TALLER 3 - Juan Felipe Martín Martínez

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Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Defina los valores a=7 b=4 c=6 
1. El modelo de un sistema no lineal es: 
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑢 − 3𝑥1 − 3𝑥2
1.7 + 𝑎
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
=𝑥1
0.8−2𝑥2
1.2−𝑏
 
 
Obtener un punto de equilibrio para una entrada u(t) = escalón de amplitud 5 
Realizar la simulación comprobando los resultados. 
Linealizar el sistema obteniendo la ecuación en V.E. y F.T. 
Comparar el modelo lineal con el no lineal si la entrada cambia de 5 a 6 y de 5 a 4. Construir la una sola 
señal de entrada para realizar solo una simulación. 
 
Datos: 
A=7 
B=4 
U=5 
 
Se despejó la primera ecuación para conocer el valor de 𝑥1 y así reemplazarlo en la segunda ecuación, las 
cuales fueron igualadas a cero 
𝑢 − 3𝑥1 − 3𝑥2
1.7 + 7 = 0 
 
𝑥1
0.8−2𝑥2
1.2 − 4 = 0 
 
 
−3𝑥1 = 3𝑥2
1.7 − 7 − 𝑢 
 
𝑥1 = −𝑥2
1.7 +
7
3
+
𝑢
3
 
𝑢 = 5 
 
(−𝑥2
1.7 +
7
3
+
5
3
)
0.8
−2𝑥2
1.2 − 4 = 0 
 
(−𝑥2
1.7 + 4)0.8−2𝑥2
1.2 − 4 = 0 
 
La ecuación obtenida se resolvió para 𝑥2 por medio del uso de matlab, pero con la entrada 𝑈 = 5 el valor 
de 𝑥2 daba imaginario, por lo cual, se cambió el valor de U hasta que diera un valor real, el cual fue 15, 
dando como resultado, el punto de equilibrio para 𝑥2 y 𝑥1 
 
syms x 
u=15; 
F=(((7/3)+(u/3)-x^(1.7))^(0.8))-(2*(x^(1.2)))-4; 
vpasolve(F==0,x) 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
𝑢 = 15 
 
(−𝑥2
1.7 +
7
3
+
15
3
)
0.8
−2𝑥2
1.2 − 4 = 0 
 
𝑥2 = 0.4567 
 
𝑥1 = −𝑥2
1.7 +
7
3
+
𝑢
3
 
 
𝑥1 = 7.0695 
 
Los valores se comprobaron por medio del diagrama de bloques, y la gráfica dada por este 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
 
plot(out.tout,out.X); 
legend('x1','x2') 
title('Puntos de Estabilización') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('X'); 
grid on;grid minor 
 
 
Ahora se procede a hallar las V.E 
𝑢 − 3𝑥1 − 3𝑥2
1.7 + 7 = 0 
 
𝑥1
0.8−2𝑥2
1.2 − 4 = 0 
 
 
𝐴 = [
−3 −5.1𝑥2
0.7
0.8𝑥1
−0.2 −2.4𝑥2
0.2
]
𝑥1=7.0695
𝑥2=0.4567
 
 
𝐴 = [
−3 −2.9465
0.5410 −2.0518
] 
 
𝐵 = [
1
0
] 
 
[
𝑥1̇
𝑥2̇
] = [
−3 −2.9465
0.5410 −2.0518
] [
∆𝑥1
∆𝑥2
] + [
1
0
] ∆𝑢 
 
𝑥1 = [1 0] [
∆𝑥1
∆𝑥2
] + [0]∆𝑢 
 
𝑥2 = [0 1] [
∆𝑥1
∆𝑥2
] + [0]∆𝑢 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Se simula la linealización de la respuesta 𝑥1 y 𝑥2 usando las V.E 
 
 
 
plot(out.tout,out.X1_VE); 
hold on; 
plot(out.tout,out.X2_VE); 
hold on; 
legend('x_1','x_2') 
title('Linealización de X_1 y X_2 según V.E') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('X'); 
grid on;grid minor 
 
Se simula la linealización de la respuesta 𝑥1 y 𝑥2 usando las F.T, las cuales se mostrarán como se 
obtuvieron en el próximo punto 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
plot(out.tout,out.X1_FT); 
hold on; 
plot(out.tout,out.X2_FT); 
hold on; 
legend('x_1','x_2') 
title('Linealización de X_1 y X_2 según F.T') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('X'); 
grid on;grid minor 
 
Las simulaciones de linealización, se realizaro con el siguiente diagrama de bloques 
 
 
Se simula la linealización de la respuesta 𝑥1 y 𝑥2 usando la F.T, la cual se halló siguiendo la siguiente 
forma, haciendo uso de las V.E 
𝐺𝑠 = 𝑪(𝑆𝑰 − 𝑨)
−1𝑩 + 𝑫 
 
𝐺𝑠 = 𝑪
𝒂𝒅𝒋(𝑆𝑰 − 𝑨)
|𝑆𝑰 − 𝑨|
𝑩 + 𝑫 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Se resuelve el dividiendo que contiene la adjunta 
𝑆𝑰 = 𝑆 ∗ [
1 0
0 1
] = [
𝑆 0
0 𝑆
] 
 
𝑆𝑰 − 𝑨 = [
𝑆 0
0 𝑆
] − [
−3 −2.9465
0.5410 −2.0518
] = [
𝑆 + 3 2.9465
−0.5410 𝑆 + 2.0518
] 
 
Se saca el valor del denominador 
 
|𝑆𝑰 − 𝑨| = [(𝑆 + 3) ∗ (𝑆 + 2.0518)] − [(−0.5410) ∗ (2.9465)] 
 
|𝑆𝑰 − 𝑨| = [𝑆2 + 2.0518 𝑆 + 3 𝑆 + 6.1554] − [−1.5941] 
 
|𝑆𝑰 − 𝑨| = [𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 6.1554] − [−1.5941] 
 
|𝑆𝑰 − 𝑨| = 𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495 
 
Se evalúa para hallar la adjunta 
 
𝑆𝑰 − 𝑨 = [
𝑆 + 3 2.9465
−0.5410 𝑆 + 2.0518
] 
 
Cofactores: 
 
𝐶1,1 = (+)(𝑆 + 2.0518) 
𝐶2,1 = (−) (−0.5410) 
𝐶1,2 = (−) (2.9465) 
𝐶2,2 = (+) (𝑆 + 3) 
𝒂𝒅𝒋(𝑆𝑰 − 𝑨) = [
𝑆 + 2.0518 −2.9465
0.5410 𝑆 + 3
] 
 
𝒂𝒅𝒋(𝑆𝑰 − 𝑨)
|𝑆𝑰 − 𝑨|
=
[
𝑆 + 2.0518 −2.9465
0.5410 𝑆 + 3
]
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
 
 
𝒂𝒅𝒋(𝑆𝑰 − 𝑨)
|𝑆𝑰 − 𝑨|
= [
𝑆 + 2.0518
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
−2.9465
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
0.5410
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
𝑆 + 3
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
] 
 
Teniendo esto, se cumple la ecuación descrita anteriormente 
 
𝐺𝑠 = 𝑪
𝒂𝒅𝒋(𝑆𝑰 − 𝑨)
|𝑆𝑰 − 𝑨|
𝑩 + 𝑫 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
𝐺𝑠 = [
1 0
0 1
] [
𝑆 + 2.0518
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
−2.9465
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
0.5410
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
𝑆 + 3
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
] [
𝟏
𝟎
] + 𝟎 
 
Al realizar la multiplicación por el la matriz B se reduce de la siguiente forma 
 
𝐺𝑠 = [
𝑆 + 2.0518
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
0.5410
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
] 
 
La función de transferencia para 𝑥1 será 𝐺1,1 y para 𝑥2 será 𝐺1,2 
 
𝐺1,1 =
𝑆 + 2.0518
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
 
 
𝐺1,2 =
0.5410
𝑆2 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
 
 
Haciendo uso del siguiente código en Matlab y las V.E halladas con anterioridad, se verificó la F.T 
hallada para 𝑥1, y se comparó la respuesta lineal y no lineal 
 
