LAB_2 - Juan Felipe Martín Martínez (1)

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Universidad de San Buenaventura
Facultad de Ingenieŕıa
Programa de Ingenieŕıa Mecatrónica
Control
Clásico
2021-I
Autores:
Juan Diego Otálora Gómez
Juan David Cruz Contreras
Juan Felipe Mart́ın Mart́ınez
Informe de Laboratorio 2
Rechazo de Perturbaciones
(Modalidad Simulación)
Contenido
1. Introducción 1
2. Procedimiento y Resultados 2
2.1. Modelo Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Controlador PI Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Espectro Frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Controlador digital para controlar la velocidad angular del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5. Simulación del Sistema de control usando ecuaciones de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6. Comparación espectro de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7. Comportamiento de la velocidad del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8. Comportamiento de la velocidad del sistema de control Gc2(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9.1. Diagrama de Bode desde ref(k) aω(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9.2. Diagrama de Bode desde ζ(k) aω(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9.3. Diagrama de Bode desde e(k) aω(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9.4. Diagrama de Bode desde r(k) a u(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9.5. Diagrama de Bode desde ζ(k) a u(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. Conclusiones 34
1. Introducción
Los controladores por resonantes proporcionan el seguimiento y rechazo de señales periódicas basados en
el principio del modelo interno, en el cual se establece que para lograr el rechazo y seguimiento de una señal
el modelo generador o interno de la señal debe incluirse en el lazo de control, los resonadores corresponden a
señales sinusoidales de frecuencias y fases determinadas, este tipo de resonadores se basan en el concepto del
modelo interno, en donde se agrega una ganancia infinita en la frecuencia fundamental que se requiere seguir
o rechazar (2).
Lo dicho anteriormente se puede evidenciar en trabajo “Control digital basado en AFC de un rectificador
trifásico PWM” (3) donde en la implementación de lazo de control de corriente se encuentran con dos pro-
blemas la compensación de la amplitud y la fase nunca será perfecta puesto que el modelo de la planta no
es perfectamente conocido y a su vez los controladores lineales clásicos no pueden rechazar perturbaciones
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Control
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periódicas por eso mismo ellos añaden 4 resonadores en el lazo de control uno con frecuencia de la red (ideal-
mente 50Hz) y 3 más en los siguientes armónicos impares, dando aśı una ganancia infinita a la función de
transferencia de lazo abierto en esas frecuencias.
Por otro lado en “Diseño de un controlador para el rechazo selectivo de armónicos de tensión en un inversor
CC-CA” (Malo and Griñó) realizan un trabajo con la aplicación de “Adaptive Feed-Forward Cancellation”
(AFC) que son la misma implementación de resonadores, que es una técnica de control que permite rechazar o
atenuar, de una manera selectiva, armónicos espećıficos cuando las señales de perturbación son periódicas, luego
de realizar pruebas y toma de resultados concluyen que la aplicación de AFC para el rechazo de perturbaciones
periódicas a la salida de un sistema es factible cuando, tanto referencias a seguir, como las perturbaciones a
rechazar son frecuencia fija.
Al igual que el controlador PI, el controlador resonante tienen un problema, el cual consiste en la degradación
de su rendimiento conforme la frecuencia del voltaje suministrado por la red comercial varié, ya que al alejarse
de los 60hz se aleja del pico de ganancia, al ocurrir esto ya no se cumpliŕıa con el principio del modelo
interno, y no se podŕıa rechazar o seguir la señal a una frecuencia diferente de los resonadores agregados
al controlado, no obstante existen metodoloǵıas que permiten compensar este problema como por ejemplo
diseñar un controlador resonante con frecuencia adaptativa, el cual calcula en ĺınea los diferentes parámetros
del controlador basados en una estimación de frecuencia, dicha estimación es fácil de implementar gracias al
PLL agregado para generar a señal de referencia que debe seguir la corriente de entrada, (2), los sistemas
PLL permiten estimar la frecuencia de la señal de voltaje y generar una nueva señal de referencia totalmente
sinusoidal y en fase con el voltaje, garantizando que la señal de referencia del sistema de control de corriente
siga la señal necesaria para conseguir un alto factor de potencia (Voltaje y corriente totalmente en fase).
En este laboratorio se realizó un controlador PI digital para una planta estipulada la cual como objetivo tiene
el control o regulación de la velocidad angular del sistema a un valor o trayectoria deseada, rechazando la
perturbación a la que esté sometido (Tipo paso o armónica), con el uso de MATLAB se realizaron diferentes
pruebas para corroborar el correcto funcionamiento del sistema, también si el sistema rechazaba las pertur-
baciones sometidas durante el desarrollo de este, y también se observa el cumplimiento de los requerimientos
del sistema, se realizaron análisis de diagramas de Bode para saber el comportamiento de la fase y la mag-
nitud tanto para la referencia, la salida del sistema en lazo cerrado, la salida del controlador, el error y la
perturbación.
2. Procedimiento y Resultados
Para este segundo laboratorio (2) se pidió analizar un sistema dinámico, que es representado por su modelo
matemático:
θ̈(t) = ku(t)− bθ̇(t)− a sin(θ)
De este modelo matemático se dio entender que θ(t) es la posición angular del sistema en radianes, y u(t)
es la entrada de control con rango [−4000; +4000]. Con esta información se procede a cumplir el objetivo
de control principal, el cual es regular la velocidad angular del sistema a un valor deseado, rechazando la
perturbación a la que se encuentra sometido. El valor de los parámetros anteriormente nombrados de la planta
son los siguientes:
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Clásico
2021-I
k = 0.0355
b = 0.6111
a = 83.7325
Con los datos dados, y al analizar el modelo matemático visto anteriormente, se dedujo que el sistema
presente es un sistema no lineal. En la Figura 1 se visualiza el diagrama del modelo no lineal, el cual se debe
linealizar para dar solución a las distintas incógnitas dadas. La linealización nos permitió realizar el control de
velocidad del sistema.
sin
1
U 1
Posición
2
Velocidad
Figura 1: Diagrama de Bloques de la Planta no lineal.
