CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-94 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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V.67 
CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
SUCESIONES Y SERIES 
Investigar si la serie es divergente o convergente. En el segundo 
caso indicar si converge absoluta o condicionalmente. 
SOLUCIÓN: 
00 
( -1 )n 1 1 1 1 1 00 n 1 
¿ =--+---+---+ ... ¿(-1)-
n=l 2n2 2 8 18 32 50 n=l 2n2 
1. 
2. 
3. 
1 
a =-->O 
n 2n2 
V n E IR 
1 1 
a = -- > ( n+1 )2 > n2 __...... a > a n 2 2 • _...., n n+l 
2n 2(n+1) 
lím a n = lím _ _l_ = ~ lím - 1 - = _!_ (O) = O 
n~oo n~oo 2 2 2 n~oo 2 2 n n 
Por lo anterior se ve que la serie es convergente. 
00 1 
La serie de valores absolutos correspondiente: "" LJ 2 
n=l 2n 
1 00 1 
"" -es 
2 ~ n2 
00 1 
convergente y a que L -- es una "p" con p = 2 > 1 , entonces la serie 
n=l n2 
dada converge absolutamente. 
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CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
SUCESIONES Y SERIES 
V.68 Determinar si la siguiente serie es absoluta o condicionalmente convergente o 
~ { -l )n+l 2 divergente L..J 
n=I 2 n + 3 
SOLUCIÓN: 
Empleando el criterio de Leibniz 
lím 
2 =o 
n~ 2n +3 
2 2 
y como an+l < an esto es: < 
2n+l +3 2n +3 
la 
serie dada es convergente. 
La serie de valores absolutos de esta serie es: 
00 2 
¿-n-
n=I 2 + 3 
Aplicando a ésta el criterio de D'Aiembert 
2 
a 
l , n+l [' zm--=zm 
n~ an n~ 
2 n+l + 3 = /ím 2( 2 n + 3} = /ím 2 n + 3 
2 n~ 2(2n+l + 3} n~ 2n 2+3 
2n +3 
2" ( 1 + 
3 ) 1+ 3 
lím 
2n 
= lím 2n 1+0 1 1 
3 
= -- =- < 
n~ 
2" ( 2 + 
3 ) n~2+ 2+0 2 2n 2n 
Como el límite es menor que 1 se concluye que la serie de valores absolutos 
00 2 
¿-n-
n=I 2 + 3 
es convergente, por lo que la serie en estudio es 
absolutamente convergente. 
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CUADeRNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
SUCESIONES Y SERIES 
V.69 Investigar si la siguiente serie alternante converge o diverge: 
SOLUCIÓN: 
Probando con las condiciones de la hipótesis del Teorema de Leibniz. 
2n 
a = >O V n E IN 
n 3n-1 
1. 
2. 
2 ( n+1) 2n 
a n+l < a n => < --
3 ( n+1) -1 3n-1 
2 { n + 1 )( 3n- 1 ) < 2n [ 3 ( n+1 }-1 J 
( 3n -1) 
n 
[ 3(n+1)-1 J < 
n+l 
3n -1 
n 
< 3n---
n+ 1 
-1 
n 
V n ElN < ---
n+1 
lím an = lím 
2n 
= lím 
2 2 2 
3. -- =-=-:t:O 
n~oo n~oo 3n-1 n~ 1 3-0 3 
3-
n 
No se satisface la tercera condición del Teorema de Leibniz, por lo cual éste no 
es aplicable. 
Busquemos el límite del enésimo término de la serie 
lím a = L-=_U:_~ n ll 
n----»l n 3n -1 
se observa que este límite no existe, por lo cual según la prueba de la 
divergencia se concluye que la serie dada es divergente. 
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