Guía Trabajos Prácticos 2019 - María Belén Fernández

Vista previa del material en texto

ÁLGEBRA Y 
GEOMETRÍA ANALÍTICA 
GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS 
2019 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
3 
 
DOCENTES INTEGRANTES DE LA CÁTEDRA 
 
• Prof. Titular: 
• Gricela ROHDE 
 
• Prof. Adjuntos: 
• María Luisa GÓMEZ de BARANDA 
• Rufino ITURRIAGA 
• Gerardo MAZZAFERRO 
• Analía PICCINI 
• Fabián SALEMI 
• Laura ZALAZAR 
 
Clases prácticas a cargo de: 
• Alicia BESIL 
• María Liliana EGUIAZABAL 
• Aurora FERNÁNDEZ 
• Patricio FERNÁNDEZ 
• Gabriela FERRARINI 
• María Amelia FIEL 
• Marcela GAZZOLA 
• María Rosa MATTA 
• María Fernanda MORANDO 
• Daniel MOSQUEDA 
• Ana Belén PINATTI 
• Miguel Sebastián RAMÍREZ 
• Javier SALAJ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
4 
 
PROGRAMA ANALÍTICO DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Tema 1: Número Reales. 
Conjuntos numéricos. El conjunto de los números reales: operaciones y propiedades. Valor 
absoluto de un número real. Propiedades. Conjuntos acotados. Intervalos. Entornos. 
 
Tema 2: Funciones. 
Relaciones. Funciones. Dominio e Imagen. Clasificación de funciones. Funciones algebraicas. 
Función lineal. Ecuación general o implícita de la recta en el plano. Posiciones particulares de 
una recta con respecto a los ejes coordenados. Ecuación explícita y segmentaria. Ecuación del 
haz de rectas. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Distancia entre dos puntos. Ángulo 
entre dos rectas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad. Función cuadrática. Raíces 
o ceros de la función cuadrática. Posiciones particulares. Función cúbica. Función racional. 
Funciones trascendentes: exponencial, logarítmica y trigonométricas. Aplicaciones en 
Economía. 
 
Tema 3: Análisis Combinatorio. 
El símbolo Sumatoria. La función factorial. Combinatoria simple y con repetición: arreglos, 
permutaciones y combinaciones simples y con repetición. Números combinatorios. Propiedades 
de los números combinatorios. Potencia de un binomio: Binomio de Newton. 
 
Tema 4: Vectores. 
Vectores en el plano y en el espacio tridimensional. Módulo o norma. Igualdad de vectores. 
Suma y diferencia. Producto de un escalar por un vector. Espacio vectorial. Combinación lineal. 
Dependencia e independencia lineal. Base de un espacio dimensional. Coordenadas de un 
vector con respecto a una base. Cosenos directores. Versor. Vector determinado por dos puntos 
cualesquiera. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento. Producto escalar. 
Interpretación geométrica. Propiedades. Expresión en función de las componentes. Angulo 
entre dos vectores. Condición de perpendicularidad. Producto vectorial. Interpretación 
geométrica del módulo del producto vectorial. Propiedades. Expresión en función de las 
componentes. Paralelismo de vectores. Aplicaciones económicas. 
 
Tema 5: Matrices – Determinantes. 
Matrices sobre un cuerpo K. Matriz rectangular, cuadrada, fila, columna, escalonada. Igualdad 
de matrices. Matriz traspuesta. Matrices cuadradas particulares. Matriz simétrica. Álgebra 
matricial: suma, propiedades. Producto de una matriz por un escalar. Propiedades. Producto de 
matrices. Propiedades. Determinantes. Definición axiomática. Propiedades. Menor 
complementario de un elemento. Adjunto o cofactor de un elemento. Otras formas de hallar el 
valor de un determinante: Regla de CHIO y desarrollo de un determinante por los elementos de 
una línea. Matriz singular y matriz regular. Matriz adjunta. Inversa de una matriz. Inversa del 
producto de matrices. Rango de una matriz. Aplicaciones económicas. 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
5 
Tema 6: Sistemas de Ecuaciones Lineales. 
Ecuación lineal en una variable, en dos variables y en n variables. Sistemas de dos ecuaciones 
lineales en dos variables y sistemas de m ecuaciones lineales en n variables. Conjunto solución. 
Sistemas compatibles e incompatibles. Sistemas equivalentes. Sistemas homogéneos. 
Clasificación de los sistemas. Solución de un sistema de ecuaciones: Teorema de Rouché-
Frobenius. Métodos de resolución: Teorema y regla de Cramer. Método de Gauss. Aplicaciones 
económicas. 
 
Tema 7: Sistemas de inecuaciones lineales. Programación Lineal. 
Inecuaciones lineales. Conjunto solución. Representación gráfica. Sistemas de inecuaciones 
con dos variables. Solución analítica y gráfica. Programación lineal. Problemas de 
programación lineal. Enfoque geométrico, solución gráfica. Puntos extremos. Solución óptima. 
Método de punto en la esquina. Método simplex. Aplicaciones económicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
6 
BIBLIOGRAFÍA 
Obligatoria 
� Arya, J. y Lardner, R. (2009) Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. 
(5º ed.). México. Pearson Educación. 
� Grossman, S. (2008) Álgebra lineal con aplicaciones. (6º ed.) México. Mc Graw-Hill. 
� Haeussler, E.F. Jr.; Paul, R.S. (2012) Matemáticas para Administración y Economía. (12ª 
ed.). México. Pearson Educación. 
 
Complementaria 
� Budnik, F.S. (2007) Matemáticas aplicadas para Administración, Economía y Ciencias 
Sociales. (4ª ed.). México. Mc Graw-Hill. 
� Lipschutz, S. (1992) Álgebra Lineal. Serie Schaum. (2º ed.). Madrid. España. Mc Graw-
Hill. 
� Tan, S.T. (2014) Matemáticas aplicadas a los Negocios, las Ciencias Sociales y de la vida. 
(5ª ed.). México. CENGAGE Learning. 
 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Bibliografía Obligatoria 
Tema 1: Números Reales 
� Arya, J. y Lardner, R. Capítulo 1. 
� Haeussler, E.F. Jr.; Paul, R.S. Capítulo 0. 
Tema 2: Funciones 
� Arya, J. y Lardner, R. Capítulos 4, 5 y 6. 
� Haeussler, E.F. Jr.; Paul, R.S. Capítulos 2, 3 y 4. 
Tema 3: Análisis Combinatorio 
� Haeussler, E.F. Jr.; Paul, R.S. Capítulo 8. 
Tema 4: Vectores 
� Grossman, S. Capítulo 3. 
Tema 5: Matrices-Determinantes 
� Grossman, S. Capítulos 1 y 2. 
� Haeussler, E.F. Jr.; Paul, R.S. Capítulo 6. 
Tema 6: Sistemas de Ecuaciones Lineales 
• Haeussler, E.F. Jr.; Paul, R.S. Capítulo 3. 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
7 
Tema 7: Sistemas de inecuaciones lineales. Programación Lineal 
� Arya, J. y Lardner, R. Capítulo 10. 
� Haeussler, E.F. Jr.; Paul, R.S. Capítulo 7. 
 
Bibliografía Complementaria 
Tema 1: Números Reales 
� Tan, S.T. Capítulo 1. 
Tema 2: Funciones 
� Tan, S.T. Capítulos 2 y 3. 
Tema 3: Análisis Combinatorio 
� Tan, S.T. Capítulo 7. 
Tema 4: Vectores 
� Lipschutz, S. Capítulo 2. 
Tema 5: Matrices-Determinantes 
� Budnik, F.S. Capítulo 9. 
Tema 6: Sistemas de Ecuaciones Lineales 
� Tan, S.T. Capítulo 5. 
� Budnik, F.S. Capítulo 3. 
Tema 7: Sistemas de inecuaciones lineales. Programación Lineal 
� Tan, S.T. Capítulo 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIASECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
8 
BIBLIOGRAFÍA 
 
Mes día/fecha 
Teoría Práctico 
Clase Tema Clase Tema/Ejercicio 
marzo jueves 14 1 Números reales 1 Números reales 
marzo martes 19 2 Números reales 2 Números reales 
marzo jueves 21 3 Funciones 3 Funciones 
marzo martes 26 4 Funciones 4 Funciones 
marzo jueves 28 5 Funciones 5 Funciones 
abril jueves 04 6 Funciones 6 Funciones 
abril martes 09 7 Funciones 7 Funciones 
abril jueves 11 8 Análisis Combinatorio 8 Análisis Combinatorio 
abril martes 16 9 Análisis Combinatorio 9 Análisis Combinatorio 
abril martes 23 10 Vectores 10 Vectores 
abril jueves 25 11 Repaso 1º parcial 11 Repaso 1º parcial 
abril martes 30 12 PRIMER EXAMEN PARCIAL 
mayo martes 07 13 Vectores 13 Vectores 
mayo jueves 09 14 Vectores 14 Vectores 
mayo martes 14 15 Vectores 15 Vectores 
mayo jueves 16 16 Matrices y determinantes 16 Matrices y determinantes 
mayo jueves 23 17 Matrices y determinantes 17 Matrices y determinantes 
mayo martes 28 18 Matrices y determinantes 18 Matrices y determinantes 
mayo jueves 30 19 Sistemas de ec. lineales 19 Sistemas de ec. lineales 
Junio martes 04 20 Sistemas de ec. lineales 19 Sistemas de ec. lineales 
Junio jueves 06 21 Programación Lineal 21 Programación Lineal 
Junio martes 11 22 Programación Lineal 22 Programación Lineal 
Junio jueves 13 23 Repaso 2º parcial 23 Repaso 2º parcial 
Junio martes 18 24 SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 
Junio martes 25 25 RECUPERATORIOS EXAMENES PARCIALES 
Junio viernes 28 --- ENTREGA DE REGULARIDADES 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
9 
Tema 1: NÚMEROS REALES 
 
 
Problema de introducción: 
Darío trabaja para una compañía de artículos de navegación. Con frecuencia, necesita examinar 
recibos en los que sólo se reporta el pago total y después determinar la cantidad del total que 
representa el impuesto al valor agregado. 
La tasa del IVA es de 21%. Muchos de los negocios de Darío son con proveedores o 
compradores colombianos, por lo que debe tratar con un problema similar a partir de los recibos 
que contienen el impuesto colombiano a las ventas, que es del 19 por ciento. 
Un problema de este tipo parece requerir una fórmula, pero mucha gente es capaz de trabajar 
en un caso particular del problema, usando números específicos, sin conocer la fórmula. Así 
que, si Darío tiene un recibo local por un total de 200.000 pesos, ¿podrías ayudarlo a saber qué 
parte de ese total corresponde al impuesto? Sucede que Darío tiene muchas facturas ¿Cómo 
podría hacer para calcular el impuesto en cada una de ellas? ¿y cómo debería proceder con los 
recibos colombianos? 
Por supuesto, la mayoría de la gente no recuerda las fórmulas por mucho tiempo y no se siente 
cómoda si basa un cálculo monetario en una regla de tres. Con este repaso de las operaciones 
con números reales se pretende, que los estudiantes puedan plantear sus propias fórmulas, con 
total confianza, cuando las requiera. 
 