2.1. Modelo Lineal
Pasos ejecutados para la linealización de la planta:
Ya con el modelo matemático en función de θ̈(t), se procede a reemplazar los datos dados, dando la
siguiente función f.
f = θ̈(t) = 0.0355u(t)− 0.6111θ̇(t)− 83.7325 sin(θ)
Ya con los distintos datos en la ecuación se procedió a realizar la derivada parcial de la velocidad θ̇(t) y
de la entrada u(t), dando como resultado.
θ̇ → δf
δθ̇(t)
= −0.6111 (1)
u(t)→ δf
δu(t)
= 0.0355 (2)
3
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Con la Ecuación 1 y Ecuación 2, se procedió a aplicar la transformada de Laplace a los datos encontrados,
dando como resultado el sistema lineal:
∆θ̇ = [−0.6111]
[
θ̇
]
+ [0.0355] ∆u
sθ̇ = −0.6111θ̇ + 0.0355u
θ̇(s+0.6111) = 0.0355u
θ̇
u
=
0.0355
s+ 0.6111
(3)
Ya con el sistema linealizado, como se ve en la Ecuación 3, se buscó el valor de la entrada y para esto se
selecciona una referencia de velocidad de 20 rad/s y se realizan las siguientes operaciones:
θ̈(t) = 0.0355u(t)− 0.6111θ̇(t)− 83.7325 sin(θ)
0 = 0.0355u(t)− 0.6111θ̇(t)− 83.7325 sin(θ)
0 = 0.0355u(t)− 0.6111 ∗ 20rad/s− 83.7325 sin(0)
u(t) =
0.6111 ∗ 20 + 83.7325 ∗ sin(0)
0.0355
u(t) = 344.28169
Habiendo obtenido la función de transferencia del sistema lineal y también el valor de la entrada, se procedió
a realizar el control de velocidad (lineal).
Para el proceso de comparación entre el sistema lineal y no lineal de la velocidad, se procedió a realizar el
diagrama de bloques de la Figura 2, en la Figura 3 se observa la comparación gráfica del modelo lineal con el
modelo no lineal.
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Figura 2: Comparación del modelo lineal con el modelo no lineal con una referencia de velocidad de 20 rad/s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo(seg)
0
5
10
15
20
25
V
e
lo
c
id
a
d
 (
R
a
d
/s
)
Comparación Sistema lineal y no lineal
Sis. No Lineal
Sis. Lineal
Figura 3: Comparación gráfica del modelo lineal con el modelo no lineal con una referencia de velocidad de
20 rad/s
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2.2. Controlador PI Digital
Se diseña un controlador PI, haciendo uso del método de cancelación polo/cero, el cual debe cumplir los
siguientes requerimientos de lazo cerrado:
Error permanente cero ante entrada paso.).
Sobre nivel porcentual de 0 %.
Tiempo de estabilización de 1.0 seg
Ya con los requerimientos especificados, se procederá a encontrar el polo deseado, además se discretiza la
planta, tomando un tiempo de muestreo T=0.01.
Polo deseado.
τ =
ts
4
τ =
1
4
→ 0.25
S1 = −
1
0.25
→ S1 = −4
Discretización de la planta con un tiempo de muestreo T=0.01.
b
(s+ a)
→ 1− e
−b∗T
z − e−a∗T
(Dizcretización)
Siendo: b = 0.0355 y a = 0.6111, se reemplazan en la función anterior, dando como resultado:
PL(z) =
1− e−b∗T
z − e−a∗T
PL(z) =
1− e−0.0355∗0.01
z − e−0.6111∗0.01
PL(z) =
0.00035493
z − 0.993907
(4)
Ya con la planta discretizada, como se ve en la Ecuación 4, se procede a realizar el controlador, el cual da
como resultado:
Gc1(z) =
(z − 0.993907)Kc
z − 1
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Para encontrar el valor de Kc, se procede a cerrar el lazo y realizar álgebra de bloques entre la planta y el
controlador propuesto, dando como resultado:
y(z)
r(z)
= Glc1(z) =
0.00035493
z − 0.993907
∗ (z − 0.993907)Kc
z − 1
y(z)
r(z)
= Glc1(z) =
0.00035493 ∗Kc
z − 1 + 0.00035493 ∗Kc
Polos deseados → z = e−S1∗T , donde z = e−4∗0.01 → 0.9607894
z − 0.9607894 = z − 1 + 0.00035493 ∗Kc
Kc = 110.474178
Ya encontrado el valor de Kc se tiene que el controlador que sera implementado es igual a:
Gc1(z) =
(z − 0.993907) ∗ 110.474178
z − 1
Gc1(z) =
110.474178z − 109.80105883
z − 1
(5)
Con la planta discretizada y con el controlador que será implementado, el cual se muestra en la Ecuación 5,
se procede a realizar el diagrama de bloques con el fin de ver el comportamiento gráfico del sistema.
