02_ECUACIONES E INECUACIONES(teorico)

Vista previa del material en texto

MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Conjuntos Numéricos. Representación
Para empezar, representemos en la recta real los siguientes números reales:
a) −35 b)
1√
2
c) 12÷ (−1 + 3.12)
c)
[
1 + 75
]
÷ 2 (el promedio) d)
√
2 f) π − 1
Para ello, construye una recta (ubica el 0, los negativos hacia la izquierda y los positivos
para la derecha). Es importante definir una escala, para que podamos ver bien los gráficos!
x−1 0 1
Habiendo representado números en la recta, empecemos a representar conjuntos de puntos,
representemos en la recta numérica conjuntos de números determinados a partir de ciertas
condiciones.
Veamos, Consideremos el conjunto de números reales, los cuales están comprendidos entre
−1 y 1, inclusive. Para ello, debemos tener en cuenta que este conjunto es infinito. Por lo
tanto, será conveniente "pintar.el segmento de la recta que contenga los números del conjunto.
x−1 0 1
Notemos que pintado de verde están todos (los infinitos) números reales que están com-
prendidos entre −1 y 1.
Consideremos ahora conjuntos definidos por ”comprensión”.
A = {x /x ∈ R x ≤ 1}
Esto se lee
El conjunto A es aquel que contiene a los números x, tales que x son números reales
menores o iguales que 1”
Entonces, para pintarlos deberíamos tener en cuenta que el número 1 pertenece al conjunto y
luego, todos los que están a su izquierda
x−1 0 1
y sigue hacia la izquierda... hasta el −∞
Consideremos ahora el conjunto
A = {x /x ∈ R − 2 < x ≤ 1}
En este caso hay que tener en cuenta que serán los comprendidos entre -2 y 1. Pero CUI-
DADO! -2 no pertenece al conjunto. Por lo tanto será necesario indicarlo de alguna manera.
1
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
x−2 0 1
( ]
Denotemos con paréntesis al borde que no pertenezca y con corchete al borde que forma
parte del conjunto.
Ejercicio. Grafica en la recta numérica los conjuntos A = {x /x ∈ R − 2 < x < 0} y
B = {x /x ∈ R − 2 ≤ x ≤ 0}
Notación de Intervalos
Con la idea de colocar paréntesis al borde que no pertenezca al conjunto y corchetes al
borde que pertenezca, introduzcamos la notación de intervalos. Volvamos al conjunto
A = {x /x ∈ R − 2 < x ≤ 1}
Ahora, este conjunto lo podemos definir de manera más compacta como el intervalo
(−2, 1]
Esto es,
A = {x /x ∈ R − 2 < x ≤ 1} ≡ (−2, 1]
Cuidado, el intervalo denota un conjunto, pero no es la notación de conjunto. Por eso no se
puso el "="
La manera de denotar esto es o el conjunto A = {x /x ∈ R − 2 < x ≤ 1} o,
equivalentemente, x ∈ (−2, 1] Con la introducción de la notación de intervalos, consideremos
los conjuntos:
A = {x /x ∈ R, x ≥ 2}
B = {x /x ∈ R, x ≤ 0}
C = {x /x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 2}
Entonces, tendremos:
A = {x /x ∈ R, x ≥ 2} → x ∈ [2,+∞)
B = {x /x ∈ R, x ≤ 0} → x ∈ (−∞, 0]
C = {x /x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 2} → x ∈ [0, 2]
Observación: Cuando un límite es infinito (o menos infinito) NUNCA podríamos ponerle
un corchete.
Ejercicio. Grafica en la recta numérica los conjuntos A, B y C.
Definición 1
UNIÓN entre conjuntos.
Dados dos conjuntos, A y B, se define como la unión A ∪ B al conjunto compuestos
por los elementos de A y los elementos de B. Obviamente, sin repetir, por lo que más
2
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
formalmente se escribe:
A ∪B = {x /x ∈ A ∨ x ∈ B}
remarquemos que el símbolo ∨ significa ”o”.
Entonces, dados dos conjuntos, para que un determinado elemento pertenezca a la
unión basta que pertenezca a uno o al otro de los conjuntos que se unen.
