Autoevaluacion_geometria - ANETTE RACHEL PINACHO MATIAS

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Autoevaluación para II Examen Departamental de Geometría Euclideana: 
 
I. Escriba en la segunda columna un término que corresponda mejor al símbolo empleado: 
1. □ABCD, si AB || CD , BC || AD 1. □ABCD es 
2. □ABCD, si AB = BC = CD = AD 2. □ABCD es 
3. □ABCD, si ABC=BCD=CDA=DAB=90° 3. □ABCD es 
4. □ABCD, si AB || CD , AD = BC 4. □ABCD es 
5. □ABCD, si AB || CD 5. □ABCD es 
6. □ABCD, si AB = BC, CD = AD 6. □ABCD es 
7. □ABCD,si AB=BC=CD=AD, ABC=BCD=CDA=DAB=90° 7. □ABCD es 
8. □ABCD, AB || CD , DAB=90° 8. □ABCD es 
9. AC , si {A,C}∈⊙s, 9. AC es 
10. AC , si {A,C}∈⊙s, S  AC 10. AC es 
11. ABC, si {A,B,C}∈⊙s 11. ABC es 
12. AC , si {A,C}∈⊙s 12. AC es 
13. ASC, si {A,C}∈⊙s 13. ASC es 
14. AFC, si {A,B,C,D}∈⊙s, AB ∩ CD = F 14. AFC es 
15. ATC, si 

TC ∩⊙s = T, 

TA ∩⊙S ={T,A} 15. ATC es 
16. 

DC , si 

TC ∩⊙s = T 16. 

DC es 
17. 

DC , si 

DC ∩⊙s ={D,C} 17. 

DC es 
18. APB, si 

PC ∩⊙s ={A,C}, 

PB ∩⊙s ={B,D} 18. APB es 
19. CPB, si 

PC ∩⊙s =C, 

PB ∩⊙s =B 19. CPB es 
20. 

SC , si ⊙s, ⊙c 20. 

SC es 
 
II. Escriba en la segunda columna un término que corresponda mejor a la descripción dada 
21. Paralelogramo equilátero. 21. 
22. Cuadrilátero con dos pares de lados opuestos paralelos. 22. 
23. Paralelogramo equiángulo. 23. 
24. Paralelogramo equilátero equiángulo. 24. 
25. Cuadrilátero que tiene un par de lados opuestos paralelos. 25. 
26. Trapecio que tiene lados opuestos no paralelos iguales. 26. 
27. Trapecio con lados desiguales. 27. 
28. Segmento que une dos vértices opuestos de un cuadrilátero. 28. 
29. Punto común de dos lados de un cuadrilátero. 29. 
30. Conjunto de puntos del plano limitados por la circunferencia. 30. 
31. Una parte cualquiera de la circunferencia. 31. 
32. Segmento que une el centro de ésta con cualquier punto de la circunferencia. 32. 
33. El segmento que une dos puntos de una circunferencia. 33. 
34. La cuerda pasa por el centro de la circunferencia. 34. 
35. Una recta corta a la circunferencia en dos puntos cualesquiera. 35. 
36. Una recta que tiene con la circunferencia sólo un punto común. 36. 
 2
37. Angulo con el vértice en el centro de la circunferencia. 37. 
38. Angulo, cuyo vértice pertenece a la circunferencia y lados son secantes. 38. 
39. Angulo cuyos lados son tangentes a la circunferencia. 39. 
40. Dos o más circunferencias que tienen el mismo centro. 40. 
41. Recta que contiene los centros de dos circunferencias. 41. 
51. Paralelogramo equilátero 51. 
52. Cuadrilátero con lados opuestos paralelos 52. 
53. Paralelogramo equiángulo 53. 
54. Paralelogramo equilátero equiángulo 54. 
55. Cuadrilátero que tiene un par de lados opuestos paralelos 55. 
56. Trapecio que tiene lados opuestos no paralelos iguales 56. 
57. Trapecio con lados desiguales 57. 
58. Conjunto de puntos del plano limitados por la circunferencia 58. 
59. Una parte cualquiera de la circunferencia. 59. 
60. Cualquier segmento que une el centro de ésta con cualquier 60. 
61. punto de la circunferencia. 61. 
62. El segmento que une dos puntos de una circunferencia 62. 
63. La cuerda pasa por el centro de la circunferencia 63. 
64. Una recta corta a la circunferencia en dos puntos cualesquiera 64. 
65. Una recta que tiene con la circunferencia sólo un punto común 65. 
66. Angulo con el vértice en el centro de la circunferencia 66. 
67. Angulo, cuyo vértice pertenece a la circunferencia, y lados intersecan la circunferencia 67. 
68. Angulo formado por dos tangentes a la circunferencia, que pasan por el mismo punto 68. 
69. Dos o más circunferencias que tienen el mismo centro 69. 
70. Recta que contiene los centros de dos circunferencias 70. 
 
