Sesión 15-23 de abril-Claudia - Benitez gonzalez Jimena

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7.1.1 TEORÍA DE CONJUNTOS 
 
La probabilidad es la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de 
resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los 
resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. 
 
Recordemos Conjunto 
Un conjunto es la agrupación, clase, o colección de objetos o en su defecto de elementos que 
pertenecen y responden a la misma categoría o grupo de cosas, por eso se los puede agrupar en el 
mismo conjunto. Esta relación de pertenencia que se establece entre los objetos o elementos es 
absoluta y posiblemente discernible y observable por cualquier persona. 
 
 
7.1.1 SÍMBOLOS A UTILIZAR BÁSICOS 
 
Símbolo Descripción 
{} 
Las llaves (abrir y cerrar) se usan para referirse a un conjunto y 
delimitar sus elementos. Por ejemplo el conjunto vacío {}, el 
conjunto de los primeros 5 números naturales {1,2,3,4,5} 
∈ Para indicar si un objeto pertenece al conjunto. 
∉ Para indicar si un objeto no pertenece al conjunto. 
| 
Se llama pipe o barra vertical, se usa en lugar de las palabras 
“tal que”. 
n (C) 
Cardinalidad del conjunto C. La letra C, puede variar: A, B, 
recordar que las mayúsculas se usan para representar conjuntos. 
U Conjunto Universo. 
Φ 
Conjunto Vacío. También son usados las llaves {}, el símbolo 
para el vacío. 
⊆ 
“Subconjunto de”, también como “es un conjunto de”, es decir, 
el conjunto se considera elemento de otro conjunto 
⊂ 
Subconjunto propio de, también como “es un conjunto propio 
de”, es decir, el conjunto se considera elemento de otro 
conjunto 
∩ Intersección de conjuntos. 
∪ Unión de Conjuntos. 
 
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7.1.1 OPERACIONES DE CONJUNTOS 
 
Realizando la representación de las operaciones, mediante diagrama de Veen. 
Representación gráfica de conjuntos. 
 
𝐀 ∪ 𝐁 
 
 
 
 
𝐀 ∩ 𝐁 
 
 
 
 
𝐀 − 𝐁 
 
 
 
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𝐀 ⊕ 𝐁 
 
 
 
 
 
𝑨𝒄 
 
 
 
 
Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos los elementos 
de los que consta entre llaves, 
A={1,2,3,4,5},A={1,2,3,4,5}, 
o implícita, dando una o varias características que determinen si un elemento dado 
está o no en el conjunto, 
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A={ 𝑥𝜖ℕ / 1≤ 𝑥 ≤ 5}. 
 
 
 
Cardinalidad de un conjunto. Es la medida del "número de elementos en el 
conjunto". Por ejemplo, el conjunto A = {2, 4, 6} contiene 3 elementos, y por tanto A 
tiene cardinalidad 3. 
Conjunto vacío ∅ es el que carece de elementos, es decir ∅={} 
Conjuntos Finitos. Son los que tienen un número numerable de elementos. 
Conjuntos Infinitos. Son los que tienen un número no numerable de elementos. 
 
Conjunto Universo, el formado por todos los objetos u elementos de estudio en un 
contexto dado. 
 
Subconjuntos. Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del 
conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. también se dice que A 
está contenida en B o que B contiene a A. este se escriben como: 
Aᴄ B o BᴐA 
SI A no es un subconjunto de B, entonces escribiremos. 
AȼB 
Ejemplo: las vocales son un subconjunto de las letras del alfabeto. 
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_conjunto
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7.1.2 TÉCNICAS DE CONTEO 
(Análisis combinatorio) 
 
Son utilizadas en Probabilidad y Estadística para determinar el número total de 
resultados en un evento. 
 
EVENTO es el Conjunto de uno o más resultados de un experimento. 
 
EXPERIMENTO es una observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza. 
 
-Tipos de experimentos: 
1)Experimentos Determinísticos: Son aquellos en donde no hay 
incertidumbre acerca del resultado que ocurrirá cuando éstos son repetidos 
varias veces. 
2) Experimentos Aleatorios: Son aquellos en donde no se puede anticipar 
el resultado que ocurrirá, pero si se tiene una completa idea acerca de todos 
los resultados posibles del experimento cuando éste es ejecutado. 
 