Ejemplos: Consideremos los conjuntos
A = {x /x ∈ R, −1 ≤ x < 2}
y el conjunto
B = {x /x ∈ R, −7 < x ≤ 0}
Entonces,
A ∪B = {x /x ∈ R, −7 < x ≤ 2}
o, en intervalos tenemos (graficalos para ver los
conjuntos en la recta!):
[−1, 2) ∪ (−7, 0] = (−7, 2)
AYUDA VIRTUAL
video - intervalos
video - unión de intervalos
video - intersección de intervalos
3
https://drive.google.com/file/d/198Keg7LoAM6xgGG3w4uFTekp7wAXW64P/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1vOzMhIsG8gnWb2kV6FhDhcp8irQ1dLLe/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1BsSvuly2ErTzCaf5BSqEkoBZu79LkC2x/view?usp=sharing
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Definición 2
INTERSECCIÓN entre conjuntos.
Dados dos conjuntos, A y B, se define como la intersección A∩B al conjunto compuesto
por los elementos que tienen en común A y B.
A ∩B = {x /x ∈ A ∧ x ∈ B}
remarquemos que el símbolo ∧ significa y.
Ejemplos: Consideremos los conjuntos
A = {x /x ∈ R, −1 ≤ x < 2}
y el conjunto
B = {x /x ∈ R, −7 < x ≤ 0}
Entonces,
A ∩B = {x /x ∈ R, −1 ≤ x ≤ 0}
o, en intervalos tenemos (graficalos para ver los conjuntos en la recta!):
[−1, 2) ∩ (−7, 0] = [−1, 0]
Ecuaciones
Definición 3
Una Ecuación es una igualdad con, por lo menos, un valor desconocido (incógnita).
El conjunto Solución de una ecuación es el o los valores de la incógnita que verifican la
igualdad.
La ecuaciones con solución únicas son aquellas donde existe un número real que las
verifica.
x+ 2 = 7 ⇒ x = 5 porque 5 + 2 = 7
Conjunto solución x = 5 o S = {5}
x2 − 9
4
= 0 ⇒ x = ±3
2
porque
Å
3
2
ã2
− 9
4
= 0 y también
Å
−3
2
ã2
− 9
4
= 0
Conjunto solución x = ±3
2
o S =
ß
±3
2
™
Las ecuaciones que no tienen solución son aquellas que ningún número real verifica.
x = x+ 1 ⇒ ningún número es igual a su anterior.
ó x2 + 4 = 0 no tiene solución real.
Conjunto Solución S = ∅
Existen ecuaciones que verifica cualquier número real.
2(x+ 1) = 2x+ 2
x+ x+ x = 3x
Conjunto Solución S = R
4
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Definición 4
Lenguaje Simbólico: Es el lenguaje que utilizan las matemática para expresar
fórmulas u operaciones, ya sea numérica o literal.
Lenguaje coloquial: Es el lenguaje con el cuál escribimos habitualmente o literal.
Lenguaje coloquial: Lenguaje Simbólico:
El triple de cierto número 3x
El doble de un número 2x
La tercera parte de un número 13x
El siguiente de un número x+ 1
cincuenta y tres 53
El anterior de un número x− 1
El cuádruple de cierto número 4x
El cuadrado de un número x2
El cubo de un número x3
La raíz cuadrada de un número
√
x
La raíz cúbica de un número 3
√
x
La mitad de un número x : 2 ó 12x
La diferencia en dos números x− y
El producto entre dos números x · y
El cociente entre dos números x : y
Cuando se habla de igualdad en matemáticas, se establece una comparación de valores
representada por el signo igual, que es el que separa al primer miembro del segundo.
Primer miembro = Segundo miembro
En la igualdad se dan cinco propiedades; a saber:
Propiedad idéntica o reflexiva: establece que toda cantidad o expresión es igual a
sí misma.
Ejemplos:
2a = 2a ; 7 + 8 = 7 + 8 ; x = x
Propiedad simétrica: consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la
igualdad se altere.
Ejemplos:
Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
Si a− b = c, entonces c = a− b
Si x = y, entonces y = x
5
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Propiedad transitiva: enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común,
los otros dos miembros también son iguales.
