CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-67 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.10 Sabiendo que f ( x) = 3x 2 + 4x- 3 es continua y derivable para todo valor 
de x y considerando que el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial 
se cumple para x 1 = 2 , determinar el valor de b si a = 1 
SOLUCIÓN: 
Se tiene, f(a) = /(1) = 3+4-3 =4 
2 f ( b) = 3b + 4b- 3 .......... ( 1 ) 
f' ( x 1 ) = 6x 1 + 4 = 6 ( 2) + 4 = 16 
Según la tesis del Teorema, 
Luego, 
f'(x
1
) =f(b)-f(a), 
b-a 
f ( b) = f (a)+ ( b- a) f' ( x 1 ) 
f ( b) = 4 + ( b -1) (16) = 4 + 16b- 16 
f ( b) = 16b -12 .................. ( 2 ) 
De ( 1 ) y de ( 2 ) , 3 b 2 + 4 b - 3 = 16 b - 12 
3b 2 -12b + 9 = o 
b
2
- 4b + 3 =o 
(b-3)(b-1) =o => b1 = 3 y b2 = 1 
Evidentemente el valor pedido es b 1 = 3 
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VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.11 Empleando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, calcular en 
forma aproximada 6{65 
SOLUCIÓN: 
Sea f ( x ) = 6jX , f ( 65 ) = 6{65 , como 2 6 = 64 , conviene tomar 
a= 64 y b = 65 . 
Por el Teorema, f ( b) = f (a)+ ( b- a)/' ( x 1 ) 
l 
Derivando la función propuesta, f ( x) = x 6 ; 
1 _2_ 1 
f'(x) = -x 6 = ----
6 6( rx r 
Tomando x 1 = 64 resulta 
f' ( X 1 ) = 
6 
( ~ ) 5 = -6 -( ~-2-) = 
1 
192 
Considerando este valor en ( 1 ) , queda, 
f ( 65) = 6-{65- = 6-{64 + - 1- = 2 + - 1- = 2.0052 
192 192 
El resultado es: 6-[65 = 2.0052 
190 
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VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.12 En un cuerpo prismático de 1.00 m de altura se hizo una perforación cilíndrica 
de 1 O e m de diámetro. Empleando un taladro se agranda la perforación hasta 
tener un diámetro de 10.4 cm . Determinar la cantidad de material extraído. 
a) Empleando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial. 
b) Por medio de incrementos 
SOLUCIÓN: 
Sea x 1 = 
10 = 5 cm el radio inicial de la perforación y x 2 = 
10
·
4 = 5.2 cm el 
2 2 
radio final de la misma. 
a) El volumen de la perforación es el del cilindro, V = 1 ( x ) = xx 2 h , para 
h = 1.00 m = 100 cm 1 ( x) = 100 xx 2 que es una función continua y 
derivable para todo valor de x . 
Según el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial 
f ( b)- f( a) = ( b- a) /' ( x 1 ) .................................................... ( 1 ) 
La cantidad de material extraído es !1 V = f ( b ) - f ( a ) como 
f' ( x) = 200 xx, tomando x 1 = 5 cm se obtiene por ( 1 ) , 
AV = ( 5. 2-5 ) 200 1t ( 5 ) = 200 1t 
3 
AV = 628.32 cm 
b) Como !1 V = V 2 - V 1 L\V = 100 1tX 2 
[ 
2 2 ] 3 !1V = 100 7t ( 5.2) -5 = 204x AV = 640.88 cm 
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