LAB_3 - Juan Felipe Martín Martínez (1)

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Universidad de San Buenaventura
Facultad de Ingenieŕıa
Programa de Ingenieŕıa Mecatrónica
Control
Clásico
2021-I
Autores:
Juan Diego Otálora Gómez
Juan David Cruz Contreras
Juan Felipe Mart́ın Mart́ınez
Informe de Laboratorio 3
Control Avanzado
(Modalidad Simulación)
Contenido
1. Introducción 1
2. Procedimiento y Resultados 2
2.1. Modelo Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Control RST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1. Verificación de cada Requerimiento Solicitado (Control RST) . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2. Márgenes de fase y ganancia del sistema de control (Control RST) . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Control en Cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1. Verificación de cada Requerimiento Solicitado (Control Cascada) . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2. Márgenes de fase y ganancia del sistema de control (Control Cascada) . . . . . . . . . . 24
3. Conclusiones 25
1. Introducción
La evolución de los PLC los ha llevado a incluir funciones para el tratamiento y almacenamiento de datos,
la enerǵıa del proceso, capacidades de comunicación, y control de relés secuenciales, para ser empleados en
amplias aplicaciones como el control de movimiento, control de procesos, sistemas de control distribuidos y
establecimiento de redes Nevot Cercós (2000), también estos pueden ser programados para ser usados para
aplicar diferentes técnicas de control, ese es el caso de Jaimes and Giraldo (2012), en el cual se crea un
programa para el PLC, y junto al sistema SCADA, permitirá el uso de diferentes técnicas de control, entre
ellas el controlador RST. Aqúı se aplica un sistema de recirculación de agua que permite realizar el control de
flujo o el control de nivel, aqúı se realizó una comparativa entre un controlador neuronal, PI y RST, en la cual
se evidencia que el control RST obtuvo buenos resultados en cuanto a exactitud y estabilidad pero la respuesta
es muy lenta, aun aśı con algunas modificaciones realizadas como ajustes en la ecuación en diferencias, los
cuales se realizaron en ĺınea con el proceso en funcionamiento.
Por otro lado, podemos observar la implementación de un controlador como lo hacen en Bravo et al. (2011), en
el cual implementan un controlador digital RST el cual le permitirá a un brazo robótico de 3 grados de libertad,
ubicarse en tiempo real, en las coordenadas enviadas a través de un PC de forma rápida. El controlador fue
diseñado de tal forma que su error en estado estable fuera cero, luego de la implementación y pruebas se
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observó un desempeño satisfactorio, el controlador RST cumplió su labor, lo cual permit́ıa que la resolución
del sistema dependiera únicamente de la resolución de la visión estereoscópica.
Uno de los conceptos más utilizados en control avanzado es el control en cascada o de lazos múltiples. Su
utilización es conveniente cuando la variable controlada no puede mantenerse dentro del punto de operación
por óptimos que sean los ajustes del controlador debido a las perturbaciones que se producen en alguna parte
del proceso. Su estructura consta de dos lazos de retroalimentación, uno de los cuales es interno al otro, la salida
del lazo externo o principal, llamado control maestro, fija el punto de referencia del lazo interno o secundario,
denominado control esclavo Ortiz Mejia and Valderrama Escudero (2003), una implementación es como lo
muestra en Llácer España (2018), en el cual propone un control de la temperatura de un reactor continuo
de tanque agitado encamisado, ese siendo una planta virtual. En este trabajo se realiza una comparación de
controladores, los cuales son un control en cascada y un PID estándar.
En el controlador en cascada, el lazo primario controla la variable de salida y el secundario controla
la perturbación medida. Para realizar la comparación se puso en marcha el sistema, ambos controladores
trabajaron de manera diferente, y ya una vez en el punto de funcionamiento, ambos controladores trabajaron
de manera aceptable, aun aśı, el control en cascada presento mejores resultados que el PID, tanto en el tiempo
de sobrepaso como en el tiempo de establecimiento, por lo que el sistema llegará antes al punto de consigna,
y alcanzando valores menos alejados del mismo, pero eso no dice que el control fuera totalmente satisfactorio,
porque en algunos casos presentaba errores en cambios en la temperatura de referencia, otras veces en alguna
de las perturbaciones, entre otras. No se obtuvo que los reguladores hicieran el control satisfactoriamente en
todo los aspectos planteados.