Figura 4: Lazo cerrado de la planta lineal
Con el diagrama de bloques que se ve en la Figura 4, el cual es el lazo cerrado de la planta lineal, se logra
comprobar que el controlador cumple los requisitos planteados anteriormente, es decir, tiempo de estabilización
de 1 segundo y sobrepaso del 0 %, como se ve en la Figura 5 y en la Figura 6
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Tiempo(seg)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
V
e
lo
c
id
a
d
 (
R
a
d
/s
)
Señal del controlador digital
Figura 5: Señal de lazo cerrado de la planta lineal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo(seg)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error del controlador digital
Figura 6: Error de lazo cerrado de la planta lineal
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2.3. Espectro Frecuencial
Se procedió a realizar el diagrama de bloques del lazo cerrado de la planta no lineal, como se ve en la
Figura 7, con el fin de ver el comportamiento de la señal con la perturbación (83.7325 rad/s), la cual se
implementa como se ve en la Figura 8
Figura 7: Lazo cerrado de la planta no lineal
sin
1
U 1
Posición
2
Velocidad
Figura 8: Planta no lineal con perturbación
Se logra observar gráficamente el comportamiento que el sistema llega a tener gracias a la perturbación, la
cual se muestra en la Figura 9
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0 5 10 15
Tiempo(seg)
0
5
10
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25
30
V
e
lo
c
id
a
d
 (
R
a
d
/s
)
Señal del sistema con perturbación
Respuesta del sistema
Referencia
Figura 9: Señal del sistema con perturbación
Se procedió a eliminar el nivel DC de la señal, para poder realizar el análisis del espectro frecuencia. Para
esto se resta otra entrada tipo paso del tamaño a la referencia como se muestra en la Figura 10, este bloque nos
muestra el comportamiento gráfico que tiene la señal eliminando el nivel DC como se muestra en la Figura 11.
Figura 10: Diagrama de bloques eliminando el nivel DC
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0 5 10 15
Tiempo(seg)
-5
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5
10
15
20
25
30
V
e
lo
c
id
a
d
 (
R
a
d
/s
)
Señal del sistema con perturbación
Respuesta del sistema
Referencia
Figura 11: Señal del sistema eliminando el nivel DC
Por medio del siguiente código y la señal vista en la Figura 11, se pudo obtener el espectro de la frecuencia
vista en la Figura 12, con ĺımite desde 6.001 seg hasta 15 seg, zona en la cual, la señal senoidal se encuentra
estable, logrando de esta manera encontrar el valor de la frecuencia ωp, la cual se encuentra en Hz. En la
Figura 13 se ve el valor de frecuencia hallado.
1 clc;
2 Fs=100; T=0.01;
3 datos=out.senal dc(601:1501,1:1);
4 vel=datos(1:900);
5 in1=vel(1:900);
6 t=(0:T:(length(vel)-1)*T);
7 subplot(3,1,1),plot(t,vel),ylim([0 5]),xlim([0 9]),grid
8 xlabel('Tiempo(s)'),ylabel('Velocidad(rev/s)')
9 window=2ˆ9;noverlap=2ˆ8;nff=3500;
10 y1=in1-mean(in1);
11 [yy1,f1]=pwelch(y1,window,noverlap,nff,Fs,'onesided');
12 subplot(3,1,2)
13 plot(f1,yy1,'r'),legend('Control PI')
14 set(gca,'XScale','linear'),set(gca,'YScale','linear'),grid
15 xlim([0 30])
16 xlabel('Frecuency(Hz)'),ylabel('Spectral density')
17 subplot(3,1,3)
18 plot(f1,yy1,'r'),legend('Control PI')
19 set(gca,'XScale','linear'),set(gca,'YScale','log'),grid
20 xlim([0 30])
21 xlabel('Frecuency(Hz)'),ylabel('Spectral density')
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tiempo(s)
-5
0
5
V
e
lo
c
id
a
d
(r
e
v
/s
)
0 5 10 15 20 25 30
Frecuency(Hz)
0
20
S
p
e
c
tr
a
l 
d
e
n
s
it
y
Control PI
0 5 10 15 20 25 30
Frecuency(Hz)
100
S
p
e
c
tr
a
l 
d
e
n
s
it
y
Control PI
Figura 12: Espectro de la frecuencia
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tiempo(s)
-5
0
5
V
e
lo
c
id
a
d
(r
e
v
/s
)
2.5 3 3.5 4
Frecuency(Hz)
0
20
S
p
e
c
tr
a
l 
d
e
n
s
it
y
Control PI
0 5 10 15 20 25 30
Frecuency(Hz)
100
S
p
e
c
tr
a
l 
d
e
n
s
it
y
Control PI
X 3.2
Y 31.72
Figura 13: Valor de ωp
Como se dijo anteriormente el dato arrojado por la Figura 13 de ωp se encuentra en Henrios, sin embargo
se necesita realizar una conversión ya que este valor se trabajara en radianes por segundo12
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ωp = 3.2 [Hz]→ [rad/s]
ωp = 3.2 [Hz] ∗ 2π
ωp = 20.10619296 [rad/s]
2.4. Controlador digital para controlar la velocidad angular del sistema
Para la solución de este punto se requiere cumplir los siguientes requerimientos en lazo cerrado:
Error de posición cero ante entrada de 20 rad/s
Rechazo de perturbaciones tipo paso a la entrada de la planta.