Ejemplos:
Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5
Si x+ y = z y a+ b = z, entonces x+ y = a+ b
m = n y n = p, entonces m = p
Propiedad uniforme: establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en
ambos miembros, la igualdad se conserva.
Ejemplos:
Si a = b, entonces a+ x = b+ x
Ej: 6 = 4 + 2 entonces 6 + 3 = 4 + 2 + 3
Si a = b, entonces a− x = b− x
Ej: 6 = 4 + 2 entonces 6− 3 = 4 + 2− 3
si a = b , entonces a · x = b · x
Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) · 3 = 7 · 3
Si a = b, entonces a : x = b : x , Siempre que x 6= 0
Ej: 3y = 12, entonces 3y : (−3) = 12 : (−3)
6
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Propiedades de la igualdad
Propiedad cancelativa: dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos
iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera.
Ejemplos:
Si (2 · x · 6)− �4 = 12− �4, entonces 2 · x · 6 = 12
Si a+ b = c+ b, entonces a = c
Si (8 : 4) · �5 = 2 · �5, entonces 8 : 4 = 2
Estaspropiedades y su correcto manejo serán fundamentales para las posibles soluciones
de ecuaciones.
Resolver una ecuación implica despejar el valor de x realizando operaciones a la igualdad
utilizando las 5 propiedades anteriores.
Ejemplo: Resolver la ecuación
18x+ 6 + 2− 2x = 15x+ 12
.
Solución:
(18x− 2x) + (6 + 2) = 15x+ 12
16x+ 8 = 15x+ 12
16x+ 8−15x = 15x+ 12−15x
x+ 8−8 = 12−8
x = 4
Verificación:
18 · 4 + 6 + 2− 2 · 4 = 15 · 4 + 12
72 = 72
Ejemplo:Resolver la ecuación
x+ 1
6
− 3(x− 2)
8
= x− 6
Solución: Una forma práctica es multiplicar ambos miembros por mcm(6, 8).
48 ·
Å
x+ 1
6
− 3(x− 2)
8
ã
= 48 · (x− 6)
8(x+ 1)− 18(x− 2) = 48x− 288
8x+ 8− 18x+ 36 = 48x− 288
7
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
(8x− 18x) + (8 + 36) = 48x− 288
−10x+ 44+10x = 48x− 288+10x
44+288 = 58x− 288+288
332 = 58x
332: 58 = 58x: 58
166
29
= x
Verificación:
x+ 1
6
− 3(x− 2)
8
= x− 6
− 8
29
= − 8
29
Ejemplo: Resolver la ecuación 8 +
10
x
=
5
x
+ 7
Solución: Una forma práctica es multiplicar ambos miembros por x.
x ·
Å
8 +
10
x
ã
= x ·
Å
5
x
+ 7
ã
8x+ 10 = 5 + 7x
8x+ 10−7x = 5 + 7x−7x
x+ 10−10 = 5−10
x = −5
Verificación:
8 +
10
x
=
5
x
+ 7
8 +
10
−5
=
5
−5
+ 7
8− 2 = −1 + 7
6 = 6
8
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Desigualdades
Definición 5
Una desigualdad es un enunciado de que dos cantidades o expresiones no son iguales.
Puede ser el caso que una cantidad sea menor (<), menor o igual (≤), mayor (>) o
mayor o igual (≥) a otra cantidad. Considere la desigualdad
2x+ 5 > 13
Como se muestra en la tabla siguiente, ciertos números dan enunciados verdaderos
cuando se sustituyen por x y otros dan enunciados falsos.
x 2x+ 5 > 13 Conclusión
3 11 > 13 Falso
4 13 > 13 Falso
5 15 > 13 Verdadero
6 17 > 13 Verdadero
Resolver una desigualdad significa hallar todas las soluciones. Dos desigualdades son equi-
valentes si tienen exactamente las mismas soluciones.
Los métodos para resolver desigualdades en x son semejantes a los que se emplean para
resolver ecuaciones. En particular, con frecuencia usamos propiedades de las desigualdades
para sustituir una desigualdad dada con una lista de desigualdades equivalentes, terminando
con una desigualdad de la que fácilmente se obtienen soluciones. Las propiedades de la tabla
siguiente se pueden demostrar para números reales a, b, c y d.