En este tercer laboratorio se realizaron dos tipos de controladores, los cuales son control RST y control
Cascada para la planta estipulada de un brazo robótico de 1DOF. Por medio del control RST, se puso como
como objetivo el control/regulación de la posición angular de un brazo, y, por medio del Cascada, se tiene el
objetivo de realizar el control/regulación de la posición y velocidad angular. Además, fueron diseñados para el
seguimiento y rechazo de señales tipo paso. Con ayuda del software MATLAB se realizaron diferentes pruebas
para corroborar el correcto funcionamiento del sistema, y se analizaron los márgenes de fase y de ganancia de
cada sistema de control (RST y Cascada), con el fin de comprobar la estabilidad del sistema de control en
lazo cerrado, el uso de este software nos ayuda a comprobar el cumplimiento a los diferentes requerimientos
estipulados para la creación de dichos controladores.
2. Procedimiento y Resultados
Para este tercer laboratorio (3) se pidió analizar un sistema dinámico no lineal de un brazo robótico de
1DOF, que es representado por su modelo matemático:
θ̈ = ku− b1θ̇ − b2sin(θ)− b3sgn(θ̇)
De este modelo matemático se dio a entender que θ es la posición angular del brazo la cual está en Radianes,
y u(t) es la entrada de control en Voltios con ĺımites de saturación entre [−24V ; +24V ]. Con esta información
se procede a cumplir el objetivo de control principal, el cual es regular la posición angular del sistema a un
valor deseado, rechazando la perturbación tipo paso a la que se encuentra sometido. El valor de los parámetros
anteriormente nombrados de la planta son los siguientes:
k = 89.68
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b1 = 5.28
b2 = 379.95
b3 = 9.3681
Con los datos dados, y al analizar el modelo matemático visto anteriormente, se dedujo que el sistema
presente es un sistema no lineal. En la Figura 1 se visualiza el diagrama del modelo no lineal, el cual se debe
linealizar para dar solución a las distintas incógnitas presentes. La linealización nos permitió realizar el control
de la posición del sistema.
sin
1
U
1
Pos
2
Vel
Figura 1: Diagrama de Bloques de la planta no lineal.
2.1. Modelo Lineal
Pasos ejecutados para la linealización del modelo matemático, teniendo un tiempo de muestreo igual a
0.001:
Se procede a dejar el modelo matemático con respecto a la entrada de control u, para realizar la lineali-
zación también se procede a tomar un punto de operación con respecto a la posición angular (θop), dando
como resultado
θ̈ = ku− b1θ̇ − b2sin(θ))
ku = θ̈ − b1θ̇ − b2sin(θ) (1)
Siendo el Punto de operación tomado igual a θop = π/4
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Con esta ecuación respecto a la entrada y con el punto de operación tomado, se procede a linealizar por
el método de Taylor dando como resultado:
kuop = b2sen(θop)
uop =
b2sen(θop)
k
Ya con la función de uop, se proceden a realizar las diferentes derivadasparciales, con las que se obtiene
que:
∆(θ̈) =
∂θ̈
∂θ̈
|op → ∆(θ̈) = 1∆θ̈
∆(b1θ̇) =
∂b1θ̇
∂θ̇
|op → ∆θ̇ = b1∆θ̇
∆(b2sen(θ)) =
∂b2sen(θ)
∂θ
|op → ∆θ = b2cos(θop)∆θ
∆(ku) =
∂ku
∂u
|op → ∆u = k∆u
Con las derivadas parciales ya realizadas, se procede a reemplazar sobre la ecuación anteriormente en-
contrada (Ecuación 1), dando como resultado:
k∆u = ∆θ̈ + b1∆θ̇ + b2cos(θop)∆θ
k∆u = s2∆θ + sb1∆θ + b2cos(θop)∆θ
k∆u = ∆θ(s2 + sb1 + b2cos(θop))
Despejando, obtenemos que la planta linealizada es igual a:
∆θ
∆u
=
k
s2 + sb1 + b2cos(θop)
Remplazando valores se obtiene la Ecuación 2, la cual es la planta linealizada
∆θ
∆u
=
89.68
s2 + s5.28 + 379.95cos(π/4)
(2)
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2.2. Control RST
Con la planta linealizada, se procede a diseñar un controlador digital RST para controlar la posición angular
del brazo y además debe cumplir con los siguientes requerimientos de desempeño:
Dinámica de regulación: Sobre nivel porcentual de 0 % y tiempo de estabilización igual a 0.1 seg.
Dinámica de seguimiento: Sobre nivel porcentual de 0 % y tiempo de estabilización igual a 1.0 seg.
Rechazo de perturbaciones tipo paso.
Error cero ante referencias tipo paso.
