𝜋𝑟
𝑇
= 2𝜋𝑟𝑓
La ecuación confirma lo dicho anteriormente: el módulo de la velocidad del móvil 
depende del radio.
Cinemática Rotacional
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Relación entre v y ω:
De la ecuación de la velocidad angular tenemos que:
ω = 2𝜋𝑓 → 𝑓 =
𝜔
2𝜋
Por otro lado, de la ecuación de la velocidad tangencial tenemos que:
𝑣 = 2𝜋𝑟𝑓 → 𝑓 =
𝑣
2𝜋𝑟
Igualando estas ecuaciones:
𝜔
2𝜋
=
𝑣
2𝜋𝑟
→ 𝒗 = 𝝎𝒓
Cinemática Rotacional
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Aceleración Centrípeta:
En al MCU, la velocidad del móvil cambia constantemente solo que dicho cambio 
no es en módulo sino en dirección, pero como ya dijimos, si alguna de las 
propiedades del vector velocidad cambia, hay variación de velocidad, y si la 
velocidad varia, hay aceleración. Para calcular esta aceleración, tendremos que 
calcular primero el vector variación de velocidad.
El arco S se recorre en un Δt. Además, las magnitudes de los 
vectores v1 y v2 son iguales, pero no así sus direcciones y 
sentidos, por lo que:
𝒗𝟏 = 𝒗𝟐 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒗𝟏 ≠ 𝒗𝟐
Si se hacen coincidir los orígenes de ambos vectores, vemos 
que la variación de la velocidad, esto es:
∆𝒗 = 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏
Es un vector que apunta al centro de la circunferencia, por lo 
que la aceleración asociada a él también, por esta razón se 
denomina a la misma centrípeta.
Cinemática Rotacional
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Aceleración Centrípeta:
Si la el arco S es lo suficientemente pequeño, entonces se confundirá con la cuerda y se 
puede asumir un triángulo. Tomando los triángulos 𝒓 𝑺 𝒓 y v1 Δv v2, los cuales son semejantes, 
se tendrá que:
𝑺
𝒓
=
∆𝒗
𝒗
→ ∆𝒗 =
𝑺 𝒗
𝒓
Para calcular el módulo de la aceleración centrípeta aplicamos la definición. Luego:
𝒂 =
∆𝒗
∆𝒕
=
𝑺 𝒗
∆𝒕 𝒓
El cociente S/Δt es el módulo de la velocidad, es decir 𝒗 , por lo tanto:
𝒂 =
𝒗 𝒗
𝒓
=
𝒗 𝟐
𝒓
Si recordamos que v = ωr, entonces:
𝒂 =
𝝎𝒓 𝟐
𝒓
= 𝝎𝟐𝒓