Examen Parcial 9 - Nat Alia

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Examen Parcial 1 
 
Tema 8: Superficies y curvas en el espacio 
 
Las superficies y curvas en el espacio son una parte importante del cálculo 
vectorial, y se usan comúnmente en física y geometría. Algunos de los conceptos 
clave en este tema incluyen superficies paramétricas, curvas paramétricas, 
curvatura, torsión y vectores tangentes y normales. 
 
Aquí hay 10 preguntas con respuesta sobre este tema: 
 
1. ¿Qué es una superficie paramétrica? 
 
Una superficie paramétrica es una superficie en el espacio que se puede describir 
mediante una función de dos variables, es decir, una función que asigna un punto 
en el plano xy a un punto en el espacio tridimensional. Por ejemplo, una esfera 
puede ser descrita por la función f(u,v) = (r*cos(u)*sin(v), r*sin(u)*sin(v), r*cos(v)). 
 
2. ¿Cómo se calcula el vector normal a una superficie paramétrica? 
 
El vector normal a una superficie paramétrica se puede calcular encontrando el 
producto cruz de los vectores parciales con respecto a u y v, es decir, N(u,v) = f_u 
x f_v. 
 
3. ¿Qué es una curva paramétrica? 
 
Una curva paramétrica es una curva en el espacio que se puede describir 
mediante una función de un parámetro. Por ejemplo, la curva helicoidal se puede 
describir mediante la función r(t) = (a*cos(t), a*sin(t), bt). 
 
4. ¿Cómo se calcula el vector tangente a una curva paramétrica? 
 
El vector tangente a una curva paramétrica se puede calcular encontrando la 
derivada de la función de la curva con respecto al parámetro t, es decir, T(t) = r'(t). 
 
5. ¿Qué es la longitud de arco de una curva? 
 
La longitud de arco de una curva es la longitud total de la curva a lo largo de su 
trayectoria. Se puede calcular mediante la fórmula L = ∫ a^b ||r'(t)|| dt, donde a y b 
son los valores de los parámetros que definen la curva. 
 
6. ¿Qué es la curvatura de una curva? 
 
La curvatura de una curva es una medida de cuánto se curva la curva en un punto 
dado. Se puede calcular mediante la fórmula κ = ||r''(t)|| / ||r'(t)||^3, donde r'(t) y r''(t) 
son la primera y segunda derivadas de la función de la curva con respecto al 
parámetro t. 
 
7. ¿Qué es la torsión de una curva? 
 
La torsión de una curva es una medida de cuánto se retuerce la curva en un punto 
dado. Se puede calcular mediante la fórmula τ = (r'(t) x r''(t)) · r'''(t) / ||r'(t) x r''(t)||^2, 
donde r'(t), r''(t) y r'''(t) son la primera, segunda y tercera derivadas de la función de 
la curva con respecto al parámetro t.