4 1 Teoremas y Postulados - Lupiwi Chan

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4.1 Teoremas y 
Postulados
Perez Rul Hernandez Aria Abigail
Ramirez Guevara Marycruz
Reyes Perez Alan Omar
¿Que es?
El principal tema de los teoremas y postulados es el Algebra booleana es un álgebra, que trata con números binarios y 
variables binarias. Por lo tanto, también se le llama Álgebra binaria o Álgebra lógica. Un matemático, llamado George 
Boole, había desarrollado este álgebra en 1854. Las variables utilizadas en este álgebra también se denominan 
variables booleanas.
El rango de voltajes correspondiente a la lógica 'Alta' se representa con '1' y el rango de voltajes correspondiente a la 
lógica 'Baja' se representa con '0'.
Características
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x
+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro) que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
Y 3- Tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0
Considere los números binarios 0 y 1, la variable booleana y su complemento 
(x). La variable booleana o su complemento se conoce como literal . Las 
cuatro operaciones lógicas O posibles entre estos literales y números binarios 
se muestran a continuación.
x + 0 = x
x + 1 = 1
x + x = x
x + x '= 1
Del mismo modo, a continuación se muestran las cuatro operaciones 
lógicas Y posibles entre esos literales y números binarios.
x.1 = x
x.0 = 0
xx = x
x.x '= 0
Estos son los simples postulados booleanos. Podemos verificar estos postulados fácilmente, 
sustituyendo la variable booleana por '0' o '1'.
Nota : el complemento de complemento de cualquier variable booleana es igual a la variable en sí. Es 
decir, (x) = x.
Ley Asociativa01
La variable restante da el mismo resultado, entonces se dice que la operación 
lógica es asociativa . Las operaciones lógicas OR y lógicas AND de tres variables 
booleanas x, y & z se muestran a continuación. x + (y + z) = (x + y) + z 
x. (yz) = (xy) .z
Ley Distributiva02
Si cualquier operación lógica se puede distribuir a todos los términos 
presentes en la función booleana, entonces se dice que esa operación 
lógica es Distributiva . La distribución de las operaciones lógicas OR y 
lógicas AND de tres variables booleanas x, y & z se muestra a 
continuación.
x. (y + z) = xy + xz
x + (yz) = (x + y). (x + z)
Tipos de leyes
Teoremas Usados
1. Teorema de 
dualidad
2. Teorema de 
MORGAN
Teorema de Dualidad
Este teorema establece que el doble de la función booleana se obtiene al 
intercambiar el operador lógico AND con el operador lógico OR y los ceros con los 
unos. Para cada función booleana, habrá una función dual correspondiente.
Hagamos las ecuaciones booleanas (relaciones) que discutimos en la sección de 
postulados booleanos y las leyes básicas en dos grupos. La siguiente tabla 
muestra estos dos grupos.
En cada fila, hay dos ecuaciones booleanas y son duales 
entre sí. Podemos verificar todas estas ecuaciones 
booleanas de Grupo1 y Grupo2 usando el teorema de 
dualidad.
Teorema DeMorgan
Este teorema es útil para encontrar el complemento de la función booleana . Indica que el complemento de OR lógico de al 
menos dos variables booleanas es igual al AND lógico de cada variable complementada.
El teorema de DeMorgan con 2 variables booleanas puede representarse como
(x + y) '= x'.y'
El doble de la función booleana anterior es
(xy) '= x' + y '
Por lo tanto, el complemento de AND lógico de dos variables booleanas es igual al OR lógico de cada variable 
complementada. De manera similar, podemos aplicar el teorema de DeMorgan para más de 2 variables booleanas también.
Encontremos el complemento de la función booleana, f = p'q + pq '.
El complemento de la función booleana es f '= (p'q + pq') '.
Paso 1 - Usa el teorema de DeMorgan, (x + y) '= x'.y'.
⇒ f '= (p'q)'. (Pq ')'
Paso 2 - Usa el teorema de DeMorgan, (xy) '= x' + y '
⇒ f '= {(p') '+ q'}. {P '+ (q') '}
Paso 3 - Usa el postulado booleano, (x ')' = x.
⇒ f '= {p + q'}. {P '+ q}
⇒ f '= pp' + pq + p'q '+ qq'
Paso 4 - Usa el postulado booleano, xx '= 0.
⇒ f = 0 + pq + p'q '+ 0
⇒ f = pq + p'q '
Por lo tanto, el complemento de la función booleana, p'q + pq 'es pq + p'q' .
Simplificacion de funciones
Gracias por su atención