Unidad 4-Capacitancia y dieléctricos-ejercicios de clase[16103] - José Alejandro Del Campo Vázquez

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Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
 
 
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Unidad 4. Capacitancia y materiales dieléctricos 
4.1 Definición de capacitancia 
Ejemplo 4.1. Definición de capacitancia 
Un capacitor almacena carga Q con una diferencia de potencial ∆𝑉¿Qué pasa si el voltaje que 
suministra una batería al capacitor se duplica a 2 ∆𝑉? 
a) La capacitancia disminuye hasta la mitad de su valor inicial y la carga se mantiene igual. 
b) Tanto la capacitancia como la carga disminuyen hasta la mitad de sus valores iniciales. 
c) Tanto la capacitancia como la carga se duplican. 
d) La capacitancia permanece igual pero la carga se duplica. 
 
 
4.2 Cálculo de capacitancia 
Ejemplo 4.2. Capacitor de placas paralelas 
Un capacitor de placas paralelas consiste en dos placas conductoras paralelas, cada una con área A, 
separadas por una distancia d. Encontrar la capacitancia de este dispositivo. 
 
 
• Dos placas metálicas de igual área 𝐴 están separadas por una 
distancia 𝑑, como se muestra en la figura. 
• Una placa tiene una carga +𝑄 y la otra tiene una carga -𝑄. 
• La densidad de carga superficial en cada placa es 𝜎 = 𝑄 / 𝐴. 
• Si las placas están muy juntas (en comparación con su 
longitud y ancho) se puede suponer un campo eléctrico 
uniforme entre las placas y cero en cualquier otra parte. 
 
 
 
Cuando se carga el capacitor al conectar las placas a las terminales de una batería, las placas adquieren 
cargas de igual magnitud. Una de las placas tiene carga positiva y la otra negativa. 
 
Partiendo de la definición de capacitancia: 
𝐶 =
𝑄
∆𝑉
 
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1. La diferencia de potencial ∆𝑉 entre las placas se determina de la siguiente manera: 
∆𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −∫ �⃗� 
𝐵
𝐴
∙ 𝑑𝐬 
𝑉𝐴: potencial en la placa +𝑄 
𝑉𝐵: potencial en la placa −𝑄 
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 < 0 
∆𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −∫ 𝐸 𝑑𝑠 cos𝜃
𝐵
𝐴
= −∫ 𝐸 𝑑𝑠 cos(0°)
𝐵
𝐴
= −∫ 𝐸 𝑑𝑠
𝐵
𝐴
 
Para un campo eléctrico uniforme: 
∆𝑉 = −𝐸 ∫ 𝑑𝑠
𝐵
𝐴
= −𝐸 ∫ 𝑑𝑠
𝐵
𝐴
= −𝐸(𝑠𝐵 − 𝑠𝐴) ; 𝑠𝐵 − 𝑠𝐴 = 𝑑 
La diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme está dada por: 
 ∆𝑉 = −𝐸𝑑 (revisar ejercicio 3.1, unidad 3) 
Tomando el valor absoluto: 
|∆𝑉| = |−𝐸𝑑| → |∆𝑉| = 𝐸𝑑 
 
2. Determinar el campo eléctrico. 
El campo eléctrico en la región entre un par de placas conductoras paralelas con carga de signo 
opuesto (revisar ejercicio 2.10, unidad 2), está dado por: 
𝐸 =
𝜎
𝜖0
 ; donde es la densidad de carga por unidad de área → 𝜎 =
𝑄
𝐴
 
𝐸 =
𝑄
𝐴𝜖0
 
|∆𝑉| =
𝑄
𝐴𝜖0
𝑑 
 
3. Finalmente, la capacitancia queda expresada de la siguiente manera: 
𝐶 =
𝑄
𝑄
𝐴𝜖0
𝑑 
= 𝜖0
𝐴
𝑑 
 
Solución: 𝑪 = 𝝐𝟎
𝑨
𝒅 
 
La capacitancia de un capacitor de placas paralelas solo depende de las dimensiones del capacitor, el 
área de las placas 𝐴 y distancia de separación entre ellas 𝑑. El material que existe entre las placas es 
vacío (o aire). 
 
