01 NUMEROS Y ECUACIONES (teorico)

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MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Conjuntos numéricos
Naturales: N = {0, 1, 2, 3, . . . } sin fin
Enteros: Z = {0,±1,±2,±3, . . . } sin fin
Racionales Q = {pq , q 6= 0 con p, q ∈ Z} = {0,±
1
1 ,±
2
1 ,±
2
2 ,±
1
2 ,±
1
3 ,±
2
3 , · · · } todas las
fracciones posibles.
Irracionales: I = {
√
2,
√
2+1,
√
3, π, e, · · · } todos los que no tienen representación como
fracciones de enteros.
Claramente tenemos que
N ⊂ Z ⊂ Q.
Entonces, los números reales serán definidos como la unión de los racionales con los irracio-
nales.
R = Q ∪ I.
La operación suma
I. Ley de Cierre. Esta ley indica que sumar dos elementos de un determinado conjunto da
como resultado un elemento del mismo conjunto.
II. Asociatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
(a+ b) + c = a+ (b+ c)
donde a, b y c son elementos de cualquier conjunto numérico definido.
III. Conmutatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
a+ b = b+ a
IV. Elemento neutro. En la suma tenemos el número cero que es el neutro, ya que sumarle
cero a cualquier número no altera al número en cuestión.
a+ 0 = a
V. Elemento opuesto. Para cada elemento de un conjunto (excepto el de los naturales) existe
un número denominado opuesto tal que al sumarselo resulta el neutro,
a+ (−a) = 0
1
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La operación producto
I. Ley de Cierre. Esta ley indica que sumar dos elementos de un determinado conjunto da
como resultado un elemento del mismo conjunto.
II. Asociatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
(a · b) · c = a · (b · c)
donde a, b y c son elementos de cualquier conjunto numérico definido.
III. Conmutatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
a · b = b · a
IV. Elemento neutro. En la suma tenemos el número uno que es el neutro, ya que multiplicar
por uno a cualquier número no altera al número en cuestión.
a · 1 = a
V. Elemento inverso. Para cada elemento no nulo de un conjunto existe un número deno-
minado inverso tal que al multiplicárselo resulta el neutro,
a · a−1 = 1
La Propiedad Distributiva
Esta propiedad es la que combina las operaciones suma y producto
y se puede resumir como
a · (b+ c) = a · b+ a · c
Notemos que por cómo leamos esta propiedad tenemos dos aspec-
tos importantes:
a · (b+ c)= a · b+ a · c distributiva
a · b+ a · c = a · (b+ c) factor común
AYUDA VIRTUAL
video - Operaciones
Operaciones con Fracciones. Suma y Resta
Consideremos dos fracciones
p1
q1
y
p2
q2
.
La suma (o resta) de fracciones se efectúa
p1
q1
± p2
q2
=
p1 · q2 ± p2 · q1
q1 · q2
2
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Ejemplo 1:
2
5
+
3
7
=
2 · 7 + 3 · 5
5 · 7
=
29
35
Ejemplo 2:
2
5
− 3
2
=
2 · 2− 3 · 5
5 · 2
=
−11
10
Operaciones con Fracciones. Producto
Definición 1
p1
q1
· p2
q2
=
p1 · p2
q1 · q2
con q1, q2 6= 0
Ejemplo 3:
2
5
· 3
2
=
2 · 3
5 · 2
=
6
10
El inverso de una fracción
Definición 2
Recordemos que dado un número a, el inverso multiplicativo es un número que al
multiplicarlo por a resulta el número 1.
Entonces, si tenemos una fracción
p
q
el inverso multiplicativo deberá ser
q
p
así tenemos
p
q
· q
p
=
p · q
q · p
= 1
Operaciones con Fracciones. División
Una vez definido el inverso de un número racional, podemos considerar la operación división:
Una división será una multiplicación por el inverso multiplicativo, entonces
p1
q1
÷ p2
q2
=
p1
q1
·
Å
p2
q2
ã−1
=
p1
q1
· q2
p2
=
p1 · q2
q1 · p2
Ejemplo 4:
2
3
÷ 5
2
=
2
3
· 2
5
=
2 · 2
3 · 5
=
4
15
3
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Potencias naturales de números reales
Definición 3
Definimos la potencia n-ésima (n ∈ N) de a
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
Ejemplo 5: 32 = 3 · 3 = 9, 23 = 2 · 2 · 2 = 8, etc.
Propiedades de la potencia
I. Producto de potencias de igual base. (Se suman los exponentes!)
an · am = (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
) · (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
m veces a
) = a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
(n+m) veces a
= an+m
II. Potencia de potencia. (Se multiplican los exponentes!)
(an)m = an · an · · · · an︸ ︷︷ ︸
m veces an
= (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
) · (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
) · · · · (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
)︸ ︷︷ ︸
m veces an
= a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
(n·m) veces a
= an·m
III. Potencia de un producto. Distributividad de la potencia en el producto.
(a · b)n = ab · ab · · · · ab︸ ︷︷ ︸
n veces a·b
= a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
· b · b · · · · b︸ ︷︷ ︸
n veces b
= an · bn
La potencia NO ES DISTRIBUTIVA CON LA SUMA. Ni con la resta.
(a+ b)n 6= an + bn
Con un contraejemplo ponemos en evidencia la falsedad:
(2 + 1)2 = 32 = 9
por otro lado,
22 + 12 = 4 + 1 = 5
entonces,
(2 + 1)2 6= 22 + 12
Vamos a definir la potencia de manera axiomática, es decir, a partir
de propiedades. Esta manera, permite superar el límite de la potencia
natural, para poder definir cualquier tipo de exponente.
AYUDA VIRTUAL
video - Operaciones
combinadas con
enteros
4
https://drive.google.com/file/d/15SQzUt3xvYLa1xPvq-q4JkuPtHD_sgwI/view?usp=sharing
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El inverso multiplicativo de a es un número tal que
a · b = 1
Si suponemos que el inverso es una potencia, por ejemplo, ap tendremos a partir de la defini-
ción,
a · ap = a1 · ap = a1+p = 1
Pero por los axiomas de potencias, teníamos que
a0 = 1
entonces tendremos que
a1+p = a0, → 1 + p = 0
Entonces, el inverso de un número es
a−1 =
1
a
ahora sí, como potencia.
Cuadrado de un Binomio
Elevar al cuadrado determinada cantidad es multiplicar esa cantidad por sí misma. En-
tonces consideremos un binomio, por ejemplo, el a+ b. El cuadrado lo calcularemos como
(a+ b)2 = (a+ b) · (a+ b)
Aplicando la propiedad distributiva, tenemos
(a+ b)2 = (a+ b) · (a+ b) = a · a+ a · b+ b · a+ b · b
Los dos términos del centro son iguales en virtud de la propiedad conmutativa, por lo que
(a+ b)2 = a2 + 2 a b+ b2
Esta es la expresión que se conoce como cuadrado de un binomio.
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	Conjuntos numéricos
	La operación suma
	La operación producto
	La Propiedad Distributiva
	Operaciones con Fracciones. Suma y Resta
	Operaciones con Fracciones. Producto
	El inverso de una fracción
	Operaciones con Fracciones. División
	Potencias naturales de números reales
	Propiedades de la potencia
	Cuadrado de un Binomio