%% Creación F.T 
clc, clear 
syms S 
A=[-3 -2.9465;0.5410 -2.0518]; %Matriz A 
B=[1;0]; %Matriz B 
C=[1 0]; %Matriz C 
D=[0]; %Matriz D 
I=[1 0;0 1]; %Matriz I 
M=[S*I-A]; %No cambiar 
Y=inv(M); %Inversa 
J=C*Y*B+D; %G(s) 
pretty(J) %F.T mejor vista 
 
𝑋1
𝑈
= 𝐺𝑠1 =
(5000 𝑆 + 10259)400
2000000 𝑆2 + 10103600 𝑆 + 15498913
 
 
𝐺𝑠1 =
𝑆 + 2.0518
𝑆 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
 
 
plot(out.tout,out.COMP1(:,2));hold on; 
plot(out.tout,out.COMP1(:,1));hold on; 
legend('X_1 lineal','X_1 no lineal') 
title('Comparación modelo lineal y no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('X'); 
grid on;grid minor 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Haciendo uso del siguiente código en Matlab y las V.E halladas con anterioridad, se verificó la F.T 
hallada para 𝑥2, y se comparó la respuesta lineal y no lineal 
 
%% Creación F.T 
clc, clear 
syms S 
A=[-3 -2.9465;0.5410 -2.0518]; %Matriz A 
B=[1;0]; %Matriz B 
C=[0 1]; %Matriz C 
D=[0]; %Matriz D 
I=[1 0;0 1]; %Matriz I 
M=[S*I-A]; %No cambiar 
Y=inv(M); %Inversa 
J=C*Y*B+D; %G(s) 
pretty(J) %F.T mejor vista 
 
𝑋1
𝑈
= 𝐺𝑠1 =
1082000
2000000 𝑆2 + 10103600 𝑆 + 15498913
 
 
𝐺𝑠1 =
0.541
𝑆 + 5.0518 𝑆 + 7.7495
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
plot(out.tout,out.COMP2(:,2));hold on; 
plot(out.tout,out.COMP2(:,1));hold on; 
legend('X_2 lineal','X_2 no lineal') 
title('Comparación modelo lineal y no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('X'); 
grid on;grid minor 
 
Comparando la respuesta lineal y no lineal usando las V.E, y como condición inicial los puntos de 
equilibrio hallados para 𝑥1, se obtiene que 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
 
plot(out.tout,out.COMP1(:,2));hold on; 
plot(out.tout,out.COMP1(:,1));hold on; 
legend('X_1 lineal','X_1 no lineal') 
title('Comparación modelo lineal y no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('X'); 
grid on;grid minor 
 
Comparando la respuesta lineal y no lineal usando las V.E, y como condición inicial los puntos de 
equilibrio hallados para 𝑥2, se obtiene que 
 
Dinámica de SistemasHéctor Manuel Vega 
 
 
 
plot(out.tout,out.COMP2(:,2));hold on; 
plot(out.tout,out.COMP2(:,1));hold on; 
legend('X_2 lineal','X_2 no lineal') 
title('Comparación modelo lineal y no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('X'); 
grid on;grid minor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
2. El tanque tipo tolva tiene diámetro D= (6a+5b+4c) in y altura H=(7+a) ft de altura tiene un caudal de 
entrada de 4Li/s se conecta a un tubo CH40 de 2 in de diámetro y (10b + 10c) m de longitud con una 
válvula de globo 75% abierta y 5 codos roscados. Si en t=0 el tanque esta en equilibrio siendo el fluido 
agua a 10°C. Realice el proceso de linealización del sistema, realice la simulación cuando Q cambia a 5.8 
Li/s y compare la respuesta con la del modelo no lineal. 
 
DATOS: 
 
Diámetros de tanques 𝐷 = (6𝑎 + 5𝑏 + 4𝑐) 𝑖𝑛 = (6(7) + 5(4) + 4(6)) 𝑖𝑛 = 86 𝑖𝑛 = 2.1844 𝑚 
 𝐻 = (7 + 𝑎) 𝑓𝑡 = (7 + (7)) 𝑓𝑡 = 14 𝑓𝑡 = 4.2672 𝑚 
Entradas 𝑄𝑖𝑛 = 5.8 𝐿𝑖/𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Haciendo uso del libro de Robert Mott de Mecánica de Fluidos se halla el diámetro interior de los tubos, la 
rugosidad de los tubos y la viscosidad cinemática del agua a 10 °C 
 
 
 
𝑇𝑢𝑏𝑜 → 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 = (10b + 10c) m = (10(4) + 10(6)) m = 100 𝑚 
 𝐶𝐻40 𝐷𝑛 = 2" → 𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 52.5 𝑚𝑚 
 𝑉𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 = 75% 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 
 5 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑜𝑠𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 
 
Se toma el valor del acero comercial, ya que el tubo es un CH40 
 
 
 
𝜀 = 4.6𝑥10−5 𝑚 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
 
𝑣 = 1.30𝑥10−6 𝑚
2
𝑠⁄ 
 
Para realizar los cálculos de las K de accesorios se usó la siguiente tabla 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Tubo 1: 
 
Se tomaron los valores para 𝐷𝑛 = 2" 
𝑘𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 = 0.95 ∗ 5 = 4.75 
 
𝑘𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 0.5 
 
𝑘𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 1 
 
Para hallar la K de las válvulas, se usó el siguiente código de Matlab, el cual crea la función necesaria para 
realizar una iteración de potencia 
 
K=[6.9 17 48]; 
A=[1 0.5 0.25]; 
cftool 
 
 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑥
𝑏 + 𝑐 
 
𝑥 = 0.75 = 75% 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 = (4.881) ∗ (0.75)
(−1.618) + (2.019) 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 = 9.7933 
 
𝑘𝑎𝑐𝑐 = (4.75 + 0.5 + 9.7933 + 1) = 16.0433 
 
Por lo tanto, la resistencia de accesorios es 
 
𝑅𝑎𝑐𝑐 =
8𝐾
𝜋2𝑔𝑑4
=
8(4.75 + 0.5 + 9.7933 + 1)
𝜋2 (9.81 𝑚 𝑠2⁄ )
(0.0525 𝑚)4
= 174.492𝑥103 𝑠
2
𝑚5
⁄ 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Para la resistencia del tubo se tomaron las velocidades 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 𝑚 𝑠⁄ . Se procede a realizar una 
muestra del procedimiento que desarrolla el cuadro que se muestra más adelante 
 
- Número de Reynolds 
𝑅𝑒 =
𝑣𝑒𝑙 ∗ 𝑑
𝑣
 
 
𝑅𝑒 =
(0.5 𝑚 𝑠⁄ )(0.0525 𝑚)
(1.30𝑥10−6 𝑚
2
𝑠⁄ )
= 20.192𝑥103 
- Factor de fricción 
𝑓 =
1
[−1.8 log ((
𝜀
3.7 ∗ 𝐷)
1.11
+
6.9
𝑅𝑒)]
2 
 
𝑓 =
1
[−1.8 log ((
4.6𝑥10−5 𝑚
3.7 ∗ 0.0525 𝑚)
1.11
+
6.9
20.192𝑥103
)]
2 = 0,0273 
 
- Altura de perdidas 
ℎ𝑝 = 𝑓 ∗
𝐿
D
∗
𝑣𝑒𝑙2
2 ∗ 𝑔
 
 
ℎ𝑝 = 0,0273 ∗
100 𝑚
0.0525 𝑚
∗
(0.5 𝑚 𝑠⁄ )
2
2 ∗ (9.81 𝑚 𝑠2⁄ )
= 0,6634 m 
 
- Calcular el caudal 
𝑄 = 𝑣𝑒𝑙 ∗
𝜋
4
∗ 𝐷2 
 
𝑄 = (0.5 𝑚 𝑠⁄ ) ∗
𝜋
4
∗ (0.0525 𝑚)2 = 0,0011 𝑚
2
𝑠⁄ 
 
- Calcular 𝐻𝑄2 
𝐻𝑄 = ℎ𝑝 ∗ (𝑄)
2 
 
𝐻𝑄2 = (0,6634 m) ∗ (0,0011)2 = 7.77x10−7 𝑚
7
𝑠2⁄ 
 
- Calcular 𝑄4 
𝑄4 = (0,0011 𝑚
2
𝑠⁄ )
4
= 1.37𝑥10−12 𝑚
12
𝑠4
⁄ 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
La siguiente tabla muestra los datos hallados con las siguientes velocidades 
 
