1_Modelos estadísticos - distribuciones muestrales - Eliana Benavides

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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA 
Departamento de Estadística e Informática 
MS Jaime Carlos Porras Cerrón 
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87 
 
Capítulo IV 
 
DISTRIBUCIONES MUESTRALES 
 
"Es mucho mejor una respuesta aproximada a la pregunta correcta, la cual es 
comúnmente vaga, que la respuesta correcta a la pregunta errónea, la cual 
siempre puede hacerse de una forma precisa." 
John W. Tukey 
 
Introducción 
El desarrollo del análisis estadístico comprende el manejo de ciertos conceptos 
que servirán para afianzar el entendimiento de técnicas cada vez más 
complejas. 
En el análisis estadístico es muy importante conocer la teoría correspondiente 
a las distribuciones muestrales de una media, de una varianza, una proporción, 
de diferencia de medias, de diferencia de proporciones, etc. Esto permitirá un 
mejor entendimiento de los intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. 
En la aplicación de algunos conceptos se tiene que hacer uso de programas 
estadísticos como R o Minitab. 
El presente capitulo tiene como objetivo fundamental desarrollar algunos 
conceptos y teoremas importantes en estadística, los cuales serán presentados 
desde un punto de vista aplicativo. En cursos posteriores de la carrera se 
complementará esta teoría con el respectivo desarrollo matemático. 
 
1. Muestra Aleatoria 
Se dice que un conjunto de n variables aleatorias (v.a.) nXXX ...,,, 21 forman 
una muestra aleatoria (m.a.) de tamaño n seleccionada de la población en 
estudio, si verifica las siguientes relaciones entre sus elementos: 
a) Las v.a. nXXX ...,,, 21 son independientes. 
b) Todas las v.a. iX tienen la misma distribución de probabilidad, esto es:      
iX X
F x F x P X x   1,2, ,i n  . 
Es decir las v.a. iX 1,2, ,i n son independientes e idénticamente distribuidas 
(i,i.d.) con la misma distribución de probabilidad que tenga la población. 
 
 Si el muestreo es con reemplazo o de una población infinita (conceptual), 
las condiciones a) y b) se satisfacen exactamente. 
 Si la selección es sin reemplazo la condición de independencia no se 
cumple, pues la probabilidad de selección no se mantiene constante. A 
esta muestra se la refiere como muestra aleatoria simple. 
 
La parte fundamental de la definición de la m.a. es el significado de las 
variables aleatorias nXXX ...,,, 21 . La variable aleatoria iX de la muestra 
denota el valor numérico del i-ésimo elemento muestreado. Después que la 
muestra ha sido seleccionada, los valores actuales de nXXX ...,,, 21 son 
conocidos y usualmente estos valores se denotan por 1, ..., nx x . 
 
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Ejemplo. 
Los pesos de un artículo tienen distribución normal con media 2 Kg. y varianza 
1.5 kg2. Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño 10 ( 1021 ...,,, XXX ). 
a) Halle  1 3 5 9 4.5P X X X X    
1 3 5 9Y X X X X    
( ) 2 2 2 2 4Y E Y       2 1.5 1.5 1.5 1.5 6Y      
 4.5 4 1 0.2041 0.4191
6
Y
Y
Y
P P Z


         
 
1-pnorm(4.5,4,sqrt(6)) 
[1] 0.4191282 
 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el total de los pesos de los artículos sea 
inferior o igual a 21 kg? 
1 10...Y X X    ( ) 2 10 20Y E Y     2 1.5 10 15Y   
 21 20 0.258 0.6018
15
Y
Y
Y
P P Z


        
 
pnorm(21,20,sqrt(15)) 
[1] 0.6018733 
 
2. Estadística o Estadígrafo. 
Es cualquier función real o vectorial de los elementos de una m.a. nXXX ...,,, 21
la cual no contiene parámetros desconocidos y se denota por  1, , nT t X X 
No se debe confundir este concepto con valor estadístico, el cual es cualquier 
cantidad cuyo valor se puede calcular a partir de datos muestrales. Antes de 
obtener la información, hay incertidumbre en cuanto a cuál será el resultado 
del valor estadístico.Por lo tanto un valor estadístico es una variable aleatoria y 
estará denotada por una letra mayúscula; una minúscula se emplea para 
representar el valor calculado del valor estadístico. Así, la media muestral X es 
un valor estadístico (variable aleatoria) y x es un valor calculado. También la 
varianza muestral 2S es un valor estadístico (variable aleatoria) y 2s es un valor 
calculado. 
 
Ejemplo: 
Sea 1, ..., nX X una m.a. extraída de una población cuya función de densidad de 
probabilidad es  ,f x  ( es un parámetro de la población), entonces las 
siguientes estadísticas son de gran interés para hacer inferencia con relación a 
los parámetros de la población. 
 
 
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  11 1 1, ,
n
i
i
n
X
T t X X X
n
   (media muestral) 
   
2
2 1
2 2 1, , 1
n
i
i
n
X X
T t X X S
n


   

 (variancia muestral) 
     3 3 1 11, , min , ,n nT t X X X X X   (mínimo valor de la muestra)      4 4 1 1, , max , ,n nnT t X X X X X   (máximo valor de la muestra)      5 5 1 1, , n nT t X X R X X    (amplitud total de la muestra)  6 6 1 75 25, , nT t X X ric P P    (rango intercuartil de la muestra) 
     
2
2 1 1
7 7 1, , , ; 1
n n
i i
i i
n
X X X
T t X X X S
n n
 
         
 
 
 
 
3. Distribuciones Muestrales 
Es la distribución de probabilidad de una estadística, la cual se genera a partir 
de todas las posibles muestras de tamaño fijado, elegidas al azar de una 
población determinada. 
En el caso de una población seria todas las muestras de tamaño n , para 
generar la distribución de X , 2S , p , etc. 
 