-Tipos de espacios muéstrales: 
1) Espacios muestrales discretos: Son espacios muéstrales cuyos 
elementos resultan de hacer conteos, y por lo general son subconjuntos de 
los NÚMEROS ENTEROS. 
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2)Espacios muestrales continuos: Son espacios muestrales cuyos 
elementos resultan de hacer mediciones, y por lo general son intervalos en 
la recta Real. 
 
 
 
 
 
 
TÉCNICAS DE CONTEO 
DIAGRAMA DE ÁRBOL 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 1. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN, CON USO DE DIAGRAMA DE 
ÁRBOL 
 
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R= 8 atuendos 
 
 
 
 
 
 
PERMUTACIONES 
 
Permutación de “n” objetos distintos tomados en grupos de “r” a la vez, donde r < n. 
 
𝑷𝒓 =𝒏
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
 
 
Ejemplo 2 ¿De cuántas maneras pueden asignarse gerencia y subgerencia, si existen 4 
candidatos? 
R. 12 formas de asignar. 
 
 
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COMBINACIONES 
 
El número de subconjuntos, de “n” objetos distintos tomados en grupos de “r” a la vez 
donde r < n, se calcula como sigue 
𝑪𝒓 =𝒏
𝒏!
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!
 
 
Ejemplo 3 
¿Cuántos son los posibles partidos para definir los títulos de campeón y subcampeón? 
Si la final es entre 4 equipos. 
R. 6 partidos 
 
 
ARREGLOS 
 
A)Arreglos de “n” objetos distintos. 𝒏! 
(n: número total de elementos) 
Ejemplo 4. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se puede formar con los dígitos 
1,2,3,4,5? 
R. 120 cifras diferentes 
 
A) Arreglos de “n” objetos, con repetición de objetos similares. 
𝒏!
𝒏𝟏! 𝒏𝟐! 𝒏𝟑!⋯ 𝒏𝒌!
 
𝒏: número total de elementos 
𝒏𝒌: elemento “n” del tipo “k” 
 
Ejemplo 5. ¿Cuántos números de nueve cifras se pueden formar? Con las siguientes cifras 
2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4. 
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R. 
𝟗!
𝟑! 𝟒! 𝟐!
= 𝟏𝟐𝟔𝟎 
 
7.1.3 ESPACIOS MUÉSTRALES 
 
 
ESPACIO MUESTRAL: Son todos los posibles resultados de un experimento. 
 
 
 
7.1.4 PROBABILIDAD DE EVENTOS ALEATORIOS 
 
 
EXPERIMENTO ALEATORIO: Aquellos en los que no se puede predecir su 
resultado. 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 6. 
 
 
 
 
 
R. 1/2 
 
REFERENCIAS: 
 
1] http://probabilidadestadistic.blogspot.com/2010/08/teoria-de-conjuntos.html 
2] https://asignatura.us.es/algbas/sets/ 
3] https://es.wikipedia.org/wiki/Cardinalidad 
4]http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro5/112_tipos_de_conjuntos.
html 
5] https://academic.uprm.edu/eacuna/miniman4sl.pdf 
6] https://slideplayer.es/slide/17251917/ 
7] https://youtu.be/ibVhedcvDKs 
8] Ejercicios de probabilidad. Espacio muestral y suceso (smartick.es) 
9] https://youtu.be/tQh29_Noo9w 
 
 
 
http://probabilidadestadistic.blogspot.com/2010/08/teoria-de-conjuntos.html
https://asignatura.us.es/algbas/sets/
https://es.wikipedia.org/wiki/Cardinalidad
http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro5/112_tipos_de_conjuntos.html
http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro5/112_tipos_de_conjuntos.html
https://academic.uprm.edu/eacuna/miniman4sl.pdf
https://slideplayer.es/slide/17251917/
https://youtu.be/ibVhedcvDKs
https://youtu.be/tQh29_Noo9w