III. En la segunda columna escriba una opción que corresponda a la ocurrencia de cada proposición: 
 S: siempre, N: nunca, A: a veces 
71. La suma de los lados de un cuadrilátero es mayor que la suma de sus diagonales. 
72. La suma de las diagonales de un cuadrilátero es menor que la mitad del perímetro. 
73. En todo cuadrilátero el ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos adyacentes es igual a semisuma de los otros dos. 
74. En todo el trapecio los ángulos opuestos son congruentes. 
75. Si dos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 
76. Si una diagonal del cuadrilátero lo divide en dos triángulos congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 
77. Las diagonales de un trapecio son iguales. 
78. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son mutuamente paralelas. 
79. Si las diagonales de un cuadrilátero son congruentes entonces es un rectángulo. 
80. Un paralelogramo con diagonales congruentes es rectángulo. 
81. Un cuadrilátero con diagonales perpendiculares es rombo. 
82. Un cuadrilátero con diagonales iguales y perpendiculares es cuadrado. 
83. Si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero escaleno se forma un paralelogramo. 
84. Las bisectrices de los ángulos opuestos de un cuadrilátero son paralelas. 
85. Una recta que pasa por el centro de la circunferencia y es perpendicular a una de sus cuerdas, biseca a dicha cuerda. 
86. Una recta que pasa por el centro de la circunferencia y biseca a una cuerda es perpendicular a ésta. 
87. El centro de una circunferencia está en la recta que es perpendicular en el punto medio de la cuerda. 
88. Dos cuerdas congruentes de una circunferencia son equidistantes de su centro. 
89. Dos cuerdas de una circunferencia equidistantes de su centro son congruentes. 
90. Una recta que es perpendicular a la tangente de una circunferencia pasa por su centro. 
91. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. 
92. Un paralelogramo equilátero es un cuadrado. 
93. Rectángulo es un paralelogramo. 
 3
94. Un paralelogramo con diagonales perpendiculares es un rombo. 
95. Un cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos y otros dos congruentes es un paralelogramo. 
96. Un cuadrilátero equilátero es un paralelogramo. 
97. Un cuadrilátero con las diagonales congruentes es un rectángulo. 
98. Un cuadrilátero con dos pares de ángulos suplementarios es un paralelogramo. 
99. Un cuadrilátero con dos pares de ángulos congruentes es un trapecio. 
100. Un paralelogramo con por lo menos un ángulo recto es un rectángulo. 
101. Un rectángulo con las diagonales perpendiculares es un cuadrado. 
102. Un cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos y congruentes es un trapecio. 
103. Si las diagonales de un cuadrilátero son bisectrices de sus ángulos, el cuadrilátero es un rombo. 
104. Un cuadrilátero con cada par de ángulos consecutivos suplementarios es un paralelogramo. 
105. Un cuadrilátero con dos pares de lados congruentes es un paralelogramo. 
106. Un cuadrilátero con las diagonales perpendiculares es un rombo. 
107. Un cuadrilátero con dos pares de ángulos suplementarios es un paralelogramo. 
108. Un cuadrilátero equilátero es un cuadrado. 
109. Un cuadrilátero equiángulo es un rectángulo. 
110. Las diagonales de un rombo son congruentes. 
111. Un rombo con las diagonales iguales es un cuadrado. 
112. Las diagonales de un rombo son perpendiculares. 
113. Un cuadrilátero con dos pares de los ángulos consecutivos iguales es un trapecio. 
114. Todo trapecio tiene dos pares de ángulos consecutivos suplementarios. 
115. Las diagonalesde un cuadrilátero son congruentes. 
116. En todo cuadrilátero la suma de las diagonales es mayor que su semiperímetro. 
117. Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos congruentes y paralelos, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 
118. Cada diagonal del paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes. 
119. Un paralelogramo con diagonales iguales y perpendiculares es un rombo. 
120. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero cualquiera se bisecan mutuamente. 
121. Las bisectrices de los ángulos opuestos de un paralelogramo son paralelas. 
122. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares. 
123. Las diagonales del rombo son bisectrices de sus ángulos interiores. 
124. Si una diagonal divide un cuadrilátero en dos triángulos rectángulos, el cuadrilátero es un rectángulo. 
125. En el trapecio dos pares ángulos consecutivos son suplementarios. 
126. Si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes entonces el trapecio es isósceles. 
127. El segmento que une dos puntos medios de dos lados no paralelos de un trapecio es paralelo a otros dos lados. 
128. Dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes. 
129. Dos rombos cualesquiera son semejantes. 
130. Dos trapecios isósceles cualesquiera son semejantes. 
131. Dos paralelogramos cualesquiera son semejantes. 
132. Dos cuadrados cualesquiera son semejantes. 
133. Dos rectángulos cualesquiera son semejantes. 
134. Dos triángulos rectángulos cualesquiera son semejantes. 
135. Dos triángulos isósceles cualesquiera son semejantes. 
136. Dos triángulos rectángulos isósceles cualesquiera son semejantes. 
137. Dos polígonos equiláteros cualesquiera con el mismo número de lados son semejantes. 
138. Dos polígonos regulares cualesquiera con el mismo número de lados son semejantes. 
139. Dos polígonos equiángulos cualesquiera con el mismo número de ángulos son semejantes. 
140. Dos cuadriláteros cualesquiera con ángulos respectivamente iguales son semejantes. 
141. Dos triángulos cualesquiera con ángulos respectivamente iguales son semejantes. 
142. Dos cuadriláteros cualesquiera con lados respectivamente paralelos son semejantes. 
143. Dos triángulos cualesquiera con lados respectivamente paralelos son semejantes. 
144. Dos figuras congruentes cualesquiera son semejantes. 
145. Dos trapecios cualesquiera con ángulos respectivamente iguales son semejantes. 
146. Dos polígonos cualesquiera con lados respectivamente paralelos son semejantes. 
147. Dos rombos cualesquiera con un ángulo igual son semejantes. 
148. Dos paralelogramos cualesquiera con lados respectivamente paralelos son semejantes. 
149. Dos trapecios cualesquiera con lados respectivamente paralelos son semejantes. 
150. Dos rombos cualesquiera con lados respectivamente paralelos son semejantes. 
 4
IV. Calcule las medidas de los ángulos y arcos que se indica en las siguientes tablas: 
 