Propiedades de las desigualdades
Propiedades Ejemplos
(1) Si a < b y b < c , ⇒ a < c 6 < 7 y 7 < 10 , ⇒ 6 < 10
(2) Si a < b , ⇒ a+ c < b+ c y a− c < b− c 3 < 5, ⇒ 2 + 3 < 7 + 3 y 2− 3 < 7− 3
(3) Si a < b y c > 0 , ⇒ ac < bc 6 < 7 y c = 3 , ⇒ 6 · 3 < 7 · 3 y 6
3
<
7
3
(4) Si a < b y c < 0 , ⇒ ac > bc y a
c
>
b
c
2 < 5 y −3 < 0 , ⇒ 2 · (−3) > 5 · (−3) y 2
−3
>
5
−3
9
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Ejemplo: Resolver la desigualdad
−3x+ 4 < 11
Solución:
−3x+ 4 < 11 original
−3x+ 4− 4 < 11− 4 resto
−3x < 7 simplifico
−3
−3
x >
7
−3
divido por −3 e invierto el signo de desigualdad
x > −7
3
−3 −2 0
−73
(
Ejemplo: Resolver la desigualdad
4x− 3 < 2x+ 5
Solución:
4x− 3 < 2x+ 5 original
4x− 3 + 3 < 2x+ 5 + 3 Sumo 3
4x < 2x+ 8 simplifico
4x− 2x < 2x+ 8− 2x resto 2x
2x < 8 simplifico
2
2
x <
8
2
divido por 2
x < 4
3 4 5
)
Ejemplo: Resolver la desigualdad
−6 < 2x− 4 < 2
10
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
−6 < 2x− 4 < 2 original
−6 + 4 < 2x− 4 + 4 < 2 + 4 Sumo 4
−2 < 2x < 6 simplifico
−2
2 <
2
2x <
6
2 divido 2
−1 < x < 3 simplifico
−1 0 3
)(
Ejemplo: Resolver la desigualdad
3(x− 1) + 2 ≤ 5x+ 6
Solución:
3(x− 1) + 2 ≤ 5x+ 6 original
3x− 3 + 2 ≤ 5x+ 6 propiedad distributiva
3x− 1 ≤ 5x+ 6 simplificar
3x ≤ 5x+ 7 sumar 1
−2x ≤ 7 restar 5xÅ
−1
2
ã
· −2x ≥
Å
−1
2
ã
· 7 Multiplicar por -1/2 ( desigualdad se invierte)
x ≥ −7
2
−4 −3 −2 −1 0
[
11
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Valor absoluto o módulo
Definición 6
Valor absoluto o módulo
Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un
número representa la distancia del punto a al origen.
−3 0 3
3 unidades 3 unidades
en notación, esto es | − 3| = |3| = 3. se lee: valor absoluto de menos tres.
Analíticamente podemos ver que si a es positivo , es decir, está a la derecha de cero,
entonces |a| = a y si está a la izquierda de cero, es decir, si a es negativo, entonces
|a| = −a. Esto lo escribimos en la siguiente definición:
|x| =

x si x ≥ 0
−x si x < 0
El módulo o valor absoluto nos permite expresar simbólicamente también la distancia D
entre dos números x e y:
D(x,y) = |x− y| = |y − x|
Por ejemplo:D(−2,1) = | − 2− 1| = |1− (−2)| = 3
−2 −1 0 1 2
D = 3
Ecuaciones con valor absoluto
Si |x| = 2 entonces significa que x = 2 ∨ x = −2 o podemos escribir la solución S = {2,−2}
Si |x − 3| = 5 entonces significa que x − 3 = 5 ∨ x − 3 = −5, resolviendo las ecuaciones se
obtiene S = {8,−2}
Si |x− 3| = −5 entonces significa que No hay solución, ya que el valor absoluto siempre es
mayor o igual a cero , nunca negativo. Escribimos S = ∅
Desigualdades con módulo(inecuaciones)
La expresión |x| < 2 la podemos interpretar como los x que distan a menos de 2 unidades
del origen.
