Reporte6 00398827 - Migdalia Lim

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Resumen—El análisis y procesamiento de señales supone 
el uso de series de Fourier, las cuales nos permiten modelar 
cualquier señal periódica arbitraria en una suma infinita de 
funciones sinusoidales más simples [1], con el objetivo de 
facilitar y optimizar su uso en diferentes áreas de la 
ingeniería. 
 
Abstract—Signal processing and analysis involves the use 
of Fourier series, which allow us to model any arbitrary 
periodic signal into an infinite sum of simpler sinusoidal 
functions [1], with the aim of facilitating and optimizing its 
use in different areas of engineering. 
I. INTRODUCCIÓN 
Las series de Fourier fueron introducidas en el 
siglo XIX por el matemático francés Jean-
Baptiste Joseph Fourier, y surgieron a partir de 
su intento por hallar la solución a la conducción 
del calor en un anillo de hierro, como parte de su 
estudio con el cual consiguió́ resolver la 
ecuación del calor [2]. 
Por consiguiente, este documento muestra, 
define y ejemplifica una de las aplicaciones 
matemáticas de las series de Fourier, siendo esta 
en el análisis de señales periódicas. 
 
II. LAS SERIES DE FOURIER 
Las series de Fourier son una herramienta 
matemática que permiten la descomposición de 
funciones periódicas, definidas y continuas por 
intervalos en series trigonométricas [3]. 
 
La serie de Fourier de una función periódica 𝑓(𝑥) 
de un periodo T está dada por: 
 
 
 
III. EJERCICIO 
Consideremos el siguiente problema [4]. 
 
 
 
Notemos que x 𝜖 (0,𝜋), en cambio y > 0, y de la 
condición ultima, nos dan la pauta para aplicar la 
transformada de Fourier del coseno (1). [4]. 
 
 
 
 
Aplicando la transformada a la EDP, por su 
linealidad tenemos que (2). 
 
 
 
 
Entonces como (3) 
 
 
 
 
La EDP se convierte en (4) 
 
 
De las condiciones del problema (5). 
 
 
 
Aplicación de Series de Fourier 
Migdalia Lim Palafox Universidad Anáhuac Querétaro 
….(1) 
….(2) 
….(3) 
….(4) 
….(5) 
 2 
Vista respecto de la variable x, la podemos 
considerar como una EDO lineal de segundo 
orden, homogénea, su ecuación auxiliar es (6). 
 
 
Su solución es (7). 
 
 
 
De las condiciones (8) y aplicando la 
transformada del coseno se tiene que (9). 
 
 
 
 
 
Entonces (10). 
 
Como (11) tenemos que (12). 
 
 
 
Por lo que la solución es (13). 
 
Aplicando la inversa de la transformada de 
Fourier del coseno (14). 
 
 
IV. CONCLUSIÓN 
La serie de Fourier resulta ser una herramienta 
importante para la resolución y optimización de 
problemas en diversas ramas de la ingeniería, ya 
que nos permite extraer información sobre la 
frecuencia del ciclo de una señal, conociendo 
solamente una parte de su comportamiento [3]. 
 
 
REFERENCIAS 
 
[1] Candela, D. (2017). Series y transformadas de 
Fourier. Universidad Politécnica de Cartagena. 
https://www.dmae.upct.es/~paredes/am_ti/ap 
untes/Tema%202.%20Series%20y%20transf 
ormadas%20de%20Fourier.pdf 
[2] García, A. (2016). Series de Fourier. Universidad del 
País Vasco. 
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/oscilacio 
nes/fourier/fourier.html 
[3] Gómez, A. (2015). La serie de Fourier: estimación de 
observaciones inexistentes. ELSEVIER. 
https://www.elsevier.es/es- revista-economia-informa-
114-articulo-la- serie-fourier-estimacion-
observaciones- S0185084915000389 
[4] MateMateando. (2020, 19 junio). TRANSFORMADA 
DE FOURIER PARTE 2: APLICACIÓN A 
PROBLEMAS DE EDP. YouTube. 
https://www.youtube.com/watch?v=mviyvHKhQNA 
 
….(6) 
….(7) 
….(8) 
….(9) 
….(10) 
….(11) 
….(12) 
….(13) 
….(14)