Para dar solución exacta y realizar el diseño RST con los requerimientos estipulados, se procede a discretizar
la planta, y además describir la planta en potencias negativas, con el fin de saber los polinomios del controlador y
la retroalimentación (R(z−1) y S(z−1)), además se mostrará el cumplimiento con la pre-especificación tomada,
la cual realizará el rechazo de perturbaciones tipo paso y error cero ante referencias tipo paso, para obtener
esto se procede a realizar el siguiente procedimiento:
Para la discretización de la planta se procede a ser uso del siguiente el código, el cual nos da el resultado
de la Ecuación 3, que será descrita en potencias negativas más adelante, dando como resultado
1 clc,clear;
2 Ts=0.001;
3 k=379.95*cos(pi/4);
4 G=tf(89.68,[1 5.28 k]);
5 Gz=c2d(G,Ts,'zoh')
G(z) =
4.476 ∗ 10−5z + 4.468 ∗ 10−5
z2 − 1.994z + 0.9947
(3)
La ecuación en potencia negativa, que será analizada para obtener los polinomios A y B y de esta manera
encontrar los polinomios deseados (R(z−1) y S(z−1)), dando como resultado:
G(z−1) =
4.476 ∗ 10−5z−1 + 4.468 ∗ 10−5z−2
1− 1.994z−1 + 0.9947z−2
Con esto se obtiene Que los Polinomios A y B son:
B(z−1) = 4.476 ∗ 10−5z−1 + 4.468 ∗ 10−5z−2
A(z−1) = 1− 1.994z−1 + 0.9947z−2
d = 0
Para el rechazo de perturbaciones tipo paso y error cero ante referencias tipo paso. Se tiene que:
Hs(z
−1) = 1− z−1
Orden de las ecuaciones deseadas:
nb = ordendeB(z
−1) + ordendeHr(z
−1)
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nb = 2 + 0→ 2
na = ordendeA(z
−1) + ordendeHs(z
−1)
na = 2 + 1→ 3
Con esto se obtiene que: ns
ns = nb + d− 1
ns = 2 + 0− 1→ 1
nr
nr = na − 1
nr = 3− 1→ 2
np
np = na + nb + d− 1
np = 3 + 2 + 0− 1→ 4
Por lo tanto se obtiene que los polinomios del controlador y la retroalimentación son iguales a:
S(z−1) = 1− s1z−1
R(z−1) = r0 + r1z
−1 + r2z
−2
Con esto se obtiene que la ecuación diofántica, es igual a
A(z−1)S(z−1) + z−dB(z−1)R(z−1) = P (z−1)
(1− 1.994z−1 + 0.9947z−2)(1− s1z−1)(1− z−1) + (4.476 ∗ 10−5z−1 + ...
...4.468 ∗ 10−5z−2)(r0 + r1z−1 + r2z−2) = P (z−1)
Siendo los polos deseados, para un tiempo de estabilización igual a 0.1, son:
S1 = −40→ Z = e−40∗0.001
Z1 = 0.96078943
S2 = −400→ Z = e−400∗0.001
Z2 = 0.67032004
S3 = −401→ Z = e−401∗0.001
Z3 = 0.66965006
S4 = −402→ Z = e−402∗0.001
Z4 = 0.66898074
Valor de P (z) y el valor en potencias negativas P (z−1), con el fin de encontrar las diferentes incógnitas
de la ecuación de diofántica:
P (z) = (z − 0.9607894)(z − 0.67032004)(z − 0.66965006)(z − 0.66898074)
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P (z) = z4 − 2.96974024z3 + 3.27547271z2 − 1.59283623z + 0.28851739
Potencias negativas
1− 2.96974024z−1 + 3.27547271z−2 − 1.59283623z−3 + 0.28851739z−4
Función diofántica:
(1− 1.994z−1 + 0.9947z−2)(1− s1z−1)(1− z−1) + (4.476 ∗ 10−5z−1 + ...
...4.468∗10−5z−2)(r0+r1z−1+r2z−2) = 1−2.96974024z−1+3.27547271z−2−1.59283623z−3+0.28851739z−4
Se resuelve el sistema de ecuaciones presentado anteriormente, para de esta forma conocer los valores de
s1, r0, r1 y r2. Estos valores se obtuvieron por medio del siguiente código en MATLAB
1 syms z a1 a2 a3 a4 s1 r0 r1 r2 p2 p3 p4 p5
2 eq=(1-a3*zˆ-1+a4*zˆ-2)*(1-s1*zˆ-1)*(1-zˆ-1)+(a1*zˆ-2+a2*zˆ-1)*(r0+r1*zˆ-1+r2*zˆ-2);
3 collect(eq,z); %Lo da en potencias positivas, por lo cual hay que acomodarlo como negativas
4 Sol=solve((a2*r0 - s1 - a3 - 1) == p2,...
5 (a3 + a4 + s1 + a1*r0 + a2*r1 + a3*s1) == p3,...
6 (a1*r1 - a4 + a2*r2 - a3*s1 - a4*s1) == p4,...