Así la desigualdad |x| < 2 equivale a −2 < x < 2.
12
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
0
( )
−2 2
La expresión |x| > 2 la podemos interpretar como los x que distan a más de 2 unidades
del origen.
Así la desigualdad |x| > 2 equivale a x < −2 ∨ x > 2.
0
) (
−2 2
x < −2 x > 2
En general,
|x| > a entonces x < −a ó x > a , y se obtiene S = (−∞,−a) ∪ (a,∞).
0
) (−a a
x < −a x > a
|x| < a entonces −a < x < a , y se obtiene S = (−a, a).
0
( )−a a
Ejemplo: Resolver
4− |1− x| ≤ 1
Para usar algunas de las dos formas anteriores, debemos primero dejar el valor absoluto
completamente despejado en el lado izquierdo de la desigualdad:
4− |1− x| ≤ 1 Restamos 4 ambos lados
−|1− x| ≤ −3 multiplicamos por −1.
|1− x| ≥ 3 convertimos en desigualdades sin módulo.
1− x ≥ 3 ∨ 1− x ≤ −3 restamos 1 ambos lados.
−x ≥ 2 ∨ −x ≤ −4
x ≤ −2 ∨ x ≥ 4
El conjunto solución es
S = (−∞,−2] ∪ [4,∞)
13
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Propiedades
Para todo x, y ∈ R se verifica:
a) |x| = | − x|
b) |x · y| = |x| · |y|
c)
∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = |x||y| con y 6= 0
d) |x+ y| ≤ |x|+ |y|
e) |x− y| ≥ |x| − |y|
f) |x−1| = 1
|x|
con x 6= 0
g)
√
x2 = |x|
14
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Sistemas de ecuaciones
Existen problemas de las ciencias Naturales y exactas que dependen de muchas varia-
bles, informaciones que se relacionan entre sí. La clave del análisis está en organizarla
de manera ordenada. A partir de esta clase se trabajará con herramientas de algebra
lineal que permiten organizar información. En esta clase en particular se trabajará
con el concepto de sistemas de ecuaciones y los diferentes métodos de resolución con
problemas de aplicación en diferentes áreas de la ciencia. Los temas que trabajaremos
en esta clase son:
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Sistemas de ecuaciones li-
neales generales. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales.
Clasificación de SEL’s por su tipo de solución.
Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Método de Gauss.
Ejemplos aplicados de SEL’s.
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman una sistema cuando se relacionan entre si debido
a que tiene las mismas incógnitas. Un sistema puede describirse de la siguiente manera.
ß
a11 x+ a12 y = b1
a21 x+ a22 y = b2
x
y
a11 x+ a12 y = b1
a21 x+ a22 y = b2
(x, y)
En donde a11, a12, a21, a22 se llaman coeficientes de cada una de las ecuaciones y x, y son
las incógnitas.
Definición 7
Decimos que el sistema es lineal porque las ecuaciones que están involucradas son
ecuaciones de grado 1. Las mismas son representadas en el plano como dos rectas. El
objetivo es encontrar el valor de las incógnitas (o conjunto solución) que son las queverifican a cada una de las ecuaciones del sistema.
Un sistema de ecuaciones se clasifica según el número de ecuaciones:
Sistema compatible determinado.(sistema con una solución).
Sistema compatible indeterminado.(sistema con infinitas soluciones).
Sistema incompatible. (sistema sin solución).
Sistema compatible determinado
15
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lecturaß
2x− y = 2
x+ 1 = y
tiene una solución, el par (x, y) = (3, 4) que hacen cierta la igualdad en cada una de las
ecuaciones del sistema. ß
2 · 3− 4 = 2
3 + 1 = 4
Podemos escribir entonces la solución del sistema como un par ordenado (3, 4) que
gráficamente representará el punto e intersección entre las dos rectas y . En este caso, en
el que tenemos una única solución decimos que el sistema es compatible determinado.
