Teoría- Capítulo 2 Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometría Analítica - Matías Romano

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Álgebra y Geometŕıa Anaĺıtica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometŕıa Anaĺıtica
Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometŕıa Anaĺıtica.
Introducción:
No es una tarea sencilla abstraerse de la realidad para comprender el plano y el espacio.
Las actividades propuestas en este capitulo tienen por objeto facilitar la apropiación de conceptos
y resolver problemas de aplicación que despierten el interés por aprender los contenidos teóricos.
La Geometŕıa Anaĺıtica fue iniciada por el gran matemático y filósofo francés Rene Descartes en
su ensayo titulado “La Geometrie”, publicado en 1637.
La Geometŕıa Anaĺıtica estudia los lugares geométricos del plano y del espacio. Provee de métodos
para transformar los problemas geométricos en problemas algebraicos, resolverlos anaĺıticamente e
interpretar geométricamente los resultados.
La relación entre el álgebra, y la geometŕıa, se establece a través de los sistemas de coordenadas.
Los dos problemas fundamentales de la geometŕıa anaĺıtica son:
Dada una ecuación hallar el lugar geométrico que representa.
Dado el lugar geométrico, definido por ciertas condiciones, hallar su ecuación matemática.
Descartes Nació: 31 de Marzo de 1596 en La Haye, Touraine,
Francia Falleció: 11 de Febrero de 1650 en Estocolmo, Sue-
cia. Filosofo y Matemático, fue uno de los intelectuales más
grande de los que contribuyeron a crear la llamada Edad de
la Razón
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Álgebra y Geometŕıa Anaĺıtica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometŕıa Anaĺıtica
Rectas en Rn
Definición 1 (Rectas en Rn). .
Dados un vector A ∈ Rn − {θ} y un punto P0 ∈ Rn, llamamos recta que pasa por P0 en la dirección
de A, al conjunto
r = {X ∈ Rn / X = P0 + tA, t ∈ R}.
Observaciones:
.
La definición dice que cada punto de la recta se obtiene ha-
ciendo variar el parámetro t en el conjunto de los números
reales
La ecuación vectorial de la recta que pasa por P0 en la dirección del vector A es
X = P0 + tA , t ∈ R
IMPORTANTE
Cuando escribimos r : X = P0 + tA , t ∈ R, estamos diciendo la recta r cuya
ecuación vectorial es X = P0 + tA, t ∈ R
A cada punto P ∈ r le corresponde un único t ∈ R y a cada t ∈ R, le corresponde
un único P ∈ r
Una recta queda uńıvocamente determinada conocido un punto de paso y un vector
dirección de la recta.
Punto de paso es cualquier punto que pertenezca a la recta. Dirección de la
recta, es justamente la dirección que tiene la recta, que viene dada por el vector que
la define o cualquiera paralelo a él.
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Álgebra y Geometŕıa Anaĺıtica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometŕıa Anaĺıtica
Definición 2 (punto perteneciente a una recta). .
Dada en Rn la recta r : X = P0 + tA, t ∈ R, decimos que el punto Q pertenece a la recta r si y
solamente śı existe tQ ∈ R tal que
Q = P0 + tQA
Ejemplos. .
Dada la recta r que pasa por P0 = (2,−3, 1) en la dirección A = (1, 1, 2):
La ecuación vectorial de r es: X = P0 + tA, t ∈ R
remplazando los datos se puede expresar
(x, y, z) = (2,−3, 1) + t (1, 1, 2) , t ∈ R
Determinemos los puntos de la recta correspondientes a los siguientes parámetros:
t1 = 2
P1 = P0 + t1A = (2,−3, 1) + 2 (1, 1, 2) = (2,−3, 1) + (2, 2, 4) = (4,−1, 5)
t2 = −3
P2 = P0 + t2A = (2,−3, 1) + (−3) (1, 1, 2) = (2,−3, 1) + (−3,−3,−6) = (−1,−6,−5)
Respuesta:
Al valor del parámetro t1 = 2, le corresponde el punto P1 = (4,−1, 5) ∈ r
Al valor del parámetro t2 = −3, le corresponde el punto P2 = (−1,−6,−5) ∈ r
Averigüemos ahora si el punto Q = (−2,−7,−7) pertenece a la recta.
Para eso utilizaremos la definición:
Q ∈ r ⇔ ∃ tQ ∈ R : Q = P0 + tQA
(−2,−7,−7) = (2,−3, 1) + tQ (1, 1, 2), ecuación de la recta particularizada para Q
resolviendo las operaciones indicadas:
(−2,−7,−7) = (2 + tQ,−3 + tQ, 1 + 2tQ) por igualdad de vectores:
−2 = 2 + tQ
−7 = −3 + tQ
−7 = 1 + 2tQ
⇔