SP = 0 y ts = 1seg
Rechazo de perturbación armónica de frecuencia ωp = 20.10619296 [rad/s]
Con lo requerimiento claros del problema, se procede a realizar un controlador por el método cancelación
de Polo/Cero, dando como resultado el controlador de la Ecuación 6
GC1(z) =
(z − 0.993907)(k1z2 + k2z + k3)
(z − 1)(z2 − 2 ∗ cos(ωp ∗ T )z + 1)
(6)
Se procede a cerrar el lazo, usando el controlador propuesto visto y la planta de la Ecuación 4. Realizando
álgebra de bloques se obtiene:
GLC2(z) =
(z − 0.993907)(k1z2 + k2z + k3)
(z − 1)(z2 − 2 ∗ cos(ωp ∗ T )z + 1)
∗ 0.00035493
(z − 0.993907)
GLC2(z) =
0.00035493(k1z
2 + k2z + k3)
z3 − 2 ∗ cos(20.10619296 ∗ 0.01)z2 + z − z2 + 2 ∗ cos(20.10619296 ∗ 0.01)z − 1 + 0.00035493(k1z2 + k2z + k3)
GLC2(z) =
0.00035493(k1z
2 + k2z + k3)
z3 − 1.9597101062 + z − z2 + 1.959710106z − 1 + 0.00035493(k1z2 + k2z + k3)
z3 − 1.959710106z2 + z − z2 + 1.959710106z − 1 + 0.00035493(k1z2 + k2z + k3) = 0
z3 + (−1.959710106− 1 + 0.00035493k1)z2 + (1 + 1.959710106 + 0.00035493k2)z + (−1 + 0.00035493k3) = 0
Ya con la ecuación caracteŕıstica de lazo cerrado, se procede a encontrar los distintos polos deseados. Para
esto se toma como base el polo hallado en la creación del primer controlador digital visto en la sección 2.2.
Por medio del método gráfico y conociendo que el segundo y tercer polo deben ser al menos 5 veces mayor que
el primer polo, se hace uso del código mostrado, se buscan los polos en Laplace que cumplan con el tiempo de
estabilización deseado:
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1 T=0.01;
2 z1=exp(S1*T)
3 z2=exp(S2*T)
4 z3=exp(S3*T)
5 Gzdes=zpk([],[z1 z2 z3],1,T);
6 step(Gzdes)
Se obtuvieron los siguiente polos en Laplace y se verificó que los polos deseados en S cumplen las 10
muestras en el transitorio:
S1 = −4.5 S2 = −20 S3 = −21
El segundo polo es 4.44 veces el primero, ya que se procuró que el primer polo además de cumplir el tiempo
de estabilización deseado, fuera lo suficientemente rápido para dejar los otros dos polos en el valor mostrado.
Por medio del código, se calcula cada polo en Z, dando los siguientes valores:
z1 = e
−4.5∗0.01 → 0.9559974818331
z2 = e
−20∗0.01 → 0.818730753077982
z3 = e
−21∗0.01 → 0.810584245970187
Ya con los polos deseados en Z, se procede a realizar la ecuación caracteŕıstica deseada, con el fin de
encontrar el valor de k1 k2 y k3.
Denominador
z3+(−1.959710106−1+0.00035493k1)z2+(1+1.959710106+0.00035493k2)z+(−1+0.00035493k3) = 0
Polos
(z − 0.9559974818331)(z − 0.818730753077982)(z − 0.810584245970187)
z3 − 2.58531248088127z2 + 2.22127128633927z − 0.634447967948228
Valores de k1 k2 y k3.
−2.58531248088127 = −1.959710106− 1 + 0.00035493k1
2.22127128633927 = 1 + 1.959710106 + 0.00035493k2
−0.634447967948228 = −1 + 0.00035493k3
k1 = 1054.84919595
k2 = −2080.51959445
k3 = 1029.92711816
GLC2(z) =
0.00035493(k1z
2 + k2z + k3)
z3 − 1.959710106z2 + z − z2 + 1.959710106z − 1 + 0.00035493(k1z2 + k2z + k3)
GLC2(z) =
0.3743976251z2 − 0.7384388197z + 0.365552032
z3 − 2.58531248z2 + 2.22127128z − 0.63444796
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Con el valor de las ganancias (K), obtenemos el controlador que será utilizado. Este será puesto en el lazo
d+e control junto a la planta, el cual se ve en la Figura 14. Reemplazando los datos en la Ecuación 6 obtenemos
que el controlador utilizado será igual a:
Gc2(z) =
(z − 0.993907)(1054.84919595z2 − 2080.51959445z + 1029.92711816)
(z − 1)(z2 − 2 ∗ cos(20.10619296 ∗ 0.01)z + 1)
Gc(z) =
1054.84919595z3 − 3128.94159424z2 + 3097.77010672z − 1023.65177222
z3 − 2.959710106z2 + 2.959710106z − 1
(7)
Figura 14: Lazo de control con perturbación y planta lineal
El lazo de control visto en la Figura 14, nos ayuda a observar el comportamiento de la Figura 15, donde se
observa la señal del sistema con perturbación rechazada, y el cumplimiento de los requerimientos propuesto,
los cuales son: estabilizar en 1 segundo, sobrepaso del 0 % y rechazo de una perturbación una armónica de 20
rad/s.
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Tiempo(seg)
0
5
10
15
20
25
V
e
lo
c
id
a
d
 (
R
a
d
/s
)
Señal del sistema con perturbación rechazada
Respuesta del sistema
Referencia
Figura 15: Señal del sistema con perturbación rechazada
6 8 10 12 14 16
Tiempo(seg)
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
V
e
lo
c
id
a
d
 (
R
a
d
/s
)
Señal del sistema con perturbación rechazada
Respuesta del sistema
Referencia
Figura 16: Señal Perturbada
En la Figura 16 se observa la perturbación de una entrada paso, la cual fue implementada a los 5 segundos
con un paso de valor 10. Las perturbaciones se observan en la Figura 17. En la Figura 18 se observa el error
del controlador digital el cual da como resultado el error que se deseaba, el cual es error cero ante entrada
paso. Con esto se observa que el controlador cumple con los requerimientos propuestos para este sistema.
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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo(seg)
-1000
-500
0
500
1000
1500
V
e
lo
c
id
a
d
 (
R
a
d
/s
)
Señal de perturbación
Figura 17: Perturbación entrada paso y armónica
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Tiempo(seg)
-5
0
5
10
15
20
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error del controlador digital
Figura 18: Error del controlador digital
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Al verificar que en el sistema lineal se cumplen los requerimientos, se precede a implementar el mismo
controlador, a la planta no lineal, como se ve en la Figura 19.
