CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-14 - Eduardo González

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CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
1.40 Dada la función: f = { ( x, y 1 y= 3¡;, -8 ~ x < 27 }, trazar su gráfica, y 
escribir su dominio y recorrido. Indicar si es biunívoca. 
SOLUCIÓN: 
D ¡ = [ -8, 27) 
Se trata de una función biunívoca, así que el recorrido puede obtenerse con: 
f ( -8) = 3¡=8 = -2 ; f ( 27) = 3JV = 3 ; R ¡ = [ -2, 3) . 
Es biunívoca porque cada valor de y E R 1 corresponde a un sólo valor 
X E D f. 
y 
1.41 Sea la función: f = { ( x , y ) 1 y = 31 3¡; 1 ; x E [ -8 , 8 ] } , obtener su 
dominio recorrido y gráfica. ¿Es biunívoca? 
SOLUCIÓN: 
D¡=[-8, 8] y como y :2:. O f(-8)=/(8)=3(2)=6. Entonces: 
R 1 = [O, 6] . No es biunívoca ya que cada valor de "y" en el intervalo 
(O, 6) corresponde a dos valores de "x" en [ ( -8, O )u( O, 8)]. 
y 
·• ·& ·4 2 4 
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F U N C 1 O N E S 
1.42 Dada la función cuya regla de correspondencia es: 
f (X) = 4 - _¡;5 - ( X- 3 ) 2 
Determinar analíticamente su dominio, trazar su gráfica y escribir su recorrido. 
¿Es biunívoca? 
SOLUCIÓN: 
De la ecuación: f ( x) = 4- -[2-;=(x_-;)-; .................................... ( 1 ) 
f (x) E IR si 25- (x-3) 2 ;;::: O; (x-3) 2 s 25 ; 1 x-3! s 5 ............ ( 2) 
Si x - 3 ?: O o bien si x ?: 3 , 1 x- 3 1 = x -3 , entonces ( 2 ) queda: 
x - 3 s 5 o sea x :::; 8 .............................................................. ( 3 ) 
Si x - 3 < O o bien x < 3 , 1 x-3 1 = -x + 3 , entonces ( 2) queda: 
- x + 3 s 5 ; x - 3 ?: - 5 ; o sea x ?: - 2 .................................. ( 4 ) 
De ( 3) y ( 4 ): -2 S x S 8 , luego D ¡ == { x 1 X E [ -2, 8] } 
De ( 1 ), haciendo f (x) =y , queda y- 4 =- ¡25- ( x-3) 2 , luego: 
( y-4) 
2 = 25- ( x-3) 2 ; ( x-3) 2 + ( y-4) 2 = 25 , que representa una 
circunferencia de centro C ( 3 , 4 ) y radio r = 5 , de la cual el arco "inferior" 
entre los puntos A ( -2 , 4 ) y B ( 8 , 4 ) es la gráfica de la función. 
El recorrido de la función es: R 1 = { y j y E [ -1 , 4 ] } . No es biunívoca ya 
que cada valor y E ( -1, 4 ] corresponde a dos valores de 
XE(-2, 3 )U(3, 8] 
y 
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FUNCIONES 
1.43 Investigar si la función f = ¡ ( x , y ) 1 y = 2 ~ 9-x 2 , x ~ O l 
es biunívoca. En caso afirmativo determinar su función inversa, los dominios y 
recorridos de ambas funciones; trazar sus gráficas. 
SOLUCIÓN: 
La regla de correspondencia puede transformarse como sigue: 
y= 2 ~ 9-x 2 ; 2 2 y =4(9-x ); 
2 2 
X y 
--+-=1 
9 36 
2 2 
y = 36- 4x ; 2 2 4x +y = 36 
Que corresponde a una elipse de centro C ( O , O ) , a = 6 , b = 3 y cuyo 
eje focal está sobre el eje de las ordenadas. Como y ~ O , x ~ O , la 
gráfica es el arco de dicha elipse localizado en el primer cuadrante del sistema 
de referencia. Cada valor de "y" corresponde a un solo valor de "x" , 
entonces la función sí es biunívoca. 
El dominio de f es D 1 = { x 1 O ::;; x ::;; 3 } y su recorrido R 1 = { y 1 O ::;; y :S: 6 } 
La función inversa de f es: 
donde la regla de correspondencia está en forma implícita transformada a la 
forma canónica de la ecuación de una elipse 
2 2 
2 2 
X =4(9-y ); 
2 2 
X = 36- 4y ; 
2 2 
X = 4y -36; 
X y --- +-- = 1 
36 9 
y despejando "y" para tenerla, en forma explícita: 
2 2 
4y = 36-x 
2 1 2 
y = -- ( 36-x ) ; 
4 
¡---1 2 y=- 36-x 
2 
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