En el caso de dos poblaciones independientes, todas las muestras de tamaño 
1n de la primera población con todas las muestras de tamaño 2n de la segunda 
población, para generar la distribución de 1 2X X , 1 2p p , 2 21 2S S . 
En el caso de dos poblaciones dependientes, todas las muestras de tamaño n 
de la diferencia i i iD X Y  , para generar la distribución de DX . 
 
Esquemáticamente tendríamos el siguiente procedimiento: 
 
 
 
 Una población P, con cierto parámetro  de interés. 
P 
 
θ 
… 
T1=t1(x1,x2,…,xn) 
T2=t2(x1,x2,…,xn) 
Tb=tb(x1,x2,…,xn) 
 θ t 
fT(t) 
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 Todas las b muestras elegidas de la población de acuerdo a cierto 
procedimiento. 
 Para cada muestra, se calcula el valor t de la estadística. 
 Los valores de t forman una nueva población, cuya distribución recibe el 
nombre de distribución muestral de T. 
 
Cuando la población es infinita, tenemos que concebir la distribución muestral 
como una distribución muestral teórica, pues es imposible extraer todas las 
muestras aleatorias posibles. 
Cuando la población es finita y de tamaño moderado, podemos construir una 
distribución muestral experimental, seleccionando todas las muestras 
aleatorias posibles de un tamaño dado, calculando para cada muestra el valor 
de la estadística junto con su probabilidad de ocurrencia. 
 
En general, cuando estudiamos una distribución muestral, estamos interesados 
en conocer las siguientes características: 
 Su forma funcional (representación grafica de su función de densidad) 
 Su media 
 Su desviación estándar. 
 
4.1 Distribución muestral de la media 
Es la distribución que se forma con los promedios muestrales que se obtienen 
de cada una de las muestras posibles de tamaño n que se puede extraer de 
una población de tamaño N . 
 
Teorema 
Si de una población P de tamaño N con media X y varianza 2X , se extraen 
todas las m.a.posibles nXXX ...,,, 21 de tamaño n y para cada una de ellas se 
calcula el promedio, entonces: 
 
 Si el muestreo es con reemplazo de una población finita o sin reemplazo de 
una población infinita, se cumple que: 
  XXE X    y   22 XXVar X n  
 Si el muestreo es sin reemplazo de una poblaciónde tamaño N, se cumple 
que: 
 
  XXE X    y   22 1XX N nVar X n N       
 





1N
nN
se conoce como factor de corrección de población finita (fcpf). 
En el caso que el muestreo es sin reemplazoy si el tamaño de la población es 
grande, entonces el f.c.p.f. puede ser expresado por 1 1
N n n
f
N N
     . 
Donde f es conocida como la fracción de muestreo, lo que conlleva a que por 
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fines prácticos si 0.05f  , elf.c.p.f. puede ser omitido y por lo tanto 
  22 XXVar X n  
 
Ejemplo 
Suponga que los ingresos mensuales (en nuevos soles) en el mes de febrero 
de todas las empresas agroindustriales existentes en Ica son: 50000, 60000, 
70000, 70000 y 80000. 
 
La población  50000, 60000, 70000, 70000, 80000.P  tiene los siguientes 
parámetros: 
 
1 50000+60000+70000+70000 + 80000 66000
5
N
i
i
X
N
    
 2
2 1 104000000
N
i
i
X
N

 

  
 
a) Seleccione sin reemplazo todas las muestras posibles de tamaño 2, determine 
la media y variancia de la distribución muestral de X . 
Si el muestreo se hace sin reemplazo en una población finita de tamaño N y si 
el orden en que se seleccionan las muestras no tiene importancia, el número 
de todas las muestras posibles de tamaño nesta dado por 
N
n
    . 
Para nuestro caso tendríamos 
5
10
2
     muestras posibles 
R 
ingre=c(50000, 60000, 70000, 70000, 80000) 
ingre=as.matrix(ingre) 
library(sampling) 
msr=writesample(2,5) 
promsr=(msr%*%ingre)/2 
tablasr=table(promsr)/10 
 
b) Seleccione con reemplazo todas las muestras posibles de tamaño 2, determine 
la media y variancia de la distribución muestral de X . 
Si el muestreo se hace con reemplazo en una población finita de tamaño N, el 
número de todas las muestras posibles de tamaño nestá dado por nN . 
Para nuestro caso tendríamos 25 25 muestras posibles 
R 
# Esta función en R para obtener una distribución de la 
media aproximada 
srswr(2,5) 
mcr=matrix(0,25,5) 
for (i in 1:25) 
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{ 
mcr[i,] = srswr(2,5) 
} 
promcr=(mcr%*%ingre)/2 
tablacr=table(promcr)/25 
 
4.2 Distribución de la media o promedio muestral cuando la variable en 
análisis tiene una Distribución Normal 
Teorema 
Si nXXX ...,,, 21 es una muestra aleatoria de tamaño n, donde iX es extraída de 
una distribución normal con media X y varianza 2X ; entonces la variable 
aleatoria X tiene una distribución normal con media X y varianza 2X (donde 
la varianza de X depende del tipo de muestreo es decir si es multiplicado o no 
por el factor de corrección de población finita) 
 