  BRQ = 68º y  RQC = 74º 
 
 151. DBR = ________ 
 152. BAQ = _________ 
 153. BQR =_________ 
 
PQ

 es tangente y QCR = 126°. 
154. PCQ = 157. RCS = 
155. PRS = 158. CPQ = 
156. PQS = 159. RSQ = 
Arco CA = 85º y ∠DEB = 90º 
 
 
 
160. DB = ________ 
 
DAF = 24º y BSC = 68º 
 
161. BC = __________ 
162. FD = __________ 
 
∠QAP = 54º 
 
163. Mayor QP =________ 
164. Menor PQ =________ 
AC BE , 165. BEC =_______ 
CE AD , 166. BFD =_______ 
 70DC   167. CPB =_______ 
 30ED   168.AE =__________ 
 
 
AC es diámetro, DC = 46°, BDC = 60°. 
 
169. BAD =_______ 
170. AFD =_______ 
171. ABD =_______ 
 
Angulo central 
66AOB   , 
 80PA   , 
CP BD , 
 ED

 es tangente en P. 
 
 
172. EPC  ________ 
173. EDB  ________ 
174. PCB  ________ 
175. PAB  ________ 
PB

⊙ O = B, PC

⊙O =C, D, 
BPD = 60º y BC = 80º. 
 