Figura 19: Lazo de control con planta no lineal
En la Figura 20, se puede visualizar la respuesta del sistema, al aplicar una entrada paso de 15 a 20 a los
8 segundos, en donde se puede ver un fallo en el rechazo de la perturbación armónica, la cual es generada
por diseñar a una frecuencia mayor por unos decimales a la frecuencia real de la perturbación, Además, al
comienzo se ve un aumento a causa de una necesidad de vencer a la gravedad antes de poder estabilizarse. Y
en la Figura 21 se puede visualizar el error cero del sistema ante entrada paso, en la cual se puede ver una
cáıda por debajo, la cual puede ser causada por la misma razón del aumento al comienzo de la señal de salida,
además se visualiza el fallo en el rechazo y luego su estabilización en cero.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo(seg)
-5
0
5
10
15
20
25
V
e
lo
c
id
a
d
 (
R
a
d
/s
)
Respuesta de la planta no lineal
Figura 20: Respuesta del sistema no lineal
18
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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo(seg)
-10
-5
0
5
10
15
20
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error del sistema no lineal
Figura 21: Error del sistema no lineal
2.5. Simulación del Sistema de control usando ecuaciones de diferencias
Para la solución de este punto se procede a realizar la discretización del controlador visto en la Ecuación 7,
para esto se debe realizar la siguientes operaciones, dando como resultado:
u(z)
e(z)
==
1054.84919595z3 − 3128.94159424z2+ 3097.77010672z − 1023.65177222
z3 − 2.959710106z2 + 2.959710106z − 1
u(z)(z3−2.959710106z2+2.959710106z−1) = e(z)(1054.84919595z3−3128.94159424z2+3097.77010672z−1023.65177222)
z3u(z)− 2.959710106z2u(z) + 2.959710106zu(z)− u(z) =
= 1054.84919595z3e(z)− 3128.94159424z2e(z) + 3097.77010672ze(z)− 1023.65177222e(z)
Siendo:
u(k + 3)− 2.959710106u(k + 2) + 2.959710106u(k + 1)− u(k) =
= 1054.84919595e(k + 3)− 3128.94159424e(k + 2) + 3097.77010672e(k + 1)− 1023.65177222e(k)
u(k + 3) = 2.959710106u(k + 2)− 2.959710106u(k + 1) + u(k)+
+1054.84919595e(k + 3)− 3128.94159424e(k + 2) + 3097.77010672e(k + 1)− 1023.65177222e(k)
El resultado final de la discretización:
u(k) = 2.959710106u(k − 1)− 2.959710106u(k − 2) + u(k − 3)+
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+1054.84919595e(k)− 3128.94159424e(k − 1) + 3097.77010672e(k − 2)− 1023.65177222e(k − 3)
Con el controlador discretizado, se procede a realizar el código de Matlab que nos ayudará para verificar
el comportamiento de la señal. Con este código se obtiene el bloque de función que hará de controlador para
la planta no lineal. Este diagrama se visualiza en la Figura 22.
1 function Uact=fcn(Uant,Uantt,Uanttt,Eact,Eant,Eantt,Eanttt)
2 Uact=2.959710106*Uant-2.959710106*Uantt+Uanttt+1054.84919595*->
3 ->Eact-3128.94159424*Eant+3097.77010672*Eantt-1023.65177222*Eanttt
Uant
Uantt
Uanttt
Eact
Eant
Eantt
Eanttt
Uact
Z-1
Z-2
Z-3
Z-1
Z-2
Z-3
Figura 22: Lazo de control de ecuaciones de diferencias con la planta no lineal
Con el diagrama de bloques visto en la Figura 22, se visualiza el comportamiento de la señal del sistema
de Ecuaciones de Diferencias con la perturbación senoidal interna de la planta usada en la sección 2.3, la cual
es rechazada, como se observa en la Figura 23 y también podemos ver el error de este controlador digital en
la Figura 24. Con estas gráficas podemos observar que si se cumplen los requerimientos propuestos como lo es
el error cero ante entrada paso, también cumple con la estabilización a 1 segundo, y su igualdad respecto al
sistema visto en la Figura 19.
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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo(seg)
-5
0
5
10
15
20
25
V
e
lo
c
id
a
d
 (
R
a
d
/s
)
Señal del sistema de E.D con perturbación rechazada
Respuesta del sistema
Referencia
Figura 23: Respuesta del sistema de E.D con perturbación rechazada
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo(seg)
-10
-5
0
5
10
15
20
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error del sistema de EC
Figura 24: Error del sistema de E.D
21
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Al mismo diagrama de bloques visto en la Figura 22 se le añadió una perturbación, la misma usada en el
diagrama de la Figura 14, como se puede observar en la Figura 25. Se puede observar que el sistema sigue
cumpliendo con los requerimientos solicitados, mostrando que la perturbación y su rechazo, como se ve en la
Figura 26, además se obtiene el error del sistema como se puede observar en la Figura 27, mostrando que hasta
en esta situación, aún puede cumplir el error cero ante entrada paso.
Uant
Uantt
Uanttt
Eact
Eant
Eantt
Eanttt
Uact
Z-1
Z-2
Z-3
Z-1
Z-2
Z-3
Figura 25: Lazo de control de E.D con la planta no lineal y una perturbación externa
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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo(seg)
-5
0
5
10
15
20
25
V
e
lo
c
id
a
d
 (
R
a
d
/s
)
Señal del sistema de E.D con perturbación rechazada
Respuesta del sistema
Referencia
Figura 26: Señal del sistema de E.D con perturbación rechazada y perturbación externa
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo(seg)
-10
-5
0
5
10
15
20
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error del sistema de EC
Figura 27: Error del sistema de ED con perturbación externa
23
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2.6. Comparación espectro de frecuencia
Se procede a realizar la comparación del espectro de frecuencia de los siguientes diagramas de bloques,
que se puede observar en la Figura 28, donde se pueden observar el controlador con rechazo de perturbación
y el controlador sin rechazo de perturbación. Con esta comparación podemos obtener tanto la gráfica de la
Figura 29 como la de la Figura 30.
Controlador con
rechazo de
perturbación
Controlador sin
rechazo de
perturbación
Figura 28: Comparación espectro de frecuencia
De la comparación entre la Figura 29 y de la Figura 12, podemos concluir que entre el espectro frecuencial
para el controlador con rechazo de perturbación y el controlador sin rechazo de perturbación mantienen el
mismo valor de la frecuencia (wp = 3.2) hallado en la sección 2.3, sin embargo, la densidad espectral obtenida
en la Figura 30 es igual a 0.00129289, a diferencia del anterior, que era de 31.72. La razón por la que esta no
llegaŕıa al valor cero, es porque al tomar el valor de la frecuencia, se tomó uno con unos decimales por encima
del requerido, además, el diseño del controlador puede ser afectado por diversos factores, un ejemplo claro,
seŕıa la toma de decimales, lo cual evitaŕıa que sea un controlador perfecto, y logre rechazar la perturbación
por completo, pero si atenuarla lo suficiente.
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tiempo(s)
-0.05
0
0.05
V
e
lo
c
id
a
d
(r
e
v
/s
)
0 5 10 15 20 25 30
Frecuency(Hz)
0
0.5
1
S
p
e
c
tr
a
l 
d
e
n
s
it
y 10
-3
Control PI
0 5 10 15 20 25 30
Frecuency(Hz)
10-10
10-5
S
p
e
c
tr
a
l 
d
e
n
s
it
y
Control PI
Figura 29: Espectro de la frecuencia del sistema con rechazo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tiempo(s)
-0.05
0
0.05
V
e
lo
c
id
a
d
(r
e
v
/s
)
2.5 3 3.5 4 4.5
Frecuency(Hz)
0
0.5
1
S
p
e
c
tr
a
l 
d
e
n
s
it
y 10
-3
Control PI
0 5 10 15 20 25 30
Frecuency(Hz)
10-10
10-5
S
p
e
c
tr
a
l 
d
e
n
s
it
y
Control PI
X 3.2
Y 0.00129289
Figura 30: Valor máximo del espectro de la frecuencia del sistema con rechazo
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2.7. Comportamiento de la velocidad del motor
Para el análisis del comportamiento de la velocidad del motor, se realizaron diferentes cambios con respecto
a la velocidad utilizada, siendo la velocidad base de 20 rad/s y reduciendo esta velocidad a 5 y 10 rad/s y se
le aumento 5 y 10 rad/s, obteniendo el diagrama de Bode que se observa en la Figura 31.
Diagrama de Bode del controlador con rechazo
Frequency (rad/s)
10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 102
-540
-360
-180
0
180
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
From: Step9 To: Subsystem2/2
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
linsys1
Figura 31: Diagrama de Bode - Comportamiento de la velocidad del motor
El diagrama de Bode visto en la Figura 31 nos indica que al aplicar la referencia dada en el Bode, desde
su inicio 10−15rad/s hasta 10−12rad/, se tiene una amplificación en la salida. A partir de 10−12rad/ la salida
no sufre ningún tipo de amplificación ni atenuación, después de 10−1rad/ la salida sufre de una amplificación
la cual sufre una atenuación aproximadamente en 101rad/, demostrándonos que la referencia ya no tiene un
sobre paso.
De esta manera, durante el cambio de referencia en 101rad/ hasta 102rad/ se tiene que la salida se va a atenuar,
lo cual significa que se reducirá el sobrepaso, sin embargo aumenta el desfase. Esto se puede comprobar, al
simular usando como entrada, el valor dado en 102rad/, como se ve en la Figura32, y el desfase se ve como
el aumento de la frecuencia en la señal senoidal y el cambio en la amplitud de esta.
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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo(seg)
0
20
40
60
80
100
120
V
e
lo
c
id
a
d
 (
R
a
d
/s
)
Señal del sistema con entrada 100
Respuesta del sistema
Figura 32: Señal del sistema con entrada 100
Con el diagrama de Bode podemos observar la amplificación de la salida, a partir de una referencia de
5rad/, la cual lleva al pico más alto y al sobre paso más alto de la salida. La pendiente de esta amplificación
es igual a:
m =
y2 − y1
x2 − x1
m =
5.9333− (−6.42383)
7.76568− 6.81188
m = 12.95568
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2.8. Comportamiento de la velocidad del sistema de control Gc2(z)
Para el análisis del Comportamiento de la velocidad del sistema de control Gc2(z) por medio del diagrama
de bloque que se observa en la Figura 33, el cual nos entrega el diagrama de Bode que se observa en la Figura 35
y en la Figura 34 se observa el espectro de frecuencia, con los cuales se realizará el análisis pertinente.
