CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-22 - Eduardo González

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CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
1.67 Se requiere construir un túnel cuya sección se representa en la figura. 
Por restricciones de construcción dicha sección debe tener un perímetro igual a 
30m . Formular una función para determinar el área variable "y" de la 
sección en términos únicamente de "r" . 
r _____ ..~{' ____ _ 
i 
h 
:! 
SOLUCIÓN: 
El área de la sección es: 
2 
1tr 
y=2rh+--- ................. (1) 
El perímetro es: 
Despejando h : 
2 
2r + 2h + 1tr = 30 
1tr 
2 h = 30 - 2 r - 1t r , h == 15 - r - - --
2 
( 
1tr ) 1tr 
2 
Sustituyendo h en ( 1) : y= 2r 15- r- 2 - + ---2-
2 2 2 
1tr 2 2 1tr 2 1tr 
y== ( 30-2r-1tr) r + -- == 30r- 2r -1tr + - = 30r- 2 r ----
2 2 2 
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
F U N C 1 O N E S 
1.68 Tres lados de un trapecio miden 10 cm cada uno. Formular una función que 
determine el área del trapecio en términos del cuarto lado "x" . 
SOLUCIÓN: 
Sea "y" el área del trapecio y "h" su altura 
De la figura: z = x ~ 10 y por el Teorema de Pitágoras: 
2 2 2 X- 10 
( )
2 
h = ( 1 o ) - z = 1 00 - _2 __ _ 
2 2 
h 2 = 100 _ x - 20x + 100 = 400- x + 20x -100 = _!_ ( 300 + 20x-x 2 ) 
4 4 4 
1 
lh 
10 
X 
55 
x + 1 o r-~ --------;-
Y= -~--lj 300 + 20x-x 
4 
.. 1 
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
1.69 Formular una función que determine el área de un triángulo isósceles de 
dimensiones variables inscrito en una circunferencia de 1.00 m de radio, en 
términos de la longitud "x" de la base del triángulo. 
SOLUCIÓN: 
Sea "y" el área del triángulo. 
1 
y = ~ X h ............................ ( 1 ) 
2 
De la figura y por el Teorema de Pitágoras: 
( ~ )' +(h-1) 2 ~1 
Despejando h : 
2 2 
2 X 4- X 
(h-1) =1--4-=-4; 
Sustitutuyendo h en ( 1 ): 
1 
11-4 .. 1--- X ---1-..._.J 
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