Sistema compatible indeterminado
Este tipo de sistemas tienen la particularidad de que una ecuación es proporcional a la
otra. En el siguiente ejemplo presentamos dos sistemasß
x+ y = 12
x+ 2y = 12
(1)
ß
x+ y = 12
2x+ 4y = 24
(2)
En el ejemplo (1) tenemos dos ecuaciones que son iguales mientras que en el
ejemplo (2) tenemos que la segunda ecuación es igual a la primera multiplicada
por dos. Un sistema así tiene infinitas soluciones, es decir, infinitos pares x, y que
satisfacen la igualdad. Gráficamente se representa por dos rectas coincidentes.
En este caso, decimos que el sistema es compatible indeterminado.
x
y
x+ 2y = 12
2x+ 4y = 24
Sistema de ecuaciones incompatible
Hay sistemas cuyas ecuaciones se contradicen entre sí. Por ejemplo:ß
x+ y = 15
x+ y = 9
En este caso, nos dice por una parte que x+ y = 15 y por otra x+ y = 9 que
y eso es imposible porque para eso tendrían que adoptar las incógnitas valores
distintos en cada ecuación y entonces no sería un sistema de ecuaciones.
Decimos entonces que este sistema es incompatible porque no existe un par
(x, y), que satisfaga las dos ecuaciones a la vez. Gráficamente se representa
como dos rectas que no se cortan nunca, es decir, dos rectas paralelas.
x
y
x+ y = 15
x+ y = 9
s
16
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones
A continuación vamos a repasar algunos métodos que se utilizan para resolver sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Método de sustitución.
Método de eliminación.
Método sustitución.
Método de sustitución
Este método de resolución de un consiste en despejar una incógnita en una de las
ecuaciones y sustituir en la otra. Ejemplo: Resolver el sistema de ecuacionesß
2x+ 1 = y
−x+ 3y = 2
Solución:
Paso 1: Despejar una incógnita. Elegimos una de las dos ecuaciones y despejamos
una incógnita.
2x+ 1 = y
En este caso conviene elegir la primera ecuación porque ya se encuentra despejada.
Paso 2: Sustituir. Reemplazamos la expresión de la incógnita obtenida en el paso
anterior en la otra ecuación.
−x+ 3(2x+ 1) = 2
Paso 3: Despejar. Despejamos la incógnita de la ecuación del paso 2
−x+ 6x+ 3 = 2
5x = 2− 3
5x = −1
x = −1
5
Paso 4: Sustituir. Sustituimos el valor hallado en el paso 3 en la expresión del paso
1 y despejamos la otra incógnita.
2 ·
Å
−1
5
ã
+ 1 = y
−2
5
+ 1 = y
3
5
= y
Paso 5: Verificar la solución (tarea)
17
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
La solución del sistema es el par ordenado
Å
−1
5
,
3
5
ã
. El sistema es compatible determi-
nado pues tiene única solución. Gráficamente se observa que las rectas se cortan en el
punto
Å
−1
5
,
3
5
ã
.
x
y
y = 2x+ 1
−x+ 3y = 2
Å
−
1
5
,
3
5
ã
Método de eliminación
Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas
tenga el mismo coeficiente en ambas y así restando o sumando las ecuaciones resultantes,
miembro a miembro, se obtiene una ecuación con sólo una incógnita.
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuacionesß
−2x+ y = 1
x+ 3y = 2
Solución:
Paso 1: Ajustar los coeficientes. El objetivo será eliminar una variable usando suma
o resta. Para ello tenemos que multiplicar las ecuaciones por números apropiados
de modo que al sumar o restar se anule la x o la y. En este caso multiplicamos la
segunda ecuación por 2 ß
−2x+ y = 1
2x+ 6y = 4
Paso 2: Sumo las ecuaciones. Sumamos las dos ecuaciones para eliminar una incóg-
nita y despejar la otra.
−2x+ y = 1
2x+ 6y = 4
7y = 5
y =
5
7
Paso 3: Sustituir. Sustituimos el valor hallado en el paso 2 en alguna de las dos
ecuaciones para despejar la otra incógnita.
−2x+ 5
7
= 1
18
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
−2x = 1− 5
7
−2x = 2
7
x = −1
7
Paso 4: Verificar La solución del sistema es el par ordenado
Å
−1
7
,
5
7
ã
. El sistema
es compatible determinado pues tiene única solución. Gráficamente las rectas se
cortan en el punto solución.
x
y
x+ 3y = 2
−2x+ y = 1
Å
−
1
7
,
5
7
ã
Método de igualación.