7 a1*r2 + a4*s1 == p5,r0,r1,r2,s1);
Dando como resultado los siguientes valores:
s1 = 0.143771
r0 = 3771.064501
r1 = −7005.993337
r2 = 3250.733426
Para la dinámica de seguimiento, se halló T (z−1) por medio del cumplimiento de la siguiente ecuación:
T (z−1) =
{
P (z−1)
B(1) si B(1) 6= 0
P (z−1) si B(1) = 0
Obteniéndose de esta manera que T (z−1) = P (z
−1)
B(1) y se halló el controlador deseado utilizando el siguiente
código en el Software de MATLAB.
1 T=P/(a1+a2);
2 Gdes=tf(1,[1/4 1]); %Planta deseada para din. de ref. tao=1 ya que se quiere un ts=1
3 Gdesz=c2d(Gdes,Ts,'zoh');
Con estos valores, se obtiene la sección del seguimiento de la referencia y el rechazo de perturbaciones,
como se puede observar en la Figura 2
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Figura 2: Control RST planta linealizada
Del cual se obtiene la siguiente respuesta gráfica, que se puede observar en la Figura 3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tiempo(seg)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
P
o
s
ic
ió
n
 A
n
g
u
la
r 
(R
a
d
)
Respuesta de la planta lineal
Rta. del modelo lineal
Referencia
Figura 3: Control RST, Respuesta planta lineal
Luego se realiza el mismo procedimiento pero ahora con la planta no lineal, con el fin de saber si realizando
el seguimiento de manera correcta y adecuada. Para esto se utiliza el diagrama de bloques que se observa en
la Figura 4
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Figura 4: Control RST Planta no lineal
Con este diagrama de bloques se obtiene la gráfica de la Figura 5, donde se observa que si se logra los
requerimientos solicitados
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tiempo(seg)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
P
o
s
ic
ió
n
 A
n
g
u
la
r 
(R
a
d
)
Respuesta de la planta no lineal
Rta. del modelo no lineal
Referencia
Figura 5: Control RST, Respuesta planta no lineal
2.2.1. Verificación de cada Requerimiento Solicitado (Control RST)
Con el diagrama de bloques realizado, el cual se observa en la Figura 2, se procede a realizar diferentes
pruebas para verificar que se cumpla cada requerimiento solicitado, como lo es el error cero ante referencias
tipo paso y el rechazo de perturbaciones tipo paso. Con el diagrama que se observa en la Figura 6 se obtiene
la siguiente gráfica la cual muestra el cumplimiento del error cero ante referencias tipo paso:
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Figura 6: Lazo de control, Utilizado Para la comprobación de requerimientos
En la Figura 7 se observa el cumplimiento efectivo del error cero ante entrada paso de sus respectivas
plantas, además, se observa la estabilización de este al realizar la perturbación tipo paso, por lo cual se observa
el buen cumplimiento a dicho requerimiento. Con el mismo diagrama de bloques visto en la Figura 6, pero
cambiando de la planta lineal a la no lineal, se obtienela gráfica de la Figura 8 en la cual se ve el cumplimiento
de dichos requisitos, demostrando que el lazo de control obtenido realiza un buen cumplimiento a de estos.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tiempo(seg)
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error de la salida del sistema lineal
Figura 7: Error de la salida del sistema lineal
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tiempo(seg)
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error de la salida del sistema no lineal
Figura 8: Error de la salida del sistema no lineal
Con este mismo diagrama de bloques visto en la Figura 6 se puede obtener la siguiente gráfica en la cual
se puede observar la señal de control:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tiempo(seg)
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
S
a
tu
ra
c
ió
n
Señal del control del sistema lineal
Figura 9: Señal de control del sistema lineal
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tiempo(seg)
-25
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-10
-5
0
5
10
15
20
25
S
a
tu
ra
c
ió
n
Señal del control del sistema no lineal
Figura 10: Señal de control del sistema no lineal
En la figura de la Figura 9 y Figura 10 se puede evidenciar el cumplimiento del rango de saturación
solicitado, el cual es [−24V ; +24V ]
2.2.2. Márgenes de fase y ganancia del sistema de control (Control RST)
Para el análisis de los márgenes de fase y ganancia del sistema de control, se procede a abrir el lazo de
control visto en la Figura 12 y con esto se obtiene el lazo de control que se visualiza en la Figura 11, donde se