 
Es decir, si  2,~ XXNX    2,~ XXNX  
 
Entonces X se estandariza de la siguiente forma ~ (0,1)X
X
X
Z N


 
 
4.3 Distribución de la media o promedio muestral, cuando la variable en 
análisis no tiene una distribución normal. 
Teorema Central del Límite 
Si nXXX ...,,, 21 es una muestra aleatoria de una distribución (distinta a la 
distribución normal) con media X y varianza 2X , entonces, para n 
suficientemente grande (n≥ 30) X tiene una distribución aproximadamente 
normal con media X y varianza 2X (donde la varianza de X depende del 
tipo de muestreo para que pueda ser multiplicado por el factor de corrección de 
población finita). 
Es decir, si  2~ ? ,X XX   y se extrae una muestra n (donde 30n  ) 
2~ ( , )X Xa
X N   
Por lo tanto la estandarización de X seria ~ (0,1)X
a
X
X
Z N


 
Un programa en R que simula el Teorema Central del Límite 
N=30 
n=10 
nm=choose(N,n) 
pobla=rexp(N,1/5) 
pobla 
medias=rep(0,100) 
for (i in 1:100) 
{ 
medias[i]=mean(sample(pobla,n,replace=F)) 
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} 
par(mfrow=c(1,2)) 
hist(pobla) 
hist(medias) 
 
 
Lo que debamos entender por n grande es una cuestión relativa; depende 
fundamentalmente del tipo de distribución de la variable X. Si esta es parecida 
a la Normal, será suficientemente un n pequeño, pero si es muy diferente, 
puede ser necesario un valor grande. Asi por ejemplo, si X tiene distribución 
Uniforme , con n=10 se alcanza para aproximarla a una normal. Si X tiene 
distribución Exponencial sería necesario por lo menos n=25 para aproximarlo a 
la normal. Digamos que en los casos más desfavorable, alcanza con n=30 o 
40.Mas específicamente si la variable X tiene dominio positivo, la relación  Y Y n n n       deberá ser inferior a 0.2 para que Y sea 
Normal. Existen sin embargo, casos patológicos, en los cuales no se alcanza la 
normalidad ni siquiera con miles de datos. 
 
Ejemplo 
La duración de un rodamiento a bolilla de una caja de velocidades de un 
automóvil es una variable con distribución asimétrica, con una media de 65 
millones de revoluciones y una desviación estándar de 36 millones de 
revoluciones. A efectos de abaratar los costos se propone una modificación en 
el tratamiento de temple de las bolillas, que se espera no afectará la duración 
media del producto. A tal efecto, se realizó una prueba de laboratorio en el cual 
se probaron 20 rodamientos. ¿Es suficiente el tamaño de muestra para utilizar 
una aproximación a la normal?    36 20 65 0.12n    , valor razonable como para admitir una tamaño 
de muestra n=20 
 
Ejemplo 
Los pesos de conejos criados en una granja es una variable aleatoria (v.a.) con 
media .5kg y varianza 2 20.64kg  . Suponga que se seleccionan n conejos 
y sean nXXX ...,,, 21 sus pesos. 
a) Si el peso de los conejos tienen una distribución normal y 921 ...,,, XXX es una 
muestra aleatoria de tamaño 9 que fue obtenida con reemplazo. Calcule la 
probabilidad que la media muestral sea a lo más 5.5 kg. 
Histogram of pobla
pobla
Fre
que
ncy
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
12
Histogram of medias
medias
Fre
que
ncy
2 3 4 5 6
0
5
10
15
20
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5)(  
X
XE 
2
2 0.64( )
9
X
XVar X n
   2 0.64 0.8 0.267
9 3
X
X n
     
 
5.5 5
( 5.5) ( 1.87) 0.9693
0.267
X
X
X
P X P P Z


          
R 
pnorm(5.5, mean=5, sd=sqrt((.64/9))) 
[1] 0.9696036 
 
 
 
 
b) Si el peso de los conejos tiene una distribución normal y 921 ...,,, XXX es una 
muestra aleatoria simple de tamaño 9 que fue obtenida sin reemplazo de una 
población de 100 conejos. Calcule la probabilidad de que la media muestral sea 
a lo más 5.5 kg. 
 
( ) 5XXE X     
2
2 0.64 100 9( )
1 9 100 1
X
X
N n
Var X
n N
               
2 0.64 100 9
0.256
1 9 100 1
X
X
N n
n N
               
 
5.5 5
( 5.5) ( 1.95) 0.9744
0.256
X
X
X
P X P P Z


          
 
R 
pnorm(5.5, mean=5, sd=0.256) 
[1] 0.9745976 
 
c) Si 4521 ...,,, XXX es una muestra aleatoria simple del peso de 45 conejos y si el 
tamaño de la población de conejos en la granja es de 1000. Calcule la 
probabilidad de que el peso promedio de los conejos sea menor a 4.7 kg. 
Por fines prácticos calculamos la fracción de muestreo f para saber si se utiliza 
el f.c.p.f. 
 