176.  DBC =_______ 
177. BCP =_______ 
□ABCD es paralelogramo, BE = BC, 
 CAB = 10°,  EBC = 130°. 
178. ADC=_______ 
179.  AEB=_______ 
180. ACB=_______ 
□ABCD es cuadrado, 
∆AEB es triángulo equilátero. 
181.  DEC = _________ 
182.  ADE = _________ 
183.  ECD= _________ 
184.  EAD= _________ 
□ABCD es trapecio 
 
185.  ADC = _________ 
186.  ABC = _________ 
187.  BCD= _________ 
188.  BAD= _________ 
H , H BE y G BF , 
ABCDEF es un hexágono regular. 
189. FBE  _______ 
190. BHD  _______ 
191. BFE  _______ 
192. BGA  _______ 
 BC = 58°, FD = 106° 
 
 
193. DAF = __________ 
194. BSC = __________ 
 
 
 5
V. Escriba en la última columna una letra que corresponda a la medida del ángulo indicado (las respuestas puede repetirse): 
a. Mitad del valor angular del arco, en el cual 
este ángulo descansa. 
b. Semidiferencia de los valores angulares de 
los arcos, comprendidos entre sus lados. 
c. Semisuma de los valores angulares de los 
arcos, comprendidos entre sus lados. 
d. Valor angular del arco comprendido. 
195. Angulo con el vértice fuera de la circunferencia formado por dos secantes 
196. Angulo inscrito 
197. Angulo con el vértice en el interior de la circunferencia formado por dos secantes 
198. Angulo circunscrito 
199. Angulo semi-inscrito 
200. Angulo central 
 
VI. Escriba en la última columna una letra que corresponda correctamente a cada opción. 
Si el segmento de la recta de los centros de 2 circunferencias es 30, ¿en qué posición se halla cada una respecto de la otra? 
m) concéntricas 201. Si sus radios son 25 y 5 entonces las circunferencias son 
n) secantes 202. Si sus radios son 35 y 5 entonces las circunferencias son 
o) tangentes internamente 203. Si sus radios son 20 y 5 entonces las circunferencias son 
p) no tienen ni puntos ni centro comunes 204. Si sus radios son 25 y 10 entonces las circunferencias son 
q) tangentes externamente 
 
VII. Hallar las medidas que se indica en las siguientes tablas: 
 
 
 
AE=20cm., DE=32 cm., DB=40 
cm. 
 
 
205. AC = _________
 
 
BT=5 cm., TC=4 cm., AS=7 cm., SD=6 
cm. y , , AB BC CD
  
 y AD

 son 
tangentes a la ⊙c en P, T, R y S 
respectivamente. 
 
206. Perímetro del □ABCD = _________ 
 
 AB

es tangente 
 AD

es secante 
AB = 8, AD = 4. 
 
207. DC = _________ 
 
 C 
 
 A D B 
 
AB = 18 cm, BC = 16 cm, 
AC = 4 cm y ACD = BCD. 
 
208. DC = _________ 
209. DC = _________ 
 
CAD A

 , C AB , 
CAD A

 , AD = 3 cm, 
BA = 4 cm 
210. BD = _________ 
211. BF = _________ 
212. DF = _________ 
AB DC , EF AB , 1
4
AE
ED
 , 
50BC  . 
213. FC= _________ 
214. BF= _________ 
 
 
90HEK   , 8FK  ,
10HF  , EF HK 
 
215. HE = _________ 
 B 
 
 
 
 
 A D C 
 
AB = 3 cm, BC = 4 cm, BD AC y 
ABC = 90° 
216. AD = _________ 
217. CD = _________ 
218. BD = _________ 
 
219-220. Un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia tiene ABC = 48º y BCD = 52º. 
Hallar la medida del ángulo ADC y BAD. 
 
 
219. ADC = 
220. BAD = 
 6
221-223. Los lados de un triangulomiden a=11, b=7 y c=5. Calcule cuánto miden 
los lados (a´, b´, c´) de un triángulo semejante cuyo perímetro es 138. 
 
 
 
 
224. ¿Cuál es altura (h) de una torre que proyecta una sombra de 14 m. 
si al mismo tiempo un bastón de altura de 1m. proyecta una sombra de 2 m.? 
 
 
225-226. Un cuadrilátero ABCD circunscrito alrededor de una circunferencia tiene 
perímetro igual a 54 cm. y sus dos lados miden AB = 15 cm. y BC = 9 cm. 
Hallar las medidas de los lados AD y CD. 
 
IX: Determinar cuáles de las siguientes figuras podrían tener las propiedades señaladas en la primera columna (Marcar con X). 
Paralelogramo P; Rombo R; Rectángulo A; Cuadrado C; Trapecio isósceles T; Cuadrilátero que no es ni paralelogramo ni trapecio B. 
 