1) Completar el cuadro siguiente con los números que correspondan: 
x y z x+y x.y.z y:z ⅓.(y+z) (x-z)3 
2
3
− 
10
21
 
1
5
− 
 
5
8
− 
 2
5
− 
 
8
1
 
 
y.
4
3
 
3
5
 
 
9
10
 
 
 
2) Determinar si cada uno de los siguientes conjuntos de números reales está acotado superior 
e inferiormente; cuál es su extremo superior, el extremo inferior; y si existen, cuál es el máximo 
y cuál el mínimo. 
a) El conjunto de los números naturales de una cifra, es decir, el conjunto 
{ }/ 9D x x N x= ∈ ∧ ≤ 
b) El conjunto { }/ 10E x x R x= ∈ ∧ ≥ 
c) El conjunto { }/ 1F x x R x= ∈ ∧ ≤ − 
 
3) Para cada una de las siguientes desigualdades: 
i) 2 3 4x − < ii) 2 2 6x + > iii) 2 6 3
3
x − ≤ iv) 2 5 3x− ≥ 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
10 
a) Determinar el intervalo de variación de x. 
b) Representarlos gráficamente en la recta real. 
c) Determinar la amplitud de intervalo, las cotas, extremos, máximos y mínimos, si los 
conjuntos están acotados. 
d) Analizar y fundamentar si dicho intervalo es o no un entorno y en caso afirmativo hallar el 
centro y el radio y expresarlo como tal. 
 
4) Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificar las respuestas. 
a) Si 6 4 4x x− < ≤ ⇒ ≤ 
b) Si
1 1
0
2 2
x x− < < ⇒ ≥ 
c) 1 1,x x x− − = + ∀ 
 
 
 
 
Ejercicios Complementarios 
 
1) Completar el cuadro siguiente con los números que correspondan: 
x y z x-y x.y.z z:y (x+z)-1 (x-z)3 
 7
10
− 
5
6
 
 1− 
4
3
− 
 1− 1
4
− 
 
 5
2
− 
 0,75 1, 25− 
 
 
2) Operaciones con números reales: 
En un barco que llegó desde España al puerto de Buenos Aires, a fines del siglo XIX, venías 
480 personas dispuestas a trabajar e instalarse en estas tierras. La mitad era de Galicia, un tercio 
de Andalucía y el resto de diferentes regiones de la península ibérica. 
a) ¿Qué número de personas tenía cada uno de estos tres grupos? 
b) Los oficios que conocían eran variados. Si en un grupo de inmigrantes había 23 carpinteros, 
que constituían 1/13 del total, ¿cuál era el total de inmigrantes de ese grupo? 
c) En otro grupo había un quinto de zapateros y tres décimos de electricistas. Si entre zapateros 
y electricistas eran 95 personas, ¿cuál era el número total de inmigrantes en ese grupo? 
 
3) Para cada una de las siguientes desigualdades: 
i) 2 5 7x + > ii) 1 5 7
2 4 4
x + < iii) 1 1 3
2
x− + ≥ iv) 12 5
4
x − < 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
11 
a) Expresarlos como intervalos. 
b) Representarlos gráficamente en la recta real. 
c) Determinar la amplitud de intervalo, las cotas, extremos, máximos y mínimos, si los 
conjuntos están acotados. 
d) Analizar y fundamentar si dicho intervalo es o no un entorno y en caso afirmativo hallar el 
centro y el radio y expresarlo como tal. 
 
4) Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificar las respuestas. 
a) Si 0 0x x x> ⇒ − = 
b) Si 0 0x x x< ⇒ − = 
c)Si 3 3x y x< > − de forma simultánea, se escribe 3x > 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
12 
Tema 2: FUNCIONES 
 
Problema de introducción: 
Martín está buscando el banco que le dé mejores beneficios para invertir su dinero. En la página 
de los bancos en internet, encuentra que el Banco Hipotecario da por los depósitos un interés 
del 24% anual. El Banco Fénix ofrece un 2% mensual capitalizable cada mes. Fernando le dice 
que los dos bancos ofrecen lo mismo, pero Martin dice que no. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? 
 
1) Un automovilista ingresa a una estación de servicio para cargar más combustible y llenar el 
tanque de 50 litros del auto. El precio del litro de nafta en esta estación es de $50. 
a) Completa la tabla, suponiendo que el tanque tiene cierta cantidad de combustible y lo llena. 
 
Cantidad de nafta inicial 
en el tanque (litros) 
15 20 25 30 35 40 45 50 
Monto a pagar ($) 
 
b)Representa gráficamente la relación entre la cantidad de nafta en el tanque de ese auto y el 
monto a pagar. 
c) ¿Tiene sentido unir los puntos en el gráfico? ¿Por qué? 
d) ¿Es posible que el automovilista haya pagado i) $600 ii) $2600? Fundamenta tu respuesta. 
e) Determina el dominio de la relación. 
f) ¿Es función? Justifica tu respuesta. 
 
2) Si R la relación “x es menor igual a y” definida en el conjunto de los números reales. ¿Podría 
decirse que R es función? Justifique su respuesta. 
 
3) El correo publicó esta tabla de precios para el envío de cartas simples. Las tarifas incluyen 
IVA y son válidas para todo el Territorio Nacional excepto Tierra del Fuego. 
 
Peso Precio 
Hasta 100 gramos $48 
Más de 100 gramos, hasta 200 gramos $52 
Más de 200 gramos, hasta 500 gramos $70 
 
a) ¿Cuánto se debería pagar por el envío de una carta que pesa 80 gramos? ¿Y 120 gramos? 
b) ¿Cuánto se debería pagar por el envío de una carta que pesa 99,5 gramos? ¿Y 100 gramos? 
¿Y 100,5 gramos? 
c) ¿Cuál de estos gráficos representa mejor la relación entre el peso de las cartas y el precio que 
se cobra por el envío? Justifica tu respuesta. 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
13 
 
 
i. 
 
 
ii. 
 
 
 iii. 
 
 
 d. ¿Cómo se podría escribir matemáticamente la información expuesta en la tabla? ¿Es 
función? En caso afirmativo, ¿cuál es el dominio? ¿Y su imagen? 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
14 
4) Una fábrica de electrodomésticos tiene un costo fijo de $216000 por mes. Se sabe que cada 
unidad producida tiene un costo de fabricación de $1620 y el precio de venta unitaria es de 
$3780. Determina: 
a) La función beneficio. ¿Qué tipo de función es? 
b) La cantidad mínima que se debe producir para cubrir los costos totales ¿qué nombre recibe 
ese valor? 
c) ¿Para qué cantidades de electrodomésticos es rentable la empresa? 
d) ¿Cuántas unidades se deben vender para obtener un beneficio que supere $237600? 
 
5) 
a) Si y = f (x) es una función lineal tal que f (-2) = 6 y (1; -3) pertenece al gráfico de f, halle si 
fuera posible la ecuación de f. 
b) La pendiente de la recta asociada a una función lineal que pasa por M (2; 5) y N (3; k) es 4. 
¿Es posible encontrar el valor de k? En caso de encontrarlo, halle su fórmula. 
 
6) 
a) Para cada uno de los enunciados, encuentre si existe, la forma explícita y segmentaria de la 
ecuación de la recta: 
i. Que pasa por el punto P (3,-4) y su pendiente es m = - 2
3 
ii. Que contiene a los puntos M (2; 3) y N (-1; 3) 
iii. PQ , siendo P (-1,-2) y Q (1,4) 
iv. Interseca al eje x en 4 y al eje y en 12. 
b) Expresa las ecuaciones de los ejercicios i) y iii) en su forma general. 
c) Grafica las rectas de los ejercicios i), iii) y iv) 
 
7) 
a) Calcula el ángulo entre las rectas r1: 2x + 4y – 4= 0 y r2: x – y – 1 = 0. 
b) Grafícalas y señala el ángulo hallado. 
 
8) Dada la recta r1: –25x + 5y + 5= 0, encontrar: 
a) La recta perpendicular a la dada y que pasa por el punto P (-2; -1). 
b) La recta que no intersecta a r1 y que contiene al punto Q (2; 5). 
c) Grafica las rectas. 
 
9) El precio de un espejo cuadrado depende de su tamaño y de si incluye marco de madera o 
no. El metro cuadrado de espejo cuesta 30 dólares y el metro lineal de marco de madera cuesta 
10 dólares. 
a) ¿Cuánto cuesta un espejo de 1m de lado sin marco? ¿Y con marco? ¿Y uno de 2m con marco? 
¿Cuánto cuesta un espejo de 2,5m de lado con marco? 
b) El dueño del local necesita explicar al nuevo empleado cómo calcular el precio de un 
determinado espejo cuadrado con marco. ¿Podrías ayudarlo con alguna fórmula? 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
15 
c) Con 256 dólares ¿de qué medidas se puede comprar un espejo sin marco? ¿Y si se quiere el 
espejo con marco? 
 1 m 
 
 2 m 
 
 2,5 m 
 
10) En una industria la función ingreso total está dado por I(x) = 3x2 +5x +150 y la función 
costo total, C(x) = x + 120, siendo x la cantidad producida. Determina: 
a) La función beneficio. 
b) El beneficio para 50 unidades vendidas. 
c) ¿Puede obtenerse un beneficio de $600? Justifica tu respuesta. 
 