tQ = −4
tQ = −4
tQ = −4
el sistema tiene solución, tQ = −4.
Respuesta:
∃ tQ = −4 ∈ R por lo tanto el punto Q ∈ r
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Averigüemos ahora si el punto P = (2, 2, 1) pertenece a la recta.
P ∈ r ⇔ ∃ tP ∈ R : P = P0 + tPA
(2, 2, 1) = (2,−3, 1) + tP (1, 1, 2)
resolviendo las operaciones indicadas:
(2, 2, 1) = (2 + tP ,−3 + tP , 1 + 2tP )
por igualdad de vectores:

2 = 2 + tP
2 = −3 + tP
1 = 1 + 2tP
⇔

tP = 0
tP = 5
tP = 0
, ∴ el sistema no tiene solución
Respuesta:
no existe tP ∈ R tal que P = P0 + tPA, por lo tanto el punto P /∈ r
Recta por dos puntos
Sabemos por los axiomas de Euclides, que dos puntos diferentes determinan una única recta a la
cual pertenecen.
Dados dos puntos P1 y P2, P1 6= P2, para determinar la ecuación de la recta r a la cual
pertenecen, es suficiente encontrar un vector A 6= θ, en la dirección de la recta.
La ecuación vectorial de la recta, si elegimos a P1 como punto de paso, es:
r : X = P1 + tA , t ∈ R
como P2 ∈ r, verifica la ecuación y por lo tanto existe un t2 ∈ R tal que:
P2 = P1 + t2A
P2 − P1 = t2A
−−−→
P1P2 = t2A
como P1 6= P2 ⇒
−−−→
P1P2 6= θ ⇒ t2 6= 0
por la definición de vectores paralelos
∃ t2 ∈ R− {0} :
−−−→
P1P2 = t2A⇒
−−−→
P1P2 || A
como sólo nos interesa la dirección ( no importa ni el módulo ni el sentido del vector) podemos tomar
como dirección de la recta al vector
−−−→
P1P2
Por lo tanto
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la ecuación vectorial de la recta que pasa por P1 y P2 es:
X = P1 + λ
−−−→
P1P2 , λ ∈ R
La dirección de una recta queda determinada si conocemos dos puntos diferentes P1 y P2
que pertenezcan a la recta.
Segmento determinado por dos puntos diferentes
Dados P1 , P2 ∈ Rn P1 6= P2.
El segmento determinado por P1 y P2 es el conjunto:
P1P2 = {X ∈ Rn : X = P1 + t
−−−→
P1P2, 0 ≤ t ≤ 1}.
El punto medio entre P1 yP2 se calcula PM =
1
2
(P1 + P2)
Definición 3 (Ángulo determinado por dos rectas). .
Dadas en Rn las rectas r1 : X = P1 + tA1 , t ∈ R y r2 : X = P2 + λA2 , λ ∈ R,
el ángulo que determinan r1 y r2, que denotamos α = ^(r1, r2), es el que cumple:
i) 0 ≤ α ≤ π2 ii) cosα =
|A1 ·A2|
‖A1‖ ‖A2‖
.
Graficamente:
Rectas que se intersectan. Rectas que no se intersectan
Definición 4 (rectas paralelas y rectas perpendiculares). .
Dadas en Rn las rectas, r1 : X = P1 + tA1 , t ∈ R y r2 : X = P2 + λA2 , λ ∈ R,
1. Rectas paralelas (Notación: ‖)
r1 ‖ r2 ⇔ A1 ‖ A2
2. Rectas perpendiculares (Notación: ⊥)
r1 ⊥ r2 ⇔ A1 ⊥ A2
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Equivalencia de la definición de rectas paralelas
Dadas en Rn las rectas, r1 : X = P1 + tA1 , t ∈ R y r2 : X = P2 + λA2 , λ ∈ R, se puede
probar que :
r1 ‖ r2 ⇐⇒ ^(r1, r2) = 0
Demostración. .
Si α = ^(r1, r2)
r1 ‖ r2 ⇔
(∗1)
A1 ‖ A2 ⇔
(∗2)
|A1 ·A2| = ‖A1‖ ‖A2‖ ⇔
(∗3)
|A1 ·A2|
‖A1‖ ‖A2‖
= 1 ⇔
(∗4)
cosα = 1 ⇔
(∗5)
α = 0
por lo tanto:
r1 ‖ r2 ⇔ α = ^(r1, r2) = 0
(*1) Por la definición de rectas paralelas
(*2)
(⇒) Por la desigualdad de C-S
(⇐) Como A1 6= θ y A2 6= θ por la desigualdad de C-S A1 ‖ A2
(*3) por Como A1 6= θ y A2 6= θ ‖A1‖ 6= 0, ‖A2‖ 6= 0 lo que implica que ‖A1‖ .‖A2‖ 6= 0 y por lo tanto
podemos dividir en ‖A1‖ .‖A2‖
(*4) como α = ^(r1, r2), por la definición de ángulo entre rectas cosα =
|A1 ·A2|
‖A1‖ ‖A2‖
(*5) como 0 ≤ α ≤ π2 , por ser ángulo entre rectas, entonces: cosα = 1⇔ α = 0
Equivalencia de la definición de rectas perpendiculares
Dadas en Rn las rectas, r1 : X = P1 + tA1 , t ∈ R y r2 : X = P2 + λA2 , λ ∈ R, se
puede probar:
r1 ⊥ r2 ⇐⇒ ^(r1, r2) =
π
2
Demostración. .
Queda como ejercicio.
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Rectas en R2
Dada en R2 la recta que pasa por el punto P0 en la dirección del vector A, por definición de recta
en Rn, la ecuación vectorial de la recta es:
X = P0 + tA , t ∈ R
Trabajando con las componentes:
X = (x, y), P0 = (x0, y0), A = (a1, a2)
la ecuación de la recta se puede expresar:
(x, y) = (x0, y0) + t (a1, a2) , t ∈ R Ecuación vectorial de la recta en R2,
que pasa por P0 = (x0, y0), en la dirección del vector A = (a1, a2).
Resolviendo las operaciones del segundo miembro de la ecuación:
(x, y) = (x0 + ta1, y0 + ta2) t ∈ R
por la igualdad de vectores obtenemos:

