Proyecto casero acerca inercia, centro de masa e Integrales (Física) - Adrián Lizama

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Universidad Autónoma de Yucatán 
 
 
 
Física General I 
Proyecto 3 
Grupo B. 
 
 
 
 
 
 
Momento de inercia y centro de masa de un objeto. 
Objetivo: Determinar el centro de masa y el momento de inercia de un objeto 
cualquiera del hogar utilizando los conocimientos de física obtenidos durante el 
curso. 
Descripción y modelo. 
Para llevar a cabo este proyecto se eligió una figura compuesta por prismas 
rectangulares. El objeto tiene por nombre Cubo Mirror de 3x3 (en referencia a las 
“partes” que tiene en cada lado), derivado del famoso cubo Rubik, es un juego de 
tipo rompecabeza en el cual el objetivo, al igual que en un Rubik 3x3 tradicional, 
es ordenar las piezas, pero en esta ocasión no por colores, sino por figuras. 
 
Ilustración 1. Cubo Rubik 3x3 tradicional (derecha) junto a un Cubo Mirror 3x3 (izquierda). 
Como se aprecia en la ilustración 1 el cubo mirror y el Rubik son prácticamente idénticos 
en cuanto a dimensiones y forma, la peculiaridad de este es que, al girar caras, el cubo 
deja de ser un cubo, consiguiendo formar figuras bastante extravagantes. 
 
Ilustración 2. Mirror 3x3 en un estado revuelto. Como se aprecia, ya no parece un cubo como tal. 
Esta peculiaridad otorga al mirror cierta diferencia con respecto al Rubik, pues en 
el Rubik girar caras y realizar algoritmos únicamente influía en la distribución de 
los colores, pero en todo momento la figura se mantenía como un cubo. 
 
Ilustración 3. Algoritmo clásico de intercambio de centros aplicado en ambos cubos. 
Como se sabe, en una figura completamente simétrica como en un cuadrado de 
lado A, si el peso es distribuido de manera uniforme, se dice que el centro de 
masa (o centroide) estará justo en el centro, es decir en (A/2, A/2), considerando 
la esquina inferior izquierda como el origen de coordenadas (0, 0). Este concepto 
de R2 puede ser trasladado a R3 considerando que en un cubo de lado A de masa 
uniforme, con una esquina en el origen (0, 0, 0) y el cubo en primer octante, el 
centro de masa se encontrará en (A/2, A/2, A/2). 
Demostrando este concepto dibujamos un cubo de lado 5 y calculemos su centro 
de masa. 
 
Ilustración 4. Cubo de lados igual a 5 unidades. 
 
 
Esto puede ser fácilmente demostrado con ayuda de integrales triples donde 
centro de masa es: 
𝑥𝑐𝑚 =
1
𝑀
∭ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⅆ𝑉
𝑅
 
𝑦𝑐𝑚 =
1
𝑀
∭ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⅆ𝑉
𝑅
 
𝑧𝑐𝑚 =
1
𝑀
∭ 𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⅆ𝑉
𝑅
 
Donde la región R={(x,y,z)/ 0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5, 0 ≤ z ≤ 5} 
𝑥𝑐𝑚 =
1
𝑀
∫ ∫ ∫ 𝑥 ⅆ𝑧
5
0
ⅆ𝑥
5
0
ⅆ𝑦
5
0
 
Y M=Volumen del cubo que se sabe que es: L3, entonces v=125u3 
La integral triple da como resultado 
∫ ∫ ∫ 𝑥 ⅆ𝑧
5
0
ⅆ𝑥
5
0
ⅆ𝑦
5
0
=
625
2
 
Al realizar la multiplicación: 
𝑥𝑐𝑚 =
1
𝑀
∭ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⅆ𝑉
𝑅
 