 
45
0.05
1000
f   
5)(  
X
XE 
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95 
2
2 0.64( )
45
X
XVar X n
   2 0.64 0.1193
45
X
X n
    
4.7 5
( 4.7) ( 2.51) 0.006
0.1193
X
X
X
P X P P Z


           
R 
pnorm(4.7, mean=5, sd=0.1193) 
[1] 0.005957211 
 
Ejemplo 
El tiempo de permanencia (en semanas) de los depósitos de ahorro en el 
banco Money S.A. tiene una distribución exponencialcon media 3 semanas y 
variancia 7 semanas2 Si se elige al azar y sin reemplazo 35 depósitos de 
ahorro de un total de 1000 existentes, hallar la probabilidad de que la diferencia 
del tiempo de permanencia promedio de los depósitos de la muestra con el 
primer cuartil de su distribución se encuentre entre 1 y 2 semanas. 
 
W: Tiempo de permanencia (en semanas) de los depósitos de ahorro. 
3W  2 7W  ,  ~ 3,7W Exp . Como 35n  y 1000N  entonces 
3
W
  2 7 0.2
35W
   , entonces  3,0.2~
a
W N 
 11 2 ?P W Q     1 0.25P W Q  
1 3 0.25
0.2
Q
P Z
     
 
R 
qnorm(0.25, mean=0, sd=1) 
[1] -0.6744898 
1
1
3
0.6744898 2.69835
0.2
Q
Q
     
   1 2.69835 2 3.69835 4.69835P W P W      
R 
pnorm(4.69835, mean=3, sd=sqrt(0.2))- 
[1] 0.999927 
pnorm(3.69835, mean=3, sd=sqrt(0.2)) 
[1] 0.940804 
  3.69835 4.69835 0.999927 0.940804 0.059123P W     
 
4.4 Distribución de la diferencia de promedios muestrales  1 2X X 
Teorema 
Si de dos poblaciones independientes distribuidas con medias 1 , 2 y 
variancias 21 , 22 se extraen muestras de tamaños 1 2n y n , respectivamente; 
entonces, la variable aleatoria  21 XX  (diferencia de promedios muestrales) 
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tendrá una distribución con media 
1 2X X
  y variancia 1 22X X  (según el tipo de 
muestreo): 
 Si las muestras son aleatorias (con reemplazo) de poblaciones normales o se 
cumple con el Teorema Central del Límite  1 230 30n y n  con otro tipo de 
distribución. 
1 2 1 2
2 2
2 1 2
1 2
1 2
X X X X
y
n n
         
 
 Si las muestras son aleatorias simples (sin reemplazo) de poblaciones de 
tamaños N1 y N2normales o se cumple el Teorema Central del Límite: 
1 2 1 2
2 2
2 1 1 1 2 2 2
1 2
1 1 2 21 1
X X X X
N n N n
y
n N n N
                     
Por lo tanto si:    1 12 211 1 1~ , ~ , XXX N X N    ó    1 12 211 1 1~ ? , ~ , XXaX X N       2 22 222 2 2~ , ~ , XXX N X N    ó    2 22 222 2 2~ ? , ~ , XXaX X N     1 2 1 221 2 ~ , X XX XX X N    ó  1 2 1 221 2 ~ , X XX XaX X N    
entonces
 
1 2
1 2
1 2
X X
X X
X X
Z

 
  
 
Ejemplo 
El tiempo que lleva efectuar un procedimiento de montaje para el método 1 
tiene distribución normal con media 35 segundos y variancia 20 segundos2 
mientras que con un método 2 tiene distribución normal con media 31 
segundos y variancia 17 segundos2. Si se selecciona una muestra de 40 
empleados entrenados con el método 1 y 50 entrenados con el método 2. 
 
a) Halle la probabilidad de que el promedio muestral con el método 1 sea superior 
al promedio muestral con el método 2 en por lo menos 5 seg. 
Solución 
 X1: Tiempo para efectuar un procedimiento de montaje con el método 1. 
 X2: Tiempo para efectuar un procedimiento de montaje con el método 2. 
 
1
20
~ 35,
40
X N
    y 2
17
~ 31,
50
X N
    
 


 
2
2
2
1
2
1
2121 ,~ nn
NXX
 por lo tanto 

 
50
17
40
20
,3135~21 NXX 
 1 2 ~ 4.0;0.84X X N  
   1 2
1 2
1 2
1 2
5 4
5 1.09 0.1379
0.84
X X
X X
X X
P X X P P Z

 
             
R 
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97 
1- pnorm(5, mean=4, sd=sqrt(0.84)) 
 
b) Determine la probabilidad de que el promedio muestral con el método 2 menos 
el promedio muestral con el método 1 sea a lo más -3, si las muestras se 
eligen sin reemplazo de una población de 400 empleados entrenados con el 
método 1 y 500 empleados entrenados con el método 2. 
 