x = x0 + ta1
y = y0 + ta2
; t ∈ R Ecuación paramétrica cartesiana de la recta en R2, que pasa
por P0 = (x0, y0), en la dirección del vector A = (a1, a2).
De la ecuación anterior:

x− x0 = ta1
y − y0 = ta2
; t ∈ R
para despejar el parámetro t es necesario que :
a1 6= 0 y a2 6= 0
t =
x− x0
a1
t =
y − y0
a2
, t ∈ R
por la propiedad transitiva de la igualdad:
x− x0
a1
=
y − y0
a2
Ecuación cartesiana continua de la recta en R2,
que pasa por el punto P0 = (x0, y0), en la dirección del vector A = (a1, a2) con a1 6= 0 y a2 6= 0
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Determinamos tres formas diferentes (siempre que se pueda) de expresar la ecuación de
una recta r en R2, conocidos un punto de paso y un vector dirección. Pero la ecuación de
la recta en R2 también se puede expresar en las formas que ya conocemos:
la ecuación general, impĺıcita
ax+ by + c = 0
y en el caso de ser posible, la ecuación expĺıcita
y = mx+ n
Evidentemente se puede de cada una de las formas de la ecuación, obtener (siempre que se den las
condiciones) de manera sencilla las otras .
1) De la ecuación paramétrica cartesiana obtendremos la ecuación impĺıcita.
La ecuación paramétrica cartesiana de la recta que pasa por el punto P0 = (x0, y0), en la dirección
del vector A = (a1, a2) es:

x = x0 + ta1
y = y0 + ta2
, t ∈ R
Como A = (a1, a2) 6= θ ( por ser dirección de la recta), se cumple que a1 6= 0 o a2 6= 0
Supongamos que a1 6= 0, (no se pierde generalidad en la obtención de la ecuación, pues si
a1 = 0, a2 6= 0 y podemos trabajar con a2 de manera equivalente)