Propiedad P R A C T B 
1. Las diagonales se bisecan mutuamente. 
2. Cuatro lados iguales. 
3. Cuatro ángulos iguales. 
4. Diagonales perpendiculares. 
5. Dos lados opuestos paralelos y otros dos congruentes. 
6. Diagonales congruentes. 
7. Diagonales se bisecan y son perpendiculares. 
8. Dos pares de ángulos suplementarios. 
9. Dos pares de ángulos congruentes. 
10. Tres ángulos rectos. 
11. Diagonales son bisectrices de sus ángulos. 
12. Cada par de ángulos consecutivos son suplementarios. 
13. Dos pares de lados congruentes. 
14. Dos pares de los ángulos consecutivos iguales. 
15. Dos lados opuestos congruentes y paralelos. 
16. Cada diagonal lo divide en dos triángulos congruentes. 
17. Diagonales iguales y perpendiculares. 
18. Bisectrices de los ángulos opuestos son paralelas. 
19. Bisectrices de dos ángulos consecutivos son perpendiculares. 
20. Una diagonal es bisectriz de sus ángulos interiores. 
21. Diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos. 
22. Cada par de ángulos consecutivos son congruentes. 
23. Dos ángulos son congruentes y dos lados iguales. 
 
 
 
 
 
 
221. a´ = 
222. b´ = 
223. c´ = 
224. h = 
225. AD = 
226. CD = 
 7
X. Demostrar los siguientes problemas. Hacer el dibujo (Marcar los elementos dados en el enunciado de problema). Escribir 
simbólicamente la hipótesis, tesis y demostración (Son obligatorias las justificaciones). 
 
1. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a cuatro rectos. 
 
2. Demostrar que las bisectrices de los ángulos consecutivos de un cuadrilátero son concurrentes. 
 
3. Demostrar que el ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos consecutivos de cuadrilátero es igual a la semisuma de los otros dos 
ángulos. 
 
4. Demostrar que en todo cuadrilátero la suma de los cuatro lados es mayor que la suma de las diagonales. 
 
5. Demostrar que en todo cuadrilátero la suma de las diagonales es mayor que su semiperímetro. 
 
6. Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero escaleno se forma un paralelogramo. 
 
7. En todo el paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. 
 
8. En todo el paralelogramo los lados opuestos son congruentes. 
 
9. Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 
 
10. Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos congruentes y paralelos, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 
 
11. Cada diagonal del paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes. 
 
12. Las diagonales del paralelogramo se bisecan. 
 
13. Demostrar que dos segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero cualquiera se bisecan mutuamente. 
 
14. Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un paralelogramo se forma otro paralelogramo. 
 
15. Demostrar que las bisectrices de los ángulos opuestos de un paralelogramo son paralelas. 
 
16. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares. 
 
17. Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí. 
 
18. Las diagonales del rombo son bisectrices de sus ángulos interiores. 
 
19. Demostrar que un cuadrilátero es un rombo si las diagonales se bisecan y son perpendiculares mutuamente. 
 
20. Las diagonales de un rectángulo son iguales. 
 
21. Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son iguales entonces el paralelogramo es un rectángulo. 
 
22. En el trapecio isósceles los ángulos de la base son iguales por pares. 
 
23. Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes entonces el trapecio es isósceles. 
 
24. Demostrar que si de los vértices de un paralelogramo se trazan perpendiculares a una recta cualquiera situada fuera del paralelogramo 
entonces la suma de las dos perpendiculares trazadas de dos vértices opuestos es igual a la suma de las otras dos. 
 
25. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto cuya distancia a cada vértice es dos tercios de la longitud de la mediana 
correspondiente a ese vértice. 
 
26. Demostrar que el segmento que une dos puntos medios de dos lados no paralelos de un trapecio es paralelo a otros dos lados y su 
medida es igual a la semisuma de las medidas de los lados paralelos. 
 
 8
27. Si dos lados consecutivos de un cuadrilátero son iguales y la diagonal biseca el ángulo formado por estos lados, los otros dos lados 
también son iguales. 
 
28. En un paralelogramo trazan dos segmentos de dos vértices opuestos a los puntos medios de dos lados opuestos. Demostrar que estos 
segmentos trisecan la diagonal que une otros dos vértices. 
 
29. Si en un cuadrilátero dos lados opuestos son iguales y dos ángulos consecutivos formados por estos lados son congruentes, el 
cuadrilátero es un trapecio. 
 