Éste método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las
expresiones resultantes.
Resolver: ß
2x− y = 2
x+ 1 = y
Solución:
Paso 1: Despejar. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. En la primera
ecuación y = −2 + 2x mientras que en la segunda ya está despejada la incógnita
x+ 1 = y.
Paso 2: Igualar. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una
incógnita y resuelvo la ecuación
x+ 1 = −2 + 2x
1 + 2 = 2x− x
3 = x
Paso 3: Sustituir. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones
3 + 1 = y
y = 4
Paso 4: Verificar.
19
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones lineales con
dos incógnitas
Problema 1
En un estacionamiento hay 55 vehículos entre coches y motos. Si el total de ruedas es
de 170. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay?
Los paso para resolver un problema son:
Paso 1: Plantear un sistema de ecuaciones que modeliza el problema indicando el
significado de cada incógnita.
Paso 2: Resolver el sistema y responder la pregunta.
Paso 3: Verificar que la solución hallada es solución del sistema de ecuaciones pro-
puesto.
Paso 1: Se le asigna una letra a cada incógnita del problema. La pregunta ¿Cuántos coches
y cuántas motos hay? Indica que las incógnitas serán dos x = número de coches y =
número de motos.
Paso 2: Se plantean las dos ecuaciones.
Primera Ecuación Como hay 55 vehículos en total entre coches y motos la ecuación que
lo representa será
x+ y = 55
Segunda Ecuación Hay 170 ruedas entre todos los vehículos. Un coche tiene 4 ruedas
luego x coches tendrán 4x ruedas. Una moto tiene 2 ruedas luego y motos tendrán 2y
ruedas. En definitiva la ecuación que da el total de ruedas es:
4x+ 2y = 170
El sistema que nos queda es el siguiente:ß
x+ y = 55
4x+ 2y = 170
Paso 3: Resolver el sistema. Lo resuelvo por ejemplo, por sustitución,igualción o eliminación
y queda:
x = 30 , y = 25
20
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Paso 4: Ahora se comprueba que es correcta la solución:
1) Entre todos los vehículos suman 55. Efectivamente 30 + 25 = 55
2) El número de ruedas es 170. Efectivamente 30 · 4 + 2 · 25 = 120 + 50 = 170.
Respuesta: En el estacionamiento hay 30 coches y 25 motos.
Sistemas de ecuaciones lineales generales
Problema 2
En un cajero automático se introducen billetes de 100, 500
y 1000 pesos. El número total de billetes es 60 y el total
de dinero es 41000 pesos. Se sabe además que el número de
billetes de $ 500 es el doble de los billetes de $ 100. Calcula
el número de billetes de cada tipo.
Vamos a llamar x , y , z al número de billetes de 100, 500 y 1000 respectivamente. Entonces
Si el número total de billetes es 60 tendremos la ecuación x+ y + z = 60.
Además el total de dinero es de 67500 pesos es decir 100x+ 500y + 1000z = 41000
Por último, El número de billetes de 500 es el doble de los billetes de 100, es decir, y = 2x
enemos entonces el siguiente sistema de ecuaciones
x+ y + z = 60
100x+ 500y + 1000z = 41000
y = 2x
Tenemos entonces un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Resolver estesistema es un poco más complicado que los sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas. Sin embargo se puede resolver con el método de sustitución de la siguiente manera.
1) Veamos que en la tercera ecuación ya tenemos una variable despejada
y = 2x. (4)
Entonces reemplazo la misma en la segunda ecuación.
100x+ 500 · 2x+ 1000z = 41000
100x+ 1000x+ 1000z = 41000
1100x+ 1000z = 41000
z =
41000− 1100x
1000
21
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
z =
41000
1000
− 1100
1000
x
z = 41− 11
10
x (5))
2) Reemplazo (4) y (5) En la primera ecuación y despejo z.
x+ 2x+ 41− 11
10
x = 60
19
10
x = 19
x = 10
Luego reemplazo en (4) y despejo .
y = 2 · 10
y = 20
Finalmente reemplazo x = 10 y y = 20 en (1)
x+ y + z = 60
10 + 20 + z = 60
z = 60− 30
z = 30
En conclusión, en el cajero hay 10 billetes de $100, 20 billetes de $500 y 30 billetes de
$1000.