t =
x− x0
a1
y = y0 + ta2
reemplazando el valor de t en la segunda ecuación
y = y0 +
x− x0
a1
a2
y − y0 =
x− x0
a1
a2
multiplicando ambos miembros por a1 6= 0
a1(y − y0) = a2(x− x0)
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de donde
a2(x− x0)− a1(y − y0) = 0
aplicando propiedad distributiva del producto respecto de la suma en R
a2x− a2x0 − a1y + a1y0 = 0
las variables de la ecuación son x e y, aplicando propiedad conmutativa de la suma en R
a2x− a1y − a2x0 + a1y0 = 0
aplicando propiedad asociativa
a2x+ (−a1)y + (a1y0 − a2x0) = 0
Si llamamos a = a2, b = −a1 y c = a1y0 − a2x0 (*1)
la ecuación de la recta se puede escribir:
ax+ by + c = 0 Ecuación impĺıcita de la recta,
de la ecuación paramétrica sabemos que la dirección de la recta es A = (a1, a2) y de (*1)
A = (a1, a2) = (−b, a)
Para determinar un punto de paso asignamos un valor a una de las variables y obtenemos la otra
de manera que se verifique la ecuación, obteniendo P0 = (x0, y0) perteneciente.
Observemos que:
Conocido un punto de paso P0 = (x0, y0) y un vector dirección de A = (−b, a) podemos
determinar la ecuación vectorial de la recta.
(x, y) = (x0, y0) + t(−b, a); t ∈ R
Como en R2 hay una única dirección N perpendicular a A. esa dirección perpendicular
es la del vector
N = (a, b).
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2) Dada la ecuación explicita de una recta determinaremos la ecuación vectorial.
y = mx+ n, ecuación expĺıcita de la recta en R2 (∗2)
donde
m es la pendiente de la recta.
n es la ordenada al origen, por lo tanto un punto de paso de la recta es P0 = (0, n)
de (*2)
mx− y + n = 0, ecuación impĺıcita de la recta en R2, con a = m y b = −1
Como vimos en el caso anterior, la dirección de la recta es el vector
A = (−b, a) = (−(−1),m) = (1,m)
Conocido el punto de paso P0 = (0, n) y la dirección de la recta A = (1,m)
la ecuación vectorial de la recta es:
(x, y) = (0, n) + λ(1,m), λ ∈ R
Recuerde que la pendiente de una recta es la tangente del ángulo α que forma la recta con
la dirección positiva del eje de la abscisas, m = tgα
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Relación entre las pendientes de dos rectas en R2
Dadas en R2 las rectas r1 : y = m1x+ n1 y r2 : y = m2x+ n2
r1 tiene dirección A1 = (1,m1)
r2 tiene dirección A2 = (1,m2)
Si las rectas son paralelas:
r1‖r2, por definición de rectas paralelas se tiene que:
(1,m1) ‖ (1,m2) ⇔ ∃ λ ∈ R− {0}, (1,m1) = λ(1,m2) ⇔

1 = λ
m1 = λm2
⇔ m1 = m2
r1‖r2 ⇔ m1 = m2
Si las rectas son perpendiculares.
r1 ⊥ r2, por definición de rectas perpendiculares se tiene que:
(1,m1) ⊥ (1,m2) ⇔ (1,m1).(1,m2) = 0 ⇔ 1 +m1.m2 = 0 ⇔ m1.m2 = −1
r1 ⊥ r2 ⇔ m1.m2 = −1
3) Si la recta es vertical su ecuación es
x = h
y no admite ecuación en forma explicita.
Su ecuación impĺıcita es
x− h = 0
Queda para el alumno determinar, aplicando lo que estudiamos, punto de paso y vector dirección.
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Rectas en R3
Dada en R3 la recta que pasa por el punto P0, en la dirección A, por definición en Rn,
la ecuación vectorial de la recta es:
X = P0 + tA , t ∈ R
trabajando con componentes de los vectores:
X = (x, y, z), P0 = (x0, y0, z0), A = (a1, a2, a3)
remplazando en la ecuación:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a1, a2, a3) , t ∈ R Ecuación vectorial de la recta en R3,
que pasa por P0 = (x0, y0, z0) en la dirección de A = (a1, a2, a3).
Resolviendo las operaciones del segundo miembro de la ecuación:
(x, y, z) = (x0 + ta1, y0 + ta2, z0 + ta3), t ∈ R
por la definición de igualdad de vectores obtenemos:

x = x0 + ta1
y = y0 + ta2
z = z0 + ta3
; t ∈ R Ecuación paramétrica cartesiana de la recta,
que pasa por P0 = (x0, y0, z0) en la dirección del vector A = (a1, a2, a3).
De la ecuación anterior:

x− x0 = ta1
y − y0 = ta2
z − z0 = ta3
, t ∈ R ;
para despejar el parámetro t en el sistema, es necesario que :
a1 6= 0 , a2 6= 0 y a3 6= 0