𝑥𝑐𝑚 =
1
125
(
625
2
) =
5
2
= 2.5 
Por simetría en un cubo tenemos que: 
𝑥𝑐𝑚 = 𝑦𝑐𝑚 = 𝑧𝑐𝑚 = 2.5 
Observando que, efectivamente, el centro de masa de un cubo de lado 5 es la 
mitad de su lado, o sea que su centro de masa está en (2.5, 2.5, 2.5). 
Esto ocurrirá siempre y cuando el objeto tenga una masa uniformemente 
distribuida y sea simétrico. Como es el caso del cubo Rubick. Un cubo Rubik de 
tamaño normal, mide 5.7cm por lado, por lo que su centro de masa se encuentre 
aproximadamente en (2.85, 2.85, 2.85) es decir, en el centro, esto considerando 
que el cubo tiene una masa uniformemente distribuida (lo cual no es cierto). En el 
caso del cubo Rubick sería sencillo tanto el calculo de la masa como del momento 
de inercia, pero ¿qué sucede con el cubo mirror? 
Por su parte, el cubo Mirror es simétrico sí y solo sí, se encuentra en su estado 
resuelto, al menos eso sabemos de manera visual, ya que se aprecia que la masa 
está totalmente distribuida uniformemente. Pero vamos a girar una cara del cubo, 
¿qué sucede? El centro de masa se mueve, aunque no sea tan simple de ver, 
pero la masa ya no está uniformemente distribuida, por lo que el centro de masa 
ha cambiado. Observa el estado del cual obtendremos el centro de masa. 
 
Ilustración 5. Cubo Mirror con una de las caras giradas 90°. 
Como se observa en la ilustración 5, se ha movido la cara de piezas más grandes 
(y la cara más pesada también), dando una distribución distinta del peso ya que 
sobresalen algunas piezas. Aunque esto parezca complejo, en realidad podemos 
dividir nuestra figura en 2 piezas rectangulares. 
 
Ilustración 6. Figuras que representan el cubo partido en 2 prismas rectangulares. 
De acuerdo con las medidas distribuidas por el fabricante, el cubo posee lados de 
5.7cm y un peso de 88gr, con ayuda de una regla y una báscula se obtuvo que las 
secciones en las cuales se dividió el cubo tienen las siguientes medidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.7 cm 
2.7 cm 
5.7 cm 
3 cm 
5.7 cm 
5.7 cm 
Como se sabe, los objetos están unidos, el desfase entre un objeto y otro (en el 
eje y) es de 0.8cm y en el eje z de .5cm. Se bosqueja un esquema con ayuda de 
Geogebra y se obtiene la siguiente figura: 
 
Ilustración 7. Representación geométrica del cubo mirror en el estado que será objeto de estudio. 
Consideremos una densidad igual a masa/volumen con una distribución de masa 
uniforme. Para no utilizar integrales triples, se puede considerar: 
𝑥𝑐𝑚 =
1
𝑀
∫ 𝑥 ⅆ𝑚 𝑦𝑐𝑚 =
1
𝑀
∫ 𝑦 ⅆ𝑚 𝑧𝑐𝑚 =
1
𝑀
∫ 𝑧 ⅆ𝑚 
Pero, si la distribución es uniforme y se consideran cuerpos simétricos como los 
son en este caso, sabremos que el centro de masa estará en (distanciax/2, 
distancia y/2, distancia z/2). Quedando: 
 
Ilustración 9. Centro de masa 1. (1.35, 2.85, 2.85). Ilustración 8.1. Centro de masa 2. (4.2, 3.65, 3.35). 
 Con lo anterior se obtiene que el centro de masa de la figura azul está en (1.35, 
2.85, 2.85) y el de la figura roja está en (4.2, 3.25, 3.1). Obtenidos los centros de 
masa individuales se puede construir un centro de masa para toda la figura. Si se 
considera: 
𝑥𝑐𝑚 =
∑ 𝑥𝑖𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝑦𝑐𝑚 =
∑ 𝑦𝑖𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝑧𝑐𝑚 =
∑ 𝑧𝑖𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Operando: 
𝑥𝑐𝑚 =
(57)(1.35) + (31)(4.2)
88
= 2.35398 
𝑦𝑐𝑚 =
(57)(2.85) + (31)(3.65)
88
= 3.13182 
𝑧𝑐𝑚 =
(57)(2.85) + (31)(3.35)
88
= 3.02614 
Quedando un centro de masa en las coordenadas (2.35398, 3.13182, 3.02614). 
 