30. Los ángulos opuestos del cuadrilátero formado por las bisectrices de los ángulos de un cuadrilátero cualesquiera son suplementarios. 
 
31. En un cuadrado un punto que pertenece a la prolongación de un lado a través de un vértice unen con el vértice opuesto. Demostrar que 
el segmento obtenido es mayor que la diagonal correspondiente a estos vértices. 
32. En un cuadrilátero □ABCD los lados AD y BC son iguales y el ángulo BCD es menor que el ADC. Demostrar que la diagonal 
AC es mayor que la BD . 
 
33. En un cuadrilátero □ABCD los lados AD y BC BC son iguales y el ángulo BCD es menor que el ADC. Demostrar que el ángulo 
BAD es menor que el ABC. 
 
34. En un triángulo ∆ ABC, P y Q son puntos medios de BC y AB respectivamente. AP

se prolonga hasta R, y CQ

hasta S, 
AP = PR y CQ= QS. Demostrar que S, B y R son colineales. 
 
35. AB es un diámetro de una circunferencia y C y D son puntos de la misma a lados opuestos de AB tales que BC = AD. Demuestre que 
∆ABC≅ ∆ABD. 
36. La recta que une el punto medio de un arco y el punto medio de su cuerda es perpendicular a la cuerda. 
37. AB es un diámetro de una circunferencia con centro S y C es un punto de la misma. SD biseca a AC y 
____
SF biseca a 
____
BC . 
Demostrar que 
____
SD  
____
SF . 
38. Dos circunferencias son tangentes interiormente de manera que la circunferencia menor contenga el centro de la circunferencia mayor. 
Demostrar, que una cuerda cualquiera de la circunferencia mayor que tenga un extremo en el punto de tangencia, es bisecada por la 
circunferencia menor. 
39. Los puntos cualesquiera A y B dividen una circunferencia en dos arcos AB y BA ; C es el punto medio del arco AB ; D es un punto 
cualquiera del arco BA y F es el punto de intersección de los segmentos 
____
AB y 
____
DC . Demostrar que DFB DAC. 
40. AB es un diámetro de una circunferencia con centro S; 

DC es tangente en T a la circunferencia (

DC no es paralela a 
____
AB ); 
____
AD y 
____
BC son perpendiculares a 

DC . Demostrar que SD = SC. 
41. Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia. Demostrar que la medida el arco interceptado por el ángulo en el vértice es doble 
diferencia de las medidas del ángulo externo en la base del triángulo y de un ánguloen la base. 
42. El ∆ABC está inscrito en una circunferencia. La cuerda 
____
AE  
____
BC y la cuerda 
____
DC 
____
AB . Demostrar que 

BD≅

BE . 
43. Dos circunferencias congruentes son tangentes exteriormente en T. El diámetro
____
PQ es paralelo al diámetro 
____
SR , con S y Q en lados 
distintos de 

PR . Demostrar que el cuadrilátero PQRS es un rombo. 
 9
44. Dos cuerdas congruentes se cortan dentro de una circunferencia. Demostrar que el cuadrilátero con vértices en los extremos de estas 
cuerdas es un trapecio isósceles. 
45. Un cuadrado está inscrito en una circunferencia y P es un punto cualquiera del 
____
AB , distinto de A y B. Demostrar que 
____
PC y 
____
PD 
trisecan al APB. 
46. Se da un ángulo con el vértice en una circunferencia, formado por un rayo secante y un rayo tangente. Demostrar que el punto medio del 
arco interceptado equidista de los lados del ángulo. 
47. Dos circunferencias no congruentes son tangentes externamente en un punto T. Una secante 

AB , que pasa por T, interseca a la 
circunferencia mayor en A y la menor en B. Demostrar que las tangentes en A y en B son paralelas. 
48. 
____
AD y 
____
DB son diámetros de dos circunferencias (⊙C y ⊙S) congruentes y tangentes en D;

BT es una tangente en T (T⊙C). 
Demostrar que

AT =

DT +

DE (

BT ∩⊙S=E). 
49. Se dan una circunferencia y un punto P en su exterior. Una recta que pasa por P es tangente a la circunferencia en T. Una secante que 
contiene al punto P corta a la circunferencia en Q y en R, estando Q entre R y P. La bisectriz del QTR interseca a 
____
RQ en S. 
Demostrar que PT = PS. 
50. La suma de las longitudes de dos segmentos tangentes a una circunferencia desde el mismo punto exterior, es igual al diámetro de la 
circunferencia. Hallar la medida del ángulo determinado por los segmentos tangentes. 
51. Dos circunferencias no congruentes son ambas tangentes a 

PT en T; 
____
PA y 
____
PB son segmentos tangentes. 
Demostrar que PA = PB. 
52. Demostrar que en cualquier cuadrilátero ABCD circunscrito alrededor de una circunferencia, las sumas de medidas de los lados opuestos 
son iguales: AB + CD = AD + BC. 
53. 