t =
x− x0
a1
t =
y − y0
a2
t =
z − z0
a3
, t ∈ R
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por la propiedad transitiva de la igualdad:
x− x0
a1
=
y − y0
a2
=
z − z0
a3
Ecuación cartesiana continua de la recta en R3,
que pasa por P0 = (x0, y0, z0) en la dirección del vector A = (a1, a2, a3) con
a1 6= 0, a2 6= 0 y a3 6= 0
Definición 5 (Rectas alabeadas). .
Dos rectas r1 y r2 en R3 son alabeadas si y solamente si no son paralelas y tienen intersección
vaćıa.
IMPORTANTE
No existe plano que contenga dos rectas alabeadas
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Plano
Definición 6 (plano). .
Dados en R3 un punto P0 y un vector N 6= θ. Llamamos plano que pasa por P0 y cuya dirección
normal es N , al conjunto:
π = {X ∈ R3 :
−−→
P0X ⊥ N}
De la definición los puntos del plano son los
X ∈ R3 :
−−→
P0X ⊥ N = 0
y por definición de vectores perpendiculares
−−→
P0X ·N = 0
La ecuación del plano π es:
(X − P0) ·N = 0
con P0 ∈ R3 un punto del plano y N ∈ R3 − {θ} un vector cuyadirección es normal al plano π.
Trabajando con componentes de los vectores:
X = (x, y, z), P0 = (x0, y0, z0) y N = (a, b, c)
−−→
P0X ·N = 0
(X − P0) ·N = 0
X ·N − P0 ·N = 0
(x, y, z) · (a, b, c)− (x0, y0, z0) · (a, b, c) = 0
ax+ by + cz + (−ax0 − by0 − cz0)︸ ︷︷ ︸
d
= 0
ax+ by + cz + d = 0
ax+ by + cz + d = 0 Ecuación general del plano que pasa por P0 y es normal a N .
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Plano según los datos
1. Tres puntos no alineados en R3 , determinan un único plano al cual pertenecen.
Obtención de la ecuación:
Sean P1, P2, P3 ∈ R3 tres puntos no alineados, por
lo tanto los puntos son diferentes y determinan dos
vectores no paralelos, es decir:
−−−→
P1P2 6= θ,
−−−→
P1P3 6= θ y
−−−→
P1P2 ∦
−−−→
P1P3 (1)
Consideremos a P1 como punto de paso del plano.
Por definición de plano,
P2 ∈ π ⇒
−−−→
P1P2 ⊥ N
P3 ∈ π ⇒
−−−→
P1P3 ⊥ N
en R3 hay una única dirección perpendicular a dos direcciones diferentes, por lo tanto
N ‖
−−−→
P1P2 ×
−−−→
P1P3 6= θ︸ ︷︷ ︸
(∗)
(*) por (1) y propiedad del producto vectorial
Como sólo interesa la dirección del vector N , considero
N =
−−−→
P1P2 ×
−−−→
P1P3
Determinado N y elegido a P1 como punto de paso, usando la ecuación del plano
−−→
P1X ·N = 0
obtenemos:
−−→
P1X · (
−−−→
P1P2 ×
−−−→
P1P3) = 0 Ecuación del plano que pasa por P1, P2 y P3.
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2. .
En R3, una recta r y un punto P1 que
no pertenece a r, determinan un único
plano que los contiene.
3. .
Dos rectas en R3 , paralelas no coinci-
dentes, determinan un único plano que
las contiene.
4. .
Dos rectas en R3 que se intersectan en
un único punto, determinan un único
plano que las contiene.
Estos tres últimos casos se estudiaran en el trabajo práctico.
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Definición 7 (Ángulo entre planos). .
Dados en R3 los planos π1 : (X − P1) ·N1 = 0 y π2 : (X − P2) ·N2 = 0.
El ángulo que determinan π1 y π2, que denotamos ϕ = ^(π1, π2), es el que cumple:
(a) 0 6 ϕ 6
π
2
(b) cosϕ =
|N1 ·N2|
‖N1‖ ‖N2‖
Definición 8 (Planos paralelos y planos perpendiculares). .
Dados en R3 los planos, π1 : (X − P1) ·N1 = 0 y π2 : (X − P2) ·N2 = 0.
(a) π1 ‖ π2 ⇔ N1 ‖ N2
(b) π1 ⊥ π2 ⇔ N1 ⊥ N2
Equivalencia de la definición de planos paralelos.
Dados en R3 los planos π1 y π2.
π1 ‖ π2 ⇔ ^(π1, π2) = 0
La demostración queda para el alumno.
Equivalencia de la definición de planos perpendiculares.
Dados en R3 los planos π1 y π2.
π1 ⊥ π2 ⇔ ^(π1, π2) =
π
2
La demostración queda para el alumno.
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Definición 9 (Ángulo entre recta y plano). .
Dados en R3 la recta r : X = P1 + tA, t ∈ R y el plano π : (X − P2) ·N = 0.
El ángulo que determinan r y π , que denotamos ϕ = ^(r, π), es el que cumple:
(a) 0 6 ϕ 6
π
2
(b) senϕ =
|A ·N |
‖A‖ ‖N‖
Definición 10 (Recta paralela y recta perpendicular a un plano). .
Dados en R3 la recta r : X = P1 + tA, t ∈ R y el plano π : (X − P2) ·N = 0.
(a) r ‖ π ⇔ A ⊥ N
(b) r ⊥ π ⇔ A; ‖ N
Equivalencia de la definición de recta paralela a un plano y recta
perpendicular a un plano
Dados en R3 el plano π la recta r,
(a) r ‖ π ⇔ ^(r, π) = 0
(b) r ⊥ π ⇔ ^(r, π) = π
2
La demostración queda para el alumno.
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Álgebra y Geometŕıa Anaĺıtica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometŕıa Anaĺıtica
Posición relativa
Se denomina posición relativa a la ubicación de un objeto respecto a otro.
Posición relativa entre dos rectas en R2
Dadas en R2 dos rectas r1 y r2, la posición relativa que se puede dar entre las mismas es:
1. r1‖r2.
En este caso pueden ser:
a) Coincidentes: r1 ∩ r2 = r1 = r2
b) No coincidentes: r1 ∩ r2 = ∅
2. r1 y r2 se interceptan en un único punto
es decir existe un punto Q tal que
r1 ∩ r2 = {Q}
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Posición relativa entre dos rectas en R3
Dadas en R3 dos rectas r1 y r2, la posición relativa que se puede dar entre las mismas son
tres:
1. r1‖r2.
En este caso pueden ser:
a) Coincidentes: r1 ∩ r2 = r1 = r2
b) No coincidentes: r1 ∩ r2 = ∅
2. r1 y r2 se intercepten en un único punto
es decir existe un punto Q tal que
r1 ∩ r2 = {Q}
3. r1 y r2 no son paralelas ni se intersectan, son las que definimos como rectas ALABEADAS
RECUERDA
No existe plano que contenga dos rectas alabeadas
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Posición relativa entre dos planos
Dados en R3 dos planos π1 y π2, la posición relativa que se puede dar entre los mismos son dos:
1. π1‖π2.
En este caso pueden ser:
a) Coincidentes: π1 ∩ π2 = π1 = π2
b) No coincidentes: π1 ∩ π2 = ∅
2. π1 y π2 no son paralelos. Se intercepten en una recta
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Posición relativa entre una recta y un plano
Dados en R3 una recta r y un plano π , la posición relativa que se puede dar entre los mismos
son dos:
1. r ‖ π. En este caso pueden ser:
a) recta esté contenida en el plano r ∩ π = r
b) r ∩ π = ∅
2. r y π no son paralelos. Se interceptan en un único punto.
es decir existe un punto Q tal que
r ∩ π = {Q}
.
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Ecuación de una recta como intersección de dos planos no paralelos
Sean π1 : (X−P1) ·N1 = 0 y π2 : (X−P2) ·N2 = 0, dos planos no paralelos (por posición
relativa sabemos que se intersectan en una recta).
La ecuación de la recta r como intersección de los dos planos dados es:
r :