Controlador con
rechazo de
perturbación
Controlador sin
rechazo de
perturbación
Figura 33: Comparación espectro de frecuencia
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tiempo(s)
-0.05
0
0.05
V
e
lo
c
id
a
d
(r
e
v
/s
)
0 5 10 15 20 25 30
Frecuency(Hz)
0
0.5
1
S
p
e
c
tr
a
l 
d
e
n
s
it
y 10
-3
Control PI
0 5 10 15 20 25 30
Frecuency(Hz)
10-10
10-5
S
p
e
c
tr
a
l 
d
e
n
s
it
y
Control PI
Figura 34: Espectro de la frecuencia
28
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Diagrama de Bode del controlador con rechazo
Frequency (rad/s)
10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 102
-540
-360
-180
0
180
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
From: Step9 To: Subsystem2/2
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
linsys1
Figura 35: Diagrama de Bode - Comportamiento de la velocidad del motor
Por medio del diagrama de Bode, se puede visualizar que al cambiar el valor de la referencia, se genera un
cambio de fase, que provocaŕıa, un cambio en la frecuencia. Este cambio afectaŕıa al controlador, ya que este
fue diseñado para rechazar una perturbación de ωp = 20.10619296 [rad/s](señales armónicas). Esta afectación
se puede visualizar en la Figura 32, en la cual el sistema tiene una entrada paso de 100.
29
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2.9. Diagramas de Bode
Para dar solución y análisis a los distintos diagramas de Bode, se procede a utilizar el diagrama de bloques
que se puede observa en la Figura 36, este diagrama de bloques es el lazo de control utilizado en la sección 2.4.
ref e
zita
u w
Figura 36: Lazo de control de la sección 2.4
2.9.1. Diagrama de Bode desde ref(k) aω(k)
El diagrama de Bode obtenido desde la ref(k) aω(k) se visualiza en la Figura 37
Diagrama de Bode de ref(k) a w(k)
Frequency (rad/s)
10-1 100 101 102 103
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
-15
-10
-5
0
From: Step1 To: Discrete Transfer Fcn7
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
linsys1
Figura 37: Bode desde ref(k) aω(k)
30
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En este diagrama de Bode que va desde ref(k) aω(k) se observa que al inicio la salida no sufre de amplifica-
ción pero si una leve atenuación, en un 1rad/s la salida sufre una atención muy grande la cual lleva al pico más
alto de atenuación en aproximadamente 6.45727rad/s, esto significa que en este momento tiene un sobre paso
muy pequeño, luego la salida logra tener una amplificación desde este puto anteriormente mencionado y logra
llegar a su pico más alto de amplificación el cual está en aproximadamente 24.4234rad/s esto nos indica que la
salida en este puto tiene un sobrepaso inicial, luego de su amplificación la salida sufre de nuevo una atenuación
la cual se da en aproximadamente 38.8941rad/s la cual llegara hasta 314.159rad/s, también podemos observar
que la salida sufre un pequeño retraso de 0◦ a − 45◦ y un adelanto desde −45◦ hasta aproximadamente 45◦.
2.9.2. Diagrama de Bode desde ζ(k) aω(k)
Utilizando el lazo de control visto anteriormente, se obtiene el siguiente diagrama de control donde se
observa el diagrama de Bode desde ζ(k) aω(k) esta se visualiza en la Figura 38.
Frequency (rad/s)
10-2 10-1 100 101 102 103
-360
-180
0
180
360
540
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
-200
-150
-100
-50
From: Sum5 To: Discrete Transfer Fcn7
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
linsys1
Figura 38: Bode desde ζ(k) aω(k)
Con este diagrama de Bode el cual va desde ζ(k) aω(k) se puede observar que la salida sufre de un atraso,
siendo el principal un pequeño atraso desde 449◦ − 189◦ dando como valor del atraso 260◦, sin embargo
en la frecuencia de 20.1 a 20.3 rad/s no sufre de ningún desfase y ninguna amplificación, pero si sufre una
atenuación, ya que la magnitud llega a −203DB, esto quiere decir que rechazará la perturbación de la frecuencia
seleccionada, la cual es ωp = 20.10619296 [rad/s]. A partir de aproximadamente 20.3 rad/s el sistema vuelve
a presentar una amplificación como la que obtuvo al inicio de la frecuencia.
2.9.3. Diagrama de Bode desde e(k) aω(k)
Se procede a obtener el diagrama de Bode desde e(k) aω(k), el cual se observa en la Figura 40. Este
diagrama se obtiene con el lazo de control que se observa en la Figura 39, ya que este se debe obtener con un
sistema de lazo abierto, y aśı obtener el diagrama de Bode.
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Figura 39: Lazo de control de la sección 2.4
Diagrama de Bode e(k) a w(k)
Frequency (rad/s)
10-1 100 101 102 103
-450
-360
-270
-180
-90
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
-50
0
50
100
150
From: Step9 To: Discrete Transfer Fcn7
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
linsys1
Figura 40: Bode desde e(k) aω(k)
Visto el Diagrama de Bode desde e(k) aω(k), se puede observar que nuestro sistema tiene un desfase de
−90◦, lo cual hace referencia que se posee una integral. Esto se puede identificar en la pendiente que se ve
en la magnitud, la cual tiene un valor de 36.3−11.30.0576−0.999 = 26.5561929, esto quiere decir que hay un polo en el
controlador, lo cual es correcto, ya que se hizo uso de uno para rechazar la perturbación de entrada paso.
También podemos observar que desde aproximadamente 10rad/s sufre una amplificación la cual tiene un
valor de 148 + 12.2(DB) = 160.2DB esta amplificación señalada muestra el sobre paso más alto que tendrá
esta salida, la salida también sufre de una leve atenuación desde su inicio hasta aproximadamente 10rad/s que
es cuando esta se amplifica y vuelve a sufrir de una atenuación en aproximadamente 10.5rad/s hasta su final.
2.9.4. Diagrama de Bode desde r(k) a u(k)
El diagrama de Bode desde r(k) a u(k), se puede visualizar en la Figura 41.
