Proyecto_Final_de_TEV - ANETTE RACHEL PINACHO MATIAS

Vista previa del material en texto

UDG Dpto. de Matemáticas
Universidad
de Guadalajara
Proyecto Final
Estudiantes:
Anette Rachel Pinacho Mat́ıas 221346527
Ricardo Isacc Ochoa Castro 214841067
Alvar Juarez Saborio 220282576
Profesor:
Dr. Fernando Ignacio Becerra Lopez
Nombre del curso: Teoŕıa de Espacios Vectoriales
Guadalajara, Jalisco, Mex.
6 de mayo de 2023
Lic. en Matemáticas 1 Proyecto Final
UDG Dpto. de Matemáticas
Índice
1. Introducción. 3
2. Información preliminar. 3
3. Problema. 3
3.1. Demostración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Conclusiones. 4
Lic. en Matemáticas 2 Proyecto Final
UDG Dpto. de Matemáticas
1. Introducción.
En el siguiente documento se dan a conocer los teoremas y definicioes necesarias para realizar la demostración
del problema asignado como proyecto final presentado más adelante.
El objetivo del proyecto es reunir la información necesaria para llevar a cabo la demostración, aśı como explicar
de forma satisfactoria el proceso seguido para obtener los resultados que se presenten durante el desarrollo del
proyecto y la investigación de los temas relacionados a este.
2. Información preliminar.
Definición (matriz simétrica). Una matriz A n× n es llamada simétrica si y sólo si AT = A. [2]
Definición (matriz antisimétrica). Una matriz A n× n es llamada antisimétrica si y sólo si AT = -A.[2]
Teorema (1.12). Sean A y B dos matrices m× n y c ∈ R. Entonces
(1) (AT )T = A
(2) (A+B)T = AT +BT
(3) (cA)T = cAT [2]
Definición 2.31 (suma directa interna). Sean S y T subespacios de un espacio vectorial V sobre un campo
F. Decimos que la suma de S+T es una suma directa interna de S y T, y escribimos S ⊕ T , si cada elemento
v ∈ S + T puede escribirse de forma única como v=s+t; donde s ∈ S, t ∈ T. [1]
Teorema (2.35). Sean S y T subespacios del espacio vectorial V sobre un campo F. La suma S+T es suma
directa interna si y sólo si S ∩ T = {0}. [1]
3. Problema.
En Mn×n(R) considera los subespacios:
S1 =
{
A ∈ Mn×n(R) : A es una matriz simétrica
}
S2 =
{
A ∈ Mn×n(R) : A es una matriz antisimétrica
}
Demuestra que Mn×n(R) = S1 + S2. ¿Es esta una suma directa?
3.1. Demostración.
Demostración. Sea A ∈ Mn×n(R), y consideremos
A =
A+AT
2
+
A−AT
2
Como se puede ver en [1, pág 47]. Entonces, probemos que A+A
T
2 es simétrica y
A−AT
2 es antisimétrica.
=⇒
(
A+AT
2
)T
= 12
(
A+AT
)T
= 12
(
AT + (AT )T
)
= 12
(
AT +A
)
= A+A
T
2 , entonces, por definición
A+AT
2
es simétrica. Por lo tanto, A+A
T
2 ∈ S1.
Lic. en Matemáticas 3 Proyecto Final
UDG Dpto. de Matemáticas
Siguiendo,
=⇒
(
A−AT
2
)T
= 12
(
A−AT
)T
= 12
(
AT − (AT )T
)
= 12
(
AT −A
)
= − 12
(
A−AT
)
= −
(
A−AT
2
)
, en-
tonces, por definición A−A
T
2 es antisimétrica. Por lo tanto,
A−AT
2 ∈ S2. Finalmente,
A = s1 + s2 =⇒ Mn×n(R) = S1 + S2
Demostración. Por el teorema(2.35), sabemos que S+T es suma directa interna si y sólo si S ∩ T = {0}.
Entonces, sea A ∈ S1 ∩ S2 =⇒ A ∈ S1 & A ∈ S2
Si A ∈ S1, entonces es una matriz simétrica, por lo que AT = A
Si A ∈ S2, entonces es una matriz antisimétrica, por lo que AT = −A
Si las sumamos, obtenemos que
2AT = A−A
2AT = 0
AT = 0
(AT )T = 0T
A = 0
Como, Mn×n(R) = S1 + S2, y por el teorema(2.35), entonces Mn×n(R) = S1 ⊕ S2.
4. Conclusiones.
Finalmente se toma como conclusión del proyecto que los conocimientos adquiridos a lo largo del curso fueron
de gran ayuda, tanto para la investigación de temas relacionados al problema que se queŕıa resolver, aśı como
para el entendimiento y resolución del mismo; considerando que todas las conclusiones alcanzadas en el desarro-
llo del proyecto fueron deducidas principalmente por resultados vistos durante el curso y también apoyándonos
de las notas del curso de Tópicos Selectos del Algebra Lineal Computacional[2]. Por lo que consideramos que el
objetivo del proyecto queda cumplido.
Referencias
[1] Fernando I. Becerra López, Alonso Castillo Raḿırez, Alfonso M. Hernández Magdaleno
y Osbaldo Mata Gutiérrez, Teoŕıa de Espacios Vectoriales, 2021.
[2] Libro de notas , Tópicos Selectos del Álgebra Lineal Computacional, 2021.
Link para ver el video. https://youtu.be/Ozx4orL26ZE
Lic. en Matemáticas 4 Proyecto Final
https://youtu.be/Ozx4orL26ZE
	Introducción.
	Información preliminar.
	Problema.
	Demostración.
	Conclusiones.