CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-73 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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CUADERNO DE E.IERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.26 Un tanque en forma de prisma de base cuadrada con tapa se va a construir con 
placa metálica. La placa para el fondo y la tapa cuesta $ 30.00 por m 2 y para 
las paredes laterales cuesta $ 20.00 por m 2 . La capacidad del tanque debe 
ser de 1, 000 litros, dimensionarlo para que su costo sea mínimo. 
SOLUCIÓN: 
Costo: 
2 
y = 2 X ( 30 ) + 4 X h ( 20 ) 
2 
y= 60x + 80xh 
Capacidad: V = x 2 h = 1 m 3 , luego h = -
1
- sustituyendo en el costo, 
2 
60 
2 80x 
y= X +-
2 
X 
2 80 
y = f ( X ) = 60 X + --
X 
3 
f' ( x) = I20x- !Q_ = 120x_ - 80_ 
2 2 
X X 
X 
f' (X) ~ 0 ~ J20x 3 - 80 ~ 0 , 3x 3 ~ 2 , X 3 ~ ~ , X l ~ '.fi 
Si X < X 1 :::) /' (X) < 0 Si X > X 1 :::) /' (X) > 0 
para X 1 ~ '.fi . f (X 1 ) es mfnimo. h 1 ~ 3~ Cil r' ~ '.Ji ~ ',/ 2.25 
Dimensiones pedidas: x 1 ~ 'H = 0.8733 m h 1 ~ ',/2.25 = 1.3112 m 
i 
lt 
! 
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CUADERNO DE I!.JERCICIOS DE! CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE! FUNCIONES 
IV.27 Un anuncio luminoso de forma rectangular debe tener 36 m 2 de área. En los 
cuatro lados tendrá franjas no iluminadas de 50 e m de ancho en los lados 
horizontales y de 60 e m de ancho en los verticales. Proponer las dimensiones 
para que el rectángulo iluminado resulte de la mayor área posible. 
SOLUCIÓN: 
El área total es ~<~~l~t---- X ----tllto~Jo~l 
xz = 36 => 
36 
z=-, x>O 
X 
tU I 
El área del rectángulo iluminado es 
1 ( X ) = ( X - 1.20 ) ( 3: - 1 ) 
Derivando se obtiene 
1' (X) = (X -1.20) (- :~ ) + 3: - ] 
= - 36 + 1.2 ( 36) + 36 - 1 
X 100 X 2 X 
f' (X) = 43.2~ _ l 
2 
X 
............ 
0.6 
f' (X) = O => 43.20 = 1 
2 
X 
2 
X = 43.20 , 
La segunda derivada de la función es : 
!" ( x) = _ _(_ 43.20) 2x = _ 86.40 < 0 
4 3 
Vx>O 
X X 
Luego para el valor critico x 1 = ~ 43.20 el área f ( x) 
fA-~ 36 
X¡ = \1 .... 3.20 , z 1 = --~ .¡ 43.20 
Para 
............ 
0.6 
X¡ = -) 43.20 
es máxima. 
Las dimensiones pedidas son, aproximado el valor de la raíz cuadrada. 
x = 6.57 m , z = 5.48 m 
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CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.28 Se construirá un tanque de forma prismática de base cuadrada con tapa, 
soldando placas de acero que deben totalizar 20 m 2 . Dimensionar el tanque de 
tal manera que el cordón de soldadura necesario, sea de la menor longitud 
posible. 
SOLUCIÓN: 
Longitud de soldadura: 
y == 8x + 4h 
Área de las placas: 
2x
2 + 4xh = 20m 2 
Despejando h : 
2 
h = 10- X 
2x 
luego: 
2 2 2 
y == f ( x) = Sx + 4 10 ~- = 8x + 20- 2x 
2x x 
2 
f ( X ) -- 6 X + 20 ·, 1 d . . d f .. e omtmo e esta uncton es, 
X 
D 1 =(o,.J20) 
2 2 2 2 
f' ( x) = x ( 12x)- ( 6x + 20) = 12x - 6x - 20 = 6x -20 
2 2 2 
X X X 
i 
h 
~ 
f'(x) => 6x 2 -20=0; 3x 2 =10; x 2 = 1
3
°, x 1 =fif eD 1 
x 2 =-ff <lD¡ 
S. flO 1 X<X 1 =~3 => f' (X) < 0 ; Si X > X¡ = ff => f' (X) > 0 ; 
10-10 
3 = 20 f3 
2 _¡¡o 2(3)-JlO 
no 
=~3 ==XI Entonces f' ( x ) es un mínimo h 1 = 
-[3 
El tanque debe tener la forma de un cubo cuya arista es: x 1 = ff = 1.8257 m 
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