(X − P1) ·N1 = 0
(X − P2) ·N2 = 0
Veamos que debemos tener en cuenta para determinar un punto de paso y la dirección de la recta
r.
Para determinar un punto de paso P0, cada punto que verifica las dos ecuaciones es punto de la
recta, debemos asignar un valor conveniente a una de las variables y resolver el sistema resultante
de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Para determinar la dirección A de la recta debemos tener en cuenta que:
Como N1 y N2 son los vectores normales de los planos π1 y π2, N1 6= θ y N2 6= θ, además, por
hipótesis los planos no son paralelos, por definición N1 ∦ N2. Por propiedad del producto vectorial
N1 ×N2 6= θ
Como la recta r es intersección de los dos planos
r ⊂ π1
r ⊂ π2
 ⇒
A ⊥ N1
A ⊥ N2
 ⇒(∗) A ‖ N1 ×N2
Como sólo interesa la dirección de la recta podemos elegir A = N1 × N2, o cualquier vector
paralelo a N1 ×N2
(∗) por propiedad del producto vectorial y porque en R3 hay una única dirección perpendiculares
a dos direcciones diferentes.
Aclaramos
Para determinar un punto de paso P0, si la ecuación de la recta es :
r :

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0
a2x+ b2y + c2z + d2 = 0
asigno un valor conveniente a una de las variables y resuelvo el sistema resultante.
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Distancias
Definición 11 (distancia de un punto a una recta). ,
Dados en Rn un punto P1 y una recta r, la distancia de P1 a r, es el número:
dist(P1, r) = mı́nimo{ dist(P1, X), con X ∈ r}.
Observaciones:
Por definición de distancia entre puntos
dist(P1, r) = mı́nimo{ ‖
−−→
P1X‖, con X ∈ r}.
Si P1 ∈ r, dist(P1, r) = 0
.Si P1 /∈ r, se puede probar que: s
∀X ∈ r, ‖
−−→
P1Q‖ ≤ ‖
−−→
P1X‖
siendo Q ∈ r, el pie de la perpendicular a r que
pasa por P1.
Por lo tanto
dist(P1, r) = ‖
−−→
P1Q‖
Fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta en R2
Dados en R2 la recta r : X = P0 + tA, t ∈ R y un punto P1.
Como en R2 hay una sóla dirección perpendicular a una dada, consideremos N ∈ R2 − {θ} tal
que A ⊥ N , siendo A dirección de la recta. Por la definición de distancia de un punto a una recta
dist(P1, r) = ‖
−−→
P1Q‖
con Q el pie de la perpendicular a r trazada por P1.
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Como no conocemos el punto Q conviene calcular
la ‖
−−→
P1Q‖ de la siguiente manera
‖
−−→
P1Q‖ = ‖P−−−→P0P1,N‖
dist(P1, r) =
|
−−−→
P0P1 ·N |
‖N‖
dist(P1, r) =
|
−−−→
P0P1 ·N |
‖N‖
Caso particular de la fórmula de distancia de punto a recta en R2
Si la ecuación de la recta r es ax+ by + c = 0 y queremos calcular la distancia de P1(x1, y1) a
r, podemos aplicar una fórmula, directa, que obtendremos a continuación.
Sea P0(x0, y0) ∈ r, sabemos que la dirección de r es (−b, a) por lo tanto la dirección normal a la
recta es N = (a, b).
Aplicando la fórmula para calcular la distancia en R2
dist(P1, r) =
|
−−−→
P0P1 ·N |
‖N‖
=
| (x1 − x0, y1 − y0) · (a, b) |√
a2 + b2
=
| a(x1 − x0) + b(y1 − y0) |√
a2 + b2
=
| ax1 + by1 + (−ax0 − by0) |√
a2 + b2
=
| ax1 + by1 + c |√
a2 + b2
por (*)
(*) como P0(x0, y0) ∈ r verifica su ecuación, es decir ax0 + by0 + c = 0 ⇒ c = −ax0 − by0
Por lo tanto, si r : ax+ by + c = 0 y P1(x1, y1) conviene utilizar la fórmula:
dist(P1, r) =
| a x1 + b y1 + c |√
a2 + b2
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Fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta en R3
Dados en R3 la recta r : X = P0 + tA, t ∈ R y un punto P1.
La distancia de P1 a r es la longitud de la altura, h, del paralelogramo de lados A y
−−−→
P1P0
Como el Área del paralelogramo es longitud de la base por la longitud de la altura, aplicado
propiedad del producto vectorial y norma de un vector tenemos:
‖ A ×
−−−→
P1P0 ‖ = ‖A‖. dist(P1, r)
Luego ( como A 6= θ entonces ‖A‖ 6= 0)
dist(P1, r) =
‖ A ×
−−−→
P1P0 ‖
‖ A ‖
Distancia entre dos rectas
La distancia entre dos rectas es la menor de las distancias entre dos puntos correspondientes a cada
una de las rectas.
Para obtener este valor es necesario tener en cuenta la posición relativa entre ellas.
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Fórmula para calcular la distancia entre dos rectas de R2
Para calcular la distancia entre las rectas r1 y r2 debemos tener en cuenta dos casos:
1. r1‖r2.