AC , 

BD y 

CD son tangentes a una misma circunferencia con centro S; 

AC ||

BD y 

CD es cualquier tangente en E; C y D 
son los puntos de intersección de las tangentes; A y B son los puntos de tangencia de tangentes paralelas. Demostrar que COD es 
recto. 
54. Dos circunferencias no congruentes son tangentes externamente en un punto T. Dos secantes que pasan por T, intersecan a las 
circunferencias en los puntos A, B, C y D. Demostrar que cuadrilátero ABCD es un trapecio. 
55. A una circunferencia con centro S trazan dos tangentes desde un punto M; B y N son los puntos de tangencia; 
____
AB es el diámetro; 

AC pasa por el punto N y C

BM . Demostrar que BM = MC. 
56. Demostrar que la cuerda común de dos circunferencias secantes es perpendicular a la línea de los centros. 
57. Los ángulos opuestos de cualquier cuadrilátero inscrito son suplementarios. 
58. Demostrar que la tangente común interior de dos circunferencias tangentes biseca los segmentos tangentes de las tangentes exteriores 
comunes. 
59. Demostrar que en dos circunferencias concéntricas las cuerdas de la mayor circunferencia tangentes a la menor son iguales. 
60. Demostrar que en todo triángulo la bisectriz se encuentra entre la mediana y la altura trazadas desde el mismo vértice. 
 10
61. Demostrar que en todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y 
circunscrita. 
62. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triangulo rectángulo la divide en dos segmentos cuyas longitudes son r y s. Demostrar 
que el área del triangulo es igual al producto de la media geométrica de r y s y la media aritmética de r y s. 
63. Se dan una circunferencia y un punto Q de su exterior. Una secante pasa por Q e interseca a la circunferencia en R y S; y otra secante 
que pasa por Q e interseca a la circunferencia en U y T. Demostrar que: QR ・ QS = QU ・ QT. 
64. En una circunferencia dos cuerdas AD y BC se cortan en el punto F. Demostrar que AF ・ DF = BF ・ CF. 
65. Se dan una circunferencia y un punto A de su exterior. AB es una tangente a la circunferencia en B y AC es una secante que interseca a 
la circunferencia en los puntos D y C. Demostrar que AB² =AD ・ AC. 
66. Dos circunferencias no congruentes son ambas tangentes a una recta en el punto T; P es un punto distinto de T. Una secante PR se 
corta una circunferencia en M y R y la otra secante PS se corta a la otra circunferencia en K y S. 
Demostrar que PM ・ PR = PK ・ PS. 
67. Dos circunferencias no congruentes tangentes internamente en T tienen una tangente común TA. Una secante AE corta ambas 
circunferencias en los puntos B, C, D y E (AB < AC < AD < AE). Demostrar que AB/AD = AC/AE. 
68. Dos circunferencias no congruentes se cortan en G y H. Demostrar que la recta GH biseca a las tangentes comunes. 
69. DA es tangente a una circunferencia con diámetro BD. La secante AB corta la circunferencia en C. Demostrar que BD² = AB ・ BC. 
70. Por los extremos del diámetro RS trazan dos tangentes. La tercera tangente en P corta estas tangentes en los puntos Q y T. Demostrar 
que el área del cuadrilátero RQTS = (RS ・ QT)/2. 
71. CD es tangente en B a una circunferencia con diámetro AB (B es punto interior de CD). Una secante AC corta a la circunferencia en G y 
otra secante AD corta a la circunferencia en H. Demostrar que AC ・ AG = AD ・ AH. 
72. Las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia dividen éste en cuatro triángulos. Demostrar que los triángulos no 
adyacentes son semejantes. 
73. La línea de los centros de dos circunferencias no congruentes las corta consecutivamente en A, B, C, D, y encuentra en P una de sus 
tangentes externas comunes. Demostrar que PA ・PD = PB ・ PC.