Introducción a la mecánica teórica Ejercicio 2 1 - Williams Bonifacio

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30/10/2020
1. A projectile is fired with a velocity vo such that it passes through two points
both a distance h above the horizontal. Show that if the gun is adjusted for
maximum range, the separation of the points is
d = vo
g
√
v20 − 4gh
Solucion:
El proyectil sigue la siguiente ecuación:
y = y0 + xtanθ −
gx2
2v20
(1 + tan2θ)
El angulo de mayor alcance es θ = 45◦, sustituyendo este valor:
y = x− gx
2
v20
Tomando y = h. Y despejando x:
h = x− gx
2
v20
x2 − v
2
0
g
x+ v
2
0
g
h = 0
Dadas las raíces x1,2 de la ecuacion anterior, entonces
x1 + x2 = v
2
0
g =⇒ x1x2=
v20
g h
Ahora,
(x1 − x2)2 = x21 + x22 − 2x1x2
∧
(x1+2)2 = x21 + x22 + 2x1x2
Podemos igualar (1) y (2) de la siguiente forma:
(x1 − x2)2 = (x1+2)2 − 4x1x2
(x1 − x2)2 = (
v20
g
)2 − 4v
2
0
g
h
1
B. Williams
Ejercicios 2. Introduccion a la Mecánica Teórica
Factorizando v
2
0
g y obteniendo la raiz:
(x1 − x2)2 =
(
v20
g2
)
(v20 − 4gh)
d = v0
g
√
v20 − 4gh)
square of the instantaneous speed, the speed of the particle when it returns
to the initial position is
v0vt√
v2o + v2t
where vt is the terminal speed.
La ecuación para el movimiento hacia arriba es
mẍ = −mkv2 −mg
Tenemos entonces:
d2x
dt2
= dv
dx
dx
dt
= v dv
dx
Reescribiendo la ecuación:
vdv
kv2 + g = −dx
Integrando ∫
vdv
kv2 + g =
∫
−dx 12k ln(kv
2 + g) = −x+ C
De las condiciones iniciales v = v0 y x = 0, podemos calcular C,
C = 12k ln(kv
2
0 + g)
Sustituyendo C:
x = 12k ln
(
kv20 + g
kv2 + g
)
Tomando v = 0
xh =
1
2k ln(
kv20 + g
g
2