Diámetro (D) 0,0525 
 Longitud (L) 100 
 Rugosidad 4,60E-05 
 Viscosidad 1,30E-06 
 gravedad 9,81 
 k 16,0433 
 
 Vel 0,5 1 1,5 2 2,5 
 Re 20192,3077 40384,6154 60576,9231 80769,2308 100961,5385 
 f 0,0273 0,0241 0,0228 0,0220 0,0215 
 hp(m) 0,6634 2,3430 4,9756 8,5466 13,0504 
 Q(li/s) 0,0011 0,0022 0,0032 0,0043 0,0054 SUMAS 
hQ^2(m^7/s^2) 7,77E-07 1,10E-05 5,25E-05 1,60E-04 3,82E-04 606,6E-6 
Q^4(m^12/s^4) 1,37E-12 2,20E-11 1,11E-10 3,51E-10 8,58E-10 1,3E-9 
 Rk 174492,8858 Accesorios 
 R5 625974,5215 Total 
 Rf 451481,6357 Tubo 
 
la resistencia equivalente de los accesorios 
 
𝑅𝑘 = 174492,8858 
𝑠2
𝑚5
⁄ 𝑅𝑒𝑠. 𝐴𝑐𝑐 
 
Para hallar la resistencia equivalente de las pérdidas del tubo 
 
𝑅𝑓 =
∑ hQ2
∑ Q4
=
592.6𝑥10−6
1.3𝑥10−9
 
 
𝑅𝑓 = 451481,6357 
𝑠2
𝑚5
⁄ 𝑅𝑒𝑠. 𝑇𝑢𝑏𝑜 
La resistencia total será 
𝑅𝑇 = 𝑅𝑘 + 𝑅𝑓 
 
𝑅𝑇 = (174492,8858 
𝑠2
𝑚5
⁄ ) + (451481,6357 𝑠
2
𝑚5
⁄ ) = 625.974x103 𝑠
2
𝑚5
⁄ 
 
NOTA: 
Para lograr mayor exactitud en el cálculo de las resistencias equivalentes se tomaron los datos de un 
programa de Excel el cual genera las tablas mostradas anteriormente, por ende, si se hacen los cálculos 
escritos anteriormente con la notación científica expuesta, no va a dar el resultado mostrado. 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Conociendo la resistencia equivalente del tubo y los accesorios 
 
𝑅𝑇 = 625.974x10
3 𝑠
2
𝑚5
⁄ 
 
Se procedió a realizar el circuito equivalente al sistema 
 
 
 
Se realizó análisis de nodos para obtener las ecuaciones descriptivas del sistema 
 
𝑄𝑖𝑛 = 𝐶
𝑑ℎ
𝑑𝑡
+ 𝑄0 
 
Conociendo que la altura h es igual a ℎ = 𝑅𝑇𝑄
2 → 𝑄 = √
ℎ
𝑅𝑇
, y que 𝐶 =
𝜋
4
𝑑2 = 𝜋𝑟2, por lo cual, se halla 
cada uno 
 
𝑄0 = √
ℎ
625.974x103 𝑠
2
𝑚5⁄
=
√ℎ
791.1852
𝑚3
𝑠⁄ 
 
Al ser un área variable, se analiza por medio de relación de triángulos 
 
𝑟
ℎ
=
𝐷/2
𝐻
 
 
𝑟 =
𝐷/2
𝐻
∗ ℎ 
 
𝑟 =
(2.1844)/2
4.2672
∗ ℎ 
 
𝑟 = 0.256 ∗ ℎ 
 
Este valor se reemplaza en la ecuación de C 
 
𝐶 = 𝜋(0.256 ∗ ℎ)2 = 0.2058 ∗ ℎ2 
𝑄𝑖𝑛 
ℎ1 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Conociendo estos valores se reemplazan en la ecuación descriptiva 
 
𝑄𝑖𝑛 = 𝐶
𝑑ℎ
𝑑𝑡
+ 𝑄0 
 
𝑄𝑖𝑛 = 0.2058 ∗ ℎ
2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
+
√ℎ
791.1852
 
 
Se despeja 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
1
0.2058 ∗ ℎ2
(𝑄𝑖𝑛 −
√ℎ
791.1852
) 
 
Se halla el punto de equilibrio de h, sabiendo que 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 0 y 𝑄𝑖𝑛 = 0.004 
𝑚3
𝑠⁄ 
 
0 =
1
0.2058 ∗ ℎ2
(0.004 −
√ℎ
791.1852
) 
 
0 = 0.004 −
√ℎ
791.1852
 
 
√ℎ
791.1852
= 0.004 
 
√ℎ = 3.1647 
 
ℎ = (3.1647)2 = 10.0156 𝑚 
 
Haciendo uso del siguiente código de Matlab, se verificaron los puntos de equilibrio hallados, los cuales 
tendrán una pequeña variación por uso de los decimales 
 
clc, clear 
syms h 
F1=(1/(0.2058*h^2))*(0.004-((sqrt(h))/791.1852)); 
[h]=solve(F1); 
eval([h]) 
ℎ = 10.0156 𝑚 
 
Por medio de diagrama de bloques, se graficó la salida de la altura de nivel y el caudal, además de 
verificar los puntos de equilibrio hallados anteriormente 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
 
 
simulación solo
transiente
simulación solo
transiente
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
%% Salida de Altura 
plot(out.tout,out.altura);hold on; 
legend('h') 
title('Salida de altura de nivel') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
 
%% Salida del Caudal 
plot(out.tout,out.caudal);hold on; 
legend('Q_o') 
title('Salida de caudal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Cauldal (m^3/s)'); 
grid on;grid minor 
 
Se linealiza el Sistema, hallando las variables de estado 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
1
0.2058 ∗ ℎ2
(𝑄𝑖𝑛 −
√ℎ
791.1852
) 
 
𝛿𝑓
𝛿ℎ
= −
0.2058 ∗ 2 ∗ ℎ
(0.2058 ∗ ℎ2)2
(𝑄𝑖𝑛 −
√ℎ
791.1852
) +
1
0.2058 ∗ ℎ2
(−
1
791.1852 ∗ 2 ∗ √ℎ
) 
 
𝛿𝑓
𝛿ℎ
= −
9.7182
ℎ3
(𝑄𝑖𝑛 −
√ℎ
791.1852
) −
3.0708𝑥10−3
ℎ5/2 
 
 
𝛿𝑓
𝛿ℎ
= −
9.7182
ℎ3
𝑄𝑖𝑛 + (
9.7182
ℎ3
∗
ℎ1/2
791.1852
) −3.0708𝑥10−3
ℎ5/2 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
𝛿𝑓
𝛿ℎ
= −
9.7182
ℎ3
𝑄𝑖𝑛 + (
0.0123
ℎ5/2
∗
ℎ5/2 
ℎ5/2 
) − (
3.0708𝑥10−3
ℎ5/2 
∗
ℎ5/2 
ℎ5/2 
) 
 
𝛿𝑓
𝛿ℎ
= −
9.7182
ℎ3
𝑄𝑖𝑛 +
0.0123 ∗ ℎ5/2 
ℎ5
−
3.0708𝑥10−3 ∗ ℎ5/2 
ℎ5 
 
 
𝛿𝑓
𝛿ℎ
= −
9.7182
ℎ3
𝑄𝑖𝑛 +
9.2292𝑥10−3 ∗ ℎ5/2 
ℎ5
 
 
Se evalúa la derivada respecto a la h de equilibrio y al caudal de entrada, para obtener el valor de la matriz 
A 
𝛿𝑓
𝛿ℎ
= −
9.7182
ℎ3
𝑄𝑖𝑛 −
9.2292𝑥10−3 ∗ ℎ5/2 
ℎ5
|
ℎ=10.0156
𝑄𝑖𝑛=0.004
= −
9.7182(0.004)
(10.0156)3
+
9.2292𝑥10−3 ∗ (10.0156)
5
2
(10.0156)5
= −9.6197𝑥10−6 
 