 








11
,~
2
22
2
2
2
1
11
1
2
1
1212 N
nN
nN
nN
n
NXX
 
 
2 1
17 500 50 20 400 40
~ 31 35,
50 500 1 40 400 1
X X N
                   
)7577.0,4(~12  NXX 
     2 1
2 1
2 1
2 1
3 4
3 1.15 0.8749
0.7577
X X
X X
X X
P X X P P Z

 
                
 
R 
pnorm(-3, mean=-4, sd=sqrt(0.7577)) 
 
c) Calcule c1 y c2 tal que:    2 1 2 11 2 10.7817 0.2033P c X X c y P X X c       
Considere los parámetros de la pregunta b) 
 
4.5 Distribución de la proporción muestral  p 
Dependiendo del tipo de muestreo asociado a un experimento aleatorio, se 
tiene: 
A. Cuando el muestreo es con reemplazo 
Si de una población en la cual la probabilidad de éxito es  , se extraen 
muestras aleatorias con reemplazo de tamaño n ; entonces, la variable 
aleatoria p (que expresa la proporción de éxitos en la muestra) tiene como 
función de probabilidad: 
    1 21 0, , , ,1
 0 
n npnp
p
n
p
f p np n n
de otra forma
        
 
 
Donde  p E p   y    2 1p V p n    
 
B. Cuando el muestreo es sin reemplazo 
Sea una población de tamaño N en la cual existen A elementos que poseen 
una característica de interés y B N A  elementos no poseen esta 
característica y además A N  (la probabilidad de obtener un éxito). Si de esta 
población se extrae al azar muestras aleatorias sin reemplazo de tamaño n , 
entonces la variable aleatoria p que expresa la proporción de éxitos en la 
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98 
muestra (proporción de elementos que poseen la característica de interés) 
tiene como función de probabilidad: 
  1 2 0, , , ,1
 0 
p
A B
np n np
p
Nf p n n
n
de otra forma
             
 
 
 
Donde  p AE p N    y    2 1 1p N nV p n N         
 
Ejemplo 
Una empresa dedicada a la comercialización de harina de trigo y soya tiene 8 
distribuidores de los cuales 5 de ellos solo distribuyen harina de trigo. Si se 
eligen al azar 4 distribuidores y se define p como la proporción de 
distribuidores que solo distribuyen harina de trigo, halle la probabilidad de que 
la proporción de distribuidores de harina de trigo en la muestra este entre 0.4 y 
0.8 inclusive. 
a) Si el muestreo es con reemplazo 
5
0.625
8
A
N
    
     4 44 1 2 30.625 1 0.625 0, , , ,14 4 4 4
 0 
p n p
p
p
f p p
de otra forma
      
 
  1.6 3.2 2 3 2 30.4 0.8
4 4 4 4 4 4
P p P p P p P p P p
                                 
         2 2 3 14 40.4 0.8 0.625 0.375 0.625 0.375
2 3
P p
              0.4 0.8 0.3295898 0.3662109 0.6958008P p     
 
R 
dbinom(2,4,0.625)+ dbinom(3,4,0.625) 
 
 
b) Si el muestreo es sin reemplazo 
 
5 3
4 4 4 1 2 3
 0, , , ,1
8 4 4 4
4
 0 
p
p p
p
f p
de otra forma
             
 
 
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99 
  1.6 3.2 2 3 2 30.4 0.8
4 4 4 4 4 4
P p P p P p P p P p
                                 
 
5 3 5 3
2 2 3 1
0.4 0.8 0.4285714 0.4285714 0.8571429
8 8
4 4
P p
                              
 
R 
dhyper(2,5,3,4)+dhyper(3,5,3,4) 
 
 
 
 
 
4.6 Aproximación Normal a la distribución de proporción muestral. 
Cuando n es grande (por lo general, n 30), la variable aleatoria p se aproxima 
a una distribución normal. Esto resulta de aplicar el Teorema Central delLímite 
Por lo tanto si  2~ ( ) 30 ~ ,p p
a
p f p y n p N    
Donde: 
p  y 2p depende del tipo de muestreo o forma de extracción dela muestra.  Cuando el muestreo es con reemplazo o el tamaño de la población N es 
grande se define como: 
np
)1(2   
 Cuando el muestreo es sin reemplazo o el tamaño de la muestra es finita se 
define como: 
2 (1 )
1p
N n
n N
        
 
Luego para una muestra suficientemente grande puede aplicarse la distribución 
normal para aproximar las probabilidades de ocurrencia en una distribución de 
una proporción muestral de la siguiente manera: 
  1 21 2
1 1
2 2
p p
p p
n n
P p p p P Z
 
 
                      
 
 
  1 21 2
1 1
2 2
p p
p p
n n
P p p p P Z
 
 
                      
 
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100 
  1 21 2
1 1
2 2
p p
p p
n n
P p p p P Z
 
 
                      
 
  1 21 2
1 1
2 2
p p
p p
n n
P p p p P Z
 
 
                      
 
Donde el término  1 2n se le llama factor de corrección por continuidad, el cual 
se aplica para lograr una mayor aproximación de la probabilidad deseada. 
Una regla práctica que se sigue con frecuencia establece que la distribución 
muestral de p es aproximadamente normal si tanto n y n(1-) son mayores a 
5. 
Ejemplo 
En cierto distrito de una ciudad el 20% usualmente compran la revista Magali 
Tvi. Si se elige una muestra aleatoria de 100 personas sin reem 
.9 
.plazo, hallar la probabilidad de que la proporción muestral de personas que 
compran la revista Magali Tvi, sea mayor o igual del 10% peromenor del 17%: p=0.2 
 
0.20(1 0.20)
0.04
100p
   
   1 10.10 0.20 0.17 0.202 100 2 100
(0.10 0.17)
0.04 0.04
P p P Z
                       
 
10 1 17 1
0.20 0.20
100 200 100 200
(0.10 0.17)
0.04 0.04
P p P Z
                      
 
   (0.10 0.17) 0.875 2.625 0.1864P p P Z P Z         
 
R 
Sin el factor de continuidad 
pnorm(0.17,0.2,0.04) – pnorm(0.1,0.2,0.04) 
[1] 0.2204177 
 