11) Si la función de costo total de fabricación de un determinado producto está dada por una 
función C(x) = 2x3 – x2 + 5x + 120, donde x representa la cantidad producida, responde: 
a) ¿Cuál es el costo total para producir 15 unidades? 
b) ¿Si se duplica las 15 unidades, se duplica el costo total? 
c) ¿Qué representa el valor 120 en la fórmula de la función? 
d) ¿Cuál es el costo promedio para producir 15 unidades de ese producto? 
 
12) La función de demanda de un determinado bien de consumo producido por cierta fábrica 
está dada por 
x,
y
2503
300
+
= , donde “x” representa la cantidad demandada e “y” el precio 
unitario del bien. Determina: 
a) ¿Cuál será el precio unitario para 10 unidades demandadas? 
b) ¿Cuántas unidades serán adquiridas si el precio unitario es de $19,35? 
c) ¿Cuántas unidades deberían adquirirse para que el precio no supere los $40? 
 
13) Se sabe que la gráfica de ( )
3
86
+
−=
kx
x
xf pasa por el punto (2; 5). Determina si las siguientes 
afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. 
a) Si x = 2, entonces 1110k = −
 
b) Si k = 1, entonces la asíntota horizontal de f es y = 6. 
c) Dom f = { }3--R para cualquier valor de k. 
d) La raíz de f es 3
4=x para cualquier valor de k. 
 
14) Sean las funciones :f A ⊆ ℝ con A ⊆ ℝ 
 ( ) 1
3
2
1 −= xxf ( ) 122 +−= xxf ( ) 423 +−= xxf ( ) =xf4 (x – 1)2 + 1 
( ) =xf5 x.(x – 4) ( ) =xf6 x3 – 1 ( ) =xf7 -x3 + 1 ( )
x
xf
2
8 = ( ) 1
2
9 +
−=
x
x
xf 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
16 
a) Determinar: f4 (-3) = f6(2) = f8 (1) = 
b) Determine el dominio de cada función. 
c) Halle, si existen: 
 i. Intersecciones con el eje y. 
 ii. Las raíces o ceros de la función. 
d) Represéntelas gráficamente. 
e) Halle el conjunto imagen de cada una. 
f) Clasifíquelas. Encuentre su función inversa, en el caso de ser posible. 
g) ¿Existe x tal que ( ) 111 =xf ? ¿ ( ) 54 −=xf ? ¿y ( ) 58 =xf ? En caso de existir, encuéntrelo. 
Justifique su respuesta. 
 
15) Pretendemos invertir $20000 en el Banco Nación. Este ofrece una tasa nominal anual 
(TNA) del 20%. Sabiendo que los intereses obtenidos al final de cada periodo de inversión no 
se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir se capitalizan. 
a) ¿Cuál será el monto en la cuenta que obtendremos al cabo de 2 años? 
b) ¿Y al cabo de 4 años? 
c) Si tuvieras que calcular el monto al finalizar 10 años ¿cómo lo harías? 
d) ¿Cuál es el valor del monto al finalizar 10 años? 
e) Escribe una fórmula que permita calcular el monto para cualquier número de años. 
f) Si la tasa de interés fuera del 1,5% mensual, ¿cuál será el valor del monto al cabo de 4 años? 
¿Cuál es el valor del interés? 
 
16) A partir de los últimos cuatro censos llevados a cabo en la Argentina, se obtuvo la función 
f (t) = 28,2e0,01t que permite estimar la población (en millones de personas) t años después de 
1980. 
a)¿Cuál será aproximadamente el número de habitantes 10 años después? ¿Y en el año 2020? 
b) La gráfica de la función f es la siguiente. ¿El modelo puede estimar razonablemente la 
población de la Argentina dentro de 100 años a partir de 1980? Justifique su respuesta. 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
17 
17) Dada la función f: R → R / f (x) = kax. Se sabe que su gráfica pasa por los puntos (0; -4) y 
(-2; -25) 
a) Calcula f (-1) 
b) ¿f es creciente o decreciente? 
 
18) ¿Cuáles de las siguientes gráficas de funciones exponenciales le corresponde a las 
funciones? 
 
a)
5
2
x
y
 =  
 
 b) 
2
5
x
y
 =  
 
 c) 
2
1
5
x
y
 = + 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
18 
19) 
a) Considera el problema Nº15 (tasa de interés 20% anual) 
Si María necesita $52087,26 para realizar la compra de su automóvil, ¿cuánto tiempo debería 
esperar para efectuar la compra? 
b) La ecuación de oferta de un fabricante es ( ) ( )210 qlogqp += , ¿para qué cantidad el precio 
unitario es de $5? 
 
20) Dadas las funciones :f A ⊆ ℝ con A ⊆ ℝ 
( ) ( )11 2
x
f x = ( ) ( ) 112 2
x
f x
−= ( )3 2logf x x= 
( )4 1
2
logf x x= ( ) ( )5 2log 1f x x= + ( ) ( )6 1 2
2
log xf x = 
a) Halle el dominio. 
b) ¿Cuáles son crecientes y cuáles decrecientes? 
c) Determine, si existen intersecciones con los ejes coordenados. 
d) Encuentre las ecuaciones de las asíntotas. 
e) Represéntelas gráficamente. 
f) Halle el conjunto imagen. 
g) ¿Cuál es la función inversa de la función f2? ¿y f5? 
h) ¿Para algún valor de x se verifica 
 i. ( ) ?42 −=xf ( )3ii. 256 ?f x = ( )
31
5 32iii. ?f x = − iv. ( )6f x = 63? 
 
21) Sean las funciones :f A ⊆ ℝ con A ⊆ ℝ 
 ( ) 1 sen1 += xxf ( ) cos22 xxf = ( ) ( )xxf 2sen3 = ( ) ( )24 cos π-xxf = 
a) Grafíquelas, determinando previamente amplitud, periodo, fase e intersección con el eje de 
ordenadas. 
b) Para cada una de ellas, determine su dominio e imagen. 
 
 
 
Ejercicios Complementarios 
 
1) Dados los puntos A(2,2) y B(0,4). Halle y represente gráficamente las rectas 
a) Que pasa por A y es paralela a la recta 2x – y + 3 = 0 
b) Determinada por A y B. 
c) De ser posible, expréselas en su forma general y segmentaria. 
 
2) Un fabricante tiene gastos fijos mensuales de $100.000 y un costo de producción de $14 por 
cada unidad producida. El producto se vende a $20 la unidad. 
a) Determina la función de costos, ingresos y ganancia. 
b) Calcula la ganancia (o pérdida) correspondiente a niveles de producción de 12.000 y 20.000 
unidades. 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
19 
3) La recta r1 está determinada por los puntos P1 (6;3) y P2 (3, 4) y la recta r2 está determinada 
por los puntos y Q1(5, 6) y Q2(3, 2). Determina el ángulo formado por las mismas. 
 
4) El ángulo entre las rectas r: 3 4y x= − y la que pasa por el punto P (5,5) es de 45º. 
a) Encuentre, si existe, la ecuación de la recta que pasa por el punto P. 
b) En cada de existir, grafíquela. 
 
5) Determina las constantes m y b de la función lineal ( )f x mx b= + de modo que (2) 4f = y 
cuya pendiente es -1. 
 
6) Determina, la distancia de la recta r al punto Po, siendo 4 3 2 0r x y≡ + − = y ( )0 1;2P 
7) Un fabricante de aparatos domésticos encuentra que si produce x televisores en un mes, su 
costo de producción está dado por la ecuación 6 3000y x= + en pesos. 
a) Traza la gráfica de la función. 
b) ¿Qué representan la pendiente y la intersección en el eje y de la gráfica? 
 
8) Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que expresa el costo 
total anual (y) en función de la cantidad de unidades producidas (x). Los contadores indican 
que los gastos fijos cada año, ascienden a $50.000. También han estimado que el costo de 
materia prima por cada unidad producida es de $5,5 y que los de mano de obra son de $3,50 
por unidad. Se desea saber: 
a) ¿Cuál es el costo de producir 7.000 unidades? 
b) ¿Cuántas unidades fabricadas producen un costo de $140.000? 
 
9) Una empresa que fabrica cuadernos, tiene una función costo ( ) 5000 2,5C x x= − y una 
función ingreso ( ) 10I x x= , ambas expresadas en función del número de unidades producidas y 
vendidas, respectivamente. 
a) ¿Cuál es la producción o cantidad correspondiente al equilibrio? 
b) ¿Cuál es el costo y el ingreso para ese número de cuadernos producidos? 
c) ¿Qué representa el punto de equilibrio en esta situación? 
 
10) Cuando el precio de cierto tipo de cámaras fotográficas es de $25, no se ofrece ningún 
artículo a la venta; por cada 10 pesos de incremento en su precio, se dispone de 20 cámaras 
más. ¿Cuál es la ecuación de la oferta? Represéntala en un sistema de coordenadas cartesianas. 
 
11) En una industria la función de ingreso está dada por 2( ) 3 5 150I x x x= + + ; la función de 
costo total ( ) 200C x x= + , siendo x la cantidad producida. Determinar: 
a) La función de ganancia ( )G x . 
b) La ganancia para 50 unidades producidas. 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
20 
12) Las preferencias de María acerca de los perfumes (bien x) y los cosméticos (bien y) pueden 
representarse a través de la siguiente función de utilidad .U x y= . 
a) Expresa matemáticamente la curva de indiferencia de nivel 4. Ayuda: La función U es la 
curva de indiferencia. 
b) Grafica. 
c) Interpreta el significado económico. 
 