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Diagrama de Bode de r(k) a u(k)
Frequency (rad/s)
10-2 10-1 100 101 102 103
-45
0
45
90
135
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
20
30
40
50
60
70
From: Step1 To: Sum6
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
linsys1
Figura 41: Bode desde r(k) a u(k)
De este diagrama podemos observar que desde la r(k) a u(k), se visualiza una ganancia contante de 30DB
el cual tiene un valor de 31.62 en magnitud absoluta desde frecuencias de 10−2 a 10−1. También se ve, que
hasta una frecuencia igual de 314rad/s la señal va a ir sufriendo un adelanto respecto a la referencia, con un
máximo de −127◦.
La salida de este controladorpresenta una pequeña atenuación en aproximadamente 3rad/s y luego este
logra tener una amplificación hasta los 60DB el cual tiene un valor de 1000 en magnitud absoluta, esto se puede
deber a la magnitud que se le aplicó a la perturbación armónica, la cual es de 1000, donde nos muestra el sobre
paso más grande de esta salida del controlador, esta magnitud se mantiene hasta el final de su visualización.
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2.9.5. Diagrama de Bode desde ζ(k) a u(k)
El diagrama de Bode que sera analizado desde ζ(k) a u(k) se visualiza en la Figura 42.
Frequency (rad/s)
10-1 100 101 102 103
0
45
90
135
180
225
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
-15
-10
-5
0
From: Sum5 To: Discrete Transfer Fcn6
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
linsys1
Figura 42: Bode desde ζ(k) a u(k)
Con el diagrama de Bode que será analizado desde ζ(k) a u(k), Se puede ver que la señal de salida, tendrá
ganancia cero, cuando esta esté avanzada en 90◦, también podemos observar que presenta una atenuación leve
a sus inicios la cual llegara a tener una magnitud igual a aproximadamente 14.8DB, la cual tiene un valor de
0.181970 en magnitud absoluta, aproximadamente a los 8rad/s esta presenta una amplificación volviendo a su
magnitud inicial la cual es 0DB, la salida del controlador en la fase tiene un leve atraso de 180◦− 135◦ el cual
es igual a 45◦, aproximadamente en 6rad/s este sufre de un adelanto el cual llegara a tener el valor mas alto
que es aproximadamente 210◦.
3. Conclusiones
1. Tras el análisis y la solución del laboratorio 2, se comprendió que con el diagrama de lazo cerrado de la
planta lineal, con una perturbación armónica que tiene una frecuencia igual a la referencia y eliminando
el nivel DC de esta señal, si se utiliza el análisis del espectro frecuencial de Fourier, se puede obtener la
frecuencia exacta que debe rechazar el controlador, el cual va a ser utilizado para controlar la velocidad
angular del sistema. El rechazo de esta perturbación armónica (ωp) es necesaria controlarla para evitar
daños en los motores por causa de esta perturbación.
2. Se visualizó como la planta no lineal responde ante el controlador diseñado para rechazar la frecuencia
de la perturbación ante la referencia elegida (ωp = 20.106192[rad/s]), en esta se visualiza una pequeña
perturbación antes de su estabilización, debido a que se tomó una frecuencia que era mayor por unas
décimas a la que deb́ıa ser elegida para que la estabilización no tuviese la perturbación que se encuentra
en las gráficas obtenidas.
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3. Por medio del diagrama de Bode y las diferentes pruebas que se realizaron, se pudo comprobar como, al
cambiar la referencia, se realiza un cambio en la frecuencia a la que trabajará el sistema, lo cual afecta
el rechazo de una perturbación armónica. Ya que la frecuencia de esta perturbación vaŕıa respecto a la
referencia, lo cual volveŕıa inservible el controlador diseñado para la referencia inicial.
4. Se corroboró que los controladores PI digitales que fueron diseñados para tener error cero ante estrada
tipo paso y rechazo de perturbación armónica y a entrada paso, cumpĺıan con cada uno de estos requeri-
mientos, logrando de esta manera la estabilización del sistema, su sobre nivel porcentual y el rechazo de
las señales anteriormente mencionadas. Con el rechazo a estas señales el controlador previene posibles
daños al sistema.
Referencias
[Malo and Griñó] Malo, S. and Griñó, R. Diseño de un controlador para el rechazo selectivo de armónicos de
tensión en un inversor cc-ca. Actas del Seminario Anual de Automática, Electrónica Industrial e Instrumen-
tación SAAEI, 7:49–53.
[2] Melo Lagos, I. D. (2015). Diseño, implementación y evaluación de diferentes estrategias de control orien-
tadas al rechazo activo de perturbaciones para un rectificador pfc que permitan obtener una alta calidad
de enerǵıa eléctrica medida desde los parámetros de pf y thd de corriente. Departamento de Ingenieŕıa
Eléctrica y Electrónica.
[3] Orellana Barceló, M. and Griñó Cubero, R. (2013). Control digital basado en afc de un rectificador trifásico
pwm. In Actas del Seminario Anual de Automática, Electrónica Industrial e Instrumentación, SAAEI 2013,
pages 1–6.
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	Introducción
	Procedimiento y Resultados
	Modelo Lineal
	Controlador PI Digital 
	Espectro Frecuencial 
	Controlador digital para controlar la velocidad angular del sistema
	Simulación del Sistema de control usando ecuaciones de diferencias
	Comparación espectro de frecuencia
	Comportamiento de la velocidad del motor
	Comportamiento de la velocidad del sistema de control Gc2(z)
	Diagramas de Bode
	Diagrama de Bode desde ref(k) a (k)
	Diagrama de Bode desde (k) a (k)
	Diagrama de Bode desde e(k) a (k)
	Diagrama de Bode desde r(k) a u(k)
	Diagrama de Bode desde (k) a u(k)
	Conclusiones