puede observar la planta, los polinomios de controlador y la estrada, con este diagrama se obtiene el margen
de fase y ganancia, dando como resultado:
Figura 11: Lazo de control abierto, Utilizado Para el análisis de margen de fase y ganancia
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Diagrama de Bode Control RST
Frequency (rad/s)
100 101 102 103 104
-360
-270
-180
-90
0
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
-100
-50
0
50
100
From: Step7 To: Discrete Transfer Fcn17
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
linsys1
Figura 12: Márgenes de fase y ganancia del sistema de control RST
Con el diagrama de bloques visto en la Figura 11, se obtiene el diagrama de márgenes de fase y ganancia
como se observa en la Figura 12, donde se puede observar que para el análisis de fase la magnitud corta en cero
aproximadamente a una frecuencia de 336.46 rad/s, y en esta frecuencia la fase se encuentra por encima de los
180 grados, dando a entender que su margen de fase es positivo y con un valor aproximado de 56 grados y para
el análisis de ganancia, se obtiene que la fase corta en -180 grados en tres frecuencias, el primer corte se da en
aproximadamente 18 rad/s en donde se observa que el margen de ganancia es negativo de aproximadamente
-60 dB dando entender que esta frecuencia el sistema es inestable, el segundo corte en -180 grados en la fase
se da en la frecuencia de 72 rad/s, donde se ve una ganancia negativa de aproximadamente -21 dB dando a
entender que en esta frecuencia el sistema sigue en la zona de inestabilidad, por último se obtiene el tercer corte
en la fase en -180 grados en aproximadamente la frecuencia de 1346 rad/s, donde se observa que la ganancia
tiene un margen positivo de 13 dB mostrándonos de esta manera que en esta frecuencia el sistema consigue
ser estable en lazo cerrado, como también lo muestra el análisis de fase donde se concluyo la estabilidad a los
336.46 rad/s
2.3. Control en Cascada
Se diseñó un esquema de control en cascada (velocidad/posición) para controlar la posición del manipulador,
tal que cumpla los siguientes requerimientos de desempeño:
Para el Lazo interno (velocidad) se debe cumplir que el: Sobre nivel porcentual de 0 % y tiempo de
estabilización igual o inferior a 0.1 seg, Seguimiento y rechazo de señales paso.
Para el Lazo externo: Sobre nivel porcentual de 0 % y tiempo de estabilización igual a 1.0 seg, el mani-
pulador debe posicionarse en cualquier posición con error cero.
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Para realizar el sistema de control en Cascada, se procede a dar solución al lazo interno (velocidad) el cual
se observa en la Figura 13 donde se muestra la planta Gp y el controlador que será analizado, el cual es Gci.
Para esto se analizará con respecto a la velocidad, dando como resultado
Figura 13: Lazo de control en cascada (Planta lineal)
Se obtiene la planta de velocidad, teniendo en cuenta que al aplicarle un integrador, esta va a ser la planta
de posición obtiene la Ecuación 4, que sale de multiplicar la planta de la posición por S
Planta linealizada con respecto a la Velocidad (Lazo interno):
Gp(s) =
89.68s
s2 + s5.28 + 379.95cos(π/4)
(4)
Para la realización del control interno, se tuvo en cuenta que la señal de entrada debe estabilizarse en 0.1
segundos y rechazar la perturbación tipo paso, por lo cual, se pensó un controlador algebraico, dando como
resultado
Controlador Algebraico:
Gc(s) =
k2s
2 + k1s+ k0
s(s+ k3)
Lazo de cerrado de control (interno):
GLc(s) =
k2s
2 + k1s+ k0
s(s+ k3)
∗ 89.68s
s2 + 5.28s+ 379.95cos(π/4)
Dando como resultado:
GLc(s) =
(89.68k0) ∗ (k2s2 + k1s+ k0)
s4 + (5.28 + k3 + 89.68k2)s3 + (268.67 + 5.28k3 + 89.68k1)s2 + (89.68k0 + 268.67k3)s
Polos deseados
τ =
0.1
4
→ τ = 0.025
S1 = 1/0.025 = −40
S2 = −400
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S3 = −401
S4 = −402
(s+ 40)(s+ 400)(s+ 401)(s+ 402)
s4 + 1243s3 + 530522s2 + 83776880s+ 2579232000
Para hallar las ganancias, se obtuvo la ecuación y se hallaron sus respectivos valores
1 clc,clear;
2 syms s k0 k1 k2 k3 p2 p3 p4 p5 b1 theta k
3 eq=(s*(s+k3)*(sˆ2+b1*s+theta))+((k2*sˆ2+k1*s+k0)*(k*s));
4 collect(eq,s)
5 Sol=solve((b1 + k3 + k*k2) == p2,...
6 (theta + b1*k3 + k*k1) == p3,...
7 (k*k0 + k3*theta) == p4,k0,k1,k2,k3);
8 Sol.k0
9 Sol.k1
10 Sol.k2
11 Sol.k3
Ganancia k0
s4 + 1243s3 + 530522s2 + 83776880s+ 2579232000 = s4 + (5.28 + k3 + 89.68k2)s
3...