13) La eficiencia de un obrero de una fábrica está determinada por la función 
0,2( ) 100 60.2 tf t −= − , es decir, el trabajador puede terminar ( )f t unidades por día después de 
haber trabajado t meses. 
a) ¿Cuántas unidades por día puede finalizar un obrero principiante? (Considera 0t = ). 
b) ¿Cuántas unidades por día puede finalizar un obrero con un año de experiencia? ¿y en dos 
años? 
c) ¿Qué tipo de función es f? ¿Tiene asíntota horizontal? 
d) Grafique la función mediante el empleo de algún software. 
 
14) El impuesto que deber pagar una fábrica, en miles de pesos, por la producción de x cantidad 
de artículos está dada por la función 10log)(T xx = ¿Cuánto debe pagar la fábrica en concepto 
de impuestos por la producción de 10, 50 y 100 artículos? 
 
15) Sean las funciones 
 ( ) =xf1 (x + 2)2 – 1 ( ) =xf2 -2.(x + 1)(x – 2) ( ) =xf3 x3 – 4 
 ( ) =xf4 -x
3 + 4 ( )
1
2
5 −
=
x
xf ( )
12
1
6 −
+=
x
x
xf 
a) Determine el dominio de cada función. 
b) Halle, si existen: 
i. Las intersecciones con el eje y. 
ii. Las raíces o ceros de la función. 
c) Represéntelas gráficamente. 
d) Halle el conjunto imagen de cada una. 
e) Clasifíquelas. Encuentre su función inversa, en el caso de ser posible. 
f) ¿Existe x tal que ( ) 241 =xf ? ¿y ( )6 15f x = ? En caso de existir, encuéntrelo. 
Justifique su respuesta.16) Dadas las funciones 
( ) xxf 21 −= ( ) ( )xxf 412 = ( ) ( )xxf 413 .2= 
 ( ) ( )1log24 −= xxf ( ) ( )2
4
15 log
xxf = 
a) Halle el dominio para cada una. 
b) ¿Cuáles son crecientes y cuáles decrecientes? 
c) Determine, si existen, intersecciones con los ejes coordenados. 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
21 
d) Encuentre las ecuaciones de las asíntotas. 
e) Represéntelas gráficamente. 
f) Halle el conjunto imagen. 
g) ¿Cuál es la función inversa de la función f2? ¿y f3? 
h) ¿Para algún valor de x se verifica i. ( ) ?42 =xf ( ) ?1024.ii 3 =xf 
 
17) Sean las funciones 
 ( ) 1 cos1 += xxf ( ) sen22 xxf = ( ) ( )xxf 2cos3 = 
a) Grafíquelas, determinando previamente amplitud, periodo, fase e intersección con el eje de 
ordenadas. 
b) Para cada una de ellas, determine su dominio e imagen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
22 
Tema 3: ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Problema de introducción: 
Una empresa que se dedica a la distribución de paquetes dentro y fuera de la ciudad, tiene 
organizada la misma de la siguiente manera: 
� Paquetes de menos de 125 cm3 dentro de la ciudad. 
� Paquetes de más de 125 cm3 dentro de la ciudad. 
� Paquetes de menos de 125 cm3 fuera de la ciudad. 
� Paquetes de más de 125 cm3 fuera de la ciudad. 
 
Para clasificar y distribuir tiene diferentes tipos de códigos. 
a) Los paquetes de menos de 125 cm3 distribuidos dentro de la ciudad utiliza los números dígitos 
tomados de a cuatro sin repetirlos. ¿Cuántos paquetes podrá despachar con este sistema 
adoptado? 
b) Los paquetes de más de 125 cm3 dentro de la ciudad utiliza tres letras del abecedario y tres 
números dígitos. ¿Cuántos paquetes podrá despachar con este sistema adoptado? 
c) Los de menos de 125 cm3 fuera de la ciudad utiliza los números dígitos tomados de a cuatro 
que pueden repetirse. ¿Cuántos paquetes podrá despachar con este sistema adoptado? 
d) Los de más de 125 cm3 fuera de la ciudad utiliza las letras del abecedario y los números 
dígitos, de la siguiente manera: tres letras y cuatro números; ambos pueden repetirse. ¿Cuántos 
paquetes podrá despachar con este sistema adoptado? 
e) En la mañana de un día de trabajo llegan a la empresa 5 paquetes que varían en sus tres 
medidas: 
Alto en cm Ancho en cm Largo en cm Volumen [cm3] 
15 12 8 
8 15 12 
12 15 8 
12 8 15 
15 8 12 
 
¿Cuál es el volumen de los paquetes? 
f) La empresa tiene como política de archivo estantes de acuerdo al volumen presentado por los 
diferentes paquetes, para cada volumen tiene 15 estanterías con tres cuerpos cada una. ¿De 
cuántas maneras se pueden archivar los paquetes que han llegado ese día? 
La empresa tiene una pizarra mostrando a los clientes la forma en que deben tomar las medidas 
de largo, alto y espesor, para que cada cliente obtenga el volumen y luego estime el valor a 
abonar por el envío. 
� Los paquetes de menos de 125 cm3 para dentro de la ciudad deben abonar un costo de $130 
y de más de 125 cm3, dentro de la ciudad deben abonar $ 180. 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
23 
� Los paquetes de menos de 125 cm3 para fuera de la ciudad deben abonar un costo de $230 y 
de más de 125 cm3, fuera de la ciudad deben abonar $ 380. 
g) ¿Cuál es el volumen total de los paquetes que debe despachar un cliente que completó la 
planilla presentada posteriormente, sabiendo que los paquetes se distribuyen fuera de la ciudad? 
h) ¿Cuál es el costo total a abonar por los despachos a realizar? 
Alto en cm Ancho en cm Largo en cm Volumen Pago 
5 2 3 30 
12 8 9 864 
15 5 8 600 
15 5 12 900 
14 12 5 840 
12 14 5 840 
5 12 14 840 
5 14 12 840 
 
i) Al finalizar la jornada la empresa realiza el habitual arqueo de caja para constatar la cantidad 
de comprobantes emitidos y los montos cobrados. En ese día el arqueo mostró la situación 
siguiente: 
HORA DE 
EMISIÓN 
8:00 A 
8:55 
9:00 A 
9:55 
10:00 A 
10:55 
11:00 A 
11:55 
15:00 A 
15:55 
16:00 A 
16:55 
17:00 A 
17:55 
18:00 A 
18:55 
19:00 A 
19:55 
CANT. DE 
COMPRO_ 
BANTES 
 
15 
 
16 
 
12 
 
2 
 
5 
 
7 
 
12 
 
15 
 
8 
MONTO 
TOTAL DE 
LA HORA 
 
5750 
 
6720 
 
4356 
 
1245 
 
3425 
 
4537 
 
6786 
 
8976 
 
5648 
 
En ese día: 
i.1) ¿Cuántos comprobantes se han emitido? 
i.2) ¿Cuál fue el monto recaudado? 
i.3) ¿Es posible utilizar dos procedimientos para realizar el control? ¿Es lo mismo multiplicar 
la cantidad de comprobantes por el monto y luego sumar que primero sumar y luego multiplicar 
la sumatoria de los comprobantes con la sumatoria de los montos? 
j) En una mañana determinada llegan dos clientes para despachar una serie de paquetes, el 
primer cliente presenta sus paquetes: tiene cinco paquetes de los cuales dos son rectangulares y 
tres son cuadrados. Mientras que el otro cliente que está esperando tiene 6 paquetes de los cuales 
3 son rectangulares, que son los que desea despachar en ese momento. ¿Pagarán lo mismo 
ambos clientes? 
k) Los empleados deberán acomodarlos en las estanterías que la empresa tiene preparada para 
el correspondiente archivo. Tienen para depositar 8 paquetes de los cuales 3 son rectangulares 
y el recto son cuadrados ¿Es posible que ocupen el mismo espacio? 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
24 
l) Debido a la cantidad de paquetes a ser despachados con motivos del fin de año, los empleados 
de la empresa se preguntan cómo hacer para recibir la cantidad suficiente, sin estibar muchos 
de los mismos y así perjudicarlos. Saben que en el sector “a” del depósito entra el doble que en 
el sector “b”. En el sector “a” pueden estivarse hasta 3, mientras que en sector “b” solo se 
pueden estibar de a dos, ya que en el mismo ya hay 44 paquetes guardados. ¿Cuántos paquetes 
más podrán recibir? 
m) La empresa tiene un depósito extra cuya forma en planta es cuadrada, para el depósito de 
los paquetes de mayor tamaño y que no van a ser despachado inmediatamente. 
- Expresar el área correspondiente a cada parte en 
que la empresa decidió dividir el depósito. 
 
 
 
 
 
 
 
n) ¿Cuál sería la expresión que modeliza la superficie total del depósito?¿Es posible obtenerla? 
o) ¿Cuál sería la superficie si otorgamos un valor arbitrario a “a” y a “b”, por ejemplo: a= 16m 
y b=5m? 
 
