CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-19 - Eduardo González

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CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
El dominio de la función es: D 1 =IR. 
El rango o recorrido de la función es: R~~{y y;,-n 
y 
·1 ·0.5 8.5 1 1.5 2 
1.55 Sean las ecuaciones: x = + -[i-=-3 ; y=+.~ 4- t . Investigar si son las 
ecuaciones paramétricas de una función. Si lo son, obtener el dominio, recorrido 
y gráfica de la función. 
SOLUCIÓN: 
x=+~t-3 ............................... (1) 
y=+~4-t .............................. (2) 
El conjunto de valores reales del parámetro "t" que hacen que "x" sea real 
es: DY { t 1 tE IR, t ~ 3} y el conjunto de valores de "t" que hace que "x" 
y "y" sean reales simultáneamente es: D x nD Y = { t 1 t E IR, 3 ~ x ~ 4 } . 
Las ecuaciones dadas sí determinan paramétricamente una función f, cuya 
regla de correspondencia en forma cartesiana puede obtenerse eliminando el 
parámetro "t" al resolver como simultáneas las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) . 
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CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO D 1 FE RE N C 1 AL 
FUNCIONES 
2 2 2 2 
De ( 1 ) : t = x + 3 y de ( 2 ) : t = y + 4 luego: x + 3 = -y + 4 ; 
x 
2 
+y 
2 
= 1 . La función f puede escribirse: 
f = { ( X ' y ) 1 X ' y E IR ' X 2 + y 2 = 1 ' X ?: o ' y ?: o } 
La gráfica es el arco de circunferencia de centro C ( O , O ) , radio r = 1 , que 
se localiza en el primer cuadrante del sistema cartesiano. 
El dominio de la función es: D 1 = { x 1 O .::; x .::; 1 } y el recorrido o rango de 
la función es: R 1 = { y 1 O .::; y .::; 1 } 
y 
0.1 
0.1 
0.4 
0.2 
----0-r--~----~--~--~--~------~x 0.1 1 
1.56 Considerando las ecuaciones: x = + _¡-¡-~-'it ; y=-ft~~. 
Investigar si determinan paramétricamente una función. En caso afirmativo 
obtener el dominio, recorrido y gráfica de la función 
SOLUCIÓN: 
El conjunto de valores reales de "t" que hacen que "x" sea real se obtiene de 
la inecuación 4- 2t 2:: O y es D x = { t 1 t s 2 } ; los valores de "t" 
que hacen que "y" sea real es D Y = { t 1 t ?: 5 } . 
La intersección de estos dos conjuntos es el conjunto vacío: D x nD Y = 0, 
entonces las ecuaciones dadas no determinan: paramétricamente una función. 
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
1.57 Investigar si las ecuaciones siguientes determinan una función en forma 
paramétrica. Si es así, obtener el dominio, recorrido y gráfica de la función: 
X= 4 COS8; y= 3 sen8 con 
SOLUCIÓN: 
Despejando cos 8 y sen 8 de las ecuaciones dadas: 
Elevando al cuadrado 
2 
2 X 
cos e=--· 
16 ' 
y como: sen 
2 
8 + cos 2 e = 1 resulta: 
2 
X 
16 
2 
+ y 
9 
1 
y¿ o 
X 
cos 8 = - ; sen e 
4 
y 
3 
que es la ecuación cartesiana de una elipse de centro en el origen, eje focal 
sobre el eje de las abcisas, con a = 4 , b = 3 . 
Las ecuaciones dadas representan paramétricamente una función cuyo dominio 
es D 1 = { x 1 -4 ~ x ~ 4 } y cuyo recorrido es R 1 = {y 1 O ~ y ~ 3 } . 
y 
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