Problemario_Calculo-56 - Eduardo González

Vista previa del material en texto

165 
 
Integrales de funciones logarítmicas 
Evalúa las siguientes integrales 
1.− ∫(ln 𝑥)2𝑑𝑥 
Solución. Integrando por partes, hacemos 𝑢 = (ln𝑥)2, entonces 𝑑𝑢 =
2 ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 y 
sea 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥, entonces 𝑣 = 𝑥. Por lo tanto, 
∫(ln 𝑥)2𝑑𝑥 = 𝑥(ln𝑥)2 −∫2 ln 𝑥 𝑑𝑥 
Ahora volvemos a integrar por partes a la integral ∫ 2 ln𝑥 𝑑𝑥, haciendo 𝑢 = ln 𝑥 y 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 entonces 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 y 𝑣 = 𝑥. Sustituyendo, 
∫2 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 2∫𝑑𝑥 = 2𝑥 ln𝑥 − 2𝑥 + 𝐶. 
Por lo tanto 
∫(ln 𝑥)2𝑑𝑥 = 𝑥(ln𝑥)2 −∫2 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥(ln𝑥)2 − 2𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 
 
2.− ∫ sen(ln 𝑥)𝑑𝑥. 
Solución. Hacemos la sustitución 𝑢 = ln 𝑥, entonces 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 y 𝑥 = 𝑒𝑢. De esta 
manera, 
∫sen(ln 𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑒𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢. 
Para esta integral resultante, podemos utilizar la siguiente fórmula 
∫𝑒∝𝑣𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑣)𝑑𝑣 =
𝑒𝑣{𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑣) − 𝛽𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑣)}
𝛼2 + 𝛽2
. 
Al sustituir 𝛼 = 1 y 𝛽 = 1, nos queda 
∫sen(ln 𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑒𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 =
1
2
𝑒𝑢{𝑠𝑒𝑛 𝑢 − cos 𝑢} + 𝐶 ; 𝑢 = ln 𝑥 
 =
𝑥
2
{𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥) − cos(ln 𝑥)} + 𝐶. 
166 
 
3.− ∫
1
𝑥𝑙𝑛 𝑥
𝑑𝑥 
Solución. Hacemos 𝑢 = ln 𝑥, entonces 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 y al sustituir 
∫
1
𝑥𝑙𝑛 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝐶 = ln|ln𝑥| + 𝐶 
 
4.− ∫
𝑙𝑛𝜃
𝜃 − 1
𝜃𝑥; 𝜃 > 1
1
0
. 
Solución. Hacemos 𝑢 = 𝜃𝑥 , entonces 𝑑𝑢 = 𝜃𝑥 ln 𝜃 𝑑𝑥. Sustituyendo nos queda 
∫
𝑙𝑛𝜃
𝜃 − 1
𝜃𝑥 =
1
𝜃 − 1
∫ 𝑑𝑢 = [𝑢]0
1
1
0
1
0
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
167 
 
Ecuaciones trigonométricas 
Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones 
𝟏.− 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = 0 
Solución. Completamos el cuadrado en esta ecuación así 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 4 = 3 
(𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2)2 = 3 
Ahora tomamos raíz cuadrada a ambos lados de esta última igualdad, con lo cual 
se obtiene 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2 = ±√3. Para poder resolver esta ecuación buscamos los 
valores de 𝑥 ∈ [0,2𝜋] para los cuales 
{
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 2 + √3 ∗∗∗ (1)
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 2 − √3 ∗∗∗ (2)
 
La ecuación (1) no tiene solución porque −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 1 para toda 𝑥 ∈ ℝ. Por otra 
parte, para la ecuación (2) se obtiene que 
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(2 − √3) ≈ 15𝑜. 
Como la función 𝑠𝑒𝑛 𝑥 tiene periodo 2𝜋, entonces podemos hallar todas las 
soluciones de estas ecuaciones al sumar múltiplos de 2𝜋 a las soluciones que 
están en el intervalo [0, 2𝜋]. Si 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 2 − √3, el ángulo de referencia es de 
𝑥 =
𝜋
12
 ó 𝑥 = 𝜋 −
𝜋
12
=
11
12
𝜋. 
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación dada son las siguientes 
𝑥 =
𝜋
12
+ 2𝑛𝜋 ó 𝑥 =
11
12
𝜋 + 2𝑛𝜋; 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜.