Sesión 12 - 26 de marzo-M Palma - Benitez gonzalez Jimena

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CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
MATEMÁTICAS 
 
5.2 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y 
TRASCENDENTES 
 
5.2.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 
Las funciones implícitas son aquellas que se encuentran en términos de 'x' e 'y', y 
ninguna de las variables se encuentra despejada. Para hallar la derivada en forma 
implícita no es necesario despejar 'y', incluso, en algunas funciones implícitas no 
es posible despejar 'y'; basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de 
derivación y teniendo presente que: 
 
A x'=1 
 
B En general y'≠1 
 
C Por lo que omitiremos x' y dejaremos y' 
 
D Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para 
facilitar el cálculo: 
 
 
Ejercicios de funciones implícitas 
Deriva las siguientes Funciones Implícitas 
Ejemplo 1 
 
6x – 2y = 0 
 
Derivamos cada término por separado. El que contiene a 'y' con respecto a 'y' y el 
que contiene a 'x' con respecto a 'x'. 
 
6 – 2y’ = 0 
Despejamos y' 
 –2y’ = –6 
y’= 
–6 
–2 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 2 
y3 – 4xy2 = x3 
Derivamos cada término por separado. El que contiene a 'y' con respecto a 'y' y el 
que contiene a 'x' con respecto a 'x'. Los términos que contiene ambas variables 
se derivan 2 veces, una con respecto a 'x' y otra con respecto a 'y' 
3y2y’ – 4y2 – 8xyy’ = 3x2 
Debemos despejar y', para ello podemos dejar de un lado los términos que 
contengan a y' y los que no lo contengan los pasamos al otro lado 
3y2y’ – 8xyy’ = 3x2 – 4y2 
Factorizamos por factor común y despejamos 
y’(3y2 – 8xy) = 3x2 – 4y2 
y’= 
3x2 – 4y2 
3y2 – 8xy 
 
5.2.6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 
Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más 
pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio. 
Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) 
o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos 
relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos). 
 
Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función. 
Máximos y mínimos absolutos 
Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o 
más pequeños (mínimos) de todo el dominio. 
El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio. 
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El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio. 
 
Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales. 
Máximos y mínimos relativos 
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Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o 
más pequeños (mínimos) de una región del dominio. 
Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales. 
La función f tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor que sus valores 
próximos a izquierda y derecha. 
 
En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en M. Entonces M es máximo 
relativo de f si: 
 
También se puede decir que M es un máximo relativo en su entorno si a la 
izquierda la función es creciente y a la derecha decreciente. 
La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus valores 
próximos a izquierda y derecha. 
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En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en m. Entonces m es mínimo 
relativo de f si: 
 
También se puede decir que m es un mínimo relativo en su entorno si a la 
izquierda la función es decreciente y a la derecha creciente. 
Teorema de los valores extremos 
Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo 
absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo. 
 
No se asegura que existan extremos absolutos si se define en un intervalo abierto. 
Este teorema confirma la existencia de un máximo absoluto y un mínimo absoluto 
en una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b], pero no define como 
se calcula. Para calcularlos el procedimiento es el siguiente: 
Derivar la función, obteniendo f ’(x). 
Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que la derivada sea 
0. 
 
Supongamos que las raíces de f ’ son {r1, r2,…,rn}. 
Se calcula la imagen de los extremos del intervalo (f(a) y f(b)). También se calcula 
la imagen de las raíces ( f(r1) , f(r2) ,…, f(rn) ). 
El máximo y mínimo absolutos de f serán: 
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Ejemplo 2 
Encontrar el máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) en el intervalo [-
1,5], tal que : 
f(x) = x3 – 
9 
x2 + 1 
2 
 
 
 
Aplicaremos el procedimiento del teorema de los extremos. 
Derivamos la función, obteniendo: 
 
Hallamos las raíces de la derivada: 
 
Las imágenes de los extremos del intervalo y de las dos raíces son: 
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Por lo tanto, el máximo y mínimo absolutos de f serán: 
 
Se han comparado cuatro imágenes de la función en cuatro puntos, los dos en los 
que el valor de la derivadaes nulo (0, 1) y (3, -12,5) con los correspondientes a los 
extremos del intervalo (-1, -4,5) y (5, 13,5). Resultado:máximo absoluto en el punto 
(5, 13,5) y mínimo absoluto en el punto (3, -12,5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 CÁLCULO INTEGRAL 
 
6.1 INTEGRAL INDEFINIDA 
 
CALCULO INTEGRAL: 
El cálculo integral, es una rama de las matemáticas que se encarga del estudio delas integrales y las anti derivadas se emplea mas para cálculos áreas y 
volúmenes.Fue usado principalmente por, Aristóteles, Descartes, newton y Barrow 
con las aportaciones de newton creo el teorema de cálculo integral que dice: que 
la integración y la derivación son procesos inversos. 
 