Con el factor de continuidad variable ya estadanrizada 
pnorm(-0.875)-pnorm(-2.625) 
[1] 0.1864545 
 
4.7 Distribución de la diferencias de Proporciones Muestrales  1 2p p 
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101 
Sean 1 y 2 las proporciones de éxitos (que poseen la característica de 
interés) de dos poblaciones independientes 1N y 2N . De la primera población 
se extraen muestras aleatorias de tamaño 1n y de la segunda población 
muestras aleatorias de tamaño 2n . Sean 1p y 2p las proporciones de las 
muestras extraídas de la primera y segunda población respectivamente. Luego, 
la diferencia de proporciones muestrales 1 2p p p   tendrá una distribución 
con media 1 2p     y variancia 2p  (la cual depende del tipo de muestreo y 
del tamaño de las poblaciones)  Cuando el muestreo es con reemplazo o los tamaños de las poblaciones N1 
y N2 son grandes entonces: 
2 1 1 2 2
1 2
(1 ) (1 )
p n n
       
 Cuando el muestreo es sin reemplazo o los tamaños de las poblaciones N1 
y N2son finitosentonces: 
2 1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
(1 ) (1 )
1 1p
N n N n
n N n N
                   
Ejemplo 
Suponga que se ha adquirido el lote I (con 5 chips de computadora) y el lote II 
(con 4 chips de computadora). Cada lote contiene dos artículos defectuosos. Si 
en un proceso de control de calidad se elige al azar sin reemplazo e 
independientemente 3 artículos del lote I y 2 del lote II, hallar la distribución de 
la diferencia de proporciones muestrales 1 2p p p   de artículos defectuosos 
Como el muestreo es sin reemplazo se tiene 
Lote I: 1 1 1 15, 2, 2 /5 0.4, 3N A n     
Lote II: 2 2 1 24, 2, 2 / 4 0.5, 2N A n     
 
1
1 1
1
1
2 3
3 3 3 1 2
 0, , ,1
5 3 3
3
 0 
p
p p
p
f p
de otra forma
             
 
2
2 2
2
2
2 2
2 2 2 1
 0, ,1
4 2
2
 0 
p
p p
p
f p
de otra forma
             
 
 
Las funciones de probabilidad 1p y 2p también puede ser expresada como: 
 
1
1
1
1
1
1/10 0
6 /10 1/ 3
3/10 2 / 3
0 
p
p
p
f p
p
de otra forma
   
  
2
2
2
2
2
1/ 6 0
4 / 6 1/ 2
1/ 6 1
0 
p
p
p
f p
p
de otra forma
   
 
A partir de estas funciones de probabilidad se obtienen los posibles valores de 
la diferencia de proporciones 1 2p p p   y sus probabilidades de ocurrencia 
de la siguiente manera: 
 
1p 2p 1 2p p p        1 21 2p pf p f p f p  
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102 
0 0 0   1 10 1 6 1 60 
0 1/2 -3/6   1 10 4 6 4 60 
0 1 -1   1 10 1 6 1 60 
1/3 0 2/6   6 10 1 6 6 60 
1/3 1/2 -1/6   6 10 4 6 24 60 
1/3 1 -4/6   6 10 1 6 6 60 
2/3 0 4/6   3 10 1 6 3 60 
2/3 1/2 1/6   3 10 4 6 12 60 
2/3 1 -2/6   3 10 1 6 3 60 
 
Por lo tanto, la distribución exacta de la diferencia de proporciones 
 
1 60 1,0
6 60 4 6,2 6
4 60 3 6
3 60 2 6,4 6
24 60 1 6
12 60 1 6
0 
p
p
p
p
f p p
p
p
de otra forma

                 
 
 
 
4.8 Aproximación Normal a la distribución de la diferencia de proporciones 
muestrales 
Cuando los tamaños de las muestras 1n y 2n son grandes  1 230 30n y n  , 
la variable aleatoria 1 2p p p   (definida como la diferencia de proporciones 
muestrales) tiene una distribución aproximadamente normal con media 
1 2p     y varianza 2p  . La distribución normal puede ser utilizada en 
estos casos para estimar o aproximar las probabilidades de ocurrencia en una 
distribución de una diferencia de proporciones muestrales de la siguiente 
manera: 
 
Si 1 230 30n y n  entonces  2~ ,a p pp N    , luego ~ (0,1)ap
p
p
Z N

 
  
 
 
La varianza 2p  depende del tipo de muestreo (con reemplazo y sin reemplazo) 
y si los tamaños de las poblaciones son grandes 
Para esta aproximación también se requiere de un factor de corrección por 
continuidad, el cual es numéricamente igual a 
1 2
1
2n n
. Pero para una 
aproximación a la normal se requiere que 1 230 30n y n  , luego 1 2 900n n  y 
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103 
1 2
1 1
0.0005555
2 1800n n
  . En este caso se puede observar que el factor por 
continuidad no tiene mucho efecto sobre las probabilidades estimadas. Por 
esta razón, en la aproximación normal de la distribución de diferencia de 
proporciones muestrales no se usa en la práctica el factor de corrección por 
continuidad. 
 
Ejemplo: 
Dos fábricas A y B producen artículos similares. La fábrica A tiene el 7 % de 
defectuosos, y la fábrica B tiene un 5% de defectuosos. Si se extrae una 
muestra aleatoria de 2000 unidades de la fábrica A y una muestra de 2500 
unidades de la fábrica B sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que la 
muestra de la fábrica A tenga una proporción mayor de artículos defectuosos 
que la muestra de la fábrica B en por lo menos 1%? 
 