 
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Ejemplo 4.3. Capacitor de placas paralelas 
Las placas paralelas de un capacitor con vacío están separadas una distancia de 5.00 mm y tienen 2.00 
m2 de área. Se aplica una diferencia de potencial de 10, 000 V a través del capacitor. Calcule a) la 
capacitancia, b) la carga en cada placa y c) la magnitud del campo eléctrico en el espacio entre ellas. 
Datos: 
𝑑 = 5 mm = 0.005 m 
𝐴 = 2 m2 
∆𝑉 = 10, 000 V 
 
a) 𝐶 = 𝜖0
𝐴
𝑑 
= (8.85 × 10−12
C2
Nm2
)
(2 m2)
(0.005 m) 
 → 𝐶 = 3.54 × 10−9 [
C2
Nm
]; [
C C
J
] = [
 C
V
] = [F] 
Solución: 𝑪 = 𝟑. 𝟓𝟒 𝐧𝐅 
 
b) 𝐶 =
𝑄
∆𝑉
 → 𝑄 = 𝐶 ∆𝑉 → 𝑄 = (3.54 × 10−9)(10, 000 V) = 35.4 × 10−6C 
Solución: 𝑸 = 𝟑𝟓. 𝟒 𝝁𝐂 
 
c) ∆𝑉 = 𝐸𝑑 → 𝐸 =
∆𝑉
𝑑
=
10,000 V
0.005 m
= 2 × 106
V
m
 
Otra forma 
𝐸 =
𝜎
𝜖0
=
𝑄
𝐴𝜖0
=
35.4×10−6C
(2 m2)(8.85×10−12
C2
Nm2
)
 → 𝐸 = 2 × 106
N
C
 
Solución: 𝑬 = 𝟐 × 𝟏𝟎𝟔
𝐕
𝐦
 
 
Nota: 𝜖0 = 8.85 × 10
−12 C
2
Nm2
= 8.85 × 10−12
F
m
 ; 
C2
Nm2
= [
C C
Nm m
] = [
C C
J m
] = [
C
V m
] = [
F
m
] 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 4.4. Capacitor esférico 
Un capacitor esférico consiste en una cubierta conductora esférica de radio b y carga -Q concéntrico 
con una esfera conductora más pequeña de radio a y carga +Q. a) Encuentre la capacitancia de este 
dispositivo. b) Si 𝑎 = 9.5 cm y 𝑏 = 10.5 cm, calcule la capacitancia. 
 
 
 
a) De acuerdo con la figura, 
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 < 0 
Partiendo de la definición de capacitancia: 
𝐶 =
𝑄
∆𝑉
 
 
1. La diferencia de potencial ∆𝑉 entre las esferas conductoras: 
∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = −∫ �⃗� 
𝑏
𝑎
∙ 𝑑𝐬 
𝑉𝑎: potencial en la esfera con carga +𝑄 
𝑉𝑏: potencial en la esfera con carga −𝑄 
∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = −∫ 𝐸 𝑑𝑠 cos𝜃
𝑏
𝑎
= −∫ 𝐸𝑟 𝑑𝑟 cos(0°)
𝑏
𝑎
= −∫ 𝐸𝑟 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
 ; para un campo eléctrico 
radial, 𝐸𝑟 𝑦 𝑑𝑟 son paralelos 
 
2. El campo eléctrico en una región entre las esferas interna y externa, para 𝑎 < 𝑟 < 𝑏, está dado por: 
𝐸𝑟 = 𝑘𝑒
𝑄
𝑟2
 ; donde 𝑄 es la carga encerrada (carga fuente) 
∆𝑉 = −∫ 𝑘𝑒
𝑄
𝑟2
 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
 → ∆𝑉 = −𝑘𝑒𝑄∫
𝑑𝑟
𝑟2
 