Es la rama de las matemáticas que se utiliza para calcular áreas y volúmenes de 
superficies y sólidos de revolución, que estén descritos por una función. Para 
realizar esta operación se usa la integración, a través de integrales que consiste 
en sumar una cantidad infinita de Áreas y volúmenes peque ñísimos. 
 
6.1.1 DEFINICIÓN DE LA ANTIDERIVADA 
Una antiderivada es una función matemática que se obtiene del proceso 
opuesto a la derivación. Para comprender a qué se refiere la noción, por lo tanto, 
primero hay que hay que recordar y tener claro qué es una función y recordar en 
qué consiste la derivación. 
Una función es una relación que se establece entre dos conjuntos, la cual le 
asigna a cada uno de los elementos del primer conjunto un elemento que forma 
parte del segundo conjunto o ninguno. Se llama conjunto, a su vez, al grupo 
formado por todos los entes matemáticos que disponen de una misma propiedad. 
La derivada de una función, por otra parte, es la razón de cambio con la que se 
modifica el valor de la función a partir de una alteración del valor que tiene su 
variable independiente. La derivación indica la razón a la que cambia la función a 
partir de los cambios de la variable independiente. 
Concepto de antiderivada 
Retomemos ahora la idea de antiderivada. Se denomina antiderivada de una 
función f(x) a la función F(x)+C, donde C se constituye como una constante. 
De este modo, al derivar F(x)+C, obtenemos f(x). Por eso la función F(x) es 
antiderivada de la función f(x). 
 
El proceso de integración 
El proceso que se lleva a cabo para descubrir las antiderivadas (también 
conocidas como primitivas) recibe el nombre de integración. Por otro lado, las 
integrales indefinidas componen la familia de funciones obtenidas a través de este 
proceso. 
https://definicion.de/funcion-matematica/
https://definicion.de/conjunto/
https://definicion.de/valor
https://definicion.de/idea
https://definicion.de/integracion/
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Cabe destacar que, cuando una función f permite una antiderivada sobre un 
intervalo, admite una infinidad con una diferencia constante entre sí. 
 
Función Primitiva 
Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la primitiva se define como 
cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevo la función 
original f(x).Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la 
función primitiva es la integral de la presente función f(x). 
 
6.1.2 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 
La constante de integración es un valor agregado al cálculo de las antiderivadas 
o integrales, sirve para representar las soluciones que conforman la primitiva de 
una función. Expresa una ambigüedad inherente donde cualquier función cuenta 
con un número infinito de primitivas. 
Por ejemplo si se toma la función: f(x) = 2x + 1 y conseguimos su antiderivada: 
∫(2x+1) dx = x2 + x + C ; Donde C es la constante de integración y representa 
gráficamente la traslación vertical entre las infinitas posibilidades de la primitiva. 
Es correcto decir que ( x2 + x ) es una de las primitivas de f(x). 
 
De igual manera se puede definir a ( x2 + x + C ) como la primitiva de f(x). 
https://definicion.de/intervalo/
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Propiedad inversa 
Se puede notar que al derivar la expresión ( x2 + x ) se obtiene la función f(x) = 2x 
+ 1. Esto se debe a la propiedad inversa existente entre la derivación e integración 
de funciones. Dicha propiedad permite obtener fórmulas de integración partiendo 
desde la diferenciación. Lo cual permite la verificación de integrales mediante las 
mismas derivadas. 
 
Sin embargo ( x2 + x ) no es la única función cuya derivada es igual a ( 2x + 1 ). 
1. d (x2 + x)/ dx = 2x + 1 
2. d (x2 + x + 1)/ dx = 2x + 1 
3. d (x2 + x + 2)/ dx = 2x + 1 
4. d (x2 + x + 3)/ dx = 2x + 1 
5. d (x2 + x + C)/ dx = 2x + 1 
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Donde 1, 2, 3 y 4 representan primitivas particulares de f(x) = 2x + 1. Mientras que 
5 representa la integral indefinida o primitiva de f(x) = 2x + 1. 
 