Se deriva la función en términos de la entrada 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
1
0.2058 ∗ ℎ2
(𝑄𝑖𝑛 −
√ℎ
791.1852
) 
 
𝛿𝑓
𝛿𝑄𝑖𝑛
=
1
0.2058 ∗ ℎ2
∗ 1 
 
𝛿𝑓
𝛿𝑄𝑖𝑛
=
1
0.2058 ∗ ℎ2
 
 
Se evalúa respecto al h de equilibrio, para obtener el valor de la matriz B 
 
𝛿𝑓
𝛿𝑄𝑖𝑛
=
1
0.2058 ∗ ℎ2
|
ℎ=10.0156
= 0.0484 
 
Dando como resultado, las siguientes variables de estado 
 
[
𝑑ℎ
𝑑𝑡
] = [−9.6197𝑥10−6][ℎ] + [0.0484][𝑄𝑖𝑛] 
 
[ℎ] = [1] [
𝑑ℎ
𝑑𝑡
] + [0][𝑄𝑖𝑛] 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Se simula con ∆𝑄𝑖𝑛 = 1.8 
 
 
 
%% Comparación H VE 
plot(out.tout,out.h);hold on; 
legend('h lineal','h no lineal') 
title('Salida de altura de nivel - Comparación lineal-no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Se simula con ∆𝑄𝑖𝑛 = +10% ya que con ∆𝑄𝑖𝑛 = 1.8 el error da muy grande 
 
 
%% Comparación H VE 
plot(out.tout,out.h);hold on; 
legend('h lineal','h no lineal') 
title('Salida de altura de nivel - Comparación lineal-no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
3. El modelo hidráulico de la figura tiene los siguientes parámetros: 
El tubo 2 de (80+10b) m de largo, es CH40 de 2.5" de diámetro, contiene una válvula (100-2a-3b) % 
abierta, contiene además 2 codos roscados. El tubo 1 de (60+10a) m de largo, es CH40 de 4" de diámetro, 
contiene dos válvulas, la primera (100-a-2b-3c) % abierta, y la segunda (100-2b-c) % abierta; y 1 codo 
bridado. Diámetros de tanques D1=2a ft, D2=1.2m. Entradas Qin= [6, 5] Li/s 
a) Calcule las constantes de pérdidas de todos los accesorios y la resistencia equivalente 
b) Calcule las resistencias de los tubos 
c) Obtenga los modelos matemáticos del sistema con valores numéricos 
d) Realice el modelo con diagramas de bloques y obtenga las salidas del sistema: alturas de nivel y 
caudales. 
e) Obtenga el punto de equilibrio del sistema. 
f) Obtenga el modelo linealizado en variables de estado y función de transferencia. 
g) Simule el modelo linealizado con ∆Q =10% (Qin) 
 
 
DATOS: 
 
Diámetros de tanques 𝐷1 = 2𝑎 𝑓𝑡 = 2(7) 𝑓𝑡 = 14 𝑓𝑡 = 4.2672 𝑚 
 𝐷2 = 1.2 𝑚 
Entradas 𝑄𝑖𝑛 = [6, 5] 𝐿𝑖/𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Haciendo uso del libro de Robert Mott de Mecánica de Fluidos se halla el diámetro interior de los tubos, la 
rugosidad de los tubos y la viscosidad cinemática del agua a 25 °C 
 
 
 
𝑇𝑢𝑏𝑜 1 → 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 = (60 + 10a) m = (60 + 10(7))m = 130 𝑚 
 𝐶𝐻40 𝐷𝑛 = 4" → 𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 102.3 𝑚𝑚 
 𝑉𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 1 = (100 − a − 2b − 3c)% = (100 − (7) − 2(4) − 3(6))% = 67% 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 
 𝑉𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 2 = (100 − 2b − c)% = (100 − 2(4) − (6))% = 86% 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 
 1 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑏𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜 
 
𝑇𝑢𝑏𝑜 2 → 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 = (80 + 10b)m = (80 + 10(4))m = 120 𝑚 
 𝐶𝐻40 𝐷𝑛 = 2.5" → 𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 62.7 𝑚𝑚 
 𝑉𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 1 = (100 − 2a − 3b)% = (100 − 2(7) − 3(4))% = 74% 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 
 2 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑜𝑠𝑐𝑎𝑑𝑜 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Se toma el valor del acero comercial, ya que el tubo es un CH40 
 
 
 
𝜀 = 4.6𝑥10−5 𝑚 
 
 
𝑣 = 1.02𝑥10−6 𝑚
2
𝑠⁄ 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Para realizar los cálculos de las K de accesorios se usó la siguiente tabla 
 
 
Tubo 1: 
Se tomaron los valores para 𝐷𝑛 = 4" 
𝑘𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 = 0.3 
 
𝑘𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 0.5 ∗ 2 = 1 
 
Para hallar la K de las válvulas, se usó el siguiente código de Matlab, el cual crea la función necesaria para 
realizar una iteración de potencia 
 
K=[6.0 15 42]; 
A=[1 0.5 0.25]; 
Cftool 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Válvula 1: 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎1 = 𝑎 ∗ 𝑥
𝑏 + 𝑐 
 
𝑥 = 0.67 = 67% 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎1 = (4.5) ∗ (0.67)
(−1.585) + (1.5) 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎1 = 9.9895 
Válvula 2: 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎2 = 𝑎 ∗ 𝑥
𝑏 + 𝑐 
 
𝑥 = 0.86 = 86% 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎2 = (4.5) ∗ (0.86)
(−1.585) + (1.5) 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎2 = 7.2152 
K equivalente: 
 
𝑘𝑎𝑐𝑐 = (1 + 0.3 + 7.2152 + 9.9895) = 18.0047 
 
Por lo tanto, la resistencia de accesorios es 
 
𝑅𝑎𝑐𝑐 =
8𝐾
𝜋2𝑔𝑑4
=
8(1 + 0.3 + 7.2152 + 9.9895)
𝜋2 (9.81 𝑚 𝑠2⁄ )
(0.1023 𝑚)4
= 13.960𝑥103 𝑠
2
𝑚5
⁄ 
 
Para la resistencia del tubo se tomaron las velocidades 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 𝑚 𝑠⁄ . Se procede a realizar una 
muestra del procedimiento que desarrolla el cuadro que se muestra más adelante 
 
- Número de Reynolds 
𝑅𝑒 =
𝑣𝑒𝑙 ∗ 𝑑
𝑣
 
 
𝑅𝑒 =
(0.5 𝑚 𝑠⁄ )(0.1023 𝑚)
(1.02𝑥10−6 𝑚
2
𝑠⁄ )
= 50.147𝑥103 
- Factor de fricción 
 
𝑓 =
1
[−1.8 log ((
𝜀
3.7 ∗ 𝐷)
1.11
+
6.9
𝑅𝑒)]
2 
 
𝑓 =
1
[−1.8 log ((
4.6𝑥10−5 𝑚
3.7 ∗ 0.1023 𝑚)
1.11
+
6.9
50.147𝑥103
)]
2 = 0,0221 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
- Altura de perdidas 
ℎ𝑝 = 𝑓 ∗
𝐿
D
∗
𝑣𝑒𝑙2
2 ∗ 𝑔
 
 
ℎ𝑝 = 0,0221 ∗
130 𝑚
0.1023 𝑚
∗
(0.5 𝑚 𝑠⁄ )
2
2 ∗ (9.81 𝑚 𝑠2⁄ )
= 0,3576 m 
 
- Calcular el caudal 
𝑄 = 𝑣𝑒𝑙 ∗
𝜋
4
∗ 𝐷2 
 
𝑄 = (0.5 𝑚 𝑠⁄ ) ∗
𝜋
4
∗ (0.1023 𝑚)2 = 0,0041 𝑚
2
𝑠⁄ 
 
- Calcular 𝐻𝑄2 
𝐻𝑄 = ℎ𝑝 ∗ (𝑄)
2 
 
𝐻𝑄2 = (0,3576 m) ∗ (0,0041)2 = 6.04x10−6 𝑚
7
𝑠2⁄ 
 
- Calcular 𝑄4 
𝑄4 = (0,0041 𝑚
2
𝑠⁄ )
4
= 2.85𝑥10−10 𝑚
12
𝑠4
⁄ 
 
 
La siguiente tabla muestra los datos hallados con las siguientes velocidades 
 
Diámetro (D) 0,1023 
 Longitud (L) 130 
 Rugosidad 4,60E-05 
 Viscocidad 1,02E-06 
 gravedad 9,81 
 k 18,5047 
 
