Problemario_Calculo-9 - Eduardo Gonzalez Garcia

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𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 10. 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑦 = |4 − 8𝑥| & 𝑦 = |3𝑥 − 9| 
 
Método 2. Ahora, ya podemos utilizar el hecho de que 
|3𝑥 − 9| < |4 − 8𝑥| ⟺ 0 < (𝑥 −
13
11
) (𝑥 + 1). 
Y observamos que los factores (𝑥 −
13
11
) y (𝑥 + 1) son cero cuando 𝑥 =
13
11
 y 𝑥 =
−1. Al retirar estos puntos del eje real, se forman los siguientes intervalos que no 
se traslapan 
(−∞,−1), (−1,
13
11
) , (
13
11
,∞) 
Notemos ahora que la función 𝑓(𝑥) = (𝑥 −
13
11
) (𝑥 + 1) es continua y no se anula 
dentro de cada uno de estos intervalos; podemos determinar el signo que tienen 
los factores 𝑥 −
13
11
 y 𝑥 + 1 en cada intervalo con un valor de prueba, para hacer 
esto utilizaremos la siguiente tabla de signos 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (−∞,−1) 
(−1,
13
11
) (
13
11
,∞) 
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑘 −2 0 2 
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥 −
13
11
 
− − + 
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥 + 1 − + + 
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) + − + 
 
Las soluciones de la desigualdad 0 < (𝑥 −
13
11
) (𝑥 + 1) son los valores de 𝑥 para 
los cuales el signo resultante es estrictamente negativo. Así, la solución de esta 
desigualdad está dado por todas las 𝑥 tales que 
25 
 
𝑥 ∈ (−∞,−1) ∪ (
13
11
, ∞). 
La representación de estos conjuntos en la recta real se observa en la figura 11 
 
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 11. 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥 ∈ (−∞,−1) 𝑦 (
13
11
, ∞)𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙. 
Método 3. Como |3𝑥 − 9| < |4 − 8𝑥|, entonces para 4 − 8𝑥 ≠ 0 o sea, 𝑥 ≠
1
2
 
podemos reescribir a esta desigualdad como 
 
|3𝑥 − 9|
|4 − 8𝑥|
< 1; 𝑥 ≠
1
2
 
⟺ |
3𝑥 − 9
4 − 8𝑥
| < 1 
 ⟺ −1 <
3𝑥 − 9
4 − 8𝑥
< 1. 
De esta manera, 𝑥 es una solución de la desigualdad −1 <
3𝑥−9
4−8𝑥
< 1; 𝑥 ≠
1
2
 si, y 
sólo si se satisfacen las dos desigualdades 
−1 <
3𝑥 − 9
4 − 8𝑥
 𝑦 
3𝑥 − 9
4 − 8𝑥
< 1; 𝑥 ≠
1
2
 
Las desigualdades anteriores son equivalentes a las expresiones 
5𝑥 ∓ 5
4 − 8𝑥
< 0 𝑦 
11𝑥 − 13
4 − 8𝑥
< 0; 𝑥 ≠
1
2
 
Utilizando una tabla de signos es posible analizar cada una de las desigualdades y 
comprobar que el resultado es el mismo. 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
1.2 Funciones 
Representación de las funciones 
Se tienen cuatro maneras posibles de representar una función. 
 Verbalmente: mediante una descripción en palabras. 
 Numéricamente: con una tabla de valores. 
 Visualmente: mediante una gráfica. 
 Algebraicamente: por medio de una fórmula explícita. 
Si una sola función se puede representar de las cuatro maneras, con frecuencia 
resulta útil pasar de una representación a otra, para adquirir conocimiento 
adicional de esa función. Pero ciertas funciones se describen de manera más 
natural con un método más que con otro. 
1. Sea 𝑔(𝑥) =
√4+𝑥
1−𝑥
. 
(a) Determina el dominio de 𝑔. 
(b) Calcular 𝑔(5), 𝑔(−2) 𝑦 𝑔(−𝑎) 
Solución (a) La expresión 
√4+𝑥
1−𝑥
 es un número real si y sólo si el radicando 4 + 𝑥 es 
no negativo, y el denominador 1 − 𝑥 no es igual a cero. Así, 𝑔(𝑥) existe si y sólo si 
4 + 𝑥 ≥ 0 𝑦 1 − 𝑥 ≠ 0 
Es decir, 
𝑥 ≥ −4 𝑦 𝑥 ≠ 1 
Podemos expresar el dominio en términos de intervalos como 
𝐷(𝑓) = [−4,1) ∪ (1,∞). 
(b) Para calcular los valores de 𝑔 se sustituye el valor de 𝑥 en la expresion 
algebraica 
𝑔(5) =
√4 + 5
1 − 5
=
√9
−4
= −
3
4
 
𝑔(−2) =
√4 + (−2)
1 − (−2)
=
√2
3
 
𝑔(−𝑎) =
√4 + (−𝑎)
1 − (−𝑎)
=
√4 − 𝑎
1 + 𝑎
 
2. Determina el dominio y el rango de 𝑓(𝑥) = 4 + √𝑥 − 3.