Las primitivas de una función se consiguen mediante el proceso de antiderivación 
o integral. Donde F será una primitiva de f si se cumple lo siguiente 
 y = ∫ f(x)dx = F (x) + C ; C = constante de integración 
 F’(x) = f(x) 
 
Se aprecia que una función posee una sola derivada, a diferencia de sus infinitas 
primitivas resultantes de la integración. 
La integral indefinida 
∫ f(x)dx = f(x) + C 
Corresponde a una familia de curvas con el mismo patrón, que experimentan 
incongruencia en el valor de las imágenes de cada punto ( x , y ). Cada función 
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que cumpla con este patrón será una primitiva individual y al conjunto de todas las 
funciones se le conoce como integral indefinida. 
El valor de la constante de integración será el que diferencie cada función en la 
práctica. 
La constante de integración sugiere un desplazamiento vertical en todas las 
gráficas que representan a las primitivas de una función. Donde se observa el 
paralelismo entre ellas, y el hecho de que C es el valor del desplazamiento. 
Según las practicas comunes la constante de integración se denota con la letra 
“C” posterior a un sumando, aunque en la práctica es indiferente si la constante se 
suma o resta. Su valor real puede ser encontrado en diversas formas según 
distintas condiciones iniciales. 
Otros significados de la constante de integración 
Ya se habló de como la constante de integración es aplicada en la rama del 
cálculo integral; Representando una familia de curvas que definen la integral 
indefinida. Pero muchas otras ciencias y ramas han asignado valores muy 
interesantes y prácticos de la constante de integración, que han facilitado el 
desarrollo de múltiples estudios. 
En la física la constante de integración puede tomar múltiples valores según la 
naturaleza del dato. Un ejemplo muy común es conocer la función V(t) que 
representa la velocidad de una partícula versus el tiempo t. Se sabe que al 
calcular una primitiva de V(t) se obtiene la función R(t) que representa la posición 
de la partícula versus el tiempo. 
La constante de integración representará el valor de la posición inicial, es decir 
en el instante t = 0. 
De igual manera, si se conoce la función A(t) que representa la aceleración de la 
partícula versus el tiempo. La primitiva de A(t) resultará en la función V(t), donde la 
constante de integración será el valor de la velocidad inicial V0. 
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En la economía, al obtener mediante integración la primitiva de una función de 
costos. La constante de integración representará los costos fijos. Y así muchas 
otras aplicaciones que ameritan cálculo diferencial e integral. 
¿Cómo se calcula la constante de integración? 
Para el cálculo de la constante de integración, siempre será necesario conocer 
las condiciones iniciales. Las cuáles son las encargadas de definir cuál de las 
posibles primitivas es la correspondiente. 
En muchas aplicaciones se trata como variable independiente al tiempo (t), donde 
la constante C toma los valores que definen las condiciones iniciales delcaso en 
particular. 
Si se toma el ejemplo inicial: ∫(2x+1)dx = x2 + x + C 
Una condición inicial válida puede ser condicionar a que la gráfica pase por una 
coordenada especifica. Por ejemplo, se sabe que la primitiva (x2 + x + C) pasa por 
el punto ( 1 , 2 ) 
F ( x ) = x2 + x + C ; esta es la solución general 
F ( 1 ) = 2 
Sustituimos la solución general en esta igualdad 
F ( 1 ) = (1)2 + (1) + C = 2 
De donde fácilmente se deduce que C = 0 
De esta forma la primitiva correspondiente para este caso es F ( x ) = x2 + x 
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Existen diversos tipos de ejercicios numéricos que trabajan con constantes de 
integración. De hecho el cálculo diferencial e integral no deja de aplicarse en las 
investigaciones vigentes. En distintos niveles académicos se pueden encontrar; 
desde cálculo inicial, pasando por física, química, biología, economía, entre otros. 
También se aprecia en el estudio de ecuaciones diferenciales, donde la 
constante de integración puede tomar diversos valores y soluciones, esto debido 
a las múltiples derivaciones e integraciones que en esta materia se realizan. 
 
6.1.3 FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN 
Recordemos que como en las derivadas, las integrales poseen reglas, 
propiedades y formulas para su procedimiento. Las integrales poseen un signo en 
su inicio en forma de S alargada y con una terminación de dx, esto las diferencia 
de otras ecuaciones. Una integral a realizar siempre irá acompañada de una S 
alargada al inicio y un dx al final. Estas son las formulas básicas de integración: 
 
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Ejemplos: 
Resolver las siguientes integrales: 
Ejemplo1 
 
 
Ejemplo 2 
 
 
Ejemplo 3 
 
 
 
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Ejemplo 4 
 
 
 
Ejemplo 5 
 
 
 
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Ejemplo 6 
 
 
 
 
Ejemplo 7 
 
 
 
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Ejemplo 8 
 
 
 
Ejemplo 9 
 
 
 
 
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Ejemplo 10 
 
 
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Ejemplo 11 
 
 
 
 
Ejemplo 12 
 
 
 
 
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Ejemplo 13 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 14 
 
 
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Ejemplo 15 
 
 
 
Ejemplo 16 
 
Ejemplo 17 
 
 
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Ejemplo 18 
 
Ejemplo 19 
 
Ejemplo 20 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 26 
 
Ejemplo 27 
 
 
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