Sistemas de ecuaciones generales
En general un sistema de ecuaciones de m ecuaciones con n incógnitas se puede expresar
de la siguiente manera
22
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura

a11x1 a12x3 a13x3 · · · a1nxn = b1
a21x1 a22x2 a23x3 · · · a2nxn = b2
a31x1 a32x2 a33x3 · · · a3nxn = b3
...
...
... · · ·
...
...
...
...
...
... · · · aijxj
...
...
am1x1 am2x2 a13x3 · · · amnxn = bm
aijxj
Donde se representa cada coeficiente con una letra y dos subíndices aij donde i representará
el número de la ecuación en la que se está posicionado y j representara el número de incógnita.
Notación matricial
Por ejemplo si tenemos que resolver un sistema como el siguiente
2x+ 3y − z = 2
x = 2
3x+ z = 5
podemos ordenarlo
en la matriz
Ñ
2 3 −1 2
1 0 0 2
3 0 1 5
é
En general todo sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial de la
siguiente manera
AX = b
Donde A es la matriz de coeficientes, en el ejemplo
A =
Ñ
2 3 −1
1 0 1
3 0 1
é
X es la matriz de incógnitas, en el ejemplo X =
Ñ
x
y
z
é
b es la matriz de los números que componen el miembro derecho de cada ecuación de
sistema, es decir, los términos independiente, en el ejemplo b =
Ñ
2
2
5
é
Vimos que el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas del problema 1 se resolvió por
medio del método de sustitución. Este método se hace cada vez más difícil al aumentar el
número de ecuaciones e incógnitas. Es por eso que utilizaremos ahora la notación matricial
para resolver sistemas por un método más sencillo que se llama método de eliminación.
Este método nos permite reemplazar la matriz por una equivalente que sea más fácil de
resolver.
Para obtener este nuevo sistema tenemos permitidas las siguientes operaciones entre filas:
23
MATEMÁTICA I - Números y operaciones Material de lectura
Sumar un múltiplo de una fila a otra fila.
Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
Intercambiar dos filas.
Ejemplo: Resolver el sistema 
x = 2
2x+ 3y − z = 2
3x+ z = 5
Solución:

x = 2
2x+ 3y − z = 2
3x+ z = 5
Transformamos
en matriz
Ñ
2 0 0 2
2 3 −1 2
3 0 0 5
é
F2 → F2 − 2F1
Ñ
1 0 0 2
0 3 −1 −2
3 0 1 5
é
F3 → F3 − 3F1
Ñ
1 0 0 2
0 3 −1 −2
0 0 1 −1
é
Observar que con pocas operaciones de filas convertimos nuestro sistema en un sistema
equivalente más fácil de resolver. El sistema ahora seráÑ
1 0 0 2
0 3 −1 −2
0 0 1 −1
é
Como primer paso vamos a dejar el coeficiente de x en la primera fila y trataremos de
eliminar los coeficientes de x de la fila 2 y 3. Para esto debemos restar dos veces la fila 1 a la
fila 2. Luego debemos restar tres veces la fila 1 a la fila 3.
x = 2
3x− z = −2
z = −1
Observar que ahora solo tenemos que despejar y de la segunda ecuación
3y − z = −2
3y − (−1) = −2
3y = −3
y = −1
La solución del sistema de ecuaciones es (2,−1,−1).
Observar que este método resulta más fácil a la hora de resolver sistemas de igual o más de
tres ecuaciones.
24
	Conjuntos Numéricos. Representación
	Notación de Intervalos
	Ecuaciones
	Propiedades de la igualdad
	Desigualdades
	Propiedades de las desigualdades
	Valor absoluto o módulo
	Desigualdades con módulo(inecuaciones)
	Propiedades
	Sistemas de ecuaciones
	Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
	Métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones
	Problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
	Sistemas de ecuaciones lineales generales
	Sistemas de ecuaciones generales
	Notación matricial