𝑏
𝑎
 → ∆𝑉 = −𝑘𝑒𝑄∫ 𝑟
−2𝑑𝑟 
𝑏
𝑎
 
∆𝑉 = −𝑘𝑒𝑄 [
𝑟−2+1
−2+1
]
𝑎
𝑏
 → ∆𝑉 = −𝑘𝑒𝑄 [
𝑟−1
−1
]
𝑎
𝑏
 → ∆𝑉 = 𝑘𝑒𝑄 [
1
𝑟
]
𝑎
𝑏
 
∆𝑉 = 𝑘𝑒𝑄 [
1
𝑏
−
1
𝑎
] → ∆𝑉 = 𝑘𝑒𝑄 [
𝑎−𝑏
𝑎𝑏
] ; a < b → ∆𝑉 = 𝑘𝑒𝑄 [
−(𝑏−𝑎)
𝑎𝑏
] 
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|∆𝑉| = |−𝑘𝑒𝑄 [
(𝑏−𝑎)
𝑎𝑏
]| → |∆𝑉| = 𝑘𝑒𝑄 [
(𝑏−𝑎)
𝑎𝑏
] 
 
3. Finalmente, la capacitancia queda expresada de la siguiente manera: 
𝐶 =
𝑄
𝑘𝑒𝑄[
(𝑏−𝑎)
𝑎𝑏
] 
=
𝑎𝑏
𝑘𝑒(𝑏−𝑎) 
 ; 𝑘𝑒 =
1
4𝜋𝜖0
 → 𝐶 = 4𝜋𝜖0
𝑎𝑏
(𝑏−𝑎) 
 
Solución: 𝑪 =
𝒂𝒃
𝒌𝒆 (𝒃−𝒂)
=
𝟒𝝅𝝐𝟎 𝒂𝒃
(𝒃−𝒂) 
 
La capacitancia de un capacitor esférico solo depende de las dimensiones del capacitor, es decir, de 
los radios de las esferas y es independiente de la carga, como de la diferencia de potencial. 
 
 
b) Sustituyendo los valores de 𝑎 = 9.5 cm y 𝑏 = 10.5 cm, 
 𝐶 =
(0.095 m)(0.105 m)
(9×109
Nm2
C2
) (0.105−0.095)m
 → 𝐶 = 1.1 × 10−10
C2
Nm
 ; [
C2
Nm
] = [
C C
J 
] = [
C
V
] = [F] 
Solución: 𝑪 = 𝟏𝟏𝟎 𝐩𝐅 
 
 
Ejemplo 4.5. Capacitor cilíndrico 
Un conductor cilíndrico sólido, de radio a y carga Q, es coaxial con una cubierta cilíndrica de grosor 
despreciable, radio b > a y carga -Q. Encuentre la capacitancia de este capacitor cilíndrico si su 
longitud es l. 
 
a) Un capacitor cilíndrico consiste en un conductor cilíndrico sólido de radio a y longitud l rodeado por un 
cascarón cilíndrico coaxial de radio b. 
b) Vista superior de un extremo. Las líneas de campo eléctrico son radiales. La línea discontinua representa 
el extremo de la superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud l. 
 
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De acuerdo con la figura, 
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 < 0 
Partiendo de la definición de capacitancia: 
𝐶 =
𝑄
∆𝑉
 
 
1. La diferencia de potencial ∆𝑉 entre los conductores cilíndricos: 
∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = −∫ �⃗� 
𝑏
𝑎
∙ 𝑑𝐬 
𝑉𝑎: potencial en el conductor interno con carga +𝑄 
 𝑉𝑏: potencial en el conductor externo con carga −𝑄 
∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = −∫ 𝐸 𝑑𝑠 cos𝜃
𝑏
𝑎
= −∫ 𝐸𝑟 𝑑𝑟 cos(0°)
𝑏
𝑎
= −∫ 𝐸𝑟 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
 ; para un campo eléctrico 
radial, 𝐸𝑟 𝑦 𝑑𝑟 son paralelos 
 
2. El campo eléctrico en una región entre los cilindros coaxiales, para 𝑎 < 𝑟 < 𝑏, está dado por: 
𝐸𝑟 = 2𝑘𝑒
𝜆
𝑟
 ; donde 𝜆 =
𝑄
𝑙
 → 𝐸𝑟 = 2𝑘𝑒
𝑄
𝑙 𝑟
 
∆𝑉 = −∫ 2𝑘𝑒
𝑄
𝑙 𝑟
 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
 → ∆𝑉 = −2𝑘𝑒
𝑄
𝑙 
∫
𝑑𝑟
𝑟
 