dist(r1, r2) =
P1∈r1
dist(P1, r2)
o
dist(r1, r2) =
P2∈r2
dist(P2, r1)
2. r1 no es paralela a r2 (se intersectan)
dist(r1, r2) = 0
Fórmula para calcular la distancia entre dos rectas de R3
Para calcular la distancia entre las rectas r1 y r2 debemos tener en cuenta tres casos:
1. r1‖r2.
dist(r1, r2) =
P1∈r1
dist(P1, r2)
o
dist(r1, r2) =
P2∈r2
dist(P2, r1)
2. las rectas se intersectan
dist(r1, r2) = 0
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3. r1 y r2 son alabeadas.
La distancia de r1 a r2 es la longitud de la altura, h, del paraleleṕıpedo de aristas A1, A2
y
−−−→
P1P2.
Como el volumen del paraleleṕıpedo es igual al área de la base por la longitud de la altura
V ol (A!, A2,
−−−→
P1P2)= Área (A1, A2). h
aplicado propiedades del producto vectorial, del triple producto escalar y norma de un vector
tenemos:
|(A1 A2
−−−→
P1P2)| = ‖A1 ×A2‖. dist(r1, r2)
Luego ( como ‖A1 ×A2‖ 6= 0 pues A1 6= θ, A2 6= θ y A1 ∦ A2)
dist(r1, r2) =
|(A1 A2
−−−→
P1P2)|
‖A1 ×A2‖
por definición de triple producto escalar
dist(r1, r2) =
|A1 ×A2 ·
−−−→
P1P2|
‖A1 ×A2‖
Observe que:
dist(r1, r2) =
|A1 ×A2 ·
−−−→
P1P2|
‖A1 ×A2‖
= ‖P−−−→
P1P2,A1×A2
‖
Definición 12 (distancia de punto a plano). .
Dados en R3 un plano π y un punto P1, la distancia de P1 a π, es el número:
dist (P1, π) = mı́nimo{dist (X,P1) , con X ∈ π}
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Observaciones:
Por definición de distancia entre puntos
dist (P1, π) = mı́nimo{‖
−−−→
P1X ‖, con X ∈ π}
Si P1 ∈ π, dist(P1, π) = 0
Si P1 /∈ π, se puede probar que:
∀X ∈ π, ‖
−−→
P1Q‖ ≤ ‖
−−→
P1X‖
siendo Q ∈ π, el pie de la perpendicular a π tra-
zada por P1.
Por lo tanto
dist(P1, π) = ‖
−−→
P1Q‖
Q: pie de la perpendicular a π trazada por P1.
Fórmula para calcular la distancia de un punto a un plano.
Dados en R3 el plano π :
−−→
P0X · N = 0 y un punto P1, queremos determinar una fórmula para
calcular la distancia de P1 a π
Por definición de distancia de un punto a un plano
dist(P1, π) = ‖
−−→
P1Q‖
Como no conocemos el punto Q conviene calcular
la ‖
−−→
P1Q‖ de la siguiente manera
‖
−−→
P1Q‖ = ‖P−−−→P0P1,N‖
dist(P1, r) =
|
−−−→
P0P1 ·N |
‖N‖
dist(P1, r) =
|
−−−→
P0P1 ·N |
‖N‖
IMPORTANTE
Si la ecuación del plano está en su forma general π : ax+by+cz+d = 0 y P1 = (x1, y1, z1)
−−−→
P0P1 ·N , no es otra cosa que el primer miembro de la ecuación del plano particularizada
para el punto P1, por eso en forma práctica
dist(P1, π) =
| a x1 + b y1 + c z1 + d |√
a2 + b2 + c2
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Distancia entre dos planos.
La distancia entre dos planos es la menor de las distancias entre dos puntos correspondientes a
cada uno de los planos.
Para obtener este valor es necesario tener en cuenta la posición relativa entre ellos.
Al calcular la distancia entre los planos π1 y π2 debemos tener en cuenta dos casos:
1. π1‖π2
dist(π1, π2) =
P1∈π1
dist(P1, π2)
o
dist(π1, π2) =
P2∈π2
dist(P2, π1)
2. π1 no es paralela a π2 (se intersectan)
dist(π1, π2) = 0
Distancia entre una recta y un plano.
La distancia entre una recta y un plano es la menor de las distancias entre dos puntos corres-
pondientes a cada uno de ellos.
Para obtener este valor es necesario tener en cuenta la posición relativa entre ellos.
Al calcular la distancia entre la recta r y el plano π debemos tener en cuenta dos casos:
1. r‖π
dist(r, π) =
P1 ∈ r
(P1, π)
2. r no es paralela a π (se intersectan)
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dist(r, π) = 0
Ejemplo. .
Sea la recta r :

x = 1 + t
y = −1 + 2t
z = 0
; t ∈ R y los planos π1 : 2x+ y+ 3z− 10 = 0 y π2 : z− 10 = 0,
para calcular la distancia entre ellos, veamos sus posiciones relativas:
P0 = (1,−1, 0) y A = (1, 2, 0) punto de paso y vector dirección de r
N1 = (2, 1, 3) vector normal de π1
N2 = (0, 0, 1) vector normal de π2
Como A ·N1 = (1, 2, 0) · (2, 1, 3) = 4 6= 0 entonces r no es paralela a π1, luego
dist(r, π1) = 0
Como A ·N2 = (1, 2, 0) · (0, 0, 1) = 0 entonces r‖π1, luego
dist(r, π2) = dist(P0, π2) =
|0− 10|√
0 + 0 + 1
= 10
Como N1 × N2 = (2, 1, 3) × (0, 0, 1) = (1,−2, 0) 6= θ entonces, por propiedad del producto
vectorial, N1 no es paralelo a N2 (los planos se intersectan), luego
dist(π1, π2) = 0
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