CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-38 - Eduardo González

Vista previa del material en texto

CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LiMITES Y CONTINUIDAD 
Gráfica 7 
y 
3 4 
-2 
11.40 Dada la función y = x 3 - 3 x 2 + 7 , x 1 = 2 , x 2 2 .1 , calcular los 
incrementos .1 x y .1 y 
SOLUCIÓN: 
L\x= x 2 -x 1 =2.1-2 =0.1 
y 1 2 3 - 3 ( 2 ) 2 + 7 = 8 -12 + 7 = 3 
y 2 ( 2.1 )
3
- 3( 2.1 ) 2 + 7 = 9.261-13.230 + 7 = 3.031 
L\y = y 2- y 1 = 3.031-3 =0.031 
102 
CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LIMITES Y CONTINUIDAD 
11.41 El diámetro de una circunferencia cambia de D 1 = 5.00 m a D 2 = 4.96 m 1 
calcular el incremento de su longitud. 
SOLUCIÓN: 
La longitud de la circunferencia es C 1t D 
Tomando 1t .:. 3.1416 
e 1 = 1t DI = 3.1416 ( 5) = 15.7080 m 
e 2 = 1t D 2 = 3.1416 ( 4.96) = 15.5823 m 
A e = e 2 - e 1 = 15.5823 -15.7080 = -0.1257 m 
11.42 Calcular el incremento del volumen de una esfera si su radio r 1 - 2.00 m se 
incrementa 3 cm . 
SOLUCIÓN: 
4 3 
El volumen de la esfera es V = - 1t r 1 r 1 - 2.001 A r = 0.03 m 
3 
- ~ ( 3.1416) ( 2 ) 3 - 33.5104 m 3 
3 
4 2 
V2=31trz- ~ (3.1416)(2.03) 3 ..:.. 35.04llm 3 
3 
AV= V 2 - V1 = 35.0411-33.5104 = 1.5307m
3 
103 
CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL 
LIMITES Y CONTINUIDAD 
11.43 Por medio de incrementos demostrar que la función f ( x ) = x 2 - 3 x + 1 
es continua para todo valor de x . 
SOLUCIÓN: 
Se debe demostrar que lím L\ y = O 
Ax~O 
V X E IR 
L\y ( x + L\x ) 2 - 3 ( x + L\x ) + 1 - ( x 2 - 3x + 1 ) 
x 2 + 2x L\x + ( L\x ) 2 -3x -3Ax +l-x 2 +3x-l 
2x L\x + ( L\x ) 2 - 3L\x 
lím L\ y = lím [ 2 x A x + ( A x ) 2 - 3 A x J = 2 x ( O ) + O - 3 ( O ) = O 
Ax--.0 L'l.x--.0 
Se cumple que lím L\ y = O 
Ax ~O 
104