Solución: 
0.07A  , 0.05B  , 2000An  , 2500Bn   0.01 ?A BP p p   
  0.01 (0.07 0.05)0.01
0.07(1 0.07) 0.05(1 0.05)
2000 2500
( ) 0.01 (0.07 0.05)
(1 ) (1 ) 0.07(1 0.07) 0.05(1 0.05)
2000 2500
( 1.39) 1
p
A B
p
A B A B
A A B B
A B
p
P p p P
p p
P
n n
P Z


 
   


              
               
     ( 1.39) 1 0.0823 0.9177P Z     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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104 
Ejercicios Propuestos 
 
1. El tiempo que sobrevive un pez en aguas contaminadas tiene distribución 
normal con media 92 días y variancia de 9 dias2. Si un pez sobrevivió más de 
89 días, ¿cuál es la probabilidad que sobreviva como máximo 93.5 días?. 
 
2. La empresa de petróleos Fuel Company S.A. realizó un estudio, donde 
determinó que las ventas diarias (en cientos de galones) de gasolina de 84 
octanos en dos de sus estaciones en los distritos de San Miguel (X1) y Surco 
(X2) tienen distribución normal.  1 ~ 40,24X N y  2 ~ 42,20X N . 
a) Si se extrae una muestra aleatoria sin reemplazo de 15 registros de un total de 
1000 del distrito de San Miguel. ¿cuál es la probabilidad de que la venta 
promedio muestral en este distrito difiera de su venta promedio poblacional en 
menos de 200 galones? 
b) Si se eligen al azar y con reemplazo 10 registros de venta del distrito de Surco 
¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos registros superen en venta la 
cantidad de 42 cientos de galones. 
 
3. El diámetro (en cm.) de un cable eléctrico, es una variable aleatoria con la 
siguiente función de densidad:    6 1 0 1f x x x x    
Si se selecciona una muestra aleatoria sin reemplazo de 100 cables de un lote 
de 5000 cables, ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro promedio de los 
100 cables sea mayor a 0.52 cm. 
 
4. Al salir de la línea de ensamblaje, 100 de un total de 400 automóviles, 
necesitan ajuste de algún tipo. 
 
 
 
 
a) Si se seleccionan al azar 20 de ellos, ¿Cuál es la probabilidad de que la 
proporción muestral de vehículos que necesitan ajuste sea mayor o igual a 0.2 
y menor o igual a 0.3?. Considere los casos en que el muestreo es con y sin 
reemplazo. 
b) Calcule las probabilidades pedidas en a) considerando una muestra de 50 
vehículos y utilizando aproximación normal. 
 
5. Si      225~ 0,25 , ~ 20,25 , ~X N Y N W  y son variables mutuamente 
independientes. 
a) Determine el valor de 1k tal que 13 0.95P X k W    
b) Determine el valor de 2k tal que  13 2 2
1
20 0.9j
j
P Y k

      
 
6. Si    1 2~ 40,25 , ~ 50,25X N X N y son variables aleatorias mutuamente 
independientes. Si 1 10n  y 2 24n  , determine el valor de k tal que: 
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105 
 10 222 1,
1
40 0.95j
j
P S k X

      
 
7. Después de una serie de experimentos se estima que el número medio de días 
que sobrevive una especie de reptil es 167 días, con una desviación estándar 
de 3 días. Si la distribución de los días sobrevividos es normal. 
a) ¿Cuál es el porcentaje de reptiles que sobreviven menos de 170 días, pero 
más de 160 días? 
b) Si se seleccionan al azar 49 reptiles, ¿cuál es la probabilidad que el tiempo 
medio de supervivencia sea superior a los 167.5 días? 
 
8. La cantidad neta de arroz, en kg, que envasa la máquina marca Alfa es una 
variable aleatoria distribuida normalmente con una media de 50 kg y una 
desviación estándar de 0.5 kg. 
a) Si se seleccionan al azar 36 bolsas, ¿cuál es la probabilidad que la cantidad 
media de arroz envasada se encuentre entre 49.92 y 50.08 kg? 
b) Si se seleccionan al azar 36 bolsas de un lote de 200 bolsas, ¿cuál es la 
probabilidad que la cantidad media de arroz envasada sea inferior a los 49.95 
kg.? 
c) Se sabe que la cantidad neta de arroz, en kg., que envasa la máquina marca 
Beta, también es una variable aleatoria distribuida normalmente con una media 
de 49.95 kg. y una desviación estándar de 0.2 kg. Si se eligen al azar 36 bolsas 
envasadas por la máquina Alfa y 49 bolsas envasadas por la máquina Beta, 
¿cuál es la probabilidad que la cantidad media de arroz envasado por la 
máquina marca Alfa sea superior a la cantidad media de arroz envasada por la 
máquina marca Beta? 
 
