DERIVADAS POR DEFINICIÓN EJERCICIO 2 - Emilio Roman Mendoza Mendez

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Elaboró: Emilio Mendoza 
DERIVADAS POR DEFINICIÓN. 
 
EJEMPLO 2 
Calcula la derivada de la siguiente función. 
𝑦 =
𝑥 − 1
𝑥
 
SOLUCIÓN. 
Resolveremos este ejercicio en 4 pasos aplicando la definición de la derivada. 
 
Paso 1: Se sustituye x por 𝑥 + ∆𝑥 en la función original, al igual que y por 𝑦 + ∆𝑦. 
𝑦 + ∆𝑦 = 
( 𝑥 + ∆𝑥) − 1
 𝑥 + ∆𝑥
 
Desarrollamos la expresión y la simplificamos. 
𝑦 + ∆𝑦 = 
𝑥 + ∆𝑥 − 1
 𝑥 + ∆𝑥
 
𝑦 + ∆𝑦 = 
𝑥 + ∆𝑥
 𝑥 + ∆𝑥
− 
1
 𝑥 + ∆𝑥
 
𝑦 + ∆𝑦 = 1 − 
1
 𝑥 + ∆𝑥
 
Paso 2: Al nuevo valor que obtuvimos le restamos la función original. 
𝑦 + ∆𝑦 − (𝑦) = 1 − 
1
 𝑥 + ∆𝑥
− ( 
𝑥 − 1
𝑥
 ) 
Simplificamos. 
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 = = 1 − 
1
 𝑥 + ∆𝑥
− (1 − 
1
𝑥
 ) 
∆𝑦 = = 1 − 
1
 𝑥 + ∆𝑥
− 1 + 
1
𝑥
 
∆𝑦 = = − 
1
 𝑥 + ∆𝑥
+ 
1
𝑥
 
Paso 3: Dividimos toda la expresión por el incremento de la variable independiente ∆𝑥. 
∆𝑦
∆𝑥
= 
−1
 𝑥 + ∆𝑥
∆𝑥
+ 
1
 𝑥
∆𝑥
 
 
 
Elaboró: Emilio Mendoza 
Simplificamos. 
∆𝑦
∆𝑥
=
−1
 ∆𝑥(𝑥 + ∆𝑥)
+ 
1
𝑥∆𝑥
 
∆𝑦
∆𝑥
=
−1
 𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2
+ 
1
𝑥∆𝑥
 
∆𝑦
∆𝑥
=
−𝑥∆𝑥 + 𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2
𝑥∆𝑥[ 𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2]
 
∆𝑦
∆𝑥
=
(∆𝑥)2
𝑥(∆𝑥)2[ 𝑥 + ∆𝑥]
 
∆𝑦
∆𝑥
=
1
𝑥[ 𝑥 + ∆𝑥]
 
∆𝑦
∆𝑥
=
1
𝑥2 + 𝑥∆𝑥
 
 
Paso 4: Calculamos el limite del cociente cuando ∆𝑥 tiende a cero, y resolviendo este límite 
obtendremos la derivada de la función. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
 = lim
∆𝑥→0
(
1
𝑥2 + 𝑥∆𝑥
) = 
1
𝑥2
 
Por lo tanto, la derivada de la función es: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
1
𝑥2