 Vel 0,5 1 1,5 2 2,5 
 Re 50147,0588 100294,1176 150441,1765 200588,2353 250735,2941 
 f 0,0221 0,0198 0,0189 0,0184 0,0180 
 hp(m) 0,3576 1,2854 2,7541 4,7574 7,2929 
 Q(li/s) 0,0041 0,0082 0,0123 0,0164 0,0205 SUMAS 
hQ^2(m^7/s^2) 6,04E-06 8,68E-05 4,19E-04 1,29E-03 3,08E-03 4,9E-3 
Q^4(m^12/s^4) 2,85E-10 4,56E-09 2,31E-08 7,30E-08 1,78E-07 279,3E-9 
 Rk 13960,49277 Accesorios 
 R4 31422,0438 Total 
 Rf 17461,55103 Tubo 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
la resistencia equivalente de los accesorios 
 
𝑅𝑘 = 13960,49277 
𝑠2
𝑚5
⁄ 𝑅𝑒𝑠. 𝐴𝑐𝑐 
 
Para hallar la resistencia equivalente de las pérdidas del tubo 
 
𝑅𝑓 =
∑ hQ2
∑ Q4
=
4,9𝑥10−3
279.3𝑥10−9
 
 
𝑅𝑓 = 17461,55103 
𝑠2
𝑚5
⁄ 𝑅𝑒𝑠. 𝑇𝑢𝑏𝑜 
 
La resistencia total será 
𝑅𝑇 = 𝑅𝑘 + 𝑅𝑓 
 
𝑅𝑇1 = (13960,49277 
𝑠2
𝑚5
⁄ ) + (17461,55103 𝑠
2
𝑚5
⁄ ) = 31.422𝑥103 𝑠
2
𝑚5
⁄ 
 
Tubo 2: 
 
Como no existe una medida para el codo, para la CH40 con diámetro 2.5”, se realizó una interpolación de 
potencia, por medio del código de Matlab para hallar la K de estos 
 
K=[1.5 0.95 0.64]; 
A=[1 2 4]; 
cftool 
 
 
 
𝑘𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 = 𝑎 ∗ 𝑥
𝑏 + 𝑐 
 
𝑥 = 2.5 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
𝑘𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 = (1.26) ∗ (2.5)
(−0.8272) + (0.2396) 
 
𝑘𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 = 0.8301 ∗ 2 = 1.6601 
 
Se realizó el mismo procedimientopara la K de la válvula, sin embargo, como también se desconoce el 
valor de la K en el porcentaje de apertura dado, para este valor, se realizó una interpolación de potencia 
por medio del programa Matlab 
 
Para hallar K en 100% 
 
K=[8.2 6.9 5.7]; 
A=[1 2 4]; 
cftool 
 
 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−100% = 𝑎 ∗ 𝑥
𝑏 + 𝑐 
 
𝑥 = 2.5 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−100% = (16.9) ∗ (2.5)
(−0.1155) + (−8.7) 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−100% = 6.5028 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Para hallar K en 50% 
 
K=[20 17 14]; 
A=[1 2 4]; 
cftool 
 
 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−50% = 𝑎 ∗ 𝑥
𝑏 
 
𝑥 = 2.5 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−50% = (20.07) ∗ (2.5)
(−0.2546) 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−50% = 15.894 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Para hallar K en 25% 
 
K=[57 48 40]; 
A=[1 2 4]; 
cftool 
 
 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−25% = 𝑎 ∗ 𝑥
𝑏 + 𝑐 
 
𝑥 = 2.5 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−25% = (81) ∗ (2.5)
(−0.1699) + (−24) 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−25% = 45.3226 
 
Para hallar la K de la válvula con una apertura del 74%, se usan los valores de K hallados anteriormente, 
se crea la función para esta interpolación 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−100% = 6.5028 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−50% = 15.894 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎−25% = 45.3226 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
K=[6.5028 15.894 45.3226] 
A=[1 0.5 0.25] 
cftool 
 
 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑥
𝑏 + 𝑐 
 
𝑥 = 0.74 = 74% 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 = (4.402) ∗ (0.74)
(−1.648) + (2.101) 
 
𝑘𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 = 9.3313 
 
Se agregan las otras K, y se suman para hallar la K equivalente 
 
𝑘𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 0.5 
 
𝑘𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 1 
 
𝑘𝑎𝑐𝑐 = (1.6601 + 9.3313 + 0.5 + 1) = 12.4914 
 
Por lo tanto, la resistencia de accesorios es 
 
𝑅𝑎𝑐𝑐 =
8𝐾
𝜋2𝑔𝑑4
=
8(1.6601 + 9.3313 + 0.5 + 1)
𝜋2 (9.81 𝑚 𝑠2⁄ )
(0.0627 𝑚)4
= 66.782𝑥103 𝑠
2
𝑚5
⁄ 
 
Para la resistencia del tubo se tomaron las velocidades 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 𝑚 𝑠⁄ . Se procede a realizar una 
muestra del procedimiento que desarrolla el cuadro que se muestra más adelante 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
- Número de Reynolds 
𝑅𝑒 =
𝑣𝑒𝑙 ∗ 𝑑
𝑣
 
 
𝑅𝑒 =
(0.5 𝑚 𝑠⁄ )(0.0627 𝑚)
(1.02𝑥10−6 𝑚
2
𝑠⁄ )
= 30.735𝑥103 
- Factor de fricción 
𝑓 =
1
[−1.8 log ((
𝜀
3.7 ∗ 𝐷)
1.11
+
6.9
𝑅𝑒)]
2 
 
𝑓 =
1
[−1.8 log ((
4.6𝑥10−5 𝑚
3.7 ∗ 0.0627 𝑚)
1.11
+
6.9
30.735𝑥103
)]
2 = 0,0249 
 
- Altura de perdidas 
ℎ𝑝 = 𝑓 ∗
𝐿
D
∗
𝑣𝑒𝑙2
2 ∗ 𝑔
 
 
ℎ𝑝 = 0,0249 ∗
120 𝑚
0.0627 𝑚
∗
(0.5 𝑚 𝑠⁄ )
2
2 ∗ (9.81 𝑚 𝑠2⁄ )
= 0,6075 m 
 
- Calcular el caudal 
𝑄 = 𝑣𝑒𝑙 ∗
𝜋
4
∗ 𝐷2 
 
𝑄 = (0.5 𝑚 𝑠⁄ ) ∗
𝜋
4
∗ (0.0627 𝑚)2 = 0,0015 𝑚
2
𝑠⁄ 
 
- Calcular 𝐻𝑄2 
𝐻𝑄 = ℎ𝑝 ∗ (𝑄)
2 
 
𝐻𝑄2 = (0,6075 m) ∗ (0,0015)2 = 1.45x10−6 𝑚
7
𝑠2⁄ 
 
- Calcular 𝑄4 
𝑄4 = (0,0015 𝑚
2
𝑠⁄ )
4
= 5.68𝑥10−12 𝑚
12
𝑠4
⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
La siguiente tabla muestra los datos hallados con las siguientes velocidades 
 
Diámetro (D) 0,0627 
 Longitud (L) 120 
 Rugosidad 4,60E-05 
 Viscosidad 1,02E-06 
 gravedad 9,81 
 k 12,4914 
 
