ejercicio 6 Variable Comleja - Williams Bonifacio

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TAREA 3. Ejercicio 6. Variable Compleja.
1. Sea C1 el contorno en orientación positiva del cuadrado cuyos lados se en-
cuentran a lo largo de las líneas x = ±1, y = ±1 y sea C2 el círculo de
orientación positiva |z| = 4. Probar que∫
C1
z
1− ez dz =
∫
C2
z
1− ez dz
Solución
Tenemos que
∫
C1 f(z)dz =
∫
C2 f(z)dz, se cumple si f(z) es una función
analítica en la región encerrada etre los contornos de C1 y C2 y en todos sus
puntos internos.
La demostración se hace verificando que f(z) = z1−ez es analítica en los con-
tornos de C1 y C2, así como la regíon encerrada por ambas curvas.
f(z) = z1−ez no es analítica en los puntos donde 1− e
z = 0
Las raíces de 1− ez son:
1− ez = 0⇒ ez = 1
Sea:
z = x+ iy
Sustituyendo:
1
Nombre: Williams B.
ez = 1
ex+iy = 1
exeiy = 1
ex(cos(y) + isen(y)) = 1
excos(y) + iexsen(y) = 1
Donde Re(z) = 1 y Im(z) = 0.
Por lo tanto:
Im(z) = exsen(y) = 0, ex 6= 0
Por lo que,
sen(y) = 0⇒ y = nπ
Sin embargo, para y = nπ, excos(y) = ±ex.
Por tanto, y debería ser y = 2nπ.
De esta forma, cos(y) = 1 y x = 0, cumple entonces excos(y)+ iexsen(y) =
1.
Finalmente,
z = x+ iy = 0 + i(2nπ)⇒ z = i2nπ
Recordando, f(z) = z1−ez , no es analítica en las raíces de z, es decir, cuando
1− ez = 0, que se cumple para z = i2nπ.
Para n = 0, obtenemos la raíz z = 0, cuyo punto no se encuentra en la región
encerrada por C1 y C2.
Ahora, tomando el modulo de las demás raíces:
|z| = |i2nπ| = |i||2nπ| = |2nπ| = 2nπ, n ≥ 0
Como vimos, para n = 0, z no se encuentra dentro de la región.
De esta forma, para n > 0, tomando n = 1:
2nπ = 2π > 4
Es decir, ahora se encuentra más allá de la región acotada, por lo que para
n > 0, las raíces no se encuentran en la región acotada por C1 y C2.
De esto ultimo, f(z) = z1−ez es analítica para el resto de valores de z, de tal
forma que todos los puntos de z asociados a estos valores se encuentran en
la región acotada por C1 y C2.
Finalmente, dado que f(z) = z1−ez es analítica en la región entre C1 y C2,
para todos sus puntos contenidos:∫
C1
z
1− ez dz =
∫
C2
z
1− ez dz
2