Problemario_Calculo-45 - Eduardo Gonzalez Garcia

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= 
1
24
{√1 + (−1)3 + 4√1 + (−
7
8
)
3
+ 2√1+ (−
6
8
)
3
+ 4√1+ (−
5
8
)
3
+ 2√1 + (−
4
8
)
3
+
4√1+ (−
3
8
)
3
+ 2√1+ (−
2
8
)
3
+ 4√1+ (−
1
8
)
3
+√1 + (0)3 } = 0.84131. . . . (∗) 
 
Por otra parte, para la integral ∫ √1 + 𝑥3𝑑𝑥
1
0
 se obtiene 
∫ √1+ 𝑥3𝑑𝑥
1
0
≈ 
1
24
{√1 + (0)3 + 4√1 + (
1
8
)
3
+ 2√1+ (
2
8
)
3
+ 4√1 + (
3
8
)
3
+ 2√1 + (
4
8
)
3
+ 4√1 + (
5
8
)
3
+ 2√1+ (
6
8
)
3
+ 4√1 + (
7
8
)
3
+ √1 + (1)3 } = 1.114. . . . (∗ ∗) 
Finalmente, por (*) y (* *) concluimos que 
∫ √1 + 𝑥3𝑑𝑥 = ∫ √1 + 𝑥3𝑑𝑥 + ∫ √1 + 𝑥3𝑑𝑥 ≈ 0.84131 + 1.114 = 1.95531.
1
0
0
−1
1
−1
 
 
𝟐.− ∫ cos(𝑒𝑥) 𝑑𝑥; 𝑛 = 8 
1
2
0
 
Solución. Para 𝑎 = 0, 𝑏 =
1
2
 𝑦 𝑛 = 8. De manera que por la ecuación (2) nos 
queda ∆𝑥 =
1
16
 y por lo tanto 
∫ cos(𝑒𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 
(
1
16)
3
{𝑓(0) + 4𝑓 (
1
10
) + 2𝑓 (
2
10
) + 4𝑓 (
3
10
) + 2𝑓 (
4
10
) + 4𝑓 (
5
10
)
1
2
0
+ 2𝑓 (
6
10
) + 4𝑓 (
7
10
) + 𝑓 (
1
2
)} 
=
1
48
{cos(𝑒𝑥) + 4 cos (𝑒
1
16) + 2 cos (𝑒
2
16) + 4 cos (𝑒
3
16) + 2 cos (𝑒
4
16) + 4 cos (𝑒
5
16)
+ 2 cos (𝑒
6
16) + 4 cos (𝑒
7
16) + cos (𝑒
1
2)} = 0.13273. 
 
133 
 
Teorema fundamental de cálculo (T.F.C) 
𝟏.− Si f es una función continua en el intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏], entonces la función 𝑓(𝑥) 
definida por 
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 .
𝑥
𝑎
 
Es continua en 𝐼 = [𝑎, 𝑏] y diferenciable en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏) y 𝐹′(𝑥) =
𝑓(𝑥). 
𝟐.− Sea 𝐹(𝑥) cualquier antiderivada de 𝑓(𝑥), entonces 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) .
𝑏
𝑎
 
Encuentra la derivada de las siguientes funciones 
𝟏.− 𝐹(𝑥) = ∫
sen 𝑡
𝑡
𝑑𝑡
𝜋
𝑥2
 
Solución. Para poder aplicar la primera parte del T.F.C. hay que garantizar que el 
integrando 𝑓(𝑡) =
sen 𝑡
𝑡
 sea continua en el intervalo de integración, para lograr esto 
vamos a reescribir a la integral dada así 
 𝐹(𝑥) = ∫
sen 𝑡
𝑡
𝑑𝑡
𝜋
𝑥2
 
 = −∫
sen 𝑡
𝑡
𝑑𝑡
𝑥2
𝜋
 ; 𝑥 ∈ [𝜋, 𝑎] 
Con esto se debe tener que el integrando 𝑓(𝑥) =
sen 𝑡
𝑡
 es continuo para toda 𝑥 ∈
[𝜋, 𝑎] a ∈ ℝ fija. Ahora, debemos ser cuidadoso al empezar la regla de la cadena 
junto con la primera parte del T.F.C. Sea 𝑔(𝑥) = 𝑥2. En este caso 
𝑑
𝑑𝑥
{−∫
sen 𝑡
𝑡
𝑑𝑡
𝑥2
𝜋
} = −
𝑑
𝑑𝑥
𝐹(𝑥2) 
 = −
𝑑
𝑑𝑥
𝐹(𝑔(𝑥)) = −𝐹′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) 
 = −𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) = −{
𝑠𝑒𝑛(𝑔(𝑥))
𝑔(𝑥)
} 𝑔′(𝑥) = −
𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
𝑥2
∙ 2𝑥 
134 
 
𝟐.− 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡3)𝑑𝑡 ; 𝑥 ∈
𝑠𝑒𝑛𝑥
−5
[−5, 𝑏] 
Solución. Como el integrando 𝐹(𝑥) = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥3) es continuo para toda 𝑥 ∈ [−5, 𝑏] 
para 𝑏 ∈ 𝑅 fijo, entonces haciendo 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 se tiene 
𝑑
𝑑𝑥
{∫ 𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡3)𝑑𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑥
−5
} =
𝑑
𝑑𝑥
𝐹(𝑠𝑒𝑛𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝐹(𝑔(𝑥)) 
 = 𝐹′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) = {(𝑠𝑒𝑛𝑥)cos (𝑠𝑒𝑛2𝑥)}𝑐𝑜𝑠𝑥 . 
 
𝟑.− 𝐹(𝑥) = ∫ (𝑡 − 1)20𝑑𝑡 ; 𝑥 ∈ [1,3]
𝑥
1
. 
Solución. Como la función 𝐹(𝑡) = (𝑡 − 1)20 es continua en el intervalo 𝐼 = [1,3], 
entonces la primera parte del T.F.C. nos da que 
𝐹′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
{∫ (𝑡 − 1)20𝑑𝑡 
𝑥
1
} = (𝑥 − 1)20 = 𝑓(𝑥) . 
 
𝟒.− 𝐹(𝑥) = ∫ √1 + 𝑡2𝑑𝑡 ; 𝑥 ∈ [0,1]
𝑥
1
 
Solución. Como en el caso anterior, la función 𝑓(𝑡) = √1 + 𝑡2 es continua en el 
intervalo 𝐼 = [0,1], entonces la primera parte del T.F.C. nos da que 
𝐹′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝐹(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
{∫ √1 + 𝑡2𝑑𝑡 
𝑥
1
} = √1 + 𝑡2 = 𝑓(𝑥) . 
𝟓.− Evalúa la segunda integral o define cuando no existe. 
(𝒂) ∫ (3𝑥 − 5)𝑑𝑥 
4
−2
 
Solución. La función 𝐹(𝑥) = 3𝑥 − 5 es continua en el intervalo 𝐼 = [−2,4] y 
sabemos que una antiderivada de 𝑓(𝑥) es 𝐹(𝑥) =
2
3
𝑥2 − 5𝑥 así que, de acuerdo 
con la segunda parte del T.F.C. 
∫ (3𝑥 − 5)𝑑𝑥 
4
−2
= 𝐹(4) − 𝐹(−2) = {
2
3
(4)2 − 5(4)} − {
2
3
(−2)2 − 5(−2)} = −12 .