 Vel 0,5 1 1,5 2 2,5 
 Re 30735,2941 61470,5882 92205,8824 122941,1765 153676,4706 
 f 0,0249 0,0223 0,0212 0,0206 0,0202 
 hp(m) 0,6075 2,1738 4,6499 8,0255 12,2970 
 Q(li/s) 0,0015 0,0031 0,0046 0,0062 0,0077 SUMAS 
hQ^2(m^7/s^2) 1,45E-06 2,07E-05 9,97E-05 3,06E-04 7,33E-04 1,2E-3 
Q^4(m^12/s^4) 5,68E-12 9,09E-11 4,60E-10 1,45E-09 3,55E-09 5,6E-9 
 Rk 66782,42521 Accesorios 
 R6 275492,648 Total 
 Rf 208710,2228 Tubo 
 
la resistencia equivalente de los accesorios 
 
𝑅𝑘 = 66782,42521 
𝑠2
𝑚5
⁄ 𝑅𝑒𝑠. 𝐴𝑐𝑐 
 
Para hallar la resistencia equivalente de las pérdidas del tubo 
 
𝑅𝑓 =
∑ hQ2
∑ Q4
=
1.2𝑥10−3
5.6𝑥10−9
 
 
𝑅𝑓 = 208710,2228 
𝑠2
𝑚5
⁄ 𝑅𝑒𝑠. 𝑇𝑢𝑏𝑜 
La resistencia total será 
𝑅𝑇 = 𝑅𝑘 + 𝑅𝑓 
 
𝑅𝑇2 = (66782,42521 
𝑠2
𝑚5
⁄ ) + (208710,2228 𝑠
2
𝑚5
⁄ ) = 275.492𝑥103 𝑠
2
𝑚5
⁄ 
 
Conociendo las resistencias equivalentes de los tubos y los accesorios 
 
𝑅𝑇1 = 31.422𝑥10
3 𝑠
2
𝑚5
⁄ 
 
𝑅𝑇2 = 275.492𝑥10
3 𝑠
2
𝑚5
⁄ 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Se procedió a realizar el circuito equivalente al sistema 
 
 
Se realizó análisis de nodos para obtener las ecuaciones descriptivas del sistema 
 
𝑄𝑖𝑛1 = 𝐶1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
+ 𝑄1 
 
𝑄𝑖𝑛2 = 𝐶2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
+ 𝑄0 − 𝑄1 
 
Conociendo que la altura h es igual a ℎ = 𝑅𝑇𝑄
2 → 𝑄 = √
ℎ
𝑅𝑇
, y que 𝐶 =
𝜋
4
𝑑2, por lo cual, se halla cada 
uno 
 
𝑄1 = √
ℎ1 − ℎ2
31.422𝑥103 𝑠
2
𝑚5⁄
=
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
𝑚3
𝑠⁄ 
 
𝑄0 = √
ℎ2
275.492𝑥103 𝑠
2
𝑚5⁄
=
√ℎ2
524.8733
𝑚3
𝑠⁄ 
 
𝐶1 =
𝜋
4
(4.2672 𝑚)2 = 14.3013 𝑚2 
 
𝐶2 =
𝜋
4
(1.2 𝑚)2 = 1.131 𝑚2 
 
Se reemplazan los valores en las ecuaciones obtenidas anteriormente 
 
𝑄𝑖𝑛1 = 14.3013
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
+
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
𝑄𝑖𝑛2 = 1.131
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
+
√ℎ2
524.8733
−
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
 
 
Se despejan las ecuaciones, dejando ambas igualadas a su respectiva derivada, sabiendo que 
𝑄𝑖𝑛1 = 0.006 
𝑚3
𝑠⁄ y 𝑄𝑖𝑛2 = 0.005 
𝑚3
𝑠⁄ 
 
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
=
1
14.3013
(0.006 −
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
) 
 
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
=
1
1.131
(0.005 −
√ℎ2
524.8733
+
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
) 
 
Se procede a hallar los puntos de equilibrio, teniendo en cuenta, que la derivada en ese punto es igual a 0 
 
0 =
1
14.3013
(0.006 −
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
) 
 
0 = 0.006 −
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
 
 
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
= 0.006 
 
√ℎ1 − ℎ2 = 1.0636 
 
ℎ1 − ℎ2 = 1.1312 
 
ℎ1 = 1.1312 + ℎ2 
 
Se reemplaza el valor de h1 en la segunda ecuación, para hallar el valor de h2 
 
0 =
1
1.131
(0.005 −
√ℎ2
524.8733
+
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
) 
 
0 = 0.005 −
√ℎ2
524.8733
+
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
 
 
0 = 0.005 −
√ℎ2
524.8733
+
√1.1312 + ℎ2 − ℎ2
177.2625
 
 
√ℎ2
524.8733
= 0.005 +
√1.1312
177.2625
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
√ℎ2 = (0.005 + 6𝑥10
−3) ∗ 524.8733 
 
ℎ2 = (5.7736)
2 
 
ℎ2 = 33.3345 
 
Conociendo h2, se reemplaza en la igualación de h1 
 
ℎ1 = 1.1312 + ℎ2 
 
ℎ1 = 1.1448 + 33.3345 
 
ℎ1 = 34.4657 
 
Haciendo uso del siguiente código de Matlab, se verificaron los puntos de equilibrio hallados, los cuales 
tendrán una pequeña variación por uso de los decimales 
 
clc, clear 
syms h1 h2 
F1=(1/14.3013)*(0.006-((sqrt(h1-h2))/177.2625)); 
F2=(1/1.131)*((0.005-((sqrt(h2))/524.8733)+((sqrt(h1-h2))/177.2625))); 
[h1,h2]=solve(F1,F2); 
eval([h1,h2]) 
ℎ1 = 34.4657 𝑚 ℎ2 = 33.3345 𝑚 
 
Por medio de diagrama de bloques, se graficó la salida de la altura de nivel y el caudal, además de 
verificar los puntos de equilibrio hallados anteriormente 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
 
 
 
%Altura de nivel 
plot(out.tout,out.altura1);hold on; 
legend('h_1','h_2') 
title('Salida de altura de nivel') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
%Caudal 
plot(out.tout,out.caudal1);hold on; 
legend('Q_1','Q_2') 
title('Salida de caudal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Cauldal (m^3/s)'); 
grid on;grid minor 
 
Se procedió a crear las variables de estado y las funciones de transferencia, para luego simularlos con el 
diagrama de bloques realizado 
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
=
1
14.3013
(0.006 −
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
) 
 
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
=
1
1.131
(0.005 −
√ℎ2
524.8733
+
√ℎ1 − ℎ2
177.2625
) 
 
Para las variables de estado, se realizó la derivada para 𝑓1 
 
𝛿𝑓1
𝛿ℎ1
=
1
14.3013
(−
1
177.2625 ∗ 2 ∗ √ℎ1 − ℎ2
) 
 
𝛿𝑓1
𝛿ℎ1
=
1
14.3013
(−
2.8207𝑥10−3
√ℎ1 − ℎ2
) = (−
1.9723𝑥10−4√ℎ1 − ℎ2
) 
 
𝛿𝑓1
𝛿ℎ2
=
1
14.3013
(
1
177.2625 ∗ 2 ∗ √ℎ1 − ℎ2
) 
 
𝛿𝑓1
𝛿ℎ2
=
1
14.3013
(
2.8207𝑥10−3
√ℎ1 − ℎ2
) = (
1.9723𝑥10−4
√ℎ1 − ℎ2
) 
Ahora para 𝑓2 
𝛿𝑓2
𝛿ℎ1
=
1
1.131
(
1
177.2625 ∗ 2 ∗ √ℎ1 − ℎ2
) 
 
𝛿𝑓2
𝛿ℎ1
=
1
1.131
(
2.8207𝑥10−3
√ℎ1 − ℎ2
) = (
2.494𝑥10−3
√ℎ1 − ℎ2
) 
 
𝛿𝑓2
𝛿ℎ2
=
1
1.131
(−
1
524.8733 ∗ 2 ∗ √ℎ2
−
1
177.2625 ∗ 2 ∗ √ℎ1 − ℎ2
) 
 
𝛿𝑓2
𝛿ℎ2
=
1
1.131
(−
9.5261𝑥10−4
√ℎ2
−
2.8207𝑥10−3
√ℎ1 − ℎ2
) = (−
8.4227𝑥10−4
√ℎ2
−
2.494𝑥10−3
√ℎ1 − ℎ2
) 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Se evalúan cada derivada en los puntos de equilibrio hallados con el código para obtener resultados con mayor 
exactitud, y reducir el error en la respuesta 
 
