CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-77 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

Vista previa del material en texto

CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DI! FUNCIONES 
IV.38 De una cartulina circular de radio r hay que hacer un vaso cónico recortando 
de la cartulina un sector circular AOB y uniendo los bordes OA y OB . 
Determinar el ángulo a para que la capacidad del vaso sea máxima. 
SOLUCIÓN: 
De la figura, sean AC = a , OC = h 
Capacidad del vaso 
7t 2 
V=--a h 
3 
En el triángulo AOB , r 2 = a 
2 + h 2 2 2 h 2 a = r -
2 2 
a = r 
2 
r 
3 
V=~(r 2 h-h 3 ) 
3 
dV = O :::} r 2 - 3h 2 = O :::} h 1 = dh 
r 
La longitud del borde del vaso es 27ta. El ángulo subtendido por el arco de 
radio r y longitud 21ta, es 27t- a , o bien 360°- a 
21tr = 27ta 360o- a = 27ta = !!__ 360o 
360° 360°- a ' 27t r 
y como a = g r , queda 360° - a = g 360° 
a 1 = ( 1-ff) 360° ~ ( 1-0.8165) 360° = 0.1835 ( 360) = 66.06 
a = 66° 03' 36" 
o 
,A..._ 
;~'r 
, a. ' 
; ' , ' 
1 
219 
CUADERNO DE E.IERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.39 La resistencia a la flexión de una viga de sección rectangular es proporcional al 
producto de la base de la sección por el cuadrado de su altura. Determinar las 
dimensiones de la sección de la viga de madera de máxima resistencia a la 
flexión que puede obtenerse de un tronco cilíndrico de 50 e m de diámetro. 
SOLUCIÓN: 
Sea R la resistencia a la flexión y 
k la constante de proporcionalidad: 
2 
R=kxy ..................................... (!) 
De la figura: 
2 2 2 2 2 
X + y = ( 50 ) ; y = 2500 - X 
sustituyendo este valor en ( 1 ) 
50,-' , ,. 
; 
.t 
.1 , 
---- i 
V . 
~.,-~'_,_"_~-----.14---J 
'~ X ---t ... ~l 
R = k X ( 2500 - X 2 ) ; R = k ( 2500 X - X 3 ) ; D r == ( O, 50) 
~ ~ = k ( 2500- 3x 2 ) 
Si 
d Ji = O => 2500- 3x 2 = O , 
dx 
2 
3x = 2500 
Valor crítico: 
50 
X¡= 
f3 
50 
x2 = ---
.[3 
d
2
R 
---
2
- = k ( -6x) , para 
dx 
50 
X¡=--> 0 
J3 
crítico x 1 , la resistencia R máxima 
x2 = 2500 x == ~ 
3 ' ~~ 
d
2
R 
< O , para el valor 
dx 2 
50 
X¡ = 
f3 
= { 2500 - _?53°0 = ~ ~ 2500 = {f 50 
Respuesta: x 1 = 28.868 cm , y 1 = 40.825 cm 
220 
CUADERNO DI! I!.JI!RCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DI! FUNCIONES 
IV.40 Una empresa que fabrica relojes, los vende a $200 por pieza y puede producir 
a lo más 30,000 piezas mensualmente. El costo total de producción de x 
piezas está dado por: 
e (X) = 5QQ,QQQ + 8Qx + 0.Q03x 2 
Calcular la cantidad de piezas que deben venderse al mes para que las 
utilidades sean máximas. 
SOLUCIÓN: 
El importe total de la venta de x piezas es F ( x ) = 200 x . 
Las utilidades al vender x piezas serán: 
2 u (X ) = F ( X ) - e (X ) = 200x - ( 500000 + 80x + O. 003x ) 
Dado que la capacidad de producción es cuando más de 30,000 piezas 
mensualmente, el dominio de la función U ( x) es el intervalo ( 0,30000 ] . 
d 
- U ( x) = 120- 0.006x 
dx 
Si 
d 
- U ( X ) = 0 :::::) 0. 006 X = 120 
dx 
Luego el valor crítico es 
120 
X¡ = = 2Q,QQQ E ( 0,3QQQQ] 
0.006 
Si X < 20,000 ' _!!__ U(x) >O 
dx 
Si X > 20,000 ' _!!_U(x)<O 
dx 
Por lo cual U ( x ) es máxima para x 1 = 20,000 
Para que las utilidades sean máximas, la empresa debe producir y vender 
mensualmente 20,000 piezas. 
221