𝑏
𝑎
 → ∆𝑉 = −2𝑘𝑒
𝑄
𝑙 
[ln (𝑟)]𝑎
𝑏 
∆𝑉 = −2𝑘𝑒
𝑄
𝑙 
[ln(𝑏) − ln(𝑎)] → ∆𝑉 = −2𝑘𝑒
𝑄
𝑙 
[ln (
𝑏
𝑎
)] → |∆𝑉| = |−2𝑘𝑒
𝑄
𝑙 
[ln (
𝑏
𝑎
)]| 
|∆𝑉| = 2𝑘𝑒
𝑄
𝑙 
[ln (
𝑏
𝑎
)] 
 
3. Finalmente, la capacitancia queda expresada de la siguiente manera 
𝐶 =
𝑄
2𝑘𝑒
𝑄
𝑙 
[ln(
𝑏
𝑎
)] 
=
𝑙
2𝑘𝑒[ln(
𝑏
𝑎
)] 
 ; 𝑘𝑒 =
1
4𝜋𝜖0
 → 𝐶 =
4𝜋𝜖0𝑙
2[ln(
𝑏
𝑎
)] 
=
2𝜋𝜖0𝑙
ln(
𝑏
𝑎
)
 
 
Solución: 𝑪 =
𝒍
𝟐𝒌𝒆 𝐥𝐧(
𝒃
𝒂
)
=
𝟐𝝅𝝐𝟎 𝒍
𝐥𝐧(
𝒃
𝒂
)
 
La capacitancia de un capacitor cilíndrico solo depende de las dimensiones y es independiente de la 
carga, como de la diferencia de potencial. 
 
 
 
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4.3 Combinaciones de capacitores 
Ejemplo 4.6. Capacitancia equivalente 
Encuentre la capacitancia equivalente entre a y b para la combinación de capacitores que se muestra 
en la Figura. Todas las capacitancias están en microfarads (µF). 
 
 
Reducción de combinación de capacitores a capacitancia equivalente: 
 
 
Solución: 𝑪𝒆𝒒 = 𝟔 𝝁𝐅 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 4.7. Capacitores en serie y en paralelo 
Dos capacitores, C1 = 6.00 µF, C2 = 3.0 µF y ∆𝑉 = 18 𝑉. Encuentre la capacitancia equivalente, la 
carga y la diferencia de potencial para cada capacitor cuando los dos capacitores se conectan a) en 
serie, y b) en paralelo. 
 
 
 
 
 
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4.4 Energía almacenada en un capacitor con carga 
Ejemplo 4.8. Energía almacenada en capacitores con carga 
Dos capacitores, C1 = 30.0 µF y C2 = 6.00 µF, están conectados en paralelo y cargados mediante una 
fuente de energía de 50 V. a) Dibuje un diagrama del circuito y b) calcule la energía total almacenada 
en ambos capacitores. c) ¿Qué diferencia de potencial se requeriría en las terminales de los dos 
capacitores conectados en serie, a fin de que esta combinación almacene la misma cantidad de energía 
que en el inciso b)? d) Dibuje el diagrama del circuito descrito en el inciso c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.5 Capacitores con material dieléctrico 
Ejemplo 4.9. Capacitor con y sin dieléctrico 
Suponga que cada una de las placas paralelas de un capacitor tiene un área de 2000 cm2 y están 
separadas por 1.00 cm. El capacitor está conectado a una fuente de energía y se carga a una diferencia 
de potencial de 3000 V. Después se desconecta de la fuente de energía y se inserta entre las placas 
una lámina de material plástico aislante, llenando por completo el espacio entre ellas. Se observa que 
la diferencia de potencial disminuye a 1000 V y que la carga en cada placa del capacitor permanece 
constante. Calcule a) la capacitancia original C0; b) la magnitud de la carga Q en cada placa; c) la 
capacitancia C después de haber insertado el dieléctrico y d) la constante dieléctrica k del dieléctrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 4.10. Capacitor de placas paralelas con dieléctrico 
Determine a) la capacitancia y b) la máxima diferencia de potencial aplicable a un capacitor de placas 
paralelas con dieléctrico de teflón (k = 2.1 e Id = 60 x 106 V/m), con una superficie de placa de 1.75 
cm2 y una separación de 0.0400 mm entre placas.