9. Para cierta región se conoce que el 15% de los créditos otorgados por la 
financiera A tienen al menos una cuota de pago vencida y que los montos (en 
decenas de miles de dólares) de los créditos otorgados por dicha financiera 
tienen una distribución normal con una media de 5.56 y una variancia de 9. Del 
mismo modo, para otra región se conoce que el 24% de los créditos aprobados 
por la financiera B tienen al menos una cuota de pago vencida y que los 
montos (en decenas de miles de dólares) de los créditos otorgados por dicha 
financiera también tienen una distribución normal con una media de 6 y una 
variancia de 4. 
Los directivos de ambas financieras sostienen que los créditos por montos 
menores a 50000 dólares tienen una menor probabilidad de atrasos en los 
compromisos de pago. 
Por otro lado, también se conoce que la financiera A ha otorgado un total de 
800 créditos, mientras que la financiera B ha otorgado un total de 1200 
créditos. 
a) Si se eligen al azar y sin reemplazo 10 créditos otorgados por la financiera A, 
halle la probabilidad que el monto promedio de la muestra supere a la media de 
su distribución en no más de 1500 dólares. 
b) Si se eligen al azar y sin reemplazo 32 créditos otorgados por la financiera A, 
halle la probabilidad que el porcentaje de créditos con cuotas de pago vencidas 
supere a su media poblacional en al menos 0.04. 
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Departamento de Estadística e Informática 
MS Jaime Carlos Porras Cerrón 
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106 
c) Si se eligen al azar y sin reemplazo 36 créditos otorgados por la financiera B, 
halle la probabilidad que el porcentaje de créditos con cuotas de pago 
vencidas sea inferior a 0.21. 
d) Si para cada financiera se seleccionan al azar y sin reemplazo 40 créditos, 
halle la probabilidad que la proporción de créditos por montos superiores 60000 
dólares de la muestra de la financiera A supere a la correspondiente proporción 
de la muestra de la financiera B en no más de 0.05. 
e) Si se eligen al azar y con reemplazo 40 créditos otorgados por la financiera B, 
halle la probabilidad que la proporción de créditos con cuotas de pago vencidas 
difiera de la media de su distribución en al menos 0.03. 
 
10. Suponga que X, la resistencia a la ruptura de una cuerda (en libras), tiene una 
distribución N(100, 16).Si se extrae una muestra de 6 cuerdas, calcule: 



 

4.19
1
)( 2
n
xx
P i
 
 
11. Sean las variables aleatorias z y w con las siguientes distribuciones de 
probabilidad: z  22 , w  212 . Hallar a y b si: 04.011 

 
bw
z
a
P y
99.0
1 

 
bw
z
P 
 
12. Dos compañías A y B fabrican cierto componente. La duración para los 
fabricados por A tiene una desviación típica de 40 horas en tanto que la 
duración de los fabricados por B tienen una desviación típica de 50 horas. Se 
toma una muestra de 8 componentes de A y 16 de B. Hallar la probabilidad que 
la varianza de la primera muestra sea a lo más el doble de la segunda. 
 
13. Se tienen dos tipos de procesos (A y B) para producir un artículo. Los tiempos 
de producción para el proceso A muestran un comportamiento promedio de 3 
horas y una variancia de 2.56 horas2; mientras que el proceso B muestra un 
comportamiento promedio de 3.06 horas y una variancia de 1.44 horas2. Si se 
eligen al azar y sin reemplazo 64 artículos producidos con el proceso A (de un 
total de 300 artículos producidos) y 49 producidos con el proceso B (de un total 
de 450 artículos producidos). Halle la probabilidad de que el tiempo promedio 
de producción de la muestra del proceso A difiera del correspondiente tiempo 
promedio de producción de la muestra de B en no menos de 30 minutos. 
 
14. El 49% de los adultos jóvenes (personas de 21 a 25 años) de clase A y el 65% 
de los de la clase B contribuyeneconómicamente con los gastos del hogar. 
a) Si se toma una muestra con reemplazo de 25 adultos jóvenes de la clase A 
¿Cuál es la probabilidad que la proporción muestral de adultos jóvenes que 
contribuyen económicamente con los gastos del hogar sea mayor o igual del 
15% pero menor que el 25%. 
b) Si se toma una muestra sin reemplazo de 50 adultos jóvenes de la clase B 
¿Cuál es la probabilidad que la proporción muestral de adultos jóvenes que 
contribuyen económicamente con los gastos del hogar sea mayor del 55% pero 
menor o igual que el 70%. 
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c) Si se toma una muestra aleatoria sin reemplazo de 100 adultos jóvenes de 
cada nivel socioeconómico ¿cuál es la probabilidad de que la proporción 
muestral de adultos jóvenes de clase B que contribuyen económicamente con 
los gastos del hogarsea superior en más del 10% a la de los adultos jóvenes de 
la clase A?. 
 
15. Suponga que la distribución de los pesos de las bolsas de café molido de la 
marca A es normal con media 228 gr. y desviación estándar 10 gr. Para las 
bolsas de café de la marca B, la distribución de pesos es también normal con 
media 232 gr. y desviación estándar 12 gr. Las dos marcas se venden a los 
establecimientos en cajas de 60 bolsas. Si se seleccionan al azar una caja de 
la marca A y 80 cajas de la marca B, y se establece: 
   80 22 ,160 232228 60
100 144
B j
A
j
XX
R 
   
Determine la distribución de R. (Presente todo su procedimiento) 
 
16. Sean ,Y W variables independientes tal que  ~ 30,60Y N ,  ~ 35,60W N . Si 
16Yn  y 22Wn  , halle el valor de k tal que   0.95P J k  y 
 
2 2
5
15 21Y W
Y W
J
S S
   . 
 
17. Sean X e Y dos variables aleatorias independientes tales que: X ~ T con una 
variancia de 1.25, Y ~ 2 con una media de 6.Halle: P[ | X | > 1.372  Y< 
11.152 ].