𝛿𝑓1
𝛿ℎ1
= −
1.9723𝑥10−3
√ℎ1 − ℎ2
|
ℎ1=34.4657
ℎ2=33.3345
= −
1.9723𝑥10−4
√34.4657 − 33.3345
= −1.8544𝑥10−4 
 
𝛿𝑓1
𝛿ℎ2
=
1.9723𝑥10−3
√ℎ1 − ℎ2
|
ℎ1=34.4657
ℎ2=33.3345
=
1.9723𝑥10−3
√34.4657 − 33.3345
= 1.8544𝑥10−4 
 
𝛿𝑓2
𝛿ℎ1
=
2.4791𝑥10−3
√ℎ1 − ℎ2
|
ℎ1=34.4657
ℎ2=33.3345
=
2.4791𝑥10−3
√34.4657 − 33.3345
= 2.3309𝑥10−3 
 
𝛿𝑓2
𝛿ℎ2
= −
8.4227𝑥10−4
√ℎ2
−
2.494𝑥10−3
√ℎ1 − ℎ2
|
ℎ1=34.4657
ℎ2=33.3345
= −
8.9860𝑥10−4
√33.3345
−
2.494𝑥10−3
√34.4657 − 33.3345
= −2.4865𝑥10−3 
 
Con los valores hallados, se crea la matriz A 
 
𝐴 = [−1.8544𝑥10
−4 1.8544𝑥10−4
2.3309𝑥10−3 −2.4865𝑥10−3
] 
 
𝐵 = [
1
14.3013
0
0
1
1.131
] 
 
[
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
] = [−1.8544𝑥10
−4 1.8544𝑥10−4
2.3309𝑥10−3 −2.4865𝑥10−3
] [
ℎ1
ℎ2
] + [
1
14.3013
0
0
1
1.131
] [
𝑄𝑖𝑛1
𝑄𝑖𝑛2
] 
 
[
ℎ1
ℎ2
] = [
1 0
0 1
] [
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
] + [0] [
𝑄𝑖𝑛1
𝑄𝑖𝑛2
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Se simula aplicándole la perturbación 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
%% Comparación H_2 
plot(out.tout,out.h2);hold on; 
legend('h_2 lineal','h_2 no lineal') 
title('Salida de altura de nivel - Comparación lineal-no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
 
%% Comparación 
plot(out.tout,out.VE);hold on; 
legend('h_1','h_2') 
title('Salida de altura de nivel - Modelo lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
 
Para las funciones de transferencia, se usaron las matrices A y B de las variables de estado 
 
𝐴 = [−1.8544𝑥10
−4 1.8544𝑥10−4
2.3309𝑥10−3 −2.4865𝑥10−3
] 
 
𝐵 = [
1
14.3013
0
0
1
1.131
] 
 
Para hallar las funciones de transferencia, nos guiamos de la siguiente expresión 
 
𝐺(𝑠) =
𝐶 𝑎𝑑𝑗(𝑆𝐼 − 𝐴)𝐵
|𝑆𝐼 − 𝐴|
 
 
Se procede a hallar los términos desconocidos de la anterior expresión 
 
𝑆𝐼 − 𝐴 = [
𝑆 0
0 𝑆
] − [−1.8544𝑥10
−4 1.8544𝑥10−4
2.3309𝑥10−3 −2.4865𝑥10−3
] = [𝑆 + 1.8544𝑥10
−4 −1.8544𝑥10−4
−2.3309𝑥10−3 𝑆 + 2.4865𝑥10−3
] 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Ecuación característica 
 
|𝑆𝐼 − 𝐴| = (𝑆 + 1.8544𝑥10−4)(𝑆 + 2.4865𝑥10−3) − [(−2.3309𝑥10−3)(−1.8544𝑥10−4)] 
 
|𝑆𝐼 − 𝐴| = (𝑆2 + 2.4865𝑥10−3 𝑆 + 1.8544𝑥10−4 𝑆 + 4.611𝑥10−7) − [4.3224𝑥10−7] 
 
|𝑆𝐼 − 𝐴| = 𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8 
Para calcular la adjunta 
 
𝐶1.1 = (+)𝑆 + 1.8544𝑥10
−4 𝐶1.2 = (−) − 1.8544𝑥10
−4 
𝐶2.1 = (−) − 2.3309𝑥10
−3 𝐶2.2 = (+)𝑆 + 2.4865𝑥10
−3 
 
 
𝑎𝑑𝑗(𝑆𝐼 − 𝐴) = [𝑆 + 1.8544𝑥10
−4 −1.8544𝑥10−4
−2.3309𝑥10−3 𝑆 + 2.4865𝑥10−3
] → [𝑆 + 2.4865𝑥10
−3 1.8544𝑥10−4
2.3309𝑥10−3 𝑆 + 1.8544𝑥10−4
] 
 
 
𝐶 𝑎𝑑𝑗(𝑆𝐼 − 𝐴)𝐵 = [
1 0
0 1
] ∗ [𝑆 + 2.4865𝑥10
−3 1.8544𝑥10−4
2.3309𝑥10−3 𝑆 + 1.8544𝑥10−4
] ∗ [
1
14.3013
0
0
1
1.131
] 
 
Hallado todos los términos desconocidos se procede a reemplazar los valores en la expresión 
 
𝐺(𝑠) =
𝐶 𝑎𝑑𝑗(𝑆𝐼 − 𝐴)𝐵
|𝑆𝐼 − 𝐴|
 
 
𝐺(𝑠) =
[0.069924 𝑆 + 1.7387𝑥10
−4 1.6396𝑥10−4
1.6299𝑥10−4 0.88417 𝑆 + 1.6396𝑥10−4
]
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
 
 
Funciones de transferencia para la fila 1 
 
𝐺1,1 =
[0.069924 𝑆 + 1.7387𝑥10
−4 0
0 0
]
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
 
 
𝐺1,1 =
𝐻1
𝑄𝑖𝑛1
=
0.069924 𝑆 + 1.7387𝑥10−4
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
 
 
𝐺1,2 =
[0 1.6396𝑥10
−4
0 0
]
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
 
 
𝐺1,2 =
𝐻1
𝑄𝑖𝑛2
=
1.6396𝑥10−4
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Funciones de transferencia para la fila 2 
 
𝐺2,1 =
[
0 0
1.6299𝑥10−4 0
]
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
 
 
𝐺2,1 =
𝐻2
𝑄𝑖𝑛1
=
1.6299𝑥10−4
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
 
 
𝐺2,2 =
[
0 0
0 0.88417 𝑆 + 1.6396𝑥10−4
]
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
 
 
𝐺2,2 =
𝐻2
𝑄𝑖𝑛2
=
0.88417 𝑆 + 1.6396𝑥10−4
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
 
 
Ahora que se tiene las 4 funciones de transferencia se procede a sumar los términos de H1 y H2 para 
hallar las funciones de transferencia para las salidas 
 
𝐻1
∆𝑄𝑖𝑛
= 𝐺1,1 + 𝐺1,2 =
0.069924 𝑆 + 1.7387𝑥10−4
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
+
1.6396𝑥10−4
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
 
𝐻2
∆𝑄𝑖𝑛
= 𝐺2,1 + 𝐺2,2 =
1.6299𝑥10−4
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
+
0.88417 𝑆 + 1.6396𝑥10−4
𝑆2 + 2.6719𝑥10−3𝑆 + 2.8857𝑥10−8
 
 
Se usó el mismo diagrama de bloques para la respuesta no lineal en la comparación con las Variables de 
Estado, y se agregó el diagrama de bloques mostrado más adelante 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
 
 
%% Comparación H_1 FT 
plot(out.tout,out.h3);hold on; 
legend('h_1 lineal','h_1 no lineal') 
title('Salida de altura de nivel - Comparación lineal-no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
 
%% Comparación H_2 FT 
plot(out.tout,out.h);hold on; 
legend('h_2 lineal','h_2 no lineal') 
title('Salida de altura de nivel - Comparación lineal-no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Ahora se muestra la simulación cuando tiene una perturbación de ±10% 
 