...+ (268.67 + 5.28k3 + 89.68k1)s
2 + (89.68k0 + 268.67k3)s
k0 = 934175.735950
k1 = 5912.726748
k2 = 13.801517
k3 = 0
Siendo el Controlador igual a:
Gc(s) =
13.801517s2 + 5912.726748s+ 934175.735950
s2
Ya resuelto el lazo de control interno, se procede a realizar el análisis externo del sistema de control,
cumpliendo con los diferentes requisitos y logrando de esta manera la solución final del control planteado. Para
la solución de este lazo externo se realizaron los siguientes pasos:
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Control
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2021-I
Se obtiene la nueva planta la cual es el sistema de lazo interno multiplicado a la integral que se teńıa en
el lazo externo, lo cual da como resultado:
Gpint(s) =
1238s3 + 5.303 ∗ 105s2 + 8.378 ∗ 107s
s4 + 1243s3 + 530522s2 + 8.378 ∗ 107s
S1 = −570.42
S2 = −336.29 + 138.78i
S3 = −336.29− 138.78i
Para simplificar la creación del controlador externo, no se toma en cuenta el lazo cerrado interno, ya que
sus polos, son lo suficientemente alejados, como para no ser dominantes en el lazo cerrado externo, lo cual,
si se quitan, no afectaŕıan la dinámica deseada en el lazo externo. Por lo tanto, la planta para el controlador
externo queda de forma
Planta externa
GPexterna(s) =
1
s
Control Externo
GCexter(s) =
k1s ∗ k2
s
Lazo cerrado Externo
GLCexter(s) =
k1s ∗ k2
s
∗ 1
s
GLCexter(s) =
k1s ∗ k2
s2 + k1s ∗ k2
Polos deseados
τ =
1
4
→ τ = 0.25
S1 = −4
S2 = −4
(s+ 4)(s+ 4)
s2 + 8s+ 16
16
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Ganancia k1 y k2
s2 + 8s+ 16 = s2 + k1s ∗ k2
Siendo las ganancias igual:
k1 = 8
k2 = 16
Con las ganancias obtenida, se tiene que el controlador de Lazo externos es igual a:
Gexterno(s) =
8s ∗ 16
s
Ya encontrado cada uno de los interrogantes para dar solución al Controlador Cascada, se procede a
realizar un diagrama de bloques con el fin de obtener el comportamiento gráfico de los sistemas y de esta
forma observar si se está dando el cumplimiento a cada requerimiento, para esto se realizó un código y
un diagrama de bloques el cual se observa en la Figura 13, con el que se obtendrá el comportamiento
de la posición y de la velocidad, El siguiente código fue el utilizado para realizar los diferentes cálculos
tanto del lazo interno como del lazo externo:
1 %% CONTROL CASCADA
2 clc,clear;
3 Ts=0.001;
4 k=89.68;
5 b1=5.28;
6 b2=379.95;
7 b3=9.3681;
8 thetaop=pi/4;
9 theta=b2*cos(thetaop);
10 uop=(b2*sin(thetaop))/k;
11 Gpi = tf([k 0],[1 b1 theta]);
12 Pi=poly([-40 -400 -401 -402]);
13 k0=Pi(4)/k;
14 k1=(Pi(3) - theta)/k;
15 k2=-(b1 - Pi(2))/k;
16 k3=0;
17 Gci=tf([k2 k1 k0],[1 k3 0]);
18 GLCI=feedback(Gci*Gpi,1);
19 zpk(GLCI);
20 pole(GLCI);
21 G1 = tf(1,[1 0]);
22 P = poly([-4 -4]);
23 ka = P(2);
24 kb = P(3);
25 Gpp = zpk(GLCI*G1);
26 Gcp= tf([ka kb],[1 0]);
27 %% Resolver Ecuacion
28 clc,clear;
29 syms s k0 k1 k2 k3 p2 p3 p4 p5 b1 theta k
30 eq=(s*(s+k3)*(sˆ2+b1*s+theta))+((k2*sˆ2+k1*s+k0)*(k*s));
31 collect(eq,s);
32 Sol=solve((b1 + k3 + k*k2) == p2,...
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Control
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33 (theta + b1*k3 + k*k1) == p3,...