 
 
1) Calcular: 
a) 3! .4!= b) 3. 4!= 
 
2) Simplificar las siguientes expresiones: 
a) 
7!
5! . 3!
= 
b) 
( )
( )
3 !
1 !
n
n
+
=
+
 
c) 
( )
( )
1 !
1 !
n
n
+
=
−
 
d) 
( ) ( )1 ! 1 !
! !
n n
n n
− +
+ = 
e) ( )
1 1
! 1 !n n
− =
+
 
1 2 
3 4 
Sup 1= 
Sup 2= 
Sup 3= 
Sup 4= 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
25 
3) Calcular el valor de n ( ) n N∈ que verifica: 
a) 
( )
( )
3 !1
. 10
3 1 !
n
n
+
=
+
 
b) 
( )
( )
( )
()
4 ! 3 !
25
2 ! 2 !
n n
n n
+ +
− =
+ +
 
 
4) Volvemos a reforzar algo de técnica: 
a) ( )
4
1
1
j
j j
=
+ =∑ 
b) ( )2
1
2 1
n
j
j
=
− =∑ 
c) ( )( )
3
1
1 2
i
i i i
=
+ + =∑ 
 
5) Resumir mediante una sumatoria las siguientes sumas propuestas: 
a) 12+22+32+42+52= 
b)
1 1 1 1
3 4 5 6
+ + + = 
c) 
2 2 2
5 1 5 2 5 3
1 1 2 1 3 1
− − −+ + =
+ + +
 
 
6) Un estudiante está planeando su programa de estudio del primer cuatrimestre. Está 
considerando que para las cinco materias que debe cursar en la ficha de inscripción tiene que 
incluir dos alternativas de elección. Hay 5 comisiones de Álgebra y Geometría Analítica, 3 
comisiones de Derecho Privado, 8 de Introducción a la Administración, 9 de Contabilidad 
Básica y 6 de Introducción a la Economía. ¿Cuántos formar posibles hay para formar las cinco 
comisiones de cursado? 
 
7) Determine la cantidad de posibles números telefónicos de siete dígitos si los tres primeros 
no pueden ser cero. 
a) Pueden emplearse cualquier dígito para el resto de los números, sin repetirlos. 
b) El primer dígito debe ser impar, alternándose después entre pares e impares, sin repetirlos. 
c) Si todos los dígitos deben ser pares y no se pueden repetir ¿Es posible organizar esos números 
de teléfono? 
 
8) ¿Cuántos números de 4 cifras distintas pueden formarse con los dígitos 2, 3,4 y 6? 
a) ¿Cuántos de ellos son impares? 
b) Cuántos de ellos son menores de 3000? 
c) Cuántos de ellos son mayores que 4000? 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
26 
9) ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden escribir con los números del 1 al 9? 
a) ¿Cuántos de ellos comienzan con 3? 
b) Cuántos de los que comienzan con 3 terminan con 1? 
c) ¿Cuántos de los que comienzan con 3 son pares? 
 
10) Nueve amigos que se encuentran después de muchos años, se saludan dándose cada uno un 
abrazo con los demás. Desde la ventana de un bar un joven que observa la escena, se pregunta: 
¿Cuántos abrazos se habrán dado? Toma entonces un papel y después de hacer algunos cálculos 
anota el resultado correcto. ¿Cuál es el número que anotó el joven? 
 
11) En una billetera hay cinco billetes de $ 10, $ 20, $ 50, $100, $500 ¿Cuántas sumas de dinero 
se pueden extraer? 
 
12) De un curso de 20 alumnos, debe elegirse un grupo de representantes compuesto por 5 
alumnos. 
a) ¿De cuántas formas puede elegirse el grupo? 
b) De cuántas formas puede elegirse el grupo se hay 2 estudiantes que no desean estar juntos? 
c) ¿de cuántas formas puede elegirse el grupo se hay dos estudiantes que solo aceptan ser 
representantes si ambos integran el grupo? 
 
13) Resolver las siguientes ecuaciones aplicando las propiedades correspondientes: 
a) 
1 1
2 ?
n n+ +   
=   
   
 
b) 
1 2 3
3 5 4 6 9
n n n n n+ + +         
+ + + =         
         
 
 
14) Hallar el valor de “m” 
a) 3 56.
m mA A= 
b) 1 12 22. 4
m mA A− +− = 
c) 1 212 5m m mP P P+ ++ = 
d) 3 2 13 2 2
1
2
2
n n nA A A+ + +− = 
 
15) Desarrolle cada expresión utilizando el Teorema del Binomio 
a) ( )6ax by+ = 
b) ( )42 2x y− = 
c) ( )32x + = 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
27 
16) Utilice el Teorema del Binomio para encontrar el coeficiente o término señalado 
a) Hallar la raíz cuadrada del tercer término del desarrollo: ( )42 3a b+ 
b) Hallar el mayor término del desarrollo: ( )1 mx + ,para x=1/3 y m=5 
c) Hallar el cociente que resulta de dividir el quinto término del desarrollo, por el segundo 
término: ( )11x a− 
d) Hallar el término medio del desarrollo de: ( )63 3x y− 
e) Hallar la diferencia entre el quinto y el décimo término del desarrollo de: ( )112 1a − 
f) El término independiente en el desarrollo: 
12
2 1x
x
 + 
 
 
g) Use el Teorema del Binomio para encontrar el valor numérico de ( )51, 001 , considere 
correcto el valor numérico hasta cinco decimales. [Sugerencia: ( ) ( )55 31,001 1 10 ]−= + 
 
 
Ejercicios Complementarios 
 
1) Calcular: 
a) 2!= b) 8!= 
 
2) Simplificar las siguientes expresiones: 
a) 
6!
9!
= b) 
( )5 2 !
5! 3!
+
=
+
 
 
3) ¿Cuál es el valor de “n”, siendo en todos los casos ( ), 1n N n∈ ≥ ? 
a) 
( )1 ! !
!
n n
n
+ −
= 
 
4) Calcular el valor de n ( ) n N∈ que verifica: 
a) 
( )2 !
6
!
n
n
+
= 
 
5) Volvemos a reforzar algo de técnica: 
a) 
1
2
n
k
k
=
=∑ b) ( )
5
1
3 1
k
k
=
+ =∑ 
 
6) Resumir mediante una sumatoria la suma propuesta: 
2+3+4+5+6= 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
28 
7) Hay que colocar las 12 bolillas en el bolillero para el sorteo de temas en un examen 
determinado ¿De cuántas formas se pueden extraer dos bolillas en el sorteo? 
 
8) Un candidato político sólo tiene fondos y tiempo para visitar cinco ciudades ¿De cuántas 
formas puede organizar su visita a esas cinco ciudades? 
 
9) Adrián y su amigo van a un video club a alquilar 4 películas para el fin de semana. Adrián 
elige 2 entre las quince de terror que encuentra y su amigo 2 de comedias entre las 8 que puede 
elegir. ¿Cuántos conjuntos distintos de películas podrían haber alquilado? 
 
10) Un empresario que puede utilizar cinco caminos distintos para ir a su fábrica decide que a 
partir del primer día laborable del mes siguiente no utilizará para el viaje de regreso el mismo 
camino que para el viaje de ida y que además no volverá a hacer el mismo recorrido hasta 
haberlos agotado todos. ¿Cuántos días deberán pasar hasta que se vea obligado a repetir los ya 
hechos? (recorrido de viaje de ida y vuelta) 
 
11) Tomando 8 puntos de una circunferencia, ¿Cuantos cuadriláteros se pueden formar de 
manera tal que tengan por vértice 4 de esos puntos? 
 
12) Volvemos a reforzar algo de técnica. Resolver las siguientes ecuaciones aplicando las 
propiedades correspondientes: 
a) 
39 39
5 2 2 2x x
   
=   + −   
 
b) 
1
1 1
n n n
k k k
+     
+ =     + +     
 
 
13) Hallar el valor de “m” 
a) 532mP A= 
 
14) Desarrolle cada expresión utilizando el Teorema del Binomio 
a) ( )53 1x + = 
 
15) Utilice el Teorema del Binomio para encontrar el coeficiente o término señalado 
a) Hallar el término 505 del desarrollo de: ( )5063 2a b c+ 
b) el coeficiente de x4 en el desarrollo de: 
10
2
x
x
 − 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
29 
Tema 4: VECTORES 
 
Problemas de introducción: 
 
a) Una empresa fabrica tres productos A, B y C cuyos costos de producción son respectivamente 
35, 40 y 73, el número de unidades producidas para cada producto es 120, 150 y 90. Si 
consideramos los vectores costo ( )35; 40; 73c =� y unidades producidas ( )120;150;90q =� 
 i. Hallar el costo total de producir los tres productos. 
 ii. Sabiendo que el vector de precios de los productos es ( )40;46;80p =� . Calcular el 
beneficio. 
 
b) Una familia tiene un ingreso I y lo destina en su totalidad a la compra de dos bienes A y B, 
cuyos precios están dados por el vector ( )30;40p =� El vector cantidad ( );q x y=� , siendo x la 
cantidad adquirida del bienA e y la cantidad adquirida del bien B. 
 i. Determinar la ecuación de la recta presupuestaria (recta balance), sabiendo que el ingreso es 
de $600. ( ).I p q= � � 
 ii. Expresarla en forma general, explícita y segmentaria. 
 iii. Graficar el vector precio y la recta presupuestaria. 
 iv. ¿Cómo es la posición del vector con respecto a la recta balance? 
 
1) Dados los siguientes vectores libres, utilizando el método gráfico que considere conveniente, 
calcular: 
a) 2.b−
�
 
 
b) 2.a b−
��
 
 
c) 
1
2
a b c+ −
�� �
 
 
d) 
1
2
d b c− +
� � �
 
 
2) Dados los vectores ( )(2;3), 2; 2 , (3;0)u v w= = − − =� � � y realizar en forma analítica y gráfica 
la siguiente operación: 
1
2
2
u v w− + +� � � 
 
3) Expresar z
�
como combinación lineal de x
�
 e y
�
 en forma analítica y gráfica, siendo 
( )3; 2x = −� , ( )1;4y =� y ( )2;1z =� 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
30 
4) Dados los vectores ( )(2; 4), 1;4u v= − = −� � : 
a) Determinar si los vectores u
�
 y v
�
son linealmente independientes. Justificar. 
b) Graficar. 
 
5) Dados los puntos ( )(1; 3), 3;5 , (7;1)A B C− . Se pide: 
a) Hallar la distancia entre los puntos A y B y la distancia entre los puntos A y C. 
b) Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB y AC . 
c) Escribir AB y AC
���� ����
en función de los vectores de la base canónica. 
d) En el ítem a, se calculó la distancia entre los puntos A y B y entre los puntos A y C. ¿Con 
qué concepto de vectores podemos relacionar dichas distancias? Verificar. 
e) Escribir las componentes del versor 0AB
�����
. Verificar el módulo del mismo. 
f) Los cosenos directores de AB
����
. Verificar la propiedad que deben cumplir y hallar los ángulos 
directores. 
g) Calcular el producto escalar entre AB y AC
���� ����
. 
h) Calcular el ángulo formado por dichos vectores. 
i) Calcular la proyección de AB
����
sobre AC
����
. 
 
