EJERCICOS TEORIA DE ESPACIOS VECTORIALES - ANETTE RACHEL PINACHO MATIAS

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TEORÍA DE ESPACIOS VECTORIALES
Subespacios generados, intersección y suma Profesora: Miriam Bocardo Gaspar
Ejercicio 1. Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) 2 R3 pertenezca al subespacio de R3
generado por A = {(1, 2, 3), (1, 1, 1)}.
Ejercicio 2. Determine si el conjunto A =
�
1, x2, x2 + 2
 
genera a P2(R).
Ejercicio 3. En cada inciso, dé una descripción geométrica del subespacio generado por A.
a) A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
b) A = {(2, 5, 0), (4, 6, 3)}.
b) A = {(2, 5, 0)}.
Ejercicio 4. Demuestre que el conjunto A = {(2, 1), (�1, 2)} genera a R2.
Ejercicio 5. Sean S =
�
(x, y, z) 2 R3 : x� 3z = 0
 
y T =
�
(x, y, z) 2 R3 : x+ y � z = 0
 
dos subespa-
cios del espacio vectorial real R3.
a) Geométricamente, ¿qué tipo de subespacios son S y T?
b) Encuentra el subespacio S \ T .
c) Dé una descripción geométrica del subespacio S \ T .
Ejercicio 6. Sean S =
�
A 2 M2⇥2(R) : A = AT
 
y T =
⌧
1 0
2 �1
�
,

1 0
1 0
��
. Encuentra un conjunto
generador para S \ T .
Ejercicio 7. Sean S =
�
(x, y, z) 2 R3 : x� 3z = 0
 
y T
�
(x, y, z) 2 R3 : x+ y � z = 0
 
dos subespacios
del espacio vectorial real R3
a) Determina un conjunto generador para S.
b) Determina un conjunto generador para T .
c) Determina un conjunto generador para S + T .
Ejercicio 8. Sean S = {p(x) 2 P2(R) : p(0) = 0} y T = {p(x) 2 P2(R) : p(1) = 0}.
a) Determina un conjunto generador para S.
b) Determina un conjunto generador para T .
c) Determina un conjunto generador para S + T .
d) Determina un conjunto generador para S \ T .
Ejercicio 9. Sean S =
�
A 2 M2⇥2(R) : A = AT
 
y T =
�
A 2 M2⇥2(R) : A = �AT
 
(las matrices de S
se llaman matrices simétricas y las matrices de T se llaman matrices antisimétricas).
a) Determina S \ T .
b) Sea A 2 M2⇥2(R), demuestra que A+AT es simétrica y que A�AT es antisimétrica.
c) ¿Es cierto que S � T = M2⇥2(R)?. Hint: verifica que A = 12(A+A
T
) +
1
2(A�A
T
).
 
S T E V
Snt v ves a ver
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M S ET Sx et
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SIII L set se s te t EV
b
siiiiiiii.EESt t
Ref S T suma directa interna soi Srt 20
50T
SU T no siempre es subespacio
Ejemplo unión
de dosrectos
ASUTEISSISETOTE Y