DERIVADAS POR DEFINICIÓN EJERCICIO 4 - Emilio Roman Mendoza Mendez

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Elaboró: Emilio Mendoza 
DERIVADAS POR DEFINICIÓN. 
 
EJEMPLO 4 
Calcula la derivada de la siguiente función. 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 
SOLUCIÓN. 
Resolveremos este ejercicio en 4 pasos aplicando la definición de la derivada. 
 
Paso 1: Se sustituye 𝑥 por 𝑥 + ∆𝑥 en la función original, al igual que 𝑦 por 𝑦 + ∆𝑦. 
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛[2( 𝑥 + ∆𝑥)] 
 
Desarrollamos la expresión y la simplificamos. 
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) 
 
Paso 2: Al nuevo valor que obtuvimos le restamos la función original. 
𝑦 + ∆𝑦 − (𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 
 
Simplificamos. 
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 
∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 
Realizamos la sustitución trigonométrica correspondiente. 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 2cos (
𝑥 + 𝑦
2
)𝑠𝑒𝑛(
𝑥 − 𝑦
2
) 
 
Sustituimos en nuestra expresión y simplificamos 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2cos (
2𝑥 + 2∆𝑥 + (2𝑥)
2
)𝑠𝑒𝑛(
2𝑥 + 2∆𝑥 − (2𝑥)
2
) 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2cos (
2𝑥 + 2∆𝑥 + 2𝑥
2
)𝑠𝑒𝑛(
2𝑥 + 2∆𝑥 − 2𝑥
2
) 
 
 
Elaboró: Emilio Mendoza 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2cos (
4𝑥 + 2∆𝑥
2
)𝑠𝑒𝑛(
2∆𝑥
2
) 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2 cos [
2(2𝑥 + ∆𝑥)
2
] 𝑠𝑒𝑛[
2∆𝑥
2
] 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2 cos(2𝑥 + ∆𝑥) 𝑠𝑒𝑛(∆𝑥) 
 
Paso 3: Dividimos toda la expresión por el incremento de la variable independiente ∆𝑥. 
∆𝑦
∆𝑥
= 
2 cos(2𝑥 + ∆𝑥) 𝑠𝑒𝑛(∆𝑥)
∆𝑥
 
 
Simplificamos. 
∆𝑦
∆𝑥
= [2 cos(2x + ∆x)] [
𝑠𝑒𝑛(∆𝑥)
∆𝑥
] 
 
Paso 4: Calculamos el limite del cociente cuando ∆𝑥 tiende a cero, y resolviendo este límite 
obtendremos la derivada de la función. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
 = lim
∆𝑥→0
[2cos (2x + ∆x)] · lim
∆𝑥→0
[ 
sen(∆x)
∆x
] 
 
Recordando limites trigonométricos, tenemos que: 
lim
𝑥→0
 
sen(x)
x
 = 1 
Entonces. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 2 · lim
∆𝑥→0
[cos (2𝑥 + ∆𝑥)] · (1) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 2 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 + 0) 
 
Por lo tanto, la derivada de la función es: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 2 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)