34 (k*k0 + k3*theta) == p4,k0,k1,k2,k3);
35 Sol.k0;
36 Sol.k1;
37 Sol.k2;
38 Sol.k3;
Con el código visto anteriormente y con el diagrama de bloques de la Figura 13, se obtiene el comporta-
miento que se observa en la Figura 14, donde se observa la señal de referencia, la posición y la velocidad,
además se observa el cumplimiento a los requerimientos planteados en dicho ejercicio:
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo(seg)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
o
s
ic
ió
n
 A
n
g
u
la
r 
(R
a
d
)/
V
e
lo
c
id
a
d
 A
n
g
u
la
r 
(R
a
d
/s
)
Respuesta de la planta lineal
Rta. del lazo interno (Velocidad)
Rta. del lazo externo (Posición)
Referencia
Figura 14: Control cascada, planta Lineal
También se realizó dicho procedimiento con la planta no lineal como se puede observar en la Figura 15,
logrando de esta manera observar que se comporta de la misma manera que la lineal y cumpliendo con
los requerimientos, como se observa en la Figura 16
Figura 15: Lazo de control en cascada (Planta no lineal)
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0 2 4 6 8 10 12
Tiempo(seg)
0
5
10
15
20
25
30
35
P
o
s
ic
ió
n
 A
n
g
u
la
r 
(R
a
d
)/
V
e
lo
c
id
a
d
 A
n
g
u
la
r 
(R
a
d
/s
)
Respuesta de la planta no lineal
Rta. del lazo interno (Velocidad)
Rta. del lazo externo (Posición)
Referencia
Figura 16: Control cascada, planta no Lineal
2.3.1. Verificación de cada Requerimiento Solicitado (Control Cascada)
Con el diagrama de bloques visto en la Figura 13, se procede a realizar diferentes análisis y pruebas gráficas
con el fin de verificar el cumplimiento de cada requerimiento estipulado para cada lazo y para lograr la solución
de este controlador, estos requerimientos son el sobre nivel porcentual igual a 0 % tanto para el lazo interno
como el lazo externo, el tiempo de estabilización igual a 0.1 seg para el lazo interno y 1 segundo para lazo
externo, también debe cumplir con el seguimiento y rechazo de señales tipo paso, ya con estos datos claros se
realizaron los siguientes análisis obteniendo que:
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo(seg)
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error de la salida interna
Figura 17: Error de la salida interna
(Planta Lineal)
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Control
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0 1 2 3 4 5 6
Tiempo(seg)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error de la salida externa
Figura 18: Error de la salida externa (Planta Lineal)
0 2 4 6 8 10 12
Tiempo(seg)
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error de la salida interna
Figura 19: Error de la salida interna
(Planta No Lineal)
20
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Control
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0 2 4 6 8 10 12
Tiempo(seg)
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error de la salida externa
Figura 20: Error de la salida externa (Planta No Lineal)
Anteriormente se observó la Figura 17 y la Figura 18 representan el error de salida interna y externa para la
planta lineal, donde se observa que el error de ambos es igual a cero, sin embargo, en el error interno, se puede
ver el pico de la entrada de la señal y de la perturbación a los cinco segundos, y en el externo, se puede visualizar
el pico generado por la entrada rampa, pero los dos segundos se estabiliza en cero nuevamente, cumpliendo
de esta manera, el error cero ante su referencia. De la misma forma, se realizaron las mismas pruebas, para la
planta no lineal, como se visualiza en las Figura 19 y la Figura 20, por lo cual se puede concluir, que aśı como
se cumple para la planta lineal, el controlador en cascada puede dar los mismos resultados con la planta no
lineal.
Se procedió a realizar el análisis para la señal de control interno y externo, tanto para la planta lineal como la
no lineal, como se visualiza en la Figura 21 y en la Figura 22 para la planta lineal y Figura 23 y en la Figura 24
para la planta no lineal:
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0 1 2 3 4 5 6
Tiempo(seg)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
S
a
tu
ra
c
io
n
Señal del control interno
Figura 21: Señal de control interno
(Planta Lineal)
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo(seg)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
S
a
tu
ra
c
io
n
Señal del control externo
Figura 22: Señal de control Externa(Planta Lineal)
Se puede visualizar, que en el caso externo, se cumple con el rango de saturación deseado, sin embargo, en
el interno, no se cumple, ya que en esta etapa de lazo interno los polos son más rápidos que en lazo interno
y por ende se da esa saturación tan grande y en el lazo externos con el controlador diseñado logra bajar la
22
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saturación, ya que estos polos son más lentos, el pico de saturación se presenta a los 5 segundo con un valor
de saturación de 18 por la velocidad de estas variables antes mencionadas:
0 2 4 6 8 10 12
Tiempo(seg)
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
S
a
tu
ra
c
io
n
Señal del control interno
Figura 23: Señal de control interno
(Planta No Lineal)
0 2 4 6 8 10 12
Tiempo(seg)
0
1
2
3
4
5
6
S
a
tu
ra
c
io
n
Señal del control externo
Figura 24: Señal de control externo (Planta No Lineal)
23
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Control
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Pero, al realizar el mismo procedimiento en la planta no lineal, como se visualiza en Figura 22 y Figura 23,
se puede ver que el lazo interno y externo cumplen con los rangos de saturación, estando el interno, variando
de forma senoidal entre -15 y -24, a causa de la función seno en el lazo interno.