6) Dados los puntos ( )(3; 4;5), 1; 2;2 , (1;3;4)M N P− − − . Se pide: 
a) Escribir el conjunto de vectores de la base canónica. 
b) Hallar las coordenadas del punto medio del segmento MN . 
c) Calcular la distancia entre los puntos M y N. 
d) Escribir las componentes del vector MN
�����
 y expresarlo en función de los vectores de la base 
canónica. 
e) Los cosenos directores de MN
�����
, verificando la propiedad que deben cumplir. Hallar los 
ángulos directores. 
f) Escribir las componentes del versor 0MN
������
. 
g) Calcular el producto escalar entre MN
�����
 y NP
����
. 
h) Calcular el ángulo formado por dichos vectores. 
i) Calcular el producto vectorial entre MN
�����
 y NP
����
. 
j) Calcular la proyección de MN
�����
 sobre NP
����
. 
k) Calcular la proyección de NP
����
sobre MN
�����
. 
 
7) Dados los vectores ( )( ; 4) 2; 1u x y v= − = −� � . Calcular: 
a) El valor de “x” para que los vectores resulten perpendiculares entre sí. 
b) Componentes del versor 0v
�
. 
 
8) Dados los vectores ( )( 4; ;2) 1;3;5u a y v= − =� � . Calcular: 
a) El valor de a para que los vectores sean perpendiculares. 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
31 
b) El área del triángulo determinado por v
�
 con (3; 2;5)ω = −� 
 
9) Una empresa fabrica dos artículos A y B. Las ventas del último semestre vienen dadas por 
la tabla siguiente: 
 
ARTÍCULOS 
MESES 
J A S O N D 
A 3 0 9 15 10 12 
B 5 0 6 17 11 9 
 
Determinar, realizando siempre operaciones con vectores en R2. 
a) El vector v
�
de ventas totales del semestre. 
b) El vector mv
�
de ventas medias mensuales en dicho período. 
c) El vector mv∆
�
de incremento de ventas de noviembre a diciembre. 
d) Si el vector de precios ( )3;5p =� calcular el ingreso de la empresa en el semestre. 
 
10) Una empresa comercializa productos importados. Los precios en U$S por unidad para los 
productos A, B y C están representados en ese orden por el vector precio: ( )2;3;4p =� . 
Compra al proveedor cierta cantidad de cada producto. Si las cantidades compradas en unidades 
de A, B y C están dadas en ese orden por el vector cantidad ( )7;5;11q =� . Hallar el costo total 
en U$S. 
 
11) El costo en U$S de tres productos A, B y C que una empresa de electrónica está 
representado por el vector ( )25;32;128c =� . Los precios de venta al público de dichos 
productos están dados por el vector ( )30;41;140v =� y la última semana ha vendido las 
cantidades representadas por el vector ( )12;21;8q =� . Calcular el beneficio de la última semana. 
 
 
Ejercicios Complementarios 
 
1) Teniendo en cuenta el gráfico, indicar si 
cada afirmación es verdadera o falsa. Justificar 
la respuesta en cada caso. 
 
a) ( )7;0v w+ =� � b) 2s z=� � 
 
c) 
1
2
z s− = �� d) 20v =� 
 
e) ( )2;5z w+ =�� f) 3. 6z =� 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
32 
2) Representar gráficamente: 
a) 3.u− � b)	u v+� � 
 
c) 
1
2
v
�
 d) 2.v u−� � 
 
e) ( )v u− + −� � f) 3 2
2
v u+� � 
 
 
 
 
3) Dados los vectores: ( )1;6v =� y ( );2s x=� 
a) ¿Cuál debe ser el valor de x para que ( )3 2 5;14v s− = −� � 
b) ¿Cuál debe ser el valor de x para que 10v s+ =� � 
 
4) ¿Qué valores han de tener “x” e “y” para que los vectores ( )(2;1; ) 6; ;15u x y v y= =� � sean 
linealmente independientes? ¿Y para que sean linealmente dependientes? 
 
5) Dado el vector 2 4u i j= − +
� ��
, determinar: 
a) el módulo de u
�
, 
b) los ángulos directores, 
c) un vector de igual dirección y sentido del vector u
�
, de módulo 5. 
 
6) Dados los vectores 3u i j= +
� ��
 y 2 5v i j= − +
� ��
 
a) Encontrar el producto escalar entre ambos. 
b) Calcular el ángulo que forman ambos vectores. 
 
7) Para cada uno de los siguientes pares de vectores, calcular el producto escalar, el producto 
vectorial y el ángulo que forman entre ellos. 
a) 2 3u i j k= − +
�� ��
, 2v i j k= + +
�� ��
 
b) 7 3u i j k= − −
�� ��
, 7 3v i j k= − + −
�� ��
 
 
8) Encontrar el área del paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos siguientes:
( ) ( ) ( )1 2 31; 2;3 , 2;0;1 , 0;4;0P P P− 
 
9) Encontrar la proyección de ��� sobre ��. 
a) ( )(1; 1) 3; 1u y v= − = −� � . Representar gráficamente. 
b) ( )2 2 1; ; 2; 2;2
3 3 3
u y v
 = − − = − 
 
� �
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
33 
10) Un consumidor destina $80 de su ingreso a la compra de dos bienes A y B, cuyos precios 
unitarios son P1=16 y P2=8 
a) Escribir el vector precio y representarlo gráficamente. 
b) Hallar la ecuación de la recta presupuestaria, expresarla en forma explícita, general y 
segmentaria. Graficar. 
c) ¿Cómo es la posición del vector precios y la recta de posibilidades de consumo? 
d) ¿Cuál es la cantidad máxima de bienes B que el consumidor puede comprar con los $800, 
sin adquirir ningún bien A? 
 
11) Sabiendo que el vector precio es un múltiplo escalar del vector (6; 8) y que una de las 
posibilidades de consumo está dada por el vector cantidad (40;50)q =� y que el importe 
destinado para la compra de los tres productos es $10200. Hallar: 
a) El vector de precios. 
b) La ecuación de la recta presupuestaria. 
 
12) Una empresafábrica tres productos A, B y C, cuyos costos de producción son 
respectivamente 35, 40 y 73. El número de unidades producidas para cada producto es 120, 150 
y 90. 
a) Escribir el vector costo c
�
y el vector unidades producidas u
�
. 
b) Calcular el costo total de producir los tres productos. 
c) Sabiendo que el vector precios es (40;46;80)p =� , calcular el beneficio para esa cantidad de 
unidades producidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
34 
Tema 5: MATRICES - DETERMINANTES 
 
1) Problema de introducción: 
Una empresa autopartista fabrica ruedas. Para ello dispone de dos sedes: 
La Sede de CHACO produce las llantas para cuatro tipos de vehículos REGULAR, MEDIO, 
LUJO y EXTRALUJO. Para ello utiliza cuatro materias primas distintas ACERO, MAGNESIO 
y ALUMNIO. El consumo en kg para obtener 1 unidad de cada producto es el siguiente: 
 
ACERO MAGNESIO ALUMINIO 
4 1 1 REGULAR 
3 2 2 MEDIO 
2 2 3 LUJO 
1 3 5 EXTRALUJO 
 
y los costos en pesos por kilogramo ($/kg), de cada una de las materias es: 
20 ACERO 
30 MAGNESIO 
50 ALUMINIO 
 
El costo por gastos fijos es del 40% que el de la materia prima, en tanto que el tiempo tardado 
en producir cada unidad es de 0,25hs para el modelo regular, 0,3hs para el modelo medio, 0,4hs 
para el modelo de lujo y 0,5hs para el modelo de extralujo. El costo por mano de obra es de 
800$/hs. 
La sede de CORDOBA produce las cubiertas para cada uno de los tipos de vehículos y usa 
caucho como materia prima para todos los modelos. El consumo en kg para obtener 1 unidad 
de cada producto es el siguiente: 
CAUCHO 
4 REGULAR 
5 MEDIO 
8 LUJO 
10 EXTRALUJO 
 
El costo del caucho en pesos por kilogramo ($/kg) es de 10 y además los costos por mano de 
obra y gastos fijos representa un 55% más que el de materia prima. Si semanalmente se 
producen 800uds regulares, 800uds media, 600uds de lujo y 400uds de extra-lujo. Hallar la 
matriz de: 
a) producción de llantas. 
b) producción de cubiertas 
c) materia prima de llantas. 
d) costos de producción de llantas. 
e) costos de producción de cubiertas. 
f) costos de producción de las ruedas. 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
35 
2) Dadas las siguientes matrices: 
 
1 5
2 4
1 3
A
 
 =  
 − 
; 
2 3
1 0
4 2
B
− − 
 =  
 
 
 y 
6 1
3 2
0 1
C
− 
 = − 
 
 
 
Hallar: 
a) A + B 
b) A -B 
c) C -A+ B 
d) AT- CT 
e) M tal que: A + B -C + M = O (siendo O = matriz nula) 
 
3) A partir de las siguientes matrices: 
 
2 1 5
3 2 1
A
− 
=  
  
2 0 3
1 4 1
B
− 
=  − −  
 
Hallar: 
a) -1.A 
b) 2. B 
c) -1 A + 2 B 
 
 
4) Resolver cada ítem y enunciar simbólicamente qué propiedad del producto de matrices se 
cumple o no en él. 
a) A.B y B.A con 
9 7
0 8
A
 
=  
  
1 2
4 5
B
 
=  
 
 
b) C.D y D.C con ( )1 2 3C = 
0
2
4
D
 
 = − 
 
 
 
 
5) Resolver los siguientes productos de matrices: 
 
a)
1 0 0 2 2 1
1 1 0 . 1 2 2
0 1 1 2 1 2
   
    =   
   
   
 b) 
1 6
3 5
. 2 1
1 2
4 0
 
   − =   −   
 
 c) 
1 6
3 5
2 1 .
1 2
4 0
 
  − =   −  
 
 
 
6) Dada la matriz 
3
2 0
1
B =
− 
 
 
 hallar 2B 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
36 
7) ¿Por qué matriz hay que pre multiplicar la matriz
1 0
2 1
A
 
=  
 
 para que resulte la matriz 
5 6
2 3
B
 
=  
 
? 
 