Ilustración 10. Centro de masa del cubo mirror con una cara girada. 
Como se esperaba, el centro de masa ya no se encuentra totalmente en el centro, 
sino que está relativamente cerca del centro de masa si el cubo estuviera armado. 
Medición del momento de inercia. 
Cálculo experimental de la inercia. 
Para calcular el momento de inercia del cubo se realizará 2 dos maneras distintas, 
en la primera se realizará una práctica con ayuda de un péndulo físico y su 
periodo de oscilación dado por: 
𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝑚𝑔ⅆ
 
Donde I es el momento de inercia del objeto con respecto a un eje 
que pasa por el punto de pivote O, d es la distancia del punto O al 
centro de masa y m es la masa del objeto. Despejando inercia se 
obtiene la expresión: 
𝐼 = (
𝑇
2𝜋
)
2
𝑚𝑔ⅆ =
𝑇2𝑚𝑔ⅆ
4𝜋2
 
Módelo del péndulo. 
Para llevar a cabo el péndulo se construyó el siguiente “péndulo” para calcular las 
oscilaciones del péndulo. 
 
 Ilustración 11. Cubo con el hilo atado en el eje de rotación. 
 
Con lo anterior se procedió a calcular de manera aproximada (manualmente) un 
periodo en el péndulo físico, lanzándolo de un ángulo aproximado de 90° se 
realizaron 10 lanzamientos consiguiendo un promedio de 1.98s. Es importante 
mencionar que los lanzamientos fueron imprecisos ya que no se conseguía 
estabilidad del cubo 
Al sustituir en la fórmula se obtiene que la inercia es: 
𝐼 =
(1.98)2(88)(9.81)(3)
4𝜋2
= 257.18 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 
Ilustración 12. Marca realizada en la pared para 
medir ángulo 0°. 
 
 
Inercia mediante teorema de Steiner. 
Ya que el eje centrode masa de nuestro cubo completo es diferente al de cada 
prisma rectangular por separado se tiene que: 
𝐼𝑛𝑧 = 𝐼𝑧 + 𝑚𝑅
2 
Se hizo girar al cubo respecto al eje y, el momento de inercia de un prisma 
rectangular es: 
𝐼𝑦 =
𝑚
12
(𝑏2 + 𝐿2) 
Entonces la inercia total será igual a la suma de las inercias de ambos sólidos, por 
lo que el momento de inercia queda: 
𝐼𝑦 =
𝑚1
12
(𝑏2 + 𝐿2) + 𝑚1𝑅1
2 +
𝑚2
12
(𝑏2 + 𝐿2) + 𝑚2𝑅2
2 
 
Sustituyendo los valores observando la representación en 3D del cubo obtenemos: 
 
Ilustración 11. Cubo en el plano xy 
 
𝐼𝑦 =
(57)
12
(2.72 + 5.72) + (57)(.28)2 +
(31)
12
(32 + 5.72) + (31)(−.52)2 
Resultando: 
𝐼𝑦 = 193.4238 + 115.5649 = 308.9887𝑔𝑟𝑐𝑚
2 
Resultados 
En vista de la pobre práctica que realicé porque no encontré otra manera de hacer 
girar el cubo de manera perfecta respecto a un lado, el resultado entre lo práctico 
y lo teórico tuvo una amplia diferencia impidiendo conocer un resultado real del 
momento de inercia o al menos un valor cercano. Aunque el centro de masa no 
tuvo mayor complicación, tampoco es un resultado concreto, pues el cubo no es 
totalmente liso en las caras, pequeñas hendiduras en los lados crean una 
distribución no uniforme del peso generando que sea difícil conocer con exactitud 
el centro de masa. 
Sin embargo, a pesar de las complicaciones, toda la investigación que tuve que 
realizar para llevar a cabo este proyecto consiguieron que esclareciera muchos 
conceptos que antes no entendía del todo y que quizá en un futuro con mejor 
equipo pueda realizar algo similar, pero mucho más profesional.