2.3.2. Márgenes de fase y ganancia del sistema de control (Control Cascada)
Para este análisis de los márgenes de fase y ganancia del sistema de control (Control Cascada), se procede
a abrir el lazo de control retirando de esta manera la retroalimentación interna, ylogrando de esta manera
los Márgenes de fase y ganancia del sistema de control de lazo externo, el diagrama para esto se utilizará el
diagrama de bloques que se observa en la Figura 25:
Gci GpiGcp
Figura 25: Diagrama Lazo de control abierto, para el análisis de Fase y Ganancia
Diagrama de Bode - Control en Cascada (Lazo Externo)
Frequency (rad/s)
10-1 100 101 102 103 104 105 106
-180
-135
-90
-45
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
-150
-100
-50
0
50
100
From: Ramp2 To: Integrator2
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
linsys1
Figura 26: Márgenes de fase y ganancia del sistema de control cascada (Lazo externo)
Con este diagrama de bloques de la Figura 25, se obtiene el diagrama de márgenes de fase y ganancia de
24
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Lazo externo como se observa en la Figura 26, donde se puede observar que para el análisis de fase, la magnitud
corta en cero aproximadamente a una frecuencia de 8 rad/s, y en esta frecuencia la fase se encuentra por encima
de los -180 grados en aproximadamente -103 grados, dando a entender que su margen de fase es positivo y con
un valor aproximado de 77 grados, con esto se da entender que el sistema en dicha frecuencia es estable en
lazo cerrado y para el análisis de ganancia, se obtiene que la fase corta en -180 grados en aproximadamente
en 171 ∗ 105 rad/seg, observando un margen positiva de 129 dB dando a entender que el sistema es estable en
lazo cerrado aśı como para frecuencia altas y bajas.
3. Conclusiones
1. Tras la finalización de las pruebas con ambos controladores, se puede visualizar que los dos cumplen con
lo solicitado de forma satisfactoria, sin embargo, se pudo ver que el control RST posee la ventaja de
poder controlar el tiempo que demora el rechazo a las perturbaciones, mientras que el tiempo de rechazo
del control Cascada puede variar dependiendo si esta sufrió algún sobre paso.
2. Tras el análisis de margen de fase y ganancia realizado al control RST, se observó que el sistema de
control realizado es un sistema estable en lazo cerrado a bajas frecuencias, también se visualizó que el
margen de fase es positivo de un valor de 56 grados y el margen de ganancia también es positivo con
un valor de 13 dB dando a entender de esta manera que este sistema lograra tolerar más errores en el
modelado de la planta en márgenes de fase y de ganancia, por la robustez que este tiene.
3. Para el control Cascada se comprendió la importancia de las dinámicas de lazo interno como las de
lazo externo, dando a entender que las dinámicas de lazo abierto debe ser más rápidas que la de lazo
externo y con esto se puede asegurar que los diseños de los controladores queden más simples y lograr
de esta manera simplificar los modelos de las plantas en lazo cerrado, para que estas dinámicas no sean
dominantes y aśı simplificar el diseño de este.
4. Con el desarrollo del análisis de margen de fase y ganancia realizado al control cascada, se visualizó una
similitud con respecto al análisis del control RST, ya que el Control Cascada tiene una fase positiva
de aproximadamente 77 grados dando a entender que en frecuencia bajas es estable en lazo cerrado,
pero en frecuencias altas la magnitud tiene un margen positivo de 117 dB dando un sistema estable en
frecuencias altas y una tolerancia a errores en el modelado de la planta en frecuencia altas y bajas.
Referencias
Bravo, D., Revelo, D., and Usama, D. (2011). Ubicación de coordenadas 3d para un brazo robótico de 3 grados
de libertad mediante técnicas de visión por computador y control digital. Revista Colombiana de F́ısica,
43(1):89.
Jaimes, L. E. G. and Giraldo, M. A. (2012). Controladores avanzados en plc. Revista politécnica, 8(14):57–66.
Llácer España, J. (2018). Control en cascada de la temperatura de un reactor continuo de tanque agitado
encamisado. PhD thesis.
Nevot Cercós, J. (2000). Diseño de un controlador avanzado basado en redes neuronales para la gestión de la
mezcla aire-gasolina en un motor alternativo. Universitat Politècnica de Catalunya.
Ortiz Mejia, J. L. and Valderrama Escudero, G. (2003). Control en cascada de un intercambiador de calor.
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	Introducción
	Procedimiento y Resultados
	Modelo Lineal
	Control RST
	Verificación de cada Requerimiento Solicitado (Control RST)
	Márgenes de fase y ganancia del sistema de control (Control RST)
	Control en Cascada
	Verificación de cada Requerimiento Solicitado (Control Cascada)
	Márgenes de fase y ganancia del sistema de control (Control Cascada)
	Conclusiones