8) El profesor que administró las tres pruebas a cinco estudiantes está preparando los promedios 
del curso. Ha decidido ponderar los dos primeros exámenes a 30% cada uno y el tercero a 40%. 
Desea calcular los promedios finales de los cinco alumnos mediante la multiplicación de 
matrices. La matriz de las calificaciones es G y de las ponderaciones W 
 
 
75 82 86
91 95 100
65 70 68
59 80 99
75 76 74
G
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
0,30
0,30
0,40
W
 
 =  
 
 
 
Calcular la matriz promedio de los cinco alumnos. 
 
9) Un constructor puede adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillos, concreto, vidrio 
y pintura de tres proveedores diferentes, cada uno de los cuales fija precios unitarios según la 
información que aparece en la matriz [A] que aparece más abajo (cada columna son materiales 
y cada fila los precios que fija cada proveedor). Para minimizar los costos de transporte, el 
contratista adquiere todos los materiales al mismo proveedor. Actualmente hay tres obras en 
construcción: 
La obra 1 requiere 40uds de madera, 8 de ladrillos, 10 de concreto, 6 de vidrio y 6 de pintura. 
La obra 2 requiere: 30; 0; 16; 16; 4 unidades de cada material. La obra 3 mientras tanto: 60; 20; 
40; 20 y 24 unidades respectivamente. 
Proponga una solución mediante el uso de matrices, de manera que se pueda determinar qué 
proveedor es el conveniente para cada obra. 
 
5 5 6 2 4
9 4 5 2 5
9 5 6 1 5
M L C V P
A
 
 
 =
 
 
 
 
 
10) Trabajando como enfermera, Julieta gana $60 la hora, $40 la hora como oficinista y $20 la 
hora trabajando de niñera. En la matriz que está abajo se expresa los tiempos trabajado en cada 
ocupación, en un período de 4 semanas. 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
37 
.1 .2 .3 .4
20 10 15 12
8 6 2 5
. 5 10 4 2
S S S S
Enf
A
Ofic
Niñ
 
 
 =
 
 
 
 
a) Establecer la matriz sueldos por hora. 
b) ¿Cuánto ganó Julieta en cada semana? 
 
11) Siendo las matrices A y B: 
1 3
0 2
A
 
=  
 
 y 
1 3
2 0
B
− 
=  
 
 
Calcular: 
a) .A B 
b) .A B 
c) ¿Cómo son los resultados obtenidos en a) y en b)? Justificar la respuesta. 
 
12) Dadas las siguientes matrices calcular su determinante, si es posible: 
 
2 0
4 3
A
− 
=  
 
 
1 6
2 1
4 0
B
 
 = − 
 
 
 
1 3 4
3 4 5
2 7 1
C
− 
 =  
 
 
 
0 3 0
2 3 1
4 2 5
D
 
 = − 
 −  
 
13) Dada la matriz 
3 2 1
5 1 3 , 
1 4 2
A
 
 =  
 − − 
obtener: 
a) Los menores complementarios: M21 y M22. 
b) Los cofactores o adjuntos: A21 y A22. 
 
14) Calcular los siguientes determinantes: 
a) 
2 3 1 0
4 2 1 3
1 5 2 1
0 3 2 6
−
−
∆ =
−
−
 b) 
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
− −
∆ =
− − −
− −
 
 
15) Dadas las matrices: 
 
 
1 2 1
2 1 1
3 1 - 2
A
−
= −
 
 
  
 
 
 
 
1 3 1
* 7 1 3
5 5 5
A = −
−
 
 
  
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
38 
a) Hallar A 
b) ¿Cuál es el resultado de hacer . *A A ? 
c) ¿Qué es *A ? Justificar la respuesta enunciando la propiedad correspondiente. 
 
16) Dadas las matrices 
a) 
1 4
3 2
A
− 
=  − − 
 b) 
2 2 0
1 1 1
4 3 0
B
 
 =  
 
 
 
Calcular para cada una: 
 i) Sus matrices adjuntas. 
 ii) Si existen, sus matrices inversas.17) En . 2.B X A C+ = , calcular X, siendo las matrices: 
 
1 2
3 4
A
 
=  −  
1 1
0 2
B
− 
=  
  
1 1
2 3
C
− 
=  
  
 
18) Para cada una de las matrices, encontrar su rango. 
 
2 1 3 3
5 0 1 1
4 2 0 4
1 2 1 5
A
− 
 − =
 
 − − 
 
2 1 2
4 0 4
2 2 3
B
 
 =  
 
 
 
1 3 4 2
0 1 2 1
1 1 1 2
C
− − 
 =  
 − 
 
 
 
1 2 3 3
5 4 3 9
1 0 3 3
D
 
 =  
 − 
 
2 1 0 4
3 3 1 1
5 2 3 2
2 2 1 3
E
 
 − =
 − −
 − 
 
 
 
 
 
Ejercicios Complementarios 
 
1) Dadas las matrices: 
1 2
3 4
1 1
A
− 
 =  
 
 
 
2 1 0
1 1 3
2 0 1
B
 
 = − 
 
 
 
2 1 3
1 1 0
C
 
=  − − 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
39 
1 3 4 2
0 1 2 1
1 1 1 2
D
− − 
 =  
 − 
 
2 1 1 1
0 2 2 3
1 1 1 2
E
− − 
 = − 
 − − 
 
1 2
1 3
F
− 
=  − 
 
Hallar: 
a) (-2) .D + 3 E 
b) A . C 
c) (DT + ET) .B 
d) F . C 
 
2) Un supermercado vende 1.500 gaseosas, 700 jugos y 1.400 dulces por semana. Los precios 
de venta unitarios son $1,65, $0,80 y $2,50 respectivamente. A su vez los costos unitarios son 
respectivamente $1,10; $ 0,50 y $1,80. 
a) Indicar los vectores de precios, demanda y costo. 
b) Obtener, como resta de matrices columna, el beneficio unitario. 
c) Obtener, multiplicando matrices, el ingreso total y el costo total. 
d) Obtener el beneficio total aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto 
de la resta de matrices. 
 
3) Hallar el valor de los siguientes determinantes, aplicando la Regla de Chió o el método de 
los elementos de una línea: 
 
a) 
1 3 0 1
2 4 1 4
3 1 2 2
5 1 3 1
−
∆ = b) 
2 0 1 2
3 2 2 3
0 2 2 2
2 3 0 1
−
− −
∆ =
− −
 
 
4) Dadas las siguientes matrices: 
1 2 0
1 0 1
1 3 2
A
 
 = − 
 − 
 
2 4 6
6 1 5
1 2 3
B
 
 =  
 − 
 
Calcular: 
a) Sus matrices adjuntas. 
b) Sus matrices inversas, si existen. 
c) ¿Cuál es la condición para que una matriz admita inversa? 
 
5) En 
0 0
2 .
1 5
P Q X R
 
+ + =  − 
, calcular X, siendo las matrices: 
 
3 1
0 2
P
− 
=  
  
0 2
3 1
Q
− 
=  
  
2 1
3 0
R
− 
=  
  
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
40 
6) La compañía Ruedas tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices 
cuyos renglones, en orden, representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo 
vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y 
púrpuras vendidas. Las matrices para enero y febrero son: 
1 4 5 0
3 5 2 7
4 1 3 2
E
 
 =  
 
  
2 5 7 7
2 4 4 6
0 0 1 2
F
 
 =  
 
  
a) ¿Cuántas unidades de los modelos de extra lujo blancos se vendieron en enero? 
b) ¿Cuántos modelos de lujo azules se vendieron en febrero? 
c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras? 
d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses? 
e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo? 
f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos? 
g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero? 
Nótese como el ordenamiento de las unidades en filas y columnas facilita la comparación y 
también las operaciones. 
 
7) Para cada una de las matrices, encontrar su rango. 
 
2 1 7 4 6
5 0 6 6 1
4 2 0 2 6
1 2 2 5 6
A
− 
 − =
 −
 − − 
 
1 1 2
4 3 2
0 2 3
B
 
 = − 
 
 
 
1 4 5 0
3 5 2 7
4 1 3 2
C
 
 =  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
41 
Tema 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
Problema de introducción: 
Suponga que una economía comprende las industrias, carbonífera, eléctrica y del acero, y que 
la producción de cada sector se distribuye entre los diversos sectores como se muestra en la 
tabla, las entradas en una columna representan las partes fraccionales de la producción total de 
un sector industrial. 
 
Distribución de la producción por sectores: 
 
DEL CARBÓN ELÉCTRICO DEL ACERO COMPRADA POR 
0,0 0,4 0,6 S. DEL CARBÓN 
0,6 0,1 0,2 S. ELÉCTRICO 
0,4 0,5 0,2 S. DEL ACERO 
 
La segunda columna de la tabla 1, por ejemplo, dice que la producción total del sector eléctrico 
se divide como sigue: 40% a la industria del carbón, 50% a la del acero, y el restante 10% a la 
industria eléctrica. Como se deben considerar todas las producciones, las fracciones decimales 
en cada columna deben sumar 1. 
Exprese los precios (es decir, valores en dólares) del total de las producciones anuales de los 
sectores del carbón, eléctrico y del acero mediante pc, pe y ps, respectivamente. Si es posible, 
encuentre los precios de equilibrio que hacen que los ingresos de cada sector igualen a sus 
gastos. 
 
