CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-75 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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CUADERNO DI! E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.32 Se va a instalar una línea telefónica siguiendo la trayectoria A e D de la figura. 
Los puntos B, e y D están sobre un camino recto, el tramo AC es a campo 
traviesa. El costo de la línea en el tramo eD es de $ 9,000.00 Km y en el tramo 
AC es de $15,000.00 por Km. Determinar la distancia del punto e al punto D 
para que el costo total de la línea sea el menor posible. 
SOLUCIÓN: 
A e = ~ x 2 + 9 - , en = 4 - x 
Costo total: e = 15000 ~X 2 + 9 + 9000 ( 4 - X ) ; De 
de 
dx 
= 15000x _ 
9000 
= 15000x- 9000 ~ x 2 + 9 
~9- ~x 2 +9 
de =O => 15000x = 9000 J;2-.;9 
dx 
= (o' 4) 
!: X = J) + ~- ; ( ~ r X 2 = X 2 + 9 ~ X 2 - X 2 = 9 
25
-
9 
X 
2 = 9 16x 2 = 81 . X 2 = !!_ . X 1 = 9 = 2.25 k m ; X 2 = - 9 ~ De 
9 ' 16 ' 4 4 
Si X< X 1 = 2.25 , 
de -<o 
dx 
si X> X 1 = 2.25 , 
El costo e es mínimo cuando x 1 = 2.25 Km; CD = 4-2.25 = 1.75 km 
El Resultado: CD=l.75 km 
~<~~~l .. t------ 4 km ------I~JJ-.-1 
B t4l .. t---- X ---IIIJ-~114 .. 1--- 4 -X IIJ-1 
e n 
3km 
213 
CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.33 Se va a fabricar un tanque prismático de base cuadrada sin tapa, soldando 
placas de acero cuya área total será de 1 O m 2 • Obtener las dimensiones del 
tanque para que su capacidad sea máxima. 
SOLUCIÓN: 
Capacidad: 
2 
V= X h; 
Área de la placa: 4xh + x 2 = 10 
Despejando h : 
Luego 
2 10- X 
h = -----
4x 
dV X 10- X 
2 
1 ( 2 ) -=-(-2x)+ =
4 
-2x +10-x 2 ; 
dx 4 4 
i 
h 
¡ 
dV 1 ( 2 ) - =- -3x +10 
dx 4 
dV =0 => 3x 2 =10, 
dx 
[10 
x 1 = ~ 3 = 1.8257 m 
d
2
V 3 3 -- = -- ( 2x) = - - x 
dx2 4 2 
-- ~ _130 Para x 1 d
2
V 
dx 2 
< O , entonces la capacidad "V " es máxima 
para x 1 ~ ~ 1; 
10- 10 
h, ~ -~~: ~ ~ ~ 0.9129 
4 -
3 
Dimensiones pedidas: 
{10 
x 1 = ~ 3 = 1.8257 m ; 
214 
h 1 = IT = 0.9129 m 
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VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.34 En un terreno en forma de elipse con eje mayor de 60 m y eje menor de 
40 m, se va a trazar una cancha rectangular que tenga la mayor área posible, 
obtener las dimensiones de la cancha. 
SOLUCIÓN: 
2 2 
X y 
-+-=1 
y 
a 2 b 2 
b ~ 2 2 y=- a -x 
a 
Área de la cancha: z = 4xy 
-b 
si dz = 4b ( x -2x 
dx a 2 ~ 2 2 a -x 
~ 2 2 J-4b( a 2 -2x 2 J + a -x -- -
a ~ 2 2 a -x 
si 
si 
2 
d z = O => a 2- 2x 2 = O => x 2 = a 
dx 2 
a 
X < 
dz 
=> >0 
¡-2 dx 
a 
X > ---
¡-2 
dz 
=> <0 
dx 
a 
Luego hay un máximo de "z " para x 1 = --¡-2 
a 
= 21.21 m y 1 = 20 [ 900 - 900 = 2 .j450 = 14.14 m 
30 ~ 2 3 
Las dimensiones de la cancha son: 
Largo: 2x 1 = 42.43 m 
Ancho: 2y 1 = 28.28 m 
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