V.E 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
 
%% Comparación H_1 VE 
plot(out.tout,out.h1);hold on; 
legend('h_1 lineal','h_1 no lineal') 
title('Salida de altura de nivel - Comparación lineal-no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
 
%% Comparación H_2 VE 
plot(out.tout,out.h2);hold on; 
legend('h_2 lineal','h_2 no lineal') 
title('Salida de altura de nivel - Comparación lineal-no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
 
F.T 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
 
 
 
 
%% Comparación H_1 FT 
plot(out.tout,out.h3);hold on; 
legend('h_1 lineal','h_1 no lineal') 
title('Salida de altura de nivel - Comparación lineal-no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
 
%% Comparación H_2 FT 
plot(out.tout,out.h);hold on; 
legend('h_2 lineal','h_2 no lineal') 
title('Salida de altura de nivel - Comparación lineal-no lineal') 
xlabel('Tiempo(seg)'); 
ylabel('Altura de nivel (m)'); 
grid on;grid minor 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
4. Un horno cilíndrico está construido con concreto con un espesor de (2+a+b) /3cm, la altura es de 
(25+b) cm y el diámetro interno de 30cm. La tapa es plana de 5cm de espesor. En el fondo del horno hay 
una hornilla para 208V con una resistencia nominal de (18+b+a). El material por tratar en el horno son 
piezas de acero que en total pesan (8+c) lb. 
a) Calcule los parámetros para modelar el sistema 
b) obtenga el diagrama de bloques y realice la simulación sin tener en cuenta la radiación 
c) Repita la simulación con la función de transferencia 
d) compare la simulacióncon y sin radiación. 
 
Datos: 
 
 Horno cilíndrico: 
𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 =
(2 + 𝑎 + 𝑏)
3
 𝑐𝑚 =
(2 + (7) + (4))
3
 𝑐𝑚 = 4.33 𝑐𝑚 = 
 
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = (25 + 𝑏)𝑐𝑚 = (25 + (4))𝑐𝑚 = 29 𝑐𝑚 = 0.29 𝑚 
 
𝐷𝑖𝑛 = 30 𝑐𝑚 = 0.3 𝑚 
 
𝑟𝑖 = 15 𝑐𝑚 = 0.15 𝑚 
 
𝑟𝑒 = 4.33 𝑐𝑚 + 15 𝑐𝑚 = 19.33 𝑐𝑚 = 0.1933 𝑚 
 
𝐷𝑒𝑥 = 2 ∗ 19.33 𝑐𝑚 = 38.66 𝑐𝑚 = 0.3866 𝑚 
 
 Tapa: 
𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 = 5 𝑐𝑚 
 
 Hornilla para 208 V 
 
𝑅𝑛 = (18 + 𝑏 + 𝑎)  = (18 + (4) + (7))  = 29  
 
𝑃𝑖𝑛 =
𝑉2
𝑅
=
(208 𝑉)2
29 
= 1506.24 𝑊 
 Material 
 
𝑊 = (8 + 𝑐) 𝑙𝑏 = (8 + (6)) 𝑙𝑏 = 14 𝑙𝑏 = 6.3503 𝑘𝑔 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
PARA EL HORNO 
 
 
Se establece la K de conductividad térmica para el hormigón (concreto) 
 
𝐾ℎ𝑜𝑟𝑛𝑜 = 0.128
𝑊
𝑚°𝐾
 
 
PARA EL MATERIAL 
 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
Se establece la K de conductividad térmica para el acero 
 
𝐾𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 47.58
𝑊
𝑚°𝐾
 
 
PARA EL FLUIDO 
 
 
 
Se establece la h del coeficiente de transferencia por convección para el aire, en un estado de convección 
libre 
ℎ𝑎𝑖𝑟𝑒 = 15 
𝑊
𝑚2°𝐾
 
 
RADIACION 
 
 
Se establece la radiación del material, la cual se tendrá en cuenta en solo un circuito 
 
𝜎 = 5.67𝑥10−8
𝑊
𝑚2 °𝐾
 
 
𝜀 = 0.1 
 
 
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
CAPACITANCIA TÉRMICA 
 
 
 
Se establece la capacitancia térmica del material, teniendo en cuenta su calor específico 
 
𝑐𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 460
𝐽
𝑘𝑔°𝐾
 
 
𝐶𝑎𝑐 = (460
𝐽
𝑘𝑔°𝐾
) ∗ (6.3503 𝑘𝑔) = 2921.138
𝐽
°𝐾
 
 
 
Conociendo los valores anteriores, se procede a hallar las resistencias equivalentes para cada sección del 
sistema, primero hallando las de conducción del horno 
 
𝑅𝑓 =
ln (
𝑟𝑒
𝑟𝑖
) 
2𝜋 ∗ 𝐿 ∗ 𝑘
 
 
𝑅ℎ𝑜𝑟𝑛𝑜−𝑐𝑜𝑛𝑑 =
ln (
0.1933 𝑚
0.15 𝑚 ) 
2𝜋 ∗ 0.29 𝑚 ∗ (0.128
𝑊
𝑚°𝐾)
= 1.0874
°𝐾
𝑊
 
 
𝑅𝑡𝑎𝑝𝑎−𝑐𝑜𝑛𝑑 =
𝑒
𝑘 ∗ 𝐴
 
 
𝑅𝑡𝑎𝑝𝑎−𝑐𝑜𝑛𝑑 =
0.05 𝑚
(0.128
𝑊
𝑚°𝐾) ∗
(𝜋 ∗ (0.1933)2)
= 3.3277 
°𝐾
𝑊
 
 
Ahora se procede a hallar las resistencias que sufrirán a convección del aire 
 
𝑅𝑇 =
1
ℎ𝑐𝐴
 
 
𝑅ℎ𝑜𝑟𝑛𝑜𝑒𝑥𝑡−𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1
(15 
𝑊
𝑚2°𝐾
) (2 ∗ 𝜋 ∗ 0.1933 𝑚 ∗ 0.29 𝑚)
= 0.1893 
°𝐾
𝑊
 
Dinámica de Sistemas Héctor Manuel Vega 
 
𝑅ℎ𝑜𝑟𝑛𝑜𝑖𝑛𝑡−𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1
(15 
𝑊
𝑚2°𝐾
) (2 ∗ 𝜋 ∗ 0.15 𝑚 ∗ 0.29 𝑚)
= 0.2439 
°𝐾
𝑊
 
 
𝑅𝑡𝑎𝑝𝑎𝑒𝑥𝑡−𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1
(15 
𝑊
𝑚2°𝐾
) (𝜋 ∗ (0.1933)2)
= 0.5679 
°𝐾
𝑊
 
 
𝑅𝑡𝑎𝑝𝑎𝑖𝑛𝑡−𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1
(15 
𝑊
𝑚2°𝐾
) (𝜋 ∗ (0.15 𝑚)2)
= 0.9431 
°𝐾
𝑊
 
 
 
Para conocer el área del acero, y así obtener la resistencia de convección de este, se le da un área menor a 
la del cilindro interno 
𝐴𝑐𝑖𝑙−𝑖𝑛𝑡 = 𝜋 ∗ (0.15 𝑚)
2 = 0.0707 𝑚2 
 
𝑅𝑎𝑐𝑒−𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1
(15 
𝑊
𝑚2°𝐾
) (0.05 𝑚2)
= 1.33 
°𝐾
𝑊
 
 
Se calcula la capacitancia del aire, para saber si se tendrá en cuenta o no en el análisis del sistema 
 
𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉ℎ𝑜𝑟𝑛𝑜 
 
 
 
𝑚𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1.205
𝑘𝑔
𝑚3
∗ (𝜋 ∗ (0.15 𝑚)2 ∗ 0.29 𝑚) = 0.0247 𝑘𝑔 
 
𝐶𝑎𝑐 = (1010
𝐽
𝑘𝑔°𝐾
) ∗ (0.0247 𝑘𝑔) = 24.9482
𝐽
°𝐾
 
 
Ya que la capacitancia del material es muy grande en comparación al del aire, se puede despreciar la 
capacitancia del aire 
 
 
 
 
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