1) El propietario de una tienda de televisores desea expandir su negocio comprando y poniendo 
a la venta 2 nuevos modelos de televisores que acaban de salir al mercado. Cada televisor del 
primer tipo cuesta $3000 y cada televisor del segundo tipo $4000. Cada televisor del primer 
tipo ocupa un espacio de 0.4 metros cuadrados, mientras que cada uno del segundo tipo ocupa 
0.5 metros cuadrados. Si el propietario solo tiene disponibles $20000 para su expansión y 2.6 
metros cuadrados de espacio, ¿Cuántos modelos de cada tipo deberá comprar y poner a la venta 
hacienda uso completo del capital disponible y del espacio? 
 
2) La empresa “Scott” fabrica el modelo de bicicleta “Spark” en 2 plantas de montaje diferentes. 
El costo variable por unidad es de $3,50 para cualquier planta de montaje, la diferencia es que 
el costo fijo en la planta “A” es de $12,50 y en la planta “B” el costo fijo es de $11,20. Si es 
posible, calcular analítica y gráficamente para qué cantidad de bicicletas el costo total es el 
mismo en las dos plantas de montaje. 
 
3) La empresa “Algarrobo” desea realizar un costeo de los 2 modelos de armario que fabrica, 
para ello realiza un detalle de los insumos requeridos: 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
42 
INSUMO COSTO 
UNITARIO 
CANTIDAD EN 
MOD. A 
CANTIDAD EN 
MOD. B 
CLAVOS $0.1 220 150 
ESQUINEROS $0.75 12 8 
MANIJAS $5 10 4 
PLACAS DE MADERA $200 2.3 2.5 
 
El costo fijo para elaborar cada armario, cualquiera sea el modelo, es de $300. Si es posible, 
calcular para qué cantidad de armarios, de cada modelo, se igualan los costos. 
 
4) ¿Para qué valores de k ∈ R, el sistema



=+−
=−+
3)1(
1)1(
kyxk
ykkx
 es compatible determinado? 
Justifique su respuesta. 
 
5) Encuentre todos los valores de k ∈ R para que el sistema de ecuaciones lineales homogéneo 



=−+
=+−
0)2(
0)2(
ykx
yxk
 tenga soluciones no triviales. Justifique su respuesta. 
 
6) Dada la siguiente expresión matricial: 
1 1 1 0
1 2 2 . 7
1 1 1 2
x
y
z
−     
     =     
     − − −      
a) Formúlelo como un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas. 
b) Decida si la terna ( )-3;1;4 es solución del sistema dado. 
c) Si esposible, encuentre el conjunto solución utilizando la Regla de Cramer. 
 
7) ¿Es posible resolver los siguientes sistemas por el Teorema de Cramer (Método de la matriz 
inversa)? Justifique su respuesta. En caso afirmativo resuélvelos. 
 
a) 
5 2 3 6
2
5 2 3 2 4 0
x y z w
x z w
x y z w
+ + + = −
 + = − +
 + − + − =
 b) 
2 5
2 3
3 2 4
x y z
x y z
x y z
+ − =
 − + =
− + − = −
 
 
b) 
10
2 2 3 4
3 5 6
4 6
x y z t
x t z
y z t
x y z t
+ + = −
 + − =
 + − =
− + + − = −
 c) 





=+−
=+−
=++−
046
035
0542
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
43 
8) En caso en que algunos de los sistemas del ejercicio 6) no puedan ser resueltos por los 
métodos propuestos, emplee el Teorema de Rouché – Frobenius para analizar el conjunto 
solución. Luego determine: 
a) El último sistema equivalente. 
b) El conjunto solución. 
9) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
0
0
x y z
x y
+ + =
 + =
 
a) Clasificarlo según los términos independientes. 
b) Clasificarlo según su conjunto solución, justificando la respuesta. 
 
10) Una persona invierte un total de $25000 en tres diferentes inversiones al 8, 10 y 12%. Los 
intereses totales al cabo de un año fueron $2440 y los intereses por las inversiones al 8 y 12% 
fueron iguales. ¿Cuánto invirtió a cada tasa? 
 
 
 
Ejercicios Complementarios 
 
1) Facundo Pérez tiene un total de $300 000 invertidos en dos tipos de bonos que producen 8 y 
10% de interés simple por año, respectivamente. Si los intereses anuales que recibe suman 
$26400 ¿cuánto dinero ha invertido en cada bono? 
 
2) La cantidad total de pasajero que utilizan cierta ruta de autobús durante el turno matutino es 
1000. Si la tarifa para niños es de $25 y la de adultos es de $75 y el ingreso total durante el 
turno matutino fue de $6500. ¿Cuántos niños y adultos utilizaron el autobús en ese turno? 
 
3) ¿Para qué valores de � ∈ � el sistema: 
( 1) . 11
. ( 1) 8
k x k y
k x k y
− + =
 + − =
 es compatible determinado? 
 
4) Dados los siguientes sistemas: 
 
a)
3 0
3 2 0
2 7 0
x y z
x y z
y z
− + =
 − + =
− + =
 b)
3 6
2 1
2 2 2 0
3 10 6 17
x y z
x y z
x y z
x y z
− + = −
 + + =
− − + =
 − + = −
 
 
c)
2 4 1
3 7 2 2
12 11 16 5
x y z w
y z w x
x y z w
− + = +
 + + − = −
 − − − =
 d) 
2 4 0
2 7 3 0
u v w
u v w
+ − =
 + + =
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
44 
 i. Expresarlos matricialmente. 
 ii. Clasificarlos según el número de ecuaciones e incógnitas. 
 iii. Clasificarlos según la matriz de los términos independientes. 
 iv. Resolverlos por el método de la matriz inversa si fuera posible. 
 v. Resolverlos si fuera posible utilizando la regla de Cramer. 
 vi. Clasificarlos utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius. 
 vii. Escribir los últimos sistemas equivalentes. 
 viii. Hallar el conjunto o los conjuntos solución. 
 
5) Ace Novelty quiere fabricar tres tipos de souvenir: los tipos A, B y C, la información de los 
requerimientos para la fabricación de los mismos, se detalla a continuación: 
 TIPO A TIPO B TIPO C TIEMPO DISPONIBLE (MÍNUTOS) 
MÁQUINA I 2 1 1 180 
MÁQUINA II 1 3 2 300 
MÁQUINA III 2 1 2 240 
 
¿Cuántos souvenirs de cada tipo debe fabricar Ace Novelty para utilizar todo el tiempo 
disponible? 
 
6) Una pequeña corporación de software tomó un préstamo por $500.000 para expandir su línea 
de software. Parte del préstamo fue a 9%, otra parte a 10% y otra a 12% de interés. Cuánto se 
tomó en préstamo a cada tasa si el interés anual fue de $52.000 y la cantidad prestada a 10% 
fue 2,5 veces la cantidad prestada a 9%. 
 
7) La empresa electrónica ELECNOR S.A. necesita ensamblar plaquetas para tres modelos de 
televisores LCD distintos: A, B y C. Para ensamblar una plaqueta del modelo A se necesitan 
dos minutos en la máquina I, un minuto en la máquina II y dos minutos en la máquina III. Una 
plaqueta del modelo B requiere un minuto en la máquina 1, tres minutos en la máquina II y un 
minuto en la máquina III. Una plaqueta del modelo C requiere un minuto en la máquina I y dos 
minutos en cada una de las máquinas II y III. Por turno hay sólo 15 minutos disponibles en la 
máquina I, 25 minutos en la máquina II y 20 minutos en la máquina III para procesar un pedido. 
¿Cuántas de cada modelo debe ensamblar la empresa para utilizar todo el tiempo disponible? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
45 
Tema 7: SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES. 
PROGRAMACIÓN LINEAL 
 
Problema de introducción: 
Un hombre y su hija fabrican mesas y sillas sin acabados. Cada mesa requiere 3 horas de corte 
y 1 hora de ensamble. Cada silla requiere 2 horas de corte y 2 de ensamble. Entre los dos pueden 
dedicar hasta 12 horas de trabajo de corte y 8 horas de ensamble al día. Encuentre un sistema 
de desigualdades que describa todas las posibles combinaciones de mesas y sillas que pueden 
fabricar diariamente. Trace la gráfica del conjunto solución. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En muchos problemas del comercio y de la industria, es importante tomar decisiones que 
maximicen o minimicen una determinada cantidad. Por ejemplo, la gerencia de una planta 
podría estar interesada en establecer la forma más económica de transportar la producción 
desde la fábrica hasta los mercados; un hospital, en diseñar una dieta que satisfaga ciertos 
requerimientos nutricionales, a un mínimo costo; un inversionista, en elegir opciones que 
maximicen sus ganancias. Estas situaciones se corresponden con problemas de 
programación lineal (PL). 
 
La PL es la herramienta más importante dentro del campo de la investigación operativa. Nos 
proporciona un tratamiento matemático de los problemas, para ello vamos a plantear de 
forma abstracta los problemas mediante una modelización matemática que nos permitirá 
resolver de forma numérica cada situación. Son problemas de programación lineal, todos 
aquellos modelos de optimización que involucren funciones lineales. 
 
Los modelos de PL son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas 
de naturaleza real en economía, ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas 
y organizaciones, importantes beneficios y ahorros. 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Álgebra y Geometría Analítica - 2019 Guía de Ejercicios Prácticos 
46 
1) La suma de tres números ha de ser mayor que 10 . El segundo es la mitad del primero, y el 
tercero el triple que el segundo. Encuentra las soluciones y elige algunos ejemplos numéricos, 
comprobando que se cumplen todas las condiciones pedidas. 
 
2) ¿Qué condición debe cumplir un número “y” para que sea siempre menor que el doble de 
otro número “x”, menos 1? 
Indicar de qué manera se representa una inecuación que involucra una variable y de qué manera 
se representa una inecuación que involucra dos variables en relación lineal. 
 
3) ¿Cuáles son los pares de valores ( ),x y que verifican simultáneamente las siguientes 
condiciones? 
3 12
0
0
x y
x
y
+ <
 ≥
 